Управление образования

администрации Старооскольского городского округа

Белгородской области

Муниципальное образовательное учреждение

дополнительного профессионального образования

(повышения квалификации)

«Старооскольский городской институт усовершенствования учителей»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Основная общеобразовательная школа №17»

Обучение решению задач обучающихся второй ступени в курсе геометрии как средство развития самостоятельности мышления

,

учитель математики

МБОУ «ООШ №17»

Старый Оскол

2013

Обучение решению задач в курсе геометрии обучающихся второй ступени

как средство развития самостоятельности мышления

Занятия геометрией могут быть для ученика занимательны только тогда, когда они требуют от него посильного и планомерного труда… требуют умственной работы, а не заучивания слов на память

-Троцкий

Для тех, кто умеет решать задачи, обучение решению задач представляется очень простым делом, не требующим разработки специальной методики. Давно известно: чтобы научиться решать задачи, надо их решать. Действительно, стоит «попотеть» над решением пяти-шести задач, как они начинают получаться, решаться. Такой рецепт требует много времени, и кроме того, он может, быть использован только для тех учащихся, которые, во-первых, хотят научиться решать задачи и готовы затратить на это и время и силы, а во-вторых, как-то умеют приняться за дело. Но здесь происходит подмена одной методической задачи другой: говорится не о том, как научить кого-нибудь, а как самому научиться.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Понятно, как научить делать что-либо другого самостоятельно и тогда, когда речь идет о каком-нибудь деле, допускающем стандартизацию. Тогда обучающий прямо показывает обучаемому, как это надо делать, а обучаемый подражает, повторяет, воспроизводит его действия. Так при обучении математике происходит обучение решению квадратных уравнений, решению прямоугольных треугольников и т. п., т. е. обучение решению задач, сводящихся к применению общих правил и формул. Наличие в курсе математики задач такого рода представляет большую ценность. При их решении формируется умение действовать по определенному правилу, модифицировать его в зависимости от конкретной ситуации, умение мобилизовать ряд полученных ранее знаний, воспитываются такие важные качества личности, как настойчивость, трудолюбие, аккуратность, ответственность, привычка доводить дело до конца, проверять результат и т. д.

Однако, как бы ни была сложна объективно и трудна субъективно для учащегося задача, требующая только применения определённых известных, изученных (даже выученных) схем действий, самостоятельность мышления здесь нужна только при распознавании вида задачи, после чего умение решить ее сводится к владению определенным алгоритмом, т. е. в решении таких задач отсутствует самое главное — элемент поиска: всякая формула, всякое общее правило по своей сути и есть способ ликвидировать необходимость самостоятельно размышлять над способом решения — он найден раз и навсегда в общем виде. Поэтому решение «примеров» (так раньше называли учителя задачи на применение готовых формул и правил) развить самостоятельность мышления не может. Непригодны для этой цели и задачи, так сказать, с другого полюса: задачи творческого характера, олимпиадные, для которых полностью раскрыть ход мысли при отыскании решения хотя и возможно, но очень трудно и явно нереально для всех учащихся в массовой общеобразовательной школе.

Поэтому, когда мы говорим о необходимости и возможности научить всех учащихся самостоятельно решать задачи, понимая под этим отыскание способа решения, то первая трудность состоит в том, чтобы найти обычные школьные задачи, обладающие, казалось бы, несовместимыми свойствами: нужно, чтобы ученик мог ее решить, не зная, как ее надо решать, а учитель мог бы научить ее решать, не показывая, как решать. Серьезно же говоря, чтобы задачу можно было бы использовать для развития мышления учащихся, она, не сводясь к алгоритму, должна быть построена (в отличие от нестандартной задачи) на некотором общем приеме мышления, который можно описать, объяснить учащемуся.

Если не бояться тавтологии, то можно сказать, что особенно ценными являются задачи, на которых можно научить учащихся искать способ решения. Такими являются задачи на доказательство, решаемые в курсе геометрии, особенно в первой половине курса планиметрии.

К сожалению, в практике преподавания педагогические возможности этих задач не всегда полностью используются. Дело в том, что их решение учителю хорошо известно и рассказать, как надо решить задачу,— для учителя в этом случае проще, чем научить учащегося самостоятельно отыскать решение.

Поэтому иногда у неопытного учителя обучение выглядит примерно так: сначала, помня о необходимости развивать самостоятельность мышления, о проблемном обучении и т. п., читается условие задачи, затем подается команда: «Решайте!» Проходит минута, две. Учитель, видя, что задача «не решается», начинает «поощрять» учащихся: «Думайте, думайте!» А так как ученики не знают, как думать, а задачу надо решить, то учитель в конце концов бросается из одной крайности в другую и сам рассказывает решение, иногда маскируя это наводящими вопросами или тем, что решение рассказывает не учитель, а додумавшийся ученик. Подчеркну, что рассказывается решение, а не то, как до него додуматься.

