Математические олимпиады школьников (стр. 1 )

УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ВИТЕБСКОГО ОБЛИСПОЛКОМА

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«ВИТЕБСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ

ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ И ПЕРЕПОДГОТОВКИ

РУКОВОДЯЩИХ РАБОТНИКОВ И СПЕЦИАЛИСТОВ ОБРАЗОВАНИЯ»

Математические олимпиады школьников

Сборник задач

Витебск • 2007

74.262.21

М 34

Печатается по решению редакционно-издательского совета учреждения образования «Витебский областной государственный ИПК и ПРР и СО»

Математические олимпиады школьников: сборник задач. – Витебск: УО «ВОГ ИПК И ПРР и СО», 2007. – 54 с.

В сборнике содержатся тексты задач по математике, предлагавшиеся для проведения ІІ (районного, городского) этапа математической олимпиады школьников в период с 2002 по 2006 годы с подробными решениями.

Издание адресовано методистам УМК, руководителям городских и районных методических объединений учителей математики, учителям математики, студентам математических факультетов педвузов, учащимся, увлекающимся математикой.

Составитель:	, методист отдела естественно-математи-ческих дисциплин УО «ВОГ ИПК и ПРР и СО»
Рецензент:	, доцент кафедры психологии, педаго-гики и частных методик УО «ВОГ ИПК и ПРР и СО», доктор педагогических наук

Предисловие

Перед вами сборник задач районных (городских) олимпиад школьников по математике Витебской области с 2002 по 2006 годы. Он содержит более ста задач с подробными решениями. Все задачи в том или ином смысле «нестандартные» – их решение требует смекалки, сообразительности, размышления. Некоторые из этих задач доступны большинству школьников, другие же более сложные. Важная особенность олимпиадных заданий состоит в том, что для их решения не требуется никаких знаний, выходящих за рамки школьной программы.

Но если олимпиадные задачи не требуют специальных знаний, то что же тогда отличает олимпиаду по математике от соревнования? В отличие от головоломок, хорошие математические задачи глубоко связаны с важными разделами современной математики, иллюстрируют основополагающие математические принципы.

Приведенные в сборнике решения задач не исключают других, которые могут оказаться более рациональными, более красивыми. Нахождение решения той или иной задачи обычно довольно трудно проследить, так как это решение рождается буквально на глазах. Неожиданно красивое решение или идея – вот, пожалуй, то общее, что роднит и объединяет математическую задачу с лучшими произведениями литературы и искусства.

Задания учебного года

7 класс

1. На какое число нужно умножить чтобы получить число, которое записывается одними восьмерками?

(3 балла)

2. В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 - в биологическом, 10 ребят не посещают кружки. Сколько биологов увлекается математикой?

(6 баллов)

3. Докажите, что ребус ЗАДАЧА + ЗАДАЧА = ТУРНИР не имеет решений

(5 баллов)

4. В выпуклом многоугольнике, который имеет 100 вершин, вершины пронумеровали по ходу движения часовой стрелки (1, 2, 3...). Диагональю, что соединяет 42-ю и 81-ю вершины, многоугольник разрезали на два многоугольника. Сколько сторон имеет каждый из получившихся многоугольников?

(6 баллов)

5. Четверо друзей-шахматистов перед началом шахматного турнира обсуждали свои возможности на призовые места. Вот что они говорили;

Олег: «Если я не займу первое место, то Леонид займет четвертое».

Леонид: «Если Сергей не займет первое место, тогда Олег выйдет на третье место».

Сергей: «У Олега положение в турнирной таблице будет лучше, чем у Павла».

Павел: «Могу сказать только, что все мы займем разные места».

Предположения друзей оправдались. Кто какие места занял в шахматном турнире?

(5 баллов)

8 класс

1.  В автобусе ехало не более 100 пассажиров, причем число сидящих пассажиров было в 2 раза больше числа стоящих. На остановке из автобуса вышло ровно 4% всех пассажиров. Найдите число пассажиров, оставшихся в автобусе.

