Руководство к решению задач по математическому анализу Методические указания для студентов специальности «Менеджмент организаций» (дневное и заочное отделения экономического факультета РГУ) (стр. 3 )

4.4. Построение эскиза графика функции одного переменного. Полное исследование функции проводится по следующему плану.

1. Найти область определения функции y=f(x).

2. Проверить наличие у исследуемой функции дополнительных свойств (четность, нечетность, периодичность). В случае, когда, например, функция является нечетной (четной), достаточно проводить исследования и строить эскиз графика при с последующим симметричным его отображением (относительно начала координат для нечетной функции или относительно оси OY для четной).

3. Определить координаты точек пересечения графика функции с осями координат (для нахождения точки пересечения графика с осью OX решаем уравнение f(x)=0; для нахождения точки пересечения графика с осью OY подставляем в аналитическое выражение функции значение x=0).

4. Определить, где функция f(x) является непрерывной; установить точки разрыва и найти и . Если хотя бы один из этих пределов равен бесконечности, то прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции.

5. Найти и с ее помощью определить интервалы монотонности функции, точки экстремума и экстремальные значения.

6. Найти , с ее помощью определить направления выпуклости графика функции и найти точки перегиба.

7. Найти наклонные асимптоты графика. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b, где k и b находятся по формулам

(4.1)

(предполагается, что эти пределы существуют и конечны).

В некоторых случаях пределы в (4.1) приходится вычислять отдельно при и

8. Собрать всю информацию и построить эскиз графика.

Пример 1.4.7. Провести полное исследование и построить график функции .

Решение. Придерживаемся предложенной схемы исследования.

1. Функция определена при всех вещественных x, кроме x = -2.

2. Область определения не симметрична относительно начала координат, поэтому свойством четности или нечетности функция не обладает (заметим, что в случае симметричности области определения необходимо проверить выполнение одного из равенств: f(-x)=f(x) или f(-x)=-f(x)). Исходная функция не является и периодической.

3. Решая уравнение f(x)=0, находим, что график функции пересекает оси координат в точке (0,0).

4. В силу свойств непрерывных функций функция непрерывна там, где определена, т. е. при всех вещественных x, кроме x = -2. Поскольку

,

то x = -2 – точка разрыва второго рода, а прямая x = -2 является вертикальной асимптотой графика. Кроме того, заметим, что , .

5. Необходимые расчеты, связанные с исследованием первой производной, были проведены при решении примера 4.1. В частности, была найдена первая производная , определены точки экстремума и значения функции в них: x = -4 – точка максимума, графику принадлежит точка (-4, f(-4)), т. е. (-4;-8); x = -4 – точка минимума, графику принадлежит точка (0, f0)), т. е. (0;0). Кроме того, из таблицы следовало, что f(x) возрастает на интервалах и , а убывает на интервалах и

6. Найдем теперь вторую производную:

Очевидно, что знак второй производной зависит только от знака знаменателя. При x>-2 и график направлен выпуклостью вниз, а при x>-2 и график направлен выпуклостью вверх.

7. Найдем теперь уравнение наклонной асимптоты. По первой из формул (4.1) получаем:

(поступали так же, как при решении примера 1.1). Далее,

(аналогично). Таким образом, прямая – наклонная асимптота.

Эскиз полученного графика приведен на рис.2.

Рис.2

4.5. Экстремумы функции двух переменных. Сразу отметим, что само определение локальных экстремумов функции фактически не отличается от случая функции одного переменного (только теперь точками локального экстремума будут точки вида ). Алгоритм поиска состоит в следующем.

1) Установить область определения функции.

2) Найти ее частные производные первого порядка и приравнять их к нулю, т. е. решить систему уравнений

.

Решения этой системы дадут координаты стационарных точек.

3) Найти частные производные второго порядка для исследуемой функции и вычислить их значения в найденных ранее стационарных точках вида .

4) Найти для каждой стационарной точки числовые характеристики:

(4.2)

5) Если , то - точка локального минимума исходной функции и ; если , то - точка локального максимума исходной функции и ; во всех остальных случаях не является точкой экстремума.

Пример 4.8. Найти экстремумы функции .

Решение. Функция определена при всех парах (x,y). Найдем частные производные первого порядка, приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

, ;

.