Так как при таком бесплодном «думании» время тратится бесполезно, то все чаще можно услышать такие пожелания: «Не злоупотребляйте проблемным методом», «Обучать решению задач нужно по образцам», «Надо, чтобы все научились решать задачи».

Вообще говоря, обучение по образцам, всегда применяющееся в обучении математике, безусловно, является полезным: чем больше образцов узнает учащийся, тем легче ему найти решение новой задачи — по аналогии, еще каким-либо способом или просто потому, что в результате знакомства с образцами он стал лучше соображать. Однако, опыт показывает, что обучение по образцам приводит к успеху (если считать таковым развитие умения решать задачи), как это ни парадоксально, не слабых учащихся (казалось бы, на них и рассчитана такая методика), а сильных. Именно они способны на образцах «ухватить» метод (даже не всегда осознав его). Слабые же учащиеся в лучшем случае, запоминая (обычно по внешним признакам) схему решения образца, решают определенный класс задач, который тем самым превращается в «примеры».

А так как характерной особенностью большинства геометрических задач является их «неалгоритмичность», то обучение по образцам, без выявления некоторого общего приема, метода отыскания пути решения задачи, не достигает цели, по крайней мере для слабых учащихся.

Чтобы понять, в чем состоит этот общий прием решения задачи на доказательство, посмотрим сначала, к чему сводится умение решать задачу, и выясним, где же происходит заминка, на каких «подводных камнях» спотыкается ученик.

Очевидно, первая трудность для ученика — это понять условие задачи, поэтому ученик не может повторить условие, а если и повторяет, то механически, не может выделить собственно условие (что дано) и вопрос задачи (что надо узнать). Учителя интуитивно это понимают, а потому первый этап работы — разъяснение условия, при этом в той или иной степени происходит переформулировка условия: перестановка слов, выделение главного (иногда даже просто интонацией) и т. п.

Следующий этап работы с задачей — это отыскание способа решения. Иногда после переформулировки условия учащиеся могут найти решение: происходит распознавание алгоритма («Это квадратное уравнение») или типа задачи (на совместную работу, однородное тригонометрическое уравнение и т. д.). Как правило, это самый трудный и самый важный этап решения.

Последним этапом решения является выражение решения в словах (устно или письменно). О том, что этот этап представляет особую трудность, иногда совсем не соответствующую трудности отыскания решения, свидетельствует поток просьб от учителей методистам: «Дайте образцы записи решений!» Учителю следует учитывать это и не путать умение решить задачу (в смысле найти способ решения) с умением записать (или рассказать) решение. Иногда последний этап оказывается настолько громоздким и сложным, что его педагогическая ценность оказывается несравнимой с затратой времени и усилий.

Ценность геометрических задач на доказательство связана с тем, что на каждом из отмеченных этапов можно организовать деятельность учащегося, приводящую к отысканию пути решения. Чтобы убедиться в этом, попробуем представить, как их решаем мы - те, кто умеет решать, и что мы делаем на каждом этапе (я здесь отступаю от традиции: в педагогике считается — и совершенно справедливо,— что учитель должен уметь «войти в образ» своего ученика, чтобы понять, как он думает, что чувствует. Но не менее полезно учителю заглянуть и внутрь самого себя, так как тогда можно понять, как объяснить ученику ход мысли).

Начну с первого шага — «понять условие». Представим себе, что мы сидим на уроке, где учитель, прочитав условие геометрической задачи, предлагает «думать», как решить эту задачу.

Прежде чем «думать», мы будем нечто делать, а именно схватимся за карандаш, хотя бы мысленно.

Вот в этом и состоит первое преимущество геометрических задач: на самом трудном, первом этапе решения вместо неопределенного «Думайте» можно дать учащимся конкретное указание о том, что надо делать, чтобы понять условие, а именно: «Сделайте чертеж». Это указание должно выводить учащихся на некоторый почти алгоритмический «кусок решения».

Отсюда следует несколько выводов.

Первый (относительно отбора задач): для самостоятельного решения нужно отбирать задачи, чертеж к которым основан на знакомой учащимся фигуре. Например, фигуры, изучаемые в курсе VII класса,— это пересекающиеся или параллельные прямые и отрезки, углы, треугольники (медиана, биссектриса, высота), окружность с диаметром, радиусом, хордами и касательной и др.

Второй вывод состоит в том, что умение строить чертежи этих фигур должно быть хорошо отработано, до навыка.

Третий вывод касается формулировки задачи. Иногда задача бывает сформулирована так, что не сразу понятно, на какой основной фигуре построен чертеж. Например, небезразлично, как сказано: «Точка К лежит на биссектрисе BD равнобедренного треугольника АВС с основанием АС...» или «В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на биссектрисе BD лежит точка К». Вторая формулировка проще, так как дает возможность строить чертеж параллельно с чтением условия. В первом же случае сначала нужно найти основную фигуру задачи.

