Математические олимпиады школьников (стр. 2 )

(6 баллов)

11 класс

1. Определите все значения параметра а, при которых система, состоящая из двух уравнений х2 + у + 5 = 4х; ху + 2у2 = 0 имеет только одно решение, удовлетворяющее условию: х2 + у2 £а2

(4 балла)

2. Если в правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен β, а двугранный угол при боковом ребре равен α, то 2cos α +3cos2 β =1 Докажите.

(5 баллов)

3. Из трех различных цифр X, Y, Z образованы всевозможные трехзначные числа. Сумма этих чисел в три раза больше трехзначного числа, каждая цифра которого есть X. Найдите цифры X, Y, Z.

(4 балла)

4. Через точку, взятую внутри треугольника, провели три разреза по прямым, параллельным сторонам треугольника. В результате треугольник распался на части, среди которых три треугольника.

Докажите, что если S1, S2, S3- площади этих треугольников, a S - площадь самого исходного треугольника, то

(6 баллов)

7. Шахматный король, начав с некоторого поля шахматной доски, обошел все остальные ее поля, побывав на каждом из них ровно по одному разу. Когда соединили центры полей, которые он последовательно проходил, получилась ломаная без самопересечений. Какую наибольшую длину она может иметь, если сторона клетки шахматной доски равна 1? (Король ходит по обычным правилам).

(6 баллов)

Указания и решения

7 класс

1. При n >1 число2n кратно 4 и 22n +32n =24k +34k =16k +81k,

где k - натуральное число. 16 при любом натуральном k оканчивается на 6, 81 - на 1. Значит, последняя цифра суммы 22n+32n есть 7.

2.  43х + 75у = (Зх + 7у) • 8 + (х + у) 19, где каждое слагаемое делится на 19.

3.  Ответ: 64 дм2 .

Если обозначить через S площадь удаленной части, то (172- S)-(152- S)-289 - S - 225 + S = 289-225 = 64 (дм2).

4. Ответ: 15 монет, 20 монет, 5 монет.

1)  25 • 3 = 75 (монет) - стоимость всех пяти пакетиков ирисок.

2)  75 : 5 = 15 (монет) - стоимость 1 пакетика.

3)  3 •= 20 (монет) - отдать Коле.

4)  2 • 15 — 25 = 5 (монет) - отдать Вите.

5. Ответ: нельзя.

Произведение 17 • 15 дает число телефонных проводов, соединяющих телефоны, взятое дважды, т. к. при таком счете каждый провод, например, АВ (см. рис.) был бы посчитан дважды: один раз при счете проводов, исходящих от данного телефона А, а другой раз - при счете числа проводов, исходящих из соседнего с ним телефона В. Между тем, 17 • 15 -число нечетное.

8 класс

1.  Согласно завещания, мать должна получить в 2 раза больше дочери, а сын - в 2 раза больше матери. Поэтому наследство должно быть поделено в отношении 4:2:1.

2.  Ответ: 24 года, 40 лет.

Примем за 1 возраст сестры в то время, когда брат был в ее теперешнем возрасте, тогда брат старше сестры на две такие части. Так как сейчас возраст сестры состоит из трех таких частей, то возраст брата состоит из 5 таких частей. Когда сестра будет в возрасте брата, то ее возраст будет состоять из 5 частей, а брата - из 5 + 2 = 7 частей. Им вместе 96 лет или 5 + 7 = 12 частей. На 1 часть приходится 8 лет. Теперь сестре 8 • 3 = 24 года, а брату 8 • 5 = 40 лет.

3.

Т. к. SABNSABCД=SCBM, то

SBMC=SBNC+SAДN(*)

Вычтем из левой и правой частей (*) сумму

SPMQ + SBRC

и получим требуемое:

SBPQR=SRNC+SAPM+SMQNД

4. Ответ: - 1.

Указание: освободиться от иррациональности в знаменателе каждой дроби.

5. Ответ: нельзя.

Направив прямую по горизонтали или вертикали, мы не получим случая максимального числа пересечения. Значит, прямая идет наклонно (см. рис.)

						3	2	1

Чтобы прямая могла перейти из одной клетки в соседнюю, она должна пересечь границу этих соседних клеток, т. е. либо одну из внутренних горизонталей, либо одну из внутренних вертикалей. И таких переходов будет столько, сколько пересечений взятой прямой с внутренними горизонталями и вертикалями, а их максимум может быть + Общее число пересекаемых прямой клеток (вместе с исходной) не превышает числа (20-1) + (+ 1 =49.