Отсюда получаем, что y = -1 и x = 4.

Итак, найдена стационарная точка M(4;-1). Находим частные производные второго порядка:

; ;

.

В данном случае производные от x, y не зависят, поэтому и для стационарной точки M(4;-1) имеем: ; ; . В силу (.4.2) , поэтому M(4;-1) является точкой локального экстремума исходной функции. Далее, , следовательно, M(4;-1) – точка локального максимума f(x,y), и

Пример 4.9. Найти экстремумы функции , считая, что x>0 и y>0.

Решение. Область определения функции задана в условии. Найдем частные производные первого порядка: , . Далее, решаем систему уравнений (учитывая условие x>0, y>0):

Итак, определена стационарная точка M(1;1). Находим частные производные второго порядка: ; ; . Вычисляем их значения в точке M: ; ; . Подставляем в (4.2). Так как , то M(1;1) – точка экстремума; поскольку , то она является точкой локального минимума исходной функции и .

4.6. Понятие об условном экстремуме функции двух переменных. При решении примера 4.9 мы столкнулись с тем, что на переменные было наложено дополнительное ограничение. Фактически это была задача поиска условного экстремума функции , которая в общем случае ставится следующим образом: найти экстремумы функции , если известно, что переменные удовлетворяют условиям , ,..., . Для решения подобных проблем существует специальная теория, однако в некоторых ситуациях задачу удается свести к поиску обычного экстремума функции одного переменного.

Пример 4.10. Найти экстремум функции при условии .

Решение. Из условия выразим y и подставим в формулу, задающую функцию: , а потому .

Мы получили функцию одного переменного, которую исследуем по схеме, разобранной в п.4.1. Функция определена при всех x. Приравнивая к нулю производную, получаем: . Далее определяем знак производной на интервала и строим таблицу:

x		-5/3		1
	+	0	—	0	+
Вывод	Возр.	Т. макс.	Убыв.	Т. мин.	Возр.

Для известных значений x найдем соответствующие им значения y: при x=1 y=2; при x=-5/3 y=14/3. Существующие в теории утверждения позволяют говорить о том, что точка M(1;2) будет точкой минимума исходной функции , а точка N(-5/3;14/3) – точкой максимума этой функции. Соответственно,

, .

Замечание. Различные задачи на исследование функций одного и двух переменных разбираются также в [1, стр.14-18], [2, стр.14-18], [3, стр.27-32], [4, стр.16-19].

§ 5. Интегралы и их приложения

5.1. Основные определения и формулы. Функция F(x) является первообразной функции f(x), если на некотором множестве X выполняется равенство F¢(x)=f(x). Совокупность всех первообразных для f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается . При этом, если F(x) – какая-либо из первообразных f(x), то , константа C пробегает все множество действительных чисел. В таблице 2 на стр. 26 приводятся основные формулы, в которых u=u(x).

Таблица 2

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

Очевидно, что формулы 10), 12) и 14) являются частными случаями формул 11), 13) и 15) соответственно.

Если f(x) – функция, непрерывная на отрезке [a;b], то существует определенный интеграл от этой функции, который можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница:

, (5.1)

где F(x) – какая-либо первообразная для f(x). В отличие от неопределенного интеграла (представляющего собой множество функций) определенный интеграл – некоторое число.

И неопределенный, и определенный интегралы обладают свойством линейности (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла):

,

.

Пример 5.1. Найти: а) ; б) .

Решение. В задании а) подынтегральную функцию сначала упрощаем, разделив почленно каждое слагаемое из числителя на знаменатель, затем используем свойство линейности и «табличные» формулы 1)-3):

В задании б), помимо линейности и «табличных» формул 3), 9), 1), используем формулу Ньютона-Лейбница (5.1):

5.2. Внесение под знак дифференциала и замена переменной. Можно заметить, что иногда часть подынтегральной функции образует дифференциал некоторого выражения, что позволяет применять табличные формулы.

Пример 5.2 Найти: а) ; б) .

Решение. В примере а) можно заметить, что , а затем воспользоваться формулой 5) при u=lnx:

В случае б) , а потому в силу 11) при получим:

Замечание 1. При внесении под знак дифференциала полезно, наряду с использованными выше, учитывать следующие соотношения:

; ; ; ; ;

; ; ; .

