Руководство к решению задач по математическому анализу Методические указания для студентов специальности «Менеджмент организаций» (дневное и заочное отделения экономического факультета РГУ) (стр. 2 )

Чтобы записать теперь дифференциал второго порядка в заданной точке (1;1), вычислим значения производных в этой точке, а затем применим (3.12):

; ; ;

.

3.4. Производная по направлению и градиент. Пусть — функция двух переменных, определенная в некоторой области D, M(x,y) – произвольная точка этой области, – некоторое направление (вектор, соединяющий

Рис.1

начало координат с точкой (a,b) и передвинутый параллельным переносом из начала координат в точку M). Через a и b обозначим углы, образованные вектором направления с положительными направлениями осей OX и OY. Так как (см. рис. 1) , то справедливы формулы , . (3.13) При этом и называются «направляющими косинусами».:

Производная функции по направлению в точке M задает скорость изменения функции в этом направлении и может быть найдена по формуле

. (3.14)

Градиентом функции в точке M называют вектор с координатами, равными значениям частных производных первого порядка в этой точке:

. (3.15)

Он определяет направление наискорейшего возрастания функции, а его величина, которую находят по формуле

, (3.16)

совпадает с максимальной скоростью возрастания функции в данной точке.

Пример 3.7. Пусть . Найти градиент функции в точке M(3;1), величину градиента функции в этой точке и производную функции в той же точке по направлению .

Решение. Предварительно находим частные производные функции первого порядка и их значения в заданной точке:

Теперь воспользуемся формулами (3.15) и (3.16):

; .

Далее, , поэтому в силу (3.13) , , и в силу (3.14):

.

Замечание. Решение других задач, связанных с дифференцированием, можно найти в [1, стр.12-14], [2, стр.18-22], [3, стр.22-27], [4, стр.14-16].

§ 4. Исследование функций

4.1. Интервалы монотонности и точки экстремума функции . Как известно, характер монотонности функции на числовом интервале (a, b) связан со знаком ее производной на этом интервале (если при всех x из (a,b), то функция возрастает, а если при всех x из (a,b), то убывает). Далее, пусть X – область определения функции и . Если для всех x из некоторой окрестности точки выполняется неравенство (или ), то число M (m) называется локальным максимумом (локальным минимумом) функции , а сама точка - точкой локального максимума (локального минимума). Оба числа объединяются термином «экстремум функции» (соответственно, говорят и о «точках экстремума»).

При решении задач на поиск экстремумов функции одного переменного придерживаются следующей схемы рассуждений.

1) Установить область определения функции .

2) Найти ее первую производную.

3) Выяснить, в каких точках из области определения производная обращается в нуль (т. е. решить уравнение f’(x) = 0 ) Такие точки называются стационарными. Найти значения x, при которых функция определена, а производная – нет (эти точки в дальнейшем называются критическими).

4) Определить знак производной на числовых интервалах, на которые стационарные и критические точки разбили область определения, сделать выводы о характере монотонности.

5) Если при переходе через найденную точку производная знак не меняет, то не является точкой экстремума; если в окрестности точки слева от нее, а справа , то - точка максимума исходной функции и ; если же в окрестности слева и справа, то - точка минимума исходной функции и .

Пример 4.1. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее производная имеет вид и также определена при всех x. Из уравнения находим стационарные точки: , . Составляем таблицу для числовых интервалов и определяем знак производной. Для этого, наряду с другими способами, можно ограничиться вычислением значения производной в промежуточных точках полученных интервалов. Например, , . Считаем также значения функции в найденных точках: , . Данные собираем в таблицу, в последней строке которой указываем характер монотонности функции:

X		–1		1
	—	0	+	0	—
Поведение f(x)		-2		2
Вывод	Убыв.	Т мин.	Возр.	Т. макс.	Убыв.

Итак, f возрастает на интервале , убывает на интервалах и , имеет точку локального минимума x=-1 (при этом ) и точку локального максимума x=1 ().

Пример 4.2 Найти экстремумы функции .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, кроме x=-2. Дифференцируя частное, получаем, что . Очевидно, что производная также определена при всех x, кроме x=-2 (критическая точка). Из уравнения находим стационарные точки: , . Составляем, как и выше, таблицу для числовых интервалов и устанавливаем знаки производной (можно заметить, что знаменатель всегда положителен, а потому знак производной зависит только от числителя). Определяем также значения функции в найденных точках и собираем данные в таблицу.

x		–4		-2	(-2,0)	0
	+	0	—	Не сущ.	—	0	+
Повед.f(x)		-8		Не сущ.		0
Вывод	Возр.	Т макс.	Убыв.		Убыв.	Т. мин.	Возр.