9 класс

1. Ответ: п = 5 либо п = 11.

Пусть а и в - два корня уравнения х2 - 7 пх + 150 = 0. По формулам Виета а • в= 150, а + в = 7 п.

Так как n натуральное, то а • в и а + в - положительны, а тогда а и в - положительны. Пусть для определенности а ≥ в . Из равенства а • в = 150 получаем, что имеет место одна из возможностей:

1) а = 150; в = 1 ; 2) а = 75 ; в = 2 ; 3) а = 50 ; в = 3 ;

4) а = 30; в = 5; 5) а = 25; в-6; 6)а=15; в =10.

Простейший перебор показывает, что во 2) и 4) случаях сумма а + в делится на 7.

Следовательно, либо 2) а + в = 77, т. е. п = 11, либо 4) а + в = 35, т. е. п = 5.

Обратно, если п = 5, то данное уравнение имеет два целых корня (а = 30; в = 5), и, если п = 11, то данное уравнение имеет также два целых корня (а = 75; в = 2).

2.

1) Если АВ не перпендикулярно MN, задача имеет единственное решение:

-  строим точку A1 , симметричную точке А относительно прямой MN;

-  прямая А1В в пересекает MN в точке К;

-  угол между прямыми АК и KB поделится прямою MN пополам (нужно доказать).

2) Если AB ┴MN, то:

а) если АВ пересекается с MN в точке F, причем AF = FB, то задача имеет бесконечное множество решений (пара прямых АК и ВК, где К - любая точка прямой MN);

б) в других случаях задача решений не имеет.

3. Ответ: 1 мин.50 сек.

За 10 сек., которые Петя проехал, после того как заметил Васю в некотором месте А, трамвай увез Петю от А на расстояние, которое он способен пройти за 50 сек. За те же 10 сек. Вася ушел от А в противоположном направлении на расстояние, проходимое Петей за 5 сек. Таким образом, Петя, выпрыгнув из вагона трамвая, будет находиться позади Васи на расстоянии, которое он (Петя) способен пройти за 55 сек. За каждую секунду Петя будет уменьшать расстояние, отделяющее от Васи, на путь, который он сам проходит за полсекунды (т. к. за эту секунду Вася пройдет вдвое меньший путь, чем Петя, т. е. путь, который Петя проходит за полсекунды). Значит, Петя догонит Васю через

55 : = 110 сек = 1 мин. 50 сек.

4. Ответ: 5 см.

По теореме косинусов: у2=81 + х2 - 9х

у2 = 81 + (х + 1)2-9(х + 1)

откуда х = 4. Наборщик набрал 4+1=5 (см)

5. Ответ: в каждого - по одному.

Пусть в Вифслу попало x снежков, в Хемуля h, в Тофслу -1.

Тогда все вместе они кинули 6x + 5h + 4t + 1 снежков, что должно совпасть с x + h –t+13, откуда 5x + 4h + 3t = 12. Это уравнение имеет в целых неотрицательных числах три решения: (1 ; 1 ; 1), (0 ; 0 ; 4) и (0 ; 3 : 0), из которых условию задачи удовлетворяет только x = h = t = 1.

10 класс

1. Ответ:

Определим допустимые значения х:

sinx-│sin x│¹ 0, │sin x│ ¹ sin x? sin x <0

Учитывая, что sin x < 0, то │sin x│=-sin x? │cosec x│ =-cosec x

И уравнение после упрощения имеет вид:

; -sin x+cos x=0; ctd x =1

Учитывая, что sin x<0, получим х =

2. Ответ 2,4.

Отношение периметра к гипотенузе будет максимальным, если максимальным будет значение выражения:

Найдем максимальное значение квадрата этого выражения:

Следовательно, y 2 max=1+ =2; утах=

Таким образом тах

3. Ответ: 30.