Замечание 2. Интегралы из примера 5.2. можно было найти и с помощью замены переменной. При этом в определенном интеграле следует менять и пределы интегрирования. Преобразования в 5.2.б) выглядели бы, например, так:

В общем случае выбор замены определяется видом подынтегральной функции. В некоторых случаях рекомендуются специальные замены. Например, если в выражении присутствует иррациональность вида , то можно положить или .

Пример 5.3 Найти: а) ; б) .

Решение. В случае а) имеем

(после замены применили табличную формулу 11)).

При решении б) обязательно проводим замену пределов интегрирования.

5.3. Интегрирование по частям. В ряде случаев помогает «формула интегрирования по частям». Для неопределенного интеграла она имеет вид

, (5.2)

для определенного

, (5.3)

При этом важно учитывать следующее.

1) Если подынтегральная функция содержит произведение многочлена от x на функции , то в качестве u выбирается многочлен, а оставшееся под знаком интеграла выражение относится к dv.

2) Если подынтегральная функция содержит обратные тригонометрические ( ) или логарифмические ( ) функции, то в качестве u выбирается одна из них.

Пример 5.4. Найти: а) ; б) .

Решение. В случае а) применяем формулу (5.2) и второе правило. Именно, полагаем . Тогда . Далее, , а потому . Следовательно, . В полученном интеграле выделим целую часть подынтегральной функции (так поступают, когда степень числителя не меньше степени знаменателя):

.

Окончательно решение выглядит так:

В примере б) используем (5.3) и первое из правил.

5.4. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Основные идеи заключаются в выделении в квадратном трехчлене полного квадрата и в проведении линейной замены, позволяющей свести исходный интеграл к табличным вида 10)-16).

Пример 5.5. Найти: а) ; б) ; в) .

Решение. В случае а) действуем следующим образом:

,

поэтому (с учетом 13) )

При решении примера б) потребуются дополнительные преобразования, связанные с присутствием переменной в числителе подынтегральной функции. Выделив полный квадрат в знаменателе (), получим:

Для второго из интегралов в силу 11) (табл.2) имеем: . В первом интеграле проведем внесение под знак дифференциала:

.

Таким образом, собирая все вместе и возвращаясь к переменной x, получаем:

В примере в) также предварительно выделяем полный квадрат:

.

Далее проводим замену переменной () и окончательно имеем:

5.5. Интегрирование простейших тригонометрических функций. При интегрировании выражений вида (где m и n – натуральные числа) рекомендуется принимать во внимание следующие правила.

1) Если обе степени четные, то применяются формулы «понижения степени»: ; .

2) Предположим, что какое-либо из чисел m и n – нечетное. Например, n=2k+1. В этом случае одну из степеней функции cosx «отщепляют», чтобы внести под знак дифференциала (т. к. ). В оставшемся выражении с помощью основного тригонометрического тождества выражают через (). После преобразования подынтегрального выражения (и с учетом свойства линейности) получается алгебраическая сумма интегралов вида , каждый из которых можно найти с помощью формулы 2) из таблицы 2: .

Кроме того, в некоторых случаях полезны также формулы

; (5.4)

; (5.5)

. (5.6)

Пример 5.6. Найти: а) ; б) ; в) .

Решение. а) В подынтегральную функцию входит нечетная (5-я) степень sinx, поэтому действуем по второму правилу, учитывая, что .

В примере б) воспользуемся формулой (5.4), линейностью неопределенного интеграла, равенством и табличной формулой 4):

В случае в) последовательно понижаем степень, учитываем линейность, возможность внесения константы под знак дифференциала и нужные табличные формулы:

5.6. Приложения определенного интеграла. Как известно, криволинейной трапецией, соответствующей неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f(x), называется область, ограниченная графиком функции y=f(x), осью OX и двумя вертикальными прямыми x=a, x=b. Коротко это можно записать так: (см. рис.3).

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что площадь такой криволинейной трапеции вычисляется по формуле

(5.7)

Если область на плоскости имеет вид (см. рис.4), причем от обеих функций требуется только непрерывность, то справедлива формула

. (5.8)

Рис. 3 Рис. 4

Пример 5.7. Найти площадь области, ограниченной:

а) осью ОХ и линиями ;

б) графиками функций .