(3 балла)

2.  Продлевая каждую сторону треугольника ABC на отрезок, равный этой стороне, получаем треугольник KLM, Площадь треугольника ABC равна 1. Чему равна площадь треугольника KLM?

(5баллов)

3.  Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и радиусу вписанного круга.

(6 баллов)

4.  Постройте график у = |1 - х| - |х - 2| - |х - 3|.

(5 баллов)

5.  За круглым столом сидят 7 гномов. Перед каждым стоит кружка. В некоторые из этих кружек налито молоко. Один из гномов разливает все свое молоко в кружки остальных поровну. Затем его сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и т. д. После того как последний, седьмой гном разлил всем остальным свое молоко, в каждой кружке оказалось столько молока, сколько было в ней вначале. Во всех кружках вместе молока 3 литра. Сколько молока было первоначально в каждой кружке?

(6 баллов)

9 класс

1.  Уравнение 12х3 + 4х2 - 17х + 6 = 0 имеет два корня, абсолютные величины которых взаимообратные числа, противоположные по знаку. Какие это корни?

(5 баллов)

2.  При каком значении а система двух линейных уравнений, одно из которых 2ах + 6у = 1, а другое геометрически изображается прямою, проходящей через точки (3; 0) и (0; а), имеет бесконечное множество решений?

(5 баллов)

3.  Отец старше сына на столько лет, сколько месяцев сыну. Во сколько раз отец старше сына?

(3 балла)

4.  Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, вдвое больше его. Доказать, что один из острых углов этого прямоугольного треугольника равен 30°

(6 баллов)

5.  Номер каждого автобусного билета - шестизначное число (несколько начальных цифр билета или даже все они могут быть и нулями). Билет называется счастливым, если сумма первых трех цифр его номера равна сумме трех последних его цифр. Докажите, что сумма всех номеров счастливых билетов делится на 13.

(6 баллов)

10 класс

1.  Доказать, что ( + ЗЗЗЗ4444) кратно 7.

(5 баллов)

2.  Решите неравенство:

|х2 + 5x + 6| - |х - 2| > |X2 + Зх - 4|

(6 баллов)

3.  Представить в виде суммы трех радикалов.

(5 баллов)

4.  Две окружности радиусов r и Зr внешне касаются. Определите площадь фигуры, заключенной между окружностями в общей к ним внешней касательной.

(6 баллов)

5.  Маша, Лида, Женя и Катя умеют играть на разных инструментах (виолончели, рояле, гитаре, скрипке), но каждая только на одном. Они владеют иностранными языками (английским, французским, немецким, испанским), но каждая только одним. Девушка, которая играет на гитаре, говорит по-испански, Лида не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка. Маша не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка. Девушка, которая говорит по-немецки, не играет на виолончели. Женя знает французский язык, но не играет на скрипке. Кто на каком инструменте играет и какой иностранный язык знает?

(5 баллов)

11 класс

1.  Докажите, что:

2

(5 баллов)

2.  Числа а, в, с образуют арифметическую прогрессию, числа а2, в2, с2 образуют геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

(6 баллов)

3.  Решите уравнение (х + 3)4+ (х + 5)4 = 16

(3 балла)

4.  Расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба равно d. Определите полную поверхность куба.

(6 баллов)

5.  Маша, Лида, Женя и Катя умеют играть на разных инструментах (виолончели, рояле, гитаре, скрипке), но каждая только на одном. Они владеют иностранными языками (английским, французским, немецким, испанским), но каждая только одним. Девушка, которая играет на гитаре; говорит по-испански, Лида не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка. Маша не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка. Девушка, которая говорит по-немецки, не играет ни виолончели. Женя знает французский язык, но не играет на скрипке.

Кто на каком инструменте играет и какой иностранный язык знает?