Согласно теореме Виета а + в = 2с (1)

ав = -5d (2)

c + d = 2a (3)

cв = -5в (4)

Из (1) и (3) видно, что d, а, c, в в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию, и можно положить:

d= U-3Ŭ; a=U- Ŭ; С=U+ Ŭ; в=U+3 Ŭ, где 4U=а+в+с+d; Ŭ=

Тогда равенства (2) и (4) перепишутся в виде:

(U-Ŭ)(U+3Ŭ)= -5(U-3Ŭ) (5)

(U+Ŭ)(U-3Ŭ)=-5(U+3Ŭ) (6)

Вычитая (6) из (5), после упрощения, получим

4UŬ=30Ŭ, т. к. Ŭ¹0, то 4U=30, т.е. а+в+с+d=30

Из подобия треугольников АСД и АСВ имеем

Из подобия треугольников СДВ и АСВ имеем

5. Допустим, что каждому мальчику до станции нужно идти 1 час. Степан в 6ч.55 мин. подумал, что он может выйти в 7 ч.20 мин., ибо, по его мнению, часы спешат на 25 мин. В действительности же в этот момент будет 7 ч.30 мин., т. к. его часы отстают на 10 мин., значит, на станцию он придет в 8 ч.30 мин., тем самым опоздает на поезд на 30 мин. Михаил подумал, что в 6 ч. 55 мин. (за час до встречи) его часы должны показывать 6 ч. 45 мин., так как они отстают на 10 мин. На самом деле будет 6 ч. 40 мин., ибо часы спешат на 5 мин. Значит, Михаил придет на станцию в 7 ч.40 мин., т. е. за 20 мин. до отправления поезда.

11 класс

1. Перепишем второе уравнение таким образом:

у (х + 2у) = 0.

Отсюда у = 0, либо х + 2у = 0. При у = 0 первое уравнение системы

примет вид: х -4х + 5 = 0 и решений не имеет.

Во втором случае: х = -2у;

4у2 + у + 5 = -8у ; y1 = -1; у2 = ; x1 = 2; х2 =- . Если первая пара чисел (2;-1) удовлетворяет условию, то х2 + у £ а2 , то аÎ(-¥;-Ö5] U [√5;¥)

Когда вторая пара чисел ( ; ) удовлетворяет тому же условию, то

И одно решение система будет иметь при

2. Пусть S - площадь основания, S1 площадь боковой грани пирамиды. Тогда S = 3 S 1 × cosβ. S1=2S1cosa+ Scosβ S1=2S1cosa+3S1cos2β,

откуда 2 cosa+3 cos2β = 1

3.

1) Положим, ни одна из цифр не равна 0, тогда получим уравнение:

(A)

222х + 222у + 222z = 333х

222у +222z= lllx

2(у +z) = lllx, значит x - четное число, у и z - не нули и не могут

одновременно равняться единице, значит у + z > 2 и х > 4, поэтому x может быть 6 или 8. Тогда

x=6; y+z=3; y=2; z=1

x=6; y+z=4: y=3; z=1

Здесь у и z равноправны и могут взаимно заменяться.

2) х ¹ 0 ; z и у не могут быть одновременно нулями.
Пусть у = 0, тогда (А) примет вид: (B)

211х + 211z=333х; 211z=122х, но(211;122)=1

и среди цифр 0, 1,2, ..., 9 нет значений х и z, удовлетворяющих (В). Ответ: х = 6; у = 2;z = 1;

х = 6;у=1; z = 2;

х = 8;у =3; z = 1;

х = 8;у= 1; z = 3.

Пусть через точку О, взятую внутри

треугольника ABС проведены прямые:

DЕ||ВС ; FK||AB ; LM||AC.

Образовались треугольники: ОFМ, ОDL и ОКЕ.

Пусть:

площадь ΔOFM равна S1

площадь ΔОDL равна S2

площадь Δ ОЕК равна S3

Так как эти треугольники подобны между собой, то имеем:

Но (ΔOFM¥ΔABC),

Сравнивая (1) и (2), заключаем, что

5. Ответ: 14 + 49

Так как на шахматной доске 64 клетки и по условию король обошел все клетки, побывал в каждой ровно один раз, он сделал 63 хода. Ходы короля возможны только двух видов: 1) «короткие», если начальная и конечная клетки хода имеют общую сторону (см. рис.а), длина такого хода равна 1; и 2) «длинные», если начальная и конечная клетки хода имеют общей только вершину (см. рис.б), длина такого хода .

а)

б)

Так как при «длинном» ходе король пересекает вершину, общую четырем клеткам доски, и каждую такую вершину он может пересечь не более одного раза (по условию путь короля не имеет самопересечений), то «длинных» ходов короля не более числа вершин, общих четырем клеткам доски, т. е. не более 49. Следовательно, длина ломаной не более 49 + = 49 + 14.

