Программа курса "Алгебра и геометрия",

мехмат ЮФУ, 1 курс, 1-2 группы, 2 семестр 2012/13 уч. года

http://edu. mmcs. *****/~krvd/

I. a. Аналитическая геометрия в пространстве. Понятие об уравнениях поверхности и линии в пространстве. Теоремы об уравнении плоскости в пространстве, неполные уравнения, уравнение «в отрезках». Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Взаимное расположение плоскостей, угол между ними. Пучок плоскостей; теорема о пучке, задаваемом двумя плоскостями (без доказательства). Связка плоскостей. Теорема о связке, определяемой тремя плоскостями. Нормальное уравнение плоскости, отклонение и расстояние от точки до плоскости.

I. b. Прямая линия в пространстве. Способы задания прямой линии. Угол между прямыми линиями, усло­вие параллельности и перпендикулярности. Угол между пря­мой и плоскостью, усло­вие параллельности и перпендикулярности, взаимное расположение прямой линии и плоскости. Формулы расстояний.

I. c. Поверхности второго порядка, их исследование с помощью сечений.

II. a. Определение линейного пространства; примеры линейных пространств, простейшие свойства линейных пространств. Система векторов; подсистема. Линейная комбинация векторов. Векторная интерпретация систем линейных уравнений. Линейно зависимая и линейно независимая система. Критерий обращения определителя в ноль. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем (система, состоящая из одного вектора; критерий для системы, содержащей более одного вектора; случай системы из двух векторов; система, содержащая линейно зависимую подсистему; подсистема линейно независимой системы; добавление вектора к линейно независимой системе; второй критерий линейной зависимости и др.). Полная система, ее свойства.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

II. b. Размерность линейного пространства. Определение конечномерного и бесконечномерного линейного пространства; размерность пространства Fn. Базис; теорема существования базиса, следствие. Теорема о размерности линейного пространства с базисом, следствие. Размерность декомплексификации. Теоремы о соотношении базиса линейно независимой и полной системы, критерий конечномерности линейного пространства. Координаты вектора, их единственность, свойства. Матрица перехода. Преобразование координатных векторов при замене базиса. Свойства матрицы перехода. Алгоритм вычисления матрицы перехода.

II. c. Подпространство, критерии и примеры. Линейная оболочка и ее свойства. Пересечение подпространств. Сумма подпространств. Прямая сумма; теорема о разложении пространства в прямую сумму. Свойства размерности подпространств (соотношение размерностей подпространства и пространства; размерность суммы подпространств; критерий разложения конечномерного пространства в прямую сумму подпространств, о тривиальности пересечения).

II. d. Максимальная линейно независимая подсистема. Максимальная линейно независимая подсистема как базис линейной оболочки; следствие об инвариантности числа элементов максимальной линейно независимой подсистемы. Ранг системы векторов; простейшие свойства, ранг матрицы. Инвариантность ранга матрицы при ее транспонировании. Минор матрицы; теорема о связи ранга матрицы с ее минорами. Инвариантность ранга матрицы при элементарных преобразованиях ее столбцов и строк. Ступенчатая форма матрицы; теорема о ранге матрицы ступенчатой формы, следствия. Теорема о ранге произведения матриц; следствие об умножении на обратимую матрицу. Критерий совместности системы линейных уравнений (Кронекера и Капелли). Критерий определенности СЛУ. Критерий существования нетривиального решения однородной системы линейных уравнений и ее подпространство решений. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.

III. a. Скалярное произведение; определение евклидова пространства. Теорема существование скалярного произведения в произвольном конечномерном линейном вещественном пространстве. Неравенство Коши-Буняковского. Норма в евклидовом пространстве; свойства нормы. Расстояние в евклидовом пространстве; свойства расстояния. Угол между векторами.

III. b. Ортогональность векторов; свойства отношения ортогональности, теорема Пифагора. Ортогональная система векторов и ее линейная независимость. Нормированный вектор; нормирование вектора. Ортонормированная система векторов. Свойства ортонормированных базисов. Процесс ортогонализации, теорема о равенстве линейных оболочек. Следствие существования ортонормированного базиса.

III. c. Ортогональные матрицы, свойства. Критерий ортогональности матрицы. Теоремы об ортогональности матрицы перехода.

III. d. Ортогональность вектора множеству; ортогональное дополнение. Свойства ортогонального дополнения. Теорема о разложении евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая. Алгоритм нахождения ортогональной проекции и ортогональной составляющей, матрица Грама. Расстояние от элемента до конечномерного подпространства. Унитарные пространства, унитарные матрицы.

Литература

Учебники

1.   . Курс высшей алгебры, изд. 6–11. М.: Наука, 1958–1975.

2.   . Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.

3.   . Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971.

4.   , . Линейная алгебра, изд. 1–3. М.: Наука, 1974–1984.

5.   . Введение в общую алгебру. М.: Наука, 1977.

6.   , . Линейная алгебра. М. Вузовская книга. 2001.