Математические олимпиады школьников (стр. 3 )

Треугольник Ап-3ВСп-3, площадь которого составляет площади треугольника A 0BC0 разрезан на три равновеликие трапеции

(PQ||BCn-3, PR ||Cn.3An-3,PS ||An-3B

5. Ответ: 40 и 60 яиц.

Решение

I способ. Пусть у первой крестьянки х яиц, тогда у второй (100-х) яиц. Если бы первая имела (100-х) яиц, она выручила бы 15 крейцеров, значит, первая крестьянка продала яйца по цене за штуку.

Таким образом находим, что вторая крестьянка продавала яйца по цене

Теперь определяем действительную выручку каждой крестьянки:

первой: второй: (100-х) •

Так как выручки обеих одинаковы, то

Отрицательный корень в данном случае не имеет смысла; первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая - 60.

II способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в к раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в к раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в к раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в к раз дороже. Это значит, что она выручила бы в к2раз больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем:

Остается 100 яиц разделить в отношении 3:2.

10 класс

1. Решение.

Если расстояние искомой точки от меньшей группы обозначим через х м, то расстояние ее от большей группы выразится через (50 - х)м.

Зная, что сила звука ослабевает пропорционально квадрату расстояния, имеем уравнение:

, которое приводится к виду х2+200х-5000=0, корни этого уравнения

x1= 22,5 ; х2 = -222,5.

Положительный корень 22,5 прямо отвечает на вопрос задачи.

Имеет ли смысл второй корень уравнения? Да, знак минус означает, что вторая точка равной слышимости лежит в направлении, противоположном тому, которое принято было за положительное при составлении уравнения.

Отложив от местонахождения двух аппаратов в требуемом направлении 222,5 м, найдем точку, куда звуки обеих групп громкоговорителей доносятся с одинаковой силой. От группы из трех аппаратов точка эта отстоит в 222,5+50=272,5 (м).

Итак, разысканы две точки (А и В) равной слышимости - из тех, что лежат на прямой, соединяющих источники звука. Других таких точек на этой линии нет, но они имеются вне её. Геометрическое место точек, удовлетворяющее требованию задачи, есть окружность, проведенная через обе найденные точки, как через концы диаметра. Окружность эта ограничивает довольно обширный участок (заштрихованный на рисунке), внутри которого слышимость группы двух громкоговорителей пересиливает слышимость трех аппаратов, а за пределами этого круга наблюдается обратное явление.

2. Ответ: да, принадлежит.

Решение. Координаты вершины параболы у = х2 + вх + с можно записать как , откуда последовательно находим в = -2 и с = -2.

Уравнение параболы принимает вид у = х2 – 2х – 2. Подставив координаты точки (2; -2), убеждаемся, что эта точка принадлежит графику.

3.  Воспользуемся тем, что п3- п = (п - 1) п (п +1) = 6к, где к - целое. Имеем: п=п3-(п3-п)=п3+6к=п3+(к+1)3=(к-1)3-к3-к3.

4.  Ответ:

Решение. Проведем окружность с центром в точке Д, проходящую через точки А, В и С. Это можно сделать, так как точка Д равноудалена от точек А, В и С. Продолжим основание ДС до пересечения с окружностью (точка A1). Заметим, что АВСА1 - равнобокая трапеция, а угол САА1 прямой.

Из теоремы Пифагора: АС2 = СА 12 - A 1А2 = 4-p2 –g2 откуда АС=

5. Решение. Умножая обе части неравенства ав > 2003а + 2004в на ,

Утверждение задачи теперь следует из соотношений

(Использовано неравенство Коши для чисел )

11 класс

1. Решение.

Если расстояние искомой точки от меньшей группы обозначим через х м, то расстояние ее от большей группы выразится через (50 - х) м. Зная, что сила звука ослабевает пропорционально квадрату расстояния, имеем уравнение , которое приводится к виду х2 +200х-5000=0, корни этого уравнения x1= 22,5; х2 = -222,5.

Положительный корень 22,5 прямо отвечает на вопрос задачи.

Имеет ли смысл второй корень уравнения? Да, знак минус означает, что вторая точка равной слышимости лежит в направлении, противоположном тому, которое принято было за положительное при составлении уравнения.

Отложив от местонахождения двух аппаратов в требуемом направлении 222,5 м, найдем точку, куда звуки обеих групп громкоговорителей доносятся с одинаковой силой. От группы из трех аппаратов точка эта отстоит в 222,5+50=272,5 (м).

Итак, разысканы две точки (А и В) равной слышимости - из тех, что лежат на прямой, соединяющих источники звука. Других таких точек на этой линии нет, но они имеются вне её. Геометрическое место точек, удовлетворяющее требованию задачи, есть окружность, проведенная через обе найденные точки, как через концы диаметра. Окружность эта ограничивает довольно обширный участок (заштрихованный на рисунке), внутри которого слышимость группы двух громкоговорителей пересиливает слышимость трех аппаратов, а за пределами этого круга наблюдается обратное явление.

2. Решение. Введя обозначение L(n) = , воспользуемся методом математической индукции. Имеем L( 1) = 1 = 12 . Предположим, что при некотором натуральном значении п также выполняется равенство L(n)=n2 .