(5 баллов)

Ответы

7 класс

1.  2664

2.  6

3.  -

4.  40 и 62

5.1-е - Сергей, 2-е - Олег, 3-е - Павел, 4-е - Леонид

8 класс

1.  72 пассажира

2.  7

3.  -

4.  -

5.  0,

9 класс

1. 

2. 

3.  в 13 раз

4.  -

5.  Указание. Все счастливые билеты разбить на пары так, что сумма номеров в каждой паре будет равна 999999.

10 класс

1.  -

2.  (0; )

3.

4. (4r2

5. Маша - на рояле, немецкий;

Лида - на гитаре, испанский;

Женя - на виолончели, французский;

Катя - на скрипке, английский.

Или:

Лида - на рояле, немецкий;

Маша - на гитаре, испанский;

Женя - на виолончели, французский;

Катя - на скрипке, английский.

11 класс

1. –

2. 3-2

3. -3;-5

4. 18d2

5. Маша - на рояле, немецкий;

Лида - на гитаре, испанский;

Женя - на виолончели, французский;

Катя - на скрипке, английский»

Или:

Лида - на рояле, немецкий;

Маша - на гитаре, испанский;

Женя - на виолончели, французский;

Катя - на скрипке, английский.

Решения

7 класс

1. – …33667

667334 2664

2215548

2002002

2135468

2002002

1334668

1334668

0

2. Математикой или биологией занимаются: 35-10=25 (учащихся)

Из них 25-20=5 учащихся не занимаются математикой, а значит, занимаются биологией. Математикой увлекаются 11-5=6 биологов.

3. Сложение А+А должно быть выполнено в трех различных разрядах, при этом результаты записываются тремя различными буквами У, Н и Р. Но это невозможно, т. к. А+А может принимать только два значения – эта сумма является либо некоторым четным числом (если нет переноса из предыдущего разряда), либо следующим за ним нечетным числом (если есть перенос единицы из предыдущего разряда). Переноса двух единиц быть не может.

4. 40 и 62.

5. 1-ое – Сергей, 2-е – Олег, 3-е – Павел, 4-е Леонид.

8 класс

1. Решение.

Пусть в автобусе было п пассажиров, п < 100 и п - натуральное число, тогда 4% от n натуральное число, т. е. п делится на 25. По условию число сидящих пассажиров в 2 раза больше числа стоящих, значит, общее число пассажиров должно делится на 3.

Итак, среди первых ста натуральных чисел надо выбрать число, которое делится одновременно и на 3, и на 25. Это число 75. В автобусе было 75 пассажиров, 4% от них, т. е. 3 пассажира, вышли на остановке, а в автобусе остались 72 пассажира.

Ответ: 72 пассажира.

2. Решение.

Проведем дополнительные построения. Соединим отрезками точки А и М, В и К, С и L

Тогда 1 = SΔАВС = SΔBCL= SΔCML? т. к. у треугольников с равными высотами, проведенными к равным основаниям, площади равны.

Аналогично 1 — SΔАВС = SΔАСM= SΔАKM и 1 = SΔАВС= S ΔABK = SΔKBL

Таким образом, треугольник KLM составлен из семи треугольников единичной площади. Значит, SΔKLM = 7.

3. Анализ.

Известно, что в прямоугольном треугольнике r= р-с, отсюда r= (а +b+ с) – с и а +b= 2r + с. Построение прямоугольного треугольника теперь можно свести к построению его по сумме катетов и гипотенузе. Эта задача в свою очередь сводится к построению треугольника по стороне (2r + с), углу, равному 45° и прилежащему к этой стороне, противолежащей стороне, равной c.

Построение.

1) DA=2r+c

2) ÐBDA=45°

3) AB=c

4) BC^AD,

ΔАСВ - искомый.

Доказательство.

Вычислим радиус (х) круга, вписанного в ΔАСВ

х=

4. Постройте график у=|1-х|- |х-2|-|х-3|.

Решение.

5. Решение.