Небезразлично и наличие или отсутствие буквенных обозначений в условии. Сравним, например, две формулировки одной задачи:

«Докажите, что точки, лежащие на боковых сторонах равнобедренного треугольника и равноудаленные от его вершины, равноудалены от середины его основания»

«В равнобедренном треугольнике АВС (АС — основание) точка D - середина основания, точки К и М лежат на боковых сторонах на равных расстояниях от вершины В. Докажите, что KD = MD».

В начале обучения для самостоятельного решения целесообразно давать условие с буквенными обозначениями, а в дальнейшем учащиеся должны будут сами вводить эти обозначения.

Таким образом, указание «Сделай чертеж» должно развернуться в такую схему: выделить основную фигуру, начертить ее, введя обозначения, и нанести дополнительные элементы.

Конечно, наглядные образы, всякие схемы и чертежи учитель использует не только на уроках геометрии. Например, решая задачу «на движение», учитель рисует на доске схему. Однако эта схема мало чем помогает, так как она не отражает адекватно условие задачи и только позволяет компактнее представить себе числовые данные. Природа же геометрических понятий такова, что они связываются со зрительными образами естественно, причем этот образ более или менее отражает все его существенные свойства.

Итак, в геометрических задачах можно на понятном для учащихся языке дать конкретное указание о том, что надо сделать для переформулировки условия, чтобы в нем легко было разобраться.

Поэтому уже простое выполнение чертежа делает возможным распознавание целого ряда понятий, не указанных в условии, а именно понятий, связанных с отношениями принадлежности и порядка. Традиционно в школьной практике эти отношения при решении задач распознаются, так сказать, «по образу». Например, начертив два отрезка АВ и CD, пересекающиеся в точке О, учащийся сразу называет углы АОС и BOD вертикальными (здравый смысл, традиции и опыт говорят о целесообразности такого подхода. Хотя для строгого дедуктивного изложения следовало бы аккуратно сослаться на определение).

Напротив, свойства фигур, связанные с отношением равенства, из чертежа усматривать ученик не должен. Поэтому следует учить учащихся воспринимать отрезки и углы на чертеже как равные только тогда, когда они отмечены специальными значками. Отсюда следующее указание ученику, опять-таки не на «думание», а на действие, которое выводит на путь отыскания решения: «Отметь на чертеже равные элементы, указанные в условии (прямо или косвенно)».

Поясню, что значит косвенно. Действительно, косвенно в условии указано очень многое, в том числе и то, что требуется доказать. Здесь же имеются в виду те отношения, которыми можно заменить имеющиеся в условии термины. (Например, говорится: «Точка О является серединой отрезка АВ», значит АО=ВО, или сказано: «биссектриса АК треугольника АВС», значит ВАК = CAK) На этом этапе решения учащиеся связывают с каждым из терминов определяющие его свойства.

Словесно и на чертеже: биссектриса — значит такие-то углы равны, треугольник ABC равнобедренный с основанием АС, значит АВ= ВС, ВК — высота треугольника АВС, значит ВКА= BКC = 90o, и т. п. Этой операцией — назовем ее условно «раскрытие термина» — учащиеся должны владеть на уровне навыка, делать ее автоматически.

Выполнение чертежа с обозначением равных элементов по сути дела уже является краткой записью условия, и записывать отдельно «Дано:» необязательно (для начала планиметрии придется только обозначить параллельность прямых. Перпендикулярность же лучше обозначить на чертеже «уголками»), но полезно как упражнение, особенно если запись ведется не чисто словесно, а с раскрытием терминов, например: «Дано:

▲ ABC — равнобедренный, т. е. АВ = ВС, BD — биссектриса, т. е.

ABD= CBD» и т. п. Однако, совершенно необходимо записать, что требуется доказать.

Итак, работа над условием происходит по схеме:

а) сделай чертеж;

б) отметь на нем равные элементы;

в) запиши, что надо доказать.

Такое первичное «раскрытие» условия и представление его на чертеже иногда оказывается достаточным для отыскания решения. Получается парадокс: собственно решать не начинали, а задача фактически решена.

Например, в задаче: «В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на биссектрисе BD лежит точка К. Доказать, что ▲АВК= ▲СВК» чертеж уже дает все необходимые данные для отыскания решения.