Тогда L(n+1) = L(n) + l(2n+l) + l(2n+2) – l(n+1), а поскольку

l(2n+1)=2n+1 и l(2n+2) = l(n+l), то L(n+1)= L(n)+2n+1=(n+1)2.

Следовательно, равенство =n2выполняется при любом натуральном значении п.

3. Ответ:

Решение: Пусть объем искомого тела равен V. Заметим, что каждая из плоскостей отрезает от куба правильную треугольную пирамиду с попарно перпендикулярными боковыми ребрами. Если боковое ребро такой пирамиды равно а, то объем такой пирамиды равен , а объем искомого тела V=l -

Так как от граней куба должны остаться правильные многоугольники, то возможны два случая:

1) Грань получившегося тела - квадрат (см. рис. а). Тогда 2а = 1, а объем полученного тела V =.

рис. А

2) Грань получившегося тела - правильный восьмиугольник (рис. б). Тогда 1 – 2а=.

Следовательно,

рис. Б

4. Решение.

Выбрав число б так, что б≠0, а точки (б; sinб) и (2б; sin2б) лежат в данной окрестности, строим отрезки с длинами

а= | sinб | и h = | sin2б | = | sinб • cosб |.

Затем строим прямоугольный треугольник, длина одного из катетов которого равна а , а длина высоты, опущенной на гипотенузу, h.

Длина гипотенузы будет равна = 1, что и позволит построить точку (0; 1).

5. 6 + 66 + 666+...+ 666…6 = (9+99+999+…+999…9)=

п п

=

Задания 2005/06 учебного года

8 класс 12-летней школы

1.  Чему равно 84, если 8 • 8 = 54?

2.  Докажите, что при любом натуральном числе п число 4 п + 5 делится на 3.

3.  Как отложить угол в 1°, зная угол в 19°?

4.  Из числа вычли сумму его цифр. Из полученного числа вновь вычли сумму его (полученного числа) цифр, и так делали снова и снова. После одиннадцати таких вычитаний впервые получился нуль. С какого числа начали?

5.  В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочке сначала увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке стало больше воды?

8 класс 11-летней школы

1. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

2.  Докажите, что при любом натуральном числе п число 4п + 5 делится на 3.

3.  Сумма двух чисел равна 2, а сумма их квадратов равна 3. Найдите сумму кубов и сумму четвертых степеней этих чисел.

4.  На свой день рождения Леонард Эйлер угощал друзей треугольным тортом, который он разрезал на 6 кусков по трем биссектрисам. Задержавшемуся Мюнхаузену достался последний кусок в форме прямоугольного треугольника, на основании чего барон заявил, что торт имел форму равнобедренного треугольника. Прав ли барон?

5.  Три мухи в полдень сели на секундную, минутную и часовую стрелки часов и поехали на них. Когда какая-то стрелка обгоняла другую, сидящие на этих стрелках мухи менялись местами (а если бы секундная стрелка обогнала часовую и минутную стрелки одновременно, то местами поменялись бы мухи с секундной и часовой). Сколько кругов проехала каждая из мух до полуночи?

9 класс

1.  В прямоугольнике АВСД вершину А соединили с серединами сторон ВС и СД. Может ли один из отрезков оказаться вдвое длиннее другого?

2.  Решите арифметический ребус:

(Здесь разными буквами зашифрованы разные цифры)

3. Сумма двух чисел равна 2, а сумма их квадратов равна 3. Найдите сумму кубов и сумму четвертых степеней этих чисел.

4.  В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°. Докажите, что отрезок перпендикуляра, проведенного к гипотенузе через ее середину до пересечения с катетом, втрое меньше большего катета.

5.  По неподвижному эскалатору человек спускается быстрее, чем поднимается. Что быстрее: спуститься и подняться по поднимающемуся эскалатору или спуститься и подняться по спускающемуся эскалатору? (Предполагается, что все скорости, о которых идет речь, постоянны, причем скорости эскалатора при движении вверх и вниз одинаковы, а скорость человека относительно эскалатора всегда больше скорости эскалатора).

10 класс

1. Пусть а2-в = в2 - с = с2 - а, причем а≠в, в≠с, с≠а.

Найдите значение выражения

(а + в + 1) (в + с + 1) (с + а + 1)

2. Решите арифметический ребус:

(Здесь разными буквами зашифрованы разные цифры)

3. Решите в целых числах уравнение

(х2-у2)2=1+16у

4. Дан куб с ребром 4. Можно ли целиком оклеить три его грани, имеющие общую вершину, 16 бумажными прямоугольными полосками размером 1х3?

5. На острове Невезения отменили понедельники. Известно, что в прошлом году ровно 8 четвергов там пришлось на наши четверги. Сколько таких четвергов будет в будущем году?

11 класс

1. Пусть а2-в = в2 - с = с2 - а, причем а≠в, в≠с, с≠а.

Найдите значение выражения

(а + в + 1) (в + с + 1) (с + а + 1)

2. Длина наибольшей стороны треугольника равна 1. Докажите, что три круга с центрами в вершинах и радиусами - покрывают весь треугольник.

3. Дана функция f(x) = │4 — 4│ х ││-2.

Сколько решений имеет уравнение f(f(x)) = x?

4. Площадь трапеции равна АВСД основаниями АД и ВС (АД – большое основание) равна 48, а площадь треугольника АОВ, где О – точка пересечения диагоналей трапеции, равна 9. Найдите отношение основания трапеции АД:ВС.