Каждый следующий гном будет разливать то же самое количество молока, что и предыдущий - пусть 6х литров (каждому гному наливается по х литров). Тогда после очередного переливания у разливавшего будет 0 литров молока, у его соседа (разливавшего перед ним) - х литров, у следующего (у него до этого было х) станет 2х, ..., у последнего, седьмого, гнома - 6х литров. Из уравнения х + 2х+ ... + 6х - 3 найдем х = 1/7 и получим ответ.

Ответ изображен на рисунке.

х+2х+3х+4х+5х+6х

Как бы ни были первоначально налиты 3 литра молока, его распределение будет стремиться к указанному в ответе распределению (0, 1/7, 2/7, 3/7,4/7, 5/7, у разливающего - 6/7).

9 класс

1. Пусть корни этого уравнения х1 и . Поставим их в уравнение:

12х13+4х12-17х1+6=0

(Умножим на х13

-12=+4х1+17х12+6х13=0

•2

30х12+25х1-30=0

6х12+5х1-6=0

Д=169, х1=

2. Уравнение другой прямой у=kх+в;

х=3; у=0, то 3k+в=0

х=0; у=а, то а=в, тогда 3k+а=0; k= и уравнение имеет вид
у= - или ах+у=3а

Система: 2ах+6у=1

ах+3у=3а имеет бесконечное множество решений, если

3. Пусть сыну х месяцев , тогда отцу лет. Найдем, во сколько раз отец старше сына:

= раз

4. Доказательство:

Площадь равностороннего треугольника где с – гипотенуза.

Площадь прямоугольного треугольника т. е. h – есть среднее пропорциональное между х и (с-х), то h22=х(с-х)

16х2-16сх+3с2=0

х1=

В ΔMNK: катеты МК=

Один из катетов ΔMNK половина гипотенузы MK, этот катет лежит против угла в 30°.

5. Каждому счастливому билету с номером N=fbcdef сопоставим билет с номером N0=999999-N=999999-FBCDEF=

(9-a)(9-b)(9-c)(9-d)(9-e)(9-f)

т. к. а+b+c=d+e+f, то и (9-a)(9-b)(9-c)=(9-d)(9-e)(9-f),и значит, билет с номером N1 – также счастливый. Таким образом, все счастливые билеты можно разбить всегда на пары так, что сумма номеров в каждой паре будет равна отсюда сумма всех номеров счастливых билетов делится на 999999, а тем более на 1001 (999999=1001*999). В свою очередь, 1001: 13, откуда и вытекает требуемое.

10 класс

№1. + 1+ 33334= (4444+1) (…+1) + (+1) (+1) = (4444+1) (…+1) +(3333+1) (+1) (+1)

4444+1=4445:7

3333-1=3332:7, значит 43333+ кратно 7

№2. |х2+5х+6|- |х-2 |> |х2+3х-4 |

|х+2| • |х+3|- |х-2|>|х+4| • |х-1|

Границы промежутков знакопостоянства области определения:

х1=-2; х2=-3; х3=2; х4=-4; х5=1.

Если х£-4, (-2-х) (-3-х) – (2-х) >(-4-х) (1-х) х>

Если -4<х£-3, то х2+5х+6+х-2>-х2-3х+4; 2х2+9х>0;

х>0

х<-4,5

-4<х£-3

Если -3<х£-2, то х<-12Ï(-3;-2]

Если -2<х£1, то получим х>0

х<-4,5 0<х£1

-2£х£ 1

Если х>2, то (х+2) (х+3)-(х-2)>х2+3х-4

х>- 1<х£

1<х£2

Если х>2, то (х+2)(х+3)-(х-2)> х2=3х-4

х>-12 х>2

х>2

Ответ: (0;1]U(1;2]U(2;¥)=(0;¥)

№3.

х+у+z=8 х+у+z=8 х+у+z=8

ху=10 х=5

хz=5 у=2

уz=2 z=1

№ 4.