Решение. Предварительно необходимо построить соответствующие графики и определить область, площадь которой нужно найти. Для случая а) это сделано на рис.5 (стр.35). Очевидно, что заштрихованная область представляется в виде объединения двух криволинейных трапеций: и . Здесь – абсцисса точки пересечения графиков функций . Нужное значение найдем, решая соответствующую систему уравнений:

Таким образом, выбираем решение (с учетом того, что ). Площади криволинейных трапеций и находим по формуле (5.7), а затем суммируем, чтобы получить область всей интересующей нас области:

.

В случае б) графики и область, площадь которой надо найти, изображены на рис.6 (стр.35). Очевидно, что мы имеем дело с объединением двух областей. При этом (эта криволинейная трапеция состоит из двух симметричных относительно оси OX частей, поэтому , где ) и . Как и выше, и - абсциссы точек пересечения графиков, которые находим, решая систему уравнений:

откуда и . Для вычисления площади криволинейной трапеции применяем формулу (5.7), для вычисления площади - (5.8):

Окончательно имеем:

Замечание. Другие примеры, связанные с нахождением неопределенных и определенных интегралов и определением площадей плоских областей можно найти в [1, стр.19-24], [2, стр.3-8] и [4, стр.3-11].

Рис. 5 Рис.6

Литература

1. , Спинко здания по математическому анализу. Метод. Указания для студентов заочного отделения экономфака РГУ. Часть I. - Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1999.

2. , Спинко здания по математическому анализу. Метод. Указания для студентов заочного отделения экономфака РГУ. Часть II. - Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 2001.

3. , , Подпорин , пределы, производные. Методические указания для студентов ОЗО экономического факультета. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1989.

4. , , Подпорин интеграл, функции многих переменных, ряды, дифференциальные уравнения. Методические указания по курсу математического анализа для студентов ОЗО экономического факультета. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1991.

5. , Демидович курс высшей математики. М., 1989 (и позднее).

6. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н. Ш Кремера. М.: Банки и Биржи, ЮНИТИ. 1998 (и позднее).

7. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. . М.: ИНФРА-М. 2000.

8. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. -кова. М.: ИНФРА-М. 2001

9. Фоменко анализ. Часть I. Ростов-на-Дону. 2001

10. Налбандян для домашних контрольных работ для студентов специальности «менеджмент организаций» (заочное отделение экономического факультета РГУ). Ростов-на-Дону, 2004.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение............................................................................................................. 3

§ 1. Вычисление пределов................................................................................. 3

1.1. Основные теоретические положения.................................................. 3

1.2. Раскрытие неопределенностей вида .......................................... 4

1.3. Раскрытие неопределенностей вида ........................................ 5

1.4. Раскрытие неопределенностей вида ........................................... 6

§ 2. Классификация точек разрыва.................................................................. 7

§ 3. Дифференцирование функций................................................................... 8

3.1. Правила дифференцирования функций одного переменного.......... 8

3.2. Правило Лопиталя вычисления пределов......................................... 11

3.3. Правила дифференцирования функций двух переменных............... 13

3.4. Производная по направлению и градиент........................................ 15

§ 4. Исследование функций............................................................................... 17

4.1. Интервалы монотонности и точки экстремума функции y=f(x)........ 17

4.2. Наибольшее и наименьшее значения функции
одного переменного на числовом отрезке............................................... 19

4.3. Направления выпуклости графика функции одного переменного... 20

4.4. Построение эскиза графика функции одного переменного.............. 21

4.5. Экстремумы функции двух переменных........................................... 23

4.6. Понятие об условном экстремуме функции двух переменных......... 25

§ 5. Интегралы и их приложения..................................................................... 26

5.1. Основные определения и формулы................................................... 26

5.2. Внесение под знак дифференциала и замена переменной................. 27

5.3. Интегрирование по частям................................................................. 29

5.4. Подынтегральные выражения, содержащие квадратный трехчлен. 30

5.5. Интегрирование простейших тригонометрических функций........... 31

5.6. Приложения определенного интеграла............................................. 33

Литература........................................................................................................ 35