5. На острове Невезения отменили понедельники. Известно, что в прошлом году ровно 8 четвергов там пришлось на наши четверги. Сколько таких четвергов будет в будущем году?

Решения

8 класс (12-летней школы)

1. Ответ: 100.

Решение. Легко догадаться, что числа, входящие в задачу, написаны не по десятичной системе. Пусть основание неизвестной системы х. Чисто 84 означает тогда 8 единиц второго разряда и 4 единицы первого, т. е.

«84» = 8х + 4 Число «54» = 5х + 4

Имеем уравнение 8 • 8 = 5х + 4, т. е. в десятичной системе 64 = 5х + 4

х=12

Числа написаны в 12-ричной системе и «84» = 8 -12 + 4= 100, значит, если 8 • 8 = 54, то «84» = 100.

2. Число 4п+ 5 представим как 4п-1+6 и т. к. 6 кратно 3, остается показать, что 4п- 1 делится на 3.

4п-1=22п-1=(2п-1)(2п+1)

Число 2п не делится на 3, а из трех последовательных натуральных чисел 2п - 1, 2п и 2п + 1 хотя бы одно делится на 3. Значит либо 2п - 1 либо 2п+ 1 делится на 3. И произведение (2п - 1) (2п + 1) будет делиться на 3.

3. 361°= 19° 19;

1° = 361° - 360°. Отложив 19 раз угол 19°, получим угол 1°, как разность 361° и 360°.

4. Любое число от 100 до 109. Разность между числом и суммой его цифр всегда делится на 9. Поэтому все числа, кроме, возможно, исходного, должны делиться на 9. Следовательно, 0 получился из 9, число 9 получилось из 18 и вообще имеем цепочку:

0 ← 9←18 ← 27 ← 36 ← 45 ← 54 ← 63 ← 72 ← 81 ← ?

Число 81 можно получить как из 90, так и из 99. Но 90 ни из какого числа не получишь. А число 99 получается из 100,101,..., 109.

5. Ответ: поровну.

В первой бочке после уменьшения на 10% стало 90%, а после увеличения на 10% стало 99%. Во второй же после увеличения на 10% стало 110%, а после уменьшения на 10% стало 99%. Таким образом, в обеих бочках воды осталось поровну.

8 класс (11-летней школы)

1. Ответ:

Умножим числитель и знаменатель на

2. Число 4п + 5 представим как 4п-1+6 и т. к. 6 кратно 3, остается показать, что 4п-1 делится на 3.

4n-1=22n-l=(2n-l)(2n +l)

Число 2п не делится на 3, а из трех последовательных натуральных чисел 2п - 1, 2п и 2п + 1 хотя бы одно делится на 3. Значит либо 2п - 1 либо 2п + 1 делится на 3. И произведение (2п - 1) (2п + 1) будет делиться на 3.

3. Ответ: а3 + в3 = 5; а4 + в4 =8

Пусть а и в - данные числа, а + в = 2, а2 + в2 = 3, тогда ав ((а + в)2 -(а2 + в2)) (22-3)= ;

а3 + в3 = (а+в)3 - Зав(а + в) = (а + в) ((а+в)2 - 3ав)) = (а + в) (а2+в2-ав) =2(3-)=5

а4+в4=(а2+в2)2-2(ав)2=32-2)2=8

4. Пусть О - точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Если биссектрисы АО и ВО перпендикулярны, то сумма углов ОАВ и ОВА равна 90°. Но тогда сумма углов CAB и СВА равна 180°, что невозможно. Следовательно, две биссектрисы не могут пересекаться под прямым углом. Значит, прямой угол в куске, доставшийся Мюнхаузену, образован биссектрисой и стороной треугольника, т. е. одна из биссектрис в этом треугольнике является одновременно и высотой. Значит, барон прав.

4.  Ответ: 244,244,245.

Мухи не перегоняют одна другую. Значит, никакая муха не может обогнать никакую другую более чем на один оборот. Поэтому количества оборотов, сделанных мухами, не могут отличаться более чем на единицу. Часовая стрелка делает за 12 ч один оборот, минутная - 12, секундная - 720; три мухи вместе сделают 1+12+720=733 оборота. Осталось представить число 733 в виде суммы трех натуральных чисел, отличающихся не более чем на единицу: 733=244+244+245. Это и есть ответ: мухи, начавшие свой путь на часовой и минутной стрелках, сделали по 244 оборота, а третья муха - 245.

9 класс

1. Обозначим стороны АВ=2а, СВ=2в. Тогда ВМ=в, ВД=а.

Применим теорему Пифагора к Δ АВМ и АNД:

AM2 = 4а + в2; AN2 = 4в2 + а2. Пусть AN = 2АМ, тогда AN2 = 4АM2 откуда получаем, что а = 0, чего не может быть. Значит, такого быть не может.

А Д

2. Ответ:

Решение. Число ЭТО кратно 9, что видно, например, из равенства

9 РЕШИ =13 ЭТО.

Полагая ЭТО = 9k, где kÎN,

РЕШИ=13k

САМ = 6k

ЭТО + РЕШИ + САМ = 28k

Все 10 цифр Э, Т, О, Р, Е, Ш, И, С, А, М различны, следовательно, их сумма равна 0 + 1+2 + ...+9 = 45, число 45 кратно 9. Значит, и 28k кратно 9, откуда k кратно 9. С учетом соотношений

получаем kÎ{ 81; 90; 99; 108}. Перебор показывает, что подходящим значением для k является только 81. Следовательно,

ЭТО = 729; РЕШИ = 1053; САМ = 486.