Решение.

1. Пусть w(0;3r), w1(0;r) ОМ=3r, ON=r, OO1=4r, OM^MN, ON^MN (радиусы проведенные в точку касания).

2. Искомая площадь S (MmAnN)=S(OMNO1)- S(OMNO1)+ S(NO1An)).

S(OMNO1)-?

S(MОАm) - ?

S(NO1An) - ?

S(OMNO1)= (OM+O1N)*MN= (3r+r)*MN MN?

Через А проведем общую касательную, которая пересечет MN в точке С, СА=СN-CM – отрезки касательной проведенных из одной точки.

3. Из О проведем ОВ | |MNÞO1B=MN; O1N=MB (противолежащая стороны треугольника), ОВ=ОМ-МВ=2r.

Из Δ ОО1В(прямоугольный) О1В=MN= =2r . Отсюда АС=МС=СN=r.

S(OMNO1)=

4. S(MОАm)= CO - биссектрисаÐМОА

S(NO1An)= СО1 биссектриса ÐNO1A

ΔCO1A и ΔCOA- прямоугольные (3)

О1С=60 °, АО1N= , S(NO1AN)=

tgOC=30°; AOM=

S(MmAnN)=4r2

Ответ:

№5.

1. На языке «графов» решение задачи сводится к построению 4-х треугольников с «сплошными» сторонами и вершинами в разных множествах.

2. Штриховой линией соединяем две точки разных множеств, если они характеризуют признаки разных людей, «сплошной» - если они характеризуют признаки одного человека.

3. Если у треугольника одна сторона сплошная, а вторая «штриховая», то третья должна быть «штриховой».

4. Если какая-либо точка соединена двумя точками двух других множеств «штриховыми» отрезками, то его нужно «замкнуть» сплошным отрезком.

5. Если в треугольнике с вершинами в разных множествах две стороны «сплошные», то и третья сторона будет «сплошной».

11 класс

№1. Умножим обе части равенства на sin2a (sina¹0)

sina· sina+ sina·sin3a+///sina sina(2n-1) a=(sin n a)2

sina·sina=(1-cos2a)

sina·sin3a=( cos2 a- cos4 a)

+ sina · sin5a= ( cos4 a- cos6 a)…

sina · sin(2n-1) a= ( cos(2n-2) a- cos(2n a))

sina · sina+ sina · sin3a+ sina · sin5a+…+ sina · sin(2n-1) a= (1- cos (2n a))= sin2na

Разделив обе части этого равенства на sin2a, получим:

№2. a, в,с – арифметическая прогрессия;

d - разность арифметической прогрессии;

а2,в2,с2 – геометрическая прогрессия;

q – знаменатель.

в=а+ d, с=а+2d

q= q2=

=

а4+4а3d+6а2d+4аd3+d4 = а4+4а3d+4а2d2

d2(d2+4аd+2а2)=0, d=0

d2+4аd+2а2=0

d=-2а±а

№3. (х+3)4+(х+5)4=16

Положим

по схеме Горнера х=-2

1	4	12	16
1	2	8	0

Д<0, действительных корней нет.

№ 4. Решите сами

№ 5. (см №5, 10 кл)

Задания 2003/04 учебного года

7 класс

1. Найти последнюю цифру числа 22п +32п (п - натуральное число, отличное от 1)

(4 балла)

2. X и У - целые числа, такие, что 3х + 7у делится на 19. Докажите, что 43х + 75у тоже делится на 19

(5 баллов)

3. Квадраты со сторонами 15 дм и 17 дм пересекаются. После удаления их общей части остались две области. Чему равна разность их площадей?

(4 балла)

4. Коля купил в буфете 3 пакетика ирисок, Витя - 2 пакетика. Когда подошла очередь Алеши, ирисок уже не было. Друзья разделили купленные ириски поровну. Выяснилось, что Алеша должен друзьям 25 монет одинакового достоинства. Сколько стоит пакетик ирисок и по сколько монет Алеша должен Коле и Вите?