Задания 2004/05 учебного года

7 класс

1.  Найти наименьшую суммарную длину распилов, которые необходимо сделать, чтобы из прямоугольного листа фанеры размером 40 см х 50 см выпилить прямоугольный кусок размером 10 см х 15 см (каждый распил делается по прямой и до конца).

2.  Ваня хотел купить на рынке 2 яблока, 3 апельсина и 5 бананов. Однако он перепутал и купил 2 банана, 3 яблока и 5 апельсинов, потратив в точности запланированную сумму. Определить, что дороже: апельсин или банан, если известно, что яблоко дороже банана.

3.  Три брата возвращались домой с рыбалки, где их ожидал бочонок холодного кваса. Старший брат шел втрое медленнее младшего и вдвое медленнее среднего. Придя домой, младший сразу же принялся за бочонок и выпил седьмую его часть к приходу среднего брата, который присоединился к младшему и стал поглощать квас с такой же скоростью. Досталось ли кваса старшему брату?

4.  Найти наименьшее целое положительное число, половина которого – полный квадрат, одна треть - полный куб, одна пятая - полная пятая степень.

5.  Костя задумал натуральное число, перемножил все его цифры и результат умножил на задуманное число. Получилось 1716. Какое число задумал Костя? Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет.

8 класс

1. Сколько различных пар натуральных чисел х £ у удовлетворяют уравнению

2.  Между пунктами А и В организовано движение автобусов, следующих друг за другом с интервалом ровно в 7 мин. Каждый из них проезжает путь в одну сторону без остановок ровно за 25 минут и, постояв некоторое время на конечной остановке, едет в другую сторону. Сколько автобусов обслуживают маршрут, если на стоянке в пункте А или В никогда не бывает более одного автобуса?

3.  Три брата возвращались домой с рыбалки, где их ожидал бочонок холодного кваса. Старший брат шел втрое медленнее младшего и вдвое медленнее среднего. Придя домой, младший сразу же принялся за бочонок и выпил седьмую его часть к приходу среднего брата, который присоединился к младшему и стал поглощать квас с такой же скоростью. Досталось ли кваса старшему брату?

4. Даны круг с диаметром АВ и некоторая точка М вне круга. Требуется опустить из точки М перпендикуляр на диаметр АВ или его продолжение, пользуясь только одной линейкой.

5. Докажите, что при делении любого простого числа на 30 в остатке получится также простое число.

9 класс

1.  Бригада землекопов должна была в 8 ч. начать рыть траншею. Однако, простояв в очереди за лопатами, они приступили к работе позже: первый - на 5 мин., второй - на 10 мин., третий - на 15 мин и т. д. Закончив рыть траншею в 12 ч, они ушли на обед, а после обеда, работая с 13 ч до 16 ч, вырыли вторую такую же траншею. Сколько было землекопов?

2.  Калькулятор имеет кнопки операций «+», «-», «•» , « : », а также функции и [х], ([х] - целая часть числа х, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее х). Придумать формулу (не разветвленную, как ниже), позволяющую вычислять на этом калькуляторе значения функции

-1 при х<0

sgn х = 0 при х = 0

1 при х>0

3.  Доказать, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти целых чисел (например: 13 = 33+ (-2)3 + (-2)3 +13 + 13).

4.  На сколько равновеликих трапеций может быть разрезан треугольник?

5.  (Задача Эйлера). Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 крейцера».

Сколько яиц было у каждой?

10 класс

1.  На площади установлено 5 громкоговорителей, разбитых на две группы: в одной 2, в другой 3 аппарата. Расстояние между группами 50 м. Где надо стать, чтобы звуки обеих групп доносились с одинаковой силой?

2.  График квадратичной функции у = х2 + вх + с - парабола с вершиной в точке (1; -3). Принадлежит ли этому графику точка (2; -2)?

3.  Доказать, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти целых чисел (например: 13 = З3 + (-2)3 + (-2)3 + 13 + 13).

4.  В трапеции АВСД основание СД, диагональ ВД и боковая сторона АД равны между собой и равны р. Известно, что сторона ВС равна d. Найдите диагональ АС.

5.  Положительные числа а и в таковы, что ав > 2003а + 2004в. Докажите, что а+в > (

11 класс

1. На площади установлено 5 громкоговорителей, разбитых на две группы: в одной 2, в другой 3 аппарата. Расстояние между группами 50 м. Где надо стать, чтобы звуки обеих групп доносились с одинаковой силой?

2.  Докажите тождество = п2, где nÎN, l(k)~ наибольший нечетный делитель числа k.