Таким образом, x=-4 – точка локального максимума и , x=0 – точка локального минимума ().

Следует обратить внимание на то, что данный пример иллюстрирует «локальность» экстремума (в частности, оказывается, что).

Пример 4.3. Найти экстремумы функции .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее производная имеет вид . При этом производная не определена там, где в нуль обращается знаменатель, т. е. при x=0. Эта точка является критической. Стационарных точек нет, так как в числителе стоит постоянное число, и потому дробь не обращается в нуль. Учитывая, что знак производной совпадает со знаком , а потому и со знаком x, получаем, что слева от x=0 (там, где x<0) , а справа . Поэтому x=0 – точка минимума исходной функции, и .

4.2. Наибольшее и наименьшее значение функции одного переменного на числовом отрезке. Пусть y=f(x) – функция, определенная на отрезке [a;b]. Если f(x) непрерывна на этом отрезке, то существуют точки и , в которых функция достигает своего максимального и минимального значений (на отрезке!). Этими точками могут быть либо внутренние критические точки (из (a;b)), либо граничные. Поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на числовом отрезке придерживаются следующего алгоритма.

1) Найти первую производную f’(x).

2) Найти стационарные и критические точки и выбрать те из них, которые попадают в отрезок [a;b].

3) Сравнить значения функции в найденных точках и на границах (т. е. в точках x=a, x=b), выбрать наибольшее и наименьшее значения. Характер экстремума не определять!

Пример 4.4. Найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке [1;4].

Решение. , причем производная определена всюду, критических точек нет. Чтобы найти стационарные точки, приравниваем производную к нулю: . Итак, и - стационарные точки. При этом , а , поэтому последняя точка нас не интересует. Вычисляем значения исходной функции в выбранной точке и на концах отрезка: ; ; .

Сравнивая значения, получаем: , .

При решении задач практического характера полезно пользоваться следующим фактом.

Утверждение. Пусть функция определена на открытом числовом интервале (a;b) и имеет на нем единственную стационарную точку . Если - точка локального максимума, то ; если - точка локального минимума, то

Пример 4.5. Предприятие выпускает некий товар в объеме, превосходящем 1 кг. Прибыль (в у. е.) зависит от объема выпущенного товара () и определяются формулой . Найти объем производства товара, при котором прибыль будет максимальна.

Решение. В силу условий задачи функция, максимум которой нас интересует, определена на интервале . Найдем производную этой функции и приравняем к нулю: . Решив квадратное уравнение, получим два корня: . Очевидно, что условию задачи удовлетворяет только первое значение (13>1, 1/3<1). Сравнив знаки производной слева и справа от точки , получим, что это точка максимума. Находим максимальное значение F(x) на заданном интервале:.

Итак, при объеме производства в 13 единиц прибыль будет максимальной и составит 1010 у. е.

4.3. Направления выпуклости графика функции одного переменного. Рекомендуется придерживаться следующего алгоритма:

1) Установить область определения функции .

2) Найти вторую производную .

3) Выяснить, в каких точках из области определения вторая производная обращается в нуль (т. е. решить уравнение ).

4) Установить знак второй производной на числовых интервалах, на которые найденные точки разбили область определения, и определить направления выпуклости (если , то график функции направлен выпуклостью вверх, т. е. Ç; если - выпуклостью вниз, т. е. È).

5) Если при переходе через найденную точку направление выпуклости меняется, то точка называется точкой перегиба графика функции.

Пример 4.6. Найти направления выпуклости и точки перегиба графика функции .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее производная имеет вид , а вторая производная (она также определена при всех x). Из уравнения находим точки: , . Составляем таблицу для числовых интервалов, определяем знак второй производной и характер выпуклости графика заданной функции. Заметим, что :

x
	—	0	+	0	—
Вывод	График направлен выпуклостью вверх, Ç	5/36	График направлен выпуклостью вниз, È	5/36	График направлен выпуклостью вверх, Ç

Таким образом, точки и — точки перегиба.