3. Ответ: а3 + в3 = 5; а4 + в4 = 8

Пусть а и в — данные числа, a + в=2, а2+в2 = 3,

тогда ав = ((а + в)2-(а2 + в2)) = (22-3) =;

а3 + в3 = (а + в3) - 3ав(а + в) = (а + в) ((а + в)2 - 3ав)) =

= (а + в) (а2 + в2-ав)=2(3-) = 5.

а4 + в4 = (а2 + в2)2-2(ав)2 = З)2 = 8

4.

Используя свойство угла 30° в прямоугольных треугольниках ABC, ВДК, АСК, признаки равенства треугольников и свойства серединного перпендикуляра к отрезку, имеем:

СК + ДК= ВК, откудаДК= ВС

5. Ответ: спуститься и подняться по поднимающемуся эскалатору.

Пусть U↓ и U↑ - скорости, с которыми человек по неподвижному эскалатору спускается и поднимается соответственно, l - длина эскалатора, и - скорость эскалатора, и < U↑< U↓. Тогда время, за которое человек спустится и поднимется по поднимающемуся эскалатору, будет равно t↑=, а время, за которое он опустится и поднимется по спускающемуся эскалатору, равно t ↓=,

Ответ на вопрос задачи получаем из соотношений

t ↑-t ↓= t↑=-= ==

10 класс

1. Ответ:-1.

Решение. Запишем цепочку равенств:

а2 -в = в2 - с=>а2 –в2 =в-с

(а - в)(а + в) = в – с

а+в=

а+в+1=

Аналогично

в+с+1=

с+а+1=

Следовательно, (а+в+1)(в+с+1)(с+а+1)=

Ответ:

Решение. Число ЭТО кратно 9, что видно, например, из равенства

9 РЕШИ =13 ЭТО.

Полагая ЭТО = 9k, где kÎN,

РЕШИ=13k

САМ = 6k

ЭТО + РЕШИ + САМ = 28k

Все 10 цифр Э, Т, О, Р, Е, Ш, И, С, А, М различны, следовательно, их сумма равна 0 + 1+2 + ...+9 = 45, число 45 кратно 9. Значит и 28k кратно 9, откуда k кратно 9. С учетом соотношений

получаем kÎ{ 81; 90; 99; 108}. Перебор показывает, что подходящим значением для k является только 81. Следовательно,

ЭТО = 729; РЕШИ = 1053; САМ = 486.

3. Ответ: (± 1; 0); (±4; 3); (±4; 5)

Правая часть равенства неотрицательна, т. к. равна квадрату числа, следовательно у ≥0, откуда левая часть не меньше (2у-1)2 , т. к. модуль разности у2 и любого квадрата целого числа (если у ≥ 0 и квадраты различны) не меньше (2у-1). Имеем (2у-1)2 1 + 16у, откуда у £ 5. Итак, правая часть может принимать значения 1, 17, 33, 49, 65, 81, из них квадратами являются только 1,

Рассмотрим три случая:

1)

2)

3)

4. Ответ: нельзя.

Закрасим 27 квадратиков указанных граней, как показано на рисунке. Тогда любая полоска размера 1x3 закрывает четное число закрашенных квадратиков. Поэтому заклеить данные три грани полосками так, как требуется в условии (без наложений) не удастся.

5. Ответ: 9.

Решение. Наименьшим числом, кратным 7 (числу дней в «нашей» неделе) и 6 (числу дней в «островной» неделе), является 42. Поэтому «двойные» (те, о которых идет речь в условии задачи) четверги бывают один раз в 42 дня. Каждый календарный год содержит 8 полных 42-дневных промежутков и еще 29 или 30 дней (поскольку 365 = 8 • 42 + 29; 366 = 8 • 42 + 30). Следовательно, число «двойных» четвергов в году равно 8 или 9. Три подряд идущих года - это 1095 или 1096 дней, т. е. 26 полных 42-дневных промежутков плюс 3 или 4 дня (1095 = 26 х 42 + 3; 1096 = 26 х 42 + 4); число «двойных» четвергов, приходящихся на такой период времени, может равняться 26 или 27. Отсюда получаем, что если на первый из трех подряд идущих лет («прошлый») пришлось 8 совпадений четвергов, то на второй («нынешний») и третий («будущий») в сумме должно прийтись не менее 18 «двойных» четвергов. А поскольку двойные четверги бывают не чаще чем 9 раз в год, то на второй и третий годы придется по 9 таких четвергов.

11 класс

1. Ответ:-1.

Решение. Запишем цепочку равенств:

а2 -в = в2 - с=>а2 –в2 =в-с

(а - в)(а + в) = в – с

а+в=

а+в+1=

Аналогично

в+с+1=

с+а+1=

Следовательно, (а+в+1)(в+с+1)(с+а+1)=

2. Доказательство. Предположим противное: нашлась точка О треугольника, не покрытая кругами. Один из углов <АОВ, <ВОС, <АОС (пусть <АОС) не меньше 1200. Тогда его косинус не больше чем -, откуда

АС2=ОА2=ОС2-2ОА×ОС×cos<АОС≥ОА2+ОС2+ОА×ОС>+=1

Значит, АС > 1, но это противоречит тому, что наибольшая сторона треугольника равна 1.