3.  Куб с ребром 1 срезан плоскостями "по углам" так, что от каждой грани остался правильный многоугольник (с вершинами на ребрах куба). Найдите объем полученного тела.

4.  На координатной плоскости хОу в окрестности точки О дана кривая у = sinx (см. рис). Масштаб не указан. При помощи циркуля и линейки построить точку (0; 1).

 

5. Найти сумму 6 + 66 + 666 + ... + ,

n

Решения

7 класс

1.  50 см. Если стороны куска параллельны сторонам листа, первый распил – не меньше 40 см, второй - не меньше 10 см, а всего - не меньше 50 см. Если же стороны куска не параллельны сторонам листа, то суммарная длина распилов - не меньше периметра куска, равного (10+15) -2=50 см.

2.  Банан. 2 апельсина и 1 яблоко стоят столько же, сколько и 3 банана; отсюда следует, что два апельсина дешевле двух бананов.

3. Нет. Он пришел в самый последний момент распития, так как пока средний шел оставшуюся пути, старший прошел пути, а младший выпил бочонка, поэтому пока старший шел оставшиеся пути, два брата выпили оставшиеся 2 бочонка.

4. 215 • 310• 56

5. 143. Пусть задумано число х. В разложении 1716 = 2•2• 3•11•13 есть множии 13. Эти множители не могли появиться от перемножения цифр, значит, х делится на 11•13 = 143. Само число 143 подходит. Теперь достаточно лишь проверить числа

2•143 = 286,

3• 143=429,

2 • 2 • 143 = 572

и 2 • 3 • 143 = 858 Других ответов среди них нет.

8 класс

1. Ответ: 14. Так как 70(х+у) = ху, то (х-70) (у-70) = 702

(причем 1 £ х-70 £ у-70 £ 702 ), а число 702 =имеет ровно (2+1)(2+1)(2+1)=27 натуральных делителей, то количество искомых пар равно 1+26:2= 14.

2. Ответ: 8 или 9. Пусть х - искомое число автобусов. Тогда между двумя последовательными отправлениями одного и того же автобуса из пункта А проходит 7х мин, причем это время складывается из 50 мин. непосредственного движения и не более 14 мин пребывания на стоянках. Итак, 50 £ 7х £ 50 + 14, а поскольку х - целое, то хÎ {8;9}.

Легко проверить, что маршрут может обслуживаться как 8, так и 9 автобусами, (в первом случае все стоянки могут занимать по 3 мин, во втором - по 6,5 минут).

3. Нет. Он пришел в самый последний момент распития, так как пока средний шел оставшуюся пути, старший прошел пути, а младший выпил бочонка, поэтому пока старший шел оставшиеся 1-- пути, два брата выпили оставшиеся 2 • бочонка.

4. Решение поясняется рисунком

5. Пусть при делении простого числа р на 30 в частном получилось а и в остатке в, т. е. р = 30а+в. Допустим теперь, что в - составное. Так как любое составное число, меньшее 30, имеет с числом 30 общий множитель (проверьте это!), то и р = 30а+в делится на этот множитель. Но это противоречит тому, что р -простое число.

9 класс

1. Ответ: 23. До обеда землекоп, получивший лопату первым, работал 60 • (12= 235 мин, а получивший лопату последним - п мин., где n- искомое число землекопов. Следовательно, среднее время работы одного землекопа составило мин. А поскольку на рытье такой же траншеи после обеда каждый землекоп был задействован ровно 180 мин, то имеет место равенство = 180, откуда п = 23.

2. sgn х =

3. Воспользуемся тем, что п3 - п = (п -1) п (п +1) = 6к, где к - целое. Имеем:
n=n3-(n3 -n) = n3 + 6k = n3 +(k+1)3+(k-1)3-k3-k3

4. Ответ: на любое число, большее двух.

Решение: Треугольник нельзя разрезать на две трапеции. В самом деле, если линия разреза - прямая, то по одну сторону от разреза будет снова треугольник; если же линия разреза - ломаная, то в любой ее вершине, расположенной внутри треугольника, будет иметься угол (больший 180), который не может быть внутренним углом трапеции. Пример разрезания треугольника на п равновеликих трапеций, где п - произвольное натуральное число, больше 2, показан на рисунке:

Здесь AiCi││ A 0C0 (i = 1, 2, ..., n -3), причем площадь каждой из трапеций Аi-1 Ai Ci Ci-1 равна площади ΔA 0 ВС0.