(6 баллов)

5. Можно ли соединить между собой 17 телефонов так, чтобы каждый из них был соединен с 15 другими?

(6 баллов)

8 класс

1. Задача древних римлян.

Один человек перед смертью сделал такое завещание: «В случае рождения сына завещаю ему 2/3 наследства, а матери - 1/3. В случае рождения дочери отдать ей 1/3 наследства, а матери - 2/3». Как поделить наследство, чтобы выполнить условия завещания, если родились мальчик и девочка?

(3 балла)

2. Сестре теперь втрое больше лет, чем было ей тогда, когда брат был в ее возрасте. Когда сестре будет столько лет, сколько теперь брату, то им обоим будет вместе 96 лет. Сколько лет каждому из них сейчас?

(6 баллов)

3. Пусть АВСД квадрат, N - любая точка стороны ДС, М - стороны АД; Р - точка пересечения прямых AN и ВМ, Q - точка пересечения прямых МС и AN, R - точка пересечения прямых СМ и BN.

Докажите, что S BPQR= S ДМQN + SCRN+ SAPM

(6 баллов)

4. Найдите сумму:

(3 балла)

5. Можно ли на листе клетчатой бумаги размером 20x30 клеток провести прямую так, чтобы пересечь 50 клеток?

(7 баллов)

9 класс

1. Найдите все натуральные числа n , при которых уравнение

х2 -7nх+150 = 0 имеет два целых корня.

(4 балла)

2. Через точки А и В проведите две прямые так, чтобы угол между ними делился данной прямой MN пополам.

(5 баллов)

3. Петя, проезжая в вагоне трамвая, заметил Васю, шедшего пешком параллельно линии трамвая в противоположную сторону. Через 10 сек. он вышел из вагона и отправился догонять Васю. Зная, что Петя шел вдвое быстрее Васи и в пять раз медленнее трамвая, определите, через сколько времени Петя догонит Васю.

(6 баллов)

4. Автор учебника, читая условие одной из задач, пометил описку в условии: «Отложить на левой стороне угла в 60° 9 см, на правой стороне... см. Чему равно расстояние между полученными таким образом точками?». Составитель увеличил на 1 число сантиметров на месте поставленных точек и не изменил ответа, напечатанного в конце учебника. На удивление, описка не привела к ошибке. Какое число было набрано в задаче?

(5 баллов)

5. Вифсла, Тофсла и Хемуль играли в снежки. Первый снежок бросил Тофсла. Затем в ответ на каждый попавший в него снежок Вифсла бросал 6 снежков, Хемуль - 5, а Тофсла - 4 снежка. Через некоторое время игра закончилась. Найдите, в кого сколько снежков попало, если мимо цели пролеснежков. (В себя самого снежками не кидаются).

(5 баллов)

10 класс

1. Решите уравнение:

4 балла

2. Найдите наибольшее значение отношения периметра прямоугольного треугольника к его гипотенузе. Вычислите это значение с точность до 0,1.

(4 балла)

3. Числа а, в,с,d различны, причем а и в удовлетворяют уравнению

х2 -2cx-5d = 0,

а с и d удовлетворяют уравнению х2 – 2ах – 5в = 0 Найдите а+в+с+d

(5 баллов)

4. Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, разбивает его на треугольники с периметрами Р1 и Р2 . Вычислите периметр данного треугольника.

(6 баллов)

5. Степан и Михаил должны были встретиться на вокзале, чтобы вместе поехать на поезде, который отправляется в 8 часов утра. Степан думает, что его часы спешат на 25 мин., хотя в действительности они отстают на 10 мин. Михаил думает, что его часы отстают на 10 мин., хотя в действительности они спешат на 5 мин. Что получится, если каждый из друзей, положившись на свои часы, будет стараться прийти на вокзал за 5 мин. до отправления поезда?