3. Ответ: 16.

Пусть хо - решение уравнения f(f(x)) = х, а уо = f(xo). Тогда и x0= f(yo), a поэтому точка с координатами (хо; уо) лежит на каждом из графиков уравнений у = f(x) и х = f(y). Наоборот, если точка (хо; уо) принадлежит пересечению этих графиков, то у0 = f(xо) и хо= f(yо), откуда f(f(xo)) = хо. Тем самым показано, что число решений уравнения f(f(x)) = x совпадает с числом точек пересечения графиков уравнений у = f(x) и х = f(y), а их 16 (см. рисунок).

Ответ: 3.

Решение.

1)  Треугольники АВД и АСД равновелики, так как имеют одно и то же основание АД и одинаковые высоты, проведенные к нему, в силу параллельности прямых ВС и АД. Удаляя из них по треугольнику АОД, получаем SАВО=SСДО=9.

2)  Пусть SBОС = S1 , SАОД = S2, SAВО =Sсдо = S0 = 9.

Тогда

С другой стороны S1 + S2 = SABCД - 2 So =• 9 = 30.

В С

Имеем систему для S1 и S2 :

А Д

3) Треугольники АОД и СОВ подобны, поэтому

5. Ответ: 9.

Решение. Наименьшим числом, кратным 7 (числу дней в «нашей» неделе) и 6 (числу дней в «островной» неделе), является 42. Поэтому «двойные» (те, о которых идет речь в условии задачи) четверги бывают один раз в 42 дня. Каждый календарный год содержит 8 полных 42-дневных промежутков и еще 29 или 30 дней (поскольку 365 = 8 • 42 + 29; 366 = 8 • 42 + 30). Следовательно, число «двойных» четвергов в году равно 8 или 9. Три подряд идущих года - это 1095 или 1096 дней, т. е. 26 полных 42-дневных промежутков плюс 3 или 4 дня (1095 = 26 х 42 + 3; 1096 = 26 х 42 + 4); число «двойных» четвергов, приходящихся на такой период времени, может равняться 26 или 27. Отсюда получаем, что если на первый из трех подряд идущих лет («прошлый») пришлось 8 совпадений четвергов, то на второй («нынешний») и третий («будущий») в сумме должно прийтись не менее 18 «двойных» четвергов. А поскольку двойные четверги бывают не чаще чем 9 раз в год, то на второй и третий годы придется по 9 таких четвергов.

Задания 2006/07 учебного года

8 класс

1. Пять прямых пересекаются в одной точке (см. рис).

Известно, что Ð1 = 50°, Ð2 = Ð3 = 20°, а угол 4 вдвое больше угла 5. Не производя никаких измерений вычислите величину угла 5.

(3 балла)

2. Имеются 10 арбузов и весы, с помощью которых можно за одно взвешивание определить общий вес любых трех арбузов. Как за шесть таких взвешиваний определить общий вес всех арбузов?

(4 балла)

3. Известно, что а + = в + Верно ли, что а = в?

(6 баллов)

4. Из горячего крана ванна заполняется за 23 мин, из холодного - за 7 мин. Маша открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?

(8 баллов)

5. В клубах толстяков «Толстый», «Полный» и «Жирный» по 10 человек. Однажды после совместного обеда они решили провести турнир по игре «Кто тяжелее?» Правила игры таковы: члены двух клубов по жребию разбиваются на пары (один человек - из одного клуба, другой - из другого), и толстяки в каждой паре меряются весом. Тот, кто оказался тяжелее, приносит своей команде очко. Известно, что веса всех толстяков за время турнира не менялись. Могло ли случиться так, что во встрече Толстых с Полными со счетом 9:1 победили Полные, во встрече Полных с Жирными со счетом 9:1 победили Жирные, а во встрече Жирных с Толстыми со счетом 9:1 победили Толстые?

(9 баллов)

9 класс (12-летней)

1. В треугольнике ABC биссектрисы углов ВАС и ABC пересекаются в точке О, Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 125°.

(3 балла)

2. Имеются 11 арбузов и весы, с помощью которых можно за одно взвешивание определить общий вес любых трех арбузов. Как за шесть таких взвешиваний определить общий вес всех арбузов?

(4 балла)

3. Девятиклассник Петя, переписывая из учебника в тетрадь пример на сложение двух десятичных дробей, допустил ошибку, поставив в одной из дробей запятую на один разряд правее, В результате этого, сложив записанные в его тетради дроби, он получил 23,7, но заглянув в раздел «Ответы» учебника, Петя увидел, что результат в этом примере должен был бы равняться 3,45. Какие дроби должен был складывать Петя?

(6 баллов)

4. тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки хотя бы на квас, если цены еще раз вырастут на 20%?

(8 баллов)

5. Несколько населенных пунктов соединены дорогами с городом, а между ними дорог нет. Автомобиль отправляется из города с грузами сразу для всех населенных пунктов. Стоимость каждой поездки равна произведению веса всех грузов в кузове на расстояние. Докажите, что если вес каждого груза численно равен расстоянию от города до пункта назначения, то общая стоимость перевозки не зависит от порядка, в котором объезжаются пункты.