При отыскании пути решения одним из наиболее простых актов мышления, который встречается на всех уровнях — от жестко программированного до творческого, сопровождающегося «озарением»,— это перебор в той или иной форме, а вернее сказать, в той или иной степени организованный. При развитом умении решать задачу этот перебор происходит почти мгновенно, поэтому результат выдается быстро. При неумении перебор хаотичен, бессмыслен, не перебор, а гадание. Одна девочка очень комично (хотя ей было до смеха)

рассказывала, как она получила двойку на контрольной по физике: «Дали задачу, где одно число. Ну, было бы два — я бы их сложила. Или перемножила... А с одним что делать?!» В рассказе «Репетитор» Петя, прочтя условие задачи, ни слова не говоря, начинает делить одно число на другое. Интересно, что сами ученики понимают неправомерность такого «решения наугад» и, как ни парадоксально, это служит для них препятствием в тех случаях, когда действительно нужно просто угадать, сделав некоторый перебор. Например, при делении уголком» некоторые ученики стыдятся пробовать все цифры частного подряд и ждут, когда сосед найдет нужную. Так что при обучении решению задачи нужно научить учащихся целенаправленно проводить перебор.

Прежде всего надо, чтобы было из чего выбирать. В приведений выше задаче надо выбрать из трех возможных признаков равенства треугольников подходящий.

Общий случай задачи на доказательство сложнее: составляющие достаточного признака заключения могут не быть среди данных условия, а являться следствием из них.

Изменим, например, условие задачи : пусть требуется доказать равенство треугольников AKD и CKD. Уже эта простейшая модификация качественно меняет дело: исходных данных недостаточно для перекидывания мостика от условия к заключению. Они появятся только если использовать не только определяющие, а и другие свойства понятий, участвующих в задаче. В данном случае ученик должен вспомнить, что в равнобедренном треугольнике биссектриса является и высотой, и медианой. «Раскрыв» эти два термина, он и получит нужные данные.

Вот в этот момент очень важно удержаться от соблазна прямо подсказать учащемуся. Надо направить его мысль по нужному пути, дать такое указание, которое не лишало бы ученика возможности найти нужное звено самостоятельно. Таким указанием может быть следующее: «Отметь на чертеже все известные тебе свойства данных фигур».

Не беда, что такое полное раскрытие условия оказывается в большинстве случаев излишним и не все сведения будут использованы при решении. Рекомендовать учащемуся отразить на чертеже все известные ему свойства фигуры целесообразно для того, чтобы у ученика возникла проблема выбора. В этом случае он не будет лишен возможности самостоятельно найти переход от условия к заключению. Для этого ученик, «выжав» все, что можно из условия, должен обратиться к заключению и вспомнить все посылки, из которых его можно сделать. Для более сложных задач такого однократного раскрытия условия недостаточно (например, нужно дополнительное построение или предварительное доказательство неизвестного ученикам факта).

Отсюда следует вывод: для самостоятельного решения следует отбирать задачи, после полного раскрытия условия которых можно было бы замкнуть цепочку рассуждений, т. е. из известных учащимся свойств понятий, фигурирующих в задаче, образовать (скомбинировать) известный достаточный признак заключения.

По отношению к задачам первых тем курса геометрии (кончая темой «Четырехугольники») это требование действительно выделяет определенный класс задач, посильных для учащихся.

В курсе планиметрии основным способом, помогающим организовать материал, усвоить всю совокупность свойств фигуры, является создание некоторого образа, связываемого с понятием. В самом деле, что мы представляем себе, когда произносим или читаем слово «параллелограмм»? Обычно стандартный параллелограмм, с диагоналями, которые в точке пересечения делятся пополам. Созданию такого образа помогает многократное выполнение одного и того же чертежа, на котором все свойства видны. Этому способствуют и такие методические приемы, как обзор всех свойств, приводимый учителем, или опрос не по отдельным свойствам или теоремам, а по всей совокупности свойств фигуры: «Что ты знаешь о равнобедренном треугольнике?», «Перечисли все свойства параллелограммов» и т. д.

Итак, в основе умения отыскать путь решения задачи лежат не просто знания, а хорошо организованные, системные знания, при которых усвоены не только отдельные факты, но и связи между ними.

Поэтому обучение учащихся самостоятельному решению задач требует определенной методики изучения теоретического материала курса, основанной на системном усвоении понятий: каждое математическое понятие есть некоторая некоторая система свойств и отношений, обладающая всеми признаками со структурностью, иерархичностью и др.). В этом выражается неразрывность двух сторон обучения: усвоение теоретического материала необходимо для успешного решения задач так же, как и решение задач необходимо для сознательного усвоения теорем.

Литература:

1.Зильберберг математики:Подготовка и проведение:Кн. для учителя.-М.: Просвещение:ао «Учеб. Лит.»,1995.

2. Повышение эффективности обучения математике в школе:Кн. Для учителя: Из опыта работы/Сост. Г.Д. Глейзер.-М.:Просвещение,1989.

3. Саранцев в обучении математике.-М.:Просвещение,1995.

4. О системе работы учителя математики:(Метод. рекомендации по организации учеб. процесса).М.:Просвещение,1984.