(9 баллов)

9 класс (11-летней)

1. Две лошади пили из одной бочки, доверху наполненной водой; Гнедая лошадь выпила половину трети четверти бочки, а вороная - четверть половины трети бочки. Какая лошадь выпила воды больше?

(3 балла)

2. Натуральные числа а, в, с, d таковы, что ав = cd. Может ли число a+e+c+d быть простым?

(4 балла)

3. Найдите углы прямоугольного треугольника, если известно, что центр вписанной в него окружности равноудален от середины гипотенузы и вершины прямого угла.

(6 баллов)

4. От пристани одновременно отправились два теплохода: один - вниз по течению к пункту А, а другой - вверх по течению к пункту В. В пункты А и В теплоходы прибыли через 5 и 9 часов соответственно. Прибыв в указанные пункты, теплоходы, не останавливаясь, развернулись и поплыли обратно: один - в пункт А, а другой - в пункт В, - и встретились на расстоянии 20 км от пристани вниз по течению. (Собственные скорости теплоходов во все время движения постоянны и равны). Расстояние между пунктами А и В равно 200 км. Найдите скорость течения реки.

(8 баллов)

5. У Пети и Васи имелось по одинаковой прямоугольной открытке. Каждый из мальчиков разрезал свою открытку на два прямоугольника равной площади и один из них выбросил, а один оставил себе. Затем Вася оставшийся у него прямоугольник снова разрезал на два прямоугольника одинаковой площади и один из них выбросил, а один оставил себе, Петя же свой прямоугольник больше не разрезал. Оказалось, что периметры прямоугольников, оставшихся у Пети и Васи, равны. Найдите отношение сторон прямоугольной открытки.

(9 баллов)

10 класс

1. Найдите сторону ВС в треугольнике ABC, где АС = 11 см, АД = 10 см (АД - медиана), площадь треугольника ABC равна 66 см.

(3 балла)

2. Доказать тождество:

(4 балла)

3. Существует ли приведенное квадратное уравнение х2 + рх + q = 0, у которого сумма коэффициентов р и q равна -13, а разность корней 6?

(6 баллов)

4. В арифметическом ребусе требуется различные буквы заменить различными цифрами, а одинаковые - одинаковыми так, чтобы получилось верное числовое равенство.

ДУБ + ДУБ + ... + ДУБ = РОЩА

Какое наибольшее число «ДУБов» может быть в «РОЩЕ»?

(8 баллов)

5. Вдоль аллеи, ведущей от ворот к зданию школы, стоят 20 столбиков, каждый из которых имеет высоту либо 20 см, либо 30 см, либо 40 см. Ученик, пройдя по аллее от школы до ворот, насчитал 11 столбиков, каждый из которых был ниже следующего за ним. Докажите, что возвращаясь в школу, он насчитает не меньше 5 таких столбиков.

(9 баллов)

11 класс

1. Найдите наименьшее натуральное число, обладающее такими свойствами: его половина есть квадрат целого числа, его третья часть — куб целого числа, его пятая часть — пятая степень целого числа.

(3 балла)

2. Внутри квадрата АВСД построен равносторонний треугольник АВК. Прямые ВК и АД пересекаются в точке Р. Докажите, что отрезок, соединяющий середины отрезков КД и СР, равен половине стороны квадрата.

(4 балла)

3. Вычислите М =

(6 баллов)

4. Положительные числа а, в, с таковы, что а2 + в2 -ав = с2 .

Докажите, что (а-с)(в-с)£ 0

(8 баллов)

5. Дана замкнутая пространственная ломаная А1А2А3…Аn. Некоторая плоскость пересекает все ее звенья: А 1А 2 в точке В1, А2А3 в точке в точке В2,…AnA1 в точке Вn. Докажите, что:

(9 баллов)

Решения

8 класс

1.  Каждый из не пронумерованных углов является вертикальным с одним из пронумерованных углов. Следовательно, сумма пронумерованных углов 180°, тогда Ð4+ Ð5 = 180°- 50°- 2 • 20° = 90° = 3 Ð5, откуда Ð5 = 30°.

2.  Пронумеруем арбузы от 1 до 10. Взвешивать будем в таком порядке:

1) 1+2+3; 2) 4+5+6; 3) 7+8+9;

4) 7+8+10; 5) 7+9+10; 6) 8+9+10

Сложив результаты четырех последних взвешиваний, получим утроенный общий вес арбузов 7, 8, 9 и 10. Разделив его на 3 и сложив с результатами первых двух взвешиваний, получим общий вес всех арбузов.

3. Приведем левую часть к общему знаменателю: а+.

Аналогично поступим с правой частью. Получим

Из условия видно, что а ≠ 0, в ≠ 0. Поэтому а2 + в2 > 0, Значит обе части равенства можно поделить на а2 + в2 . Получим, откуда а = в.

4. Ответ: через 7 мин.

Чтобы холодной воды было в 1,5 раза меньше, чем горячей, ее нужно набрать ванны. Для этого кран с ней должен быть открыт 17 • мин. Горячей воды нужно набрать ванны. Для этого кран с ней должен быть открыт 23• минуты.

Значит, горячая вода должна течь на = 7 мин дольше, т. е. холодную воду надо открыть через 7 мин,

5. Могло. Пусть в каждый клуб входят толстяки весом 110 кг, 111 кг, ..., 119 кг и во встрече «Толстых» с «Полными» образовались следующие «весовые» пары (первый участник - из «Толстых», второй - из «Полных»): 1; , ..., 118 - 119, 119 - 110. Тогда со счетом 9:1 победили «Полные». Аналогично можно «обеспечить» победы нужных клубов в двух других встречах.

Решения

9 класс (12-летней школы)

Обозначив Ð ВАО = х, выразим другие углы: ÐABO=180o-125°-x = 55°-x; ÐA = 2x; ÐB=110°-2x. Тогда ÐC = 180°-(ÐA + ÐB) = = 180°-110° = 70°

А С

2. Пронумеруем арбузы от 1 до 11. Взвешивать будем в таком порядке:

1) 1+2+3; 2) 4+5+6; 3) 7+8+9;

4) 7+10+11; 5) 8+10+11; 6) 9+10+11

Сложив результаты трех последних взвешиваний, получим общий вес арбузов 7, 8, 9 плюс утроенный общий вес арбузов 10 и 11. Разделив на 3 разность между этой суммой и общим весом арбузов 7, 8 и 9, получим общий вес арбузов 10 и 11. Прибавив к нему результаты первых трех взвешиваний, получим общий вес всех арбузов.

3. Пусть х - десятичная дробь, которую Петя переписал в тетрадь правильно, а у - дробь, которую он переписал неправильно. Из условия задачи получаем:

х+10у = 23,7 и х+y = 3,45 .

Вычтя из первого уравнения второе, получим: 9у = 20,25 или у = 2,25.

Тогда из первого уравнения х = 23,• 2,25 - 1,2.

Ответ: 1,2 и 2,25.

4. Обозначим цену хлеба через х, цену кваса - через у (до подорожания). Тогда, по условию: денежка =х+у. После повышения цен хлеб стал стоить 1,2х, квас 1,2у. Поэтому денежка = 0,5 хлеба + квас = 0,6х + 1,2у. Из этих уравнений получаем:

х + у = 0,6х+ 1,2у

Упрощая, получим 2х =у. Выразим денежку через у:

денежка = х + у = 1,5у.

После второго повышения цен квас стал стоить 1,2 • 1,2у = 1,44у.

Так как 1,5у > 1,44у, денежки на квас хватит.

5.  Занумеруем грузы а1, а2,...,an в том порядке, в каком их развозят, тогда стоимость перевозки равна:

а1(а1+2а2+2а3+…2ап)+а2(а2+2а3+…2ап)+…

…+ап-1(ап-1+2ап)+а2 1+а2 2+…+а2 п+2а1а2+2а1а3=…+2а1ап+2а2а3+…2ап-1ап=

(а1+а2+а3=…=ап)2

Получилось выражение, которое не зависит от порядка нумерации грузов.

9 класс (11-летней школы)

1. Посколькулошади выпили воды поровну.

2. Из условия следует, что а+в+с+а = а+в+с+ целое число. Значит, дробь сократима. Поскольку оба сомножителя в числителе больше знаменателя, то после сокращения от каждого из них останется число, большее единицы. Итак, a+e+c+d является произведением двух множителей, больших единицы, и, значит, не является простым.

3. Ответ: 30° и 60°

В

Пусть О – центр вписанной в данный ΔАВС окружности, Е – середина гипотенузы АВ. Пусть ВС £АС. Проведем ОК ^ ВС и ОМ ^АВ (М лежит на отрезке BE). Так как ОК = ОМ и ОЕ = ОС, то ΔОСК = ΔОЕМ, и поэтому ЕМ = КС. Так как ОВ — биссектриса ÐАВС, то KB = ВМ и поэтому СВ = СК + KB = ВМ + ME = BE = - АВ. Итак, гипотенуза в 2 раза больше катета ВС, значит ÐВАС = 30° и ÐАВС = 60°

4. Ответ: 6 км/ч.

Сначала (первые 5 часов) расстояние между теплоходами увеличивалось, затем (4 часа) не менялось, а после разворота теплохода в пункте В стало сокращаться. Поскольку сокращалось расстояние с той же скоростью, что и увеличивалось (с удвоенной собственной скорость теплоходов), то теплоход, побывавший в В, вниз по течению плыл ровно 5 часов, то есть проплыл после разворота расстояние, равное расстоянию от пристани до пункта А. Заметим также, что это расстояние на 20 км больше расстояния от пристани до пункта В.

Теперь легко найти расстояния от пристани до А и В: они равняются: (200 + 20): 2 = 110 и (: 2 = 90 километров соответственно. Следовательно, скорости теплоходов вверх и вниз по течению равны: ПО : 5 = 22 (км/ч) и 90 : 9 = 10 (км/ч) соответственно, а скорость течения реки: : 2 = 6 (км/ч)

5. Ответ: 3:2.

Пусть открытка представляла собой прямоугольник a x в. При разрезании ее на два прямоугольника одинаковой площади могли получиться либо прямоугольники , либо прямоугольник Для определенности будем считать, что Петя получил прямоугольники ; периметр одного такого прямоугольника равен 2= а + 2в.

Прямоугольник, оставшийся у Васи после первого разрезания, не мог иметь размеры . (В самом деле, если бы он был равен прямоугольнику, оставшемуся у Пети, то после второго разрезания у Васи остался бы либо прямоугольник , либо прямоугольник ; в обоих случаях периметр оказался бы меньше, чем a + 2в). Следовательно, после первого разрезания Вася имел прямоугольник. При втором разрезании одна из сторон этого прямоугольника уменьшилась вдвое, и, поскольку периметр прямоугольника меньше, чем а + 2в, то в итоге у Васи мог остаться только прямоугольник периметра 2(а +

Из равенства 2а + = a + 2в находим искомое отношение а : в = 3 : 2.

10 класс

1. Ответ: 6 см.

Решение. Так как треугольники САД и ДАВ равновеликие (SΔCAД = SΔДАВ), то = 33 см2.

Проведем высоту ДЕ в треугольнике АДС, тогда ДЕ • АС = 33 и ДЕ = = 6 (см).

По теореме Пифагора из треугольника АДЕ найдем АЕ=8 см, а из треугольника ДЕС (ЕС = 3 см) найдем ДС =3 см.

Так как АД - медиана треугольника ABC, то ВС=2ДС=6лсм.

2. Обозначим α= 3,5х, тогда 2 α = 7х;3 α = 10,5 и надо доказать тождество:

3.Ответ: не существует.

Приведенное квадратное уравнение, удовлетворяющее указанным условиям, существует, если выполняются следующие условия:

Из третьего и четвертого уравнений системы (1) следует, что х1 = ,

-, откуда и значит, из второго и четвертого уравнений этой системы, получим р2 + 4р+ 16 = 0. Последнее уравнение не имеет действительных корней, следовательно, система 1 несовместна. Таким образом, не существует приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0, сумма коэффициентов которого равна -13, а разность корней равна 6.

4. Ответ: 95.

Поскольку в числе РОЩА все цифры различны, оно не больше, чем 9876. Аналогично, число ДУБ не меньше 102, Поскольку 9876 : 102 = 96,8 ..., ДУБов не больше 96.

Но 102 • 96 = 9792 - не годится, 103 • 96 = 9888 - уже больше, чем 9876. Поэтому 96 ДУБов быть не может. А 95 ДУБов может: 103 • 95 = 9785.

5, Пусть, идя от школы к воротам, ученик записывает на каждом столбике, кроме последнего, разность между его высотой и высотой следующего столбика. На одиннадцати столбиках будут написаны отрицательные числа, а на остальных восьми – положительные числа или нули. При этом каждое из отрицательных чисел будет равно -10 или -20, каждое из положительных чисел будет равно 10 или 20, а сумма всех записанных чисел будет равна разности между высотами последнего и первого столбиков. Так как сумма отрицательных чисел не больше -110, сумма положительных должна быть не меньше 90 (иначе разность между высотами последнего и первого столбиков будет меньше -20), то есть положительных чисел должно быть не менее пяти. Осталось заметить, что если на столбике А написано положительное число, то ученик, идя от ворот к школе, отметит столбик, идущий перед А, как такой, который ниже следующего за ним.

11 класс

1. Ответ: 215 • 310 • 56

Решение. Запишем искомое число в виде: а=2к•3т•5п

Так как— квадрат целого числа, то числа к-1,7 т и п делятся на 2, аналогично числа к, т-1 и п делятся на 3, а числа к, т и п -1 делятся на 5.

Итак, к - нечетное число, которое делится на 3 и на 5. Наименьшим из таких натуральных чисел является 15. Аналогично получаем: т=10, п=6. Следовательно, искомое число имеет вид: 215 • 310 • 56

2. Решение.

Пусть L, N и M – середины отрезков КД, КС и СР соответственно. Легко видеть, что точки L и N симметричны относительно прямой КМ, Поэтому LM = NМ, а так как NM — средняя линия в треугольнике КСР,

то LM = NM. = КР и осталось показать, Р что отрезок КР равен стороне квадрата.

Но Ð KAP = 90° - Ð KAB = 90° - 60° = 30° и Ð KPA = 90° - Ð АВК = 30°, то есть Δ АКР - равнобедренный (АК = КР).

3. Ответ:

Решение. М =

4. Можно считать, что а ≥ в (случай а £ в аналогичен). Тогда в2 £ ав; а2≥ ав, поэтому а2 ≥ а2 + в2 - ав ≥ в2 , откуда а ≥ с ≥ в. Значит, первый множитель в выражении (а-с)(в-с) неотрицателен, а второй – неположителен. Поэтому произведение неположительно.

5. Доказательство.

Для доказательства тождества

Можно обозначить через h1, h2, .. hn — расстояния от точек А1, А2, ..., Ап до данной плоскости. Тогда значение выражения, стоящего в левой части (1), равно:

Содержание

	С.
Предисловие ………………………………………………………………	3
Задания 2002/2003 учебного года ………………………………………	4
Задания 2003/2004 учебного года ………………………………………	16
Задания 2004/2005 учебного года ………………………………………	26
Задания 2005/2006 учебного года ………………………………………	35
Задания 2006/2007 учебного года ………………………………………	45

Сборник задач

Математические олимпиады школьников

Составитель

Корректура

Набор

Верстка

Подписано в печать 2007 Формат 60 х 84

Усл. печ. л. 37 Заказ 73 Тираж 40

Учреждение образования

«Витебский областной государственный институт повышения квалификации

и переподготовки руководящих работников и специалистов образования»

г. Витебск, пр-кт Фрунзе, 21

Растиражировано на ксероксе УО «ВОГ ИПК и ПРР и СО»