Курсовая работа по дисциплине «Прикладная математика» (стр. 5 )

xj - число изделий, производимых в j - й месяц;

yj - величина запаса к началу j го месяца (это число не содержит изделий, произведенных в j - м месяце);

dj - число изделий, которые должны быть отгружены в j - й месяц;

fj (xj, yj+1) - затраты на хранение и производство изделий в j - м месяце.

Будем считать, что величины запасов к началу первого месяца y1 и к концу последнего yn+1 заданы.

Задача состоит в том, чтобы найти план производства (x1, x2, ..., xn)

компоненты которого удовлетворяют условиям материального баланса

xj + yj - dj = yj+1 j = 1,n

и минимизируют суммарные затраты за весь планируемый период

Пусть спрос (заявки) потребителей на нашу продукцию составляют: на первый этап d1=4 единицы, на второй – d2=5, на третий - d3=1 единицы. К началу первого этапа на складе имеется только 4 единицы продукции, т. е. начальный уровень запаса равен y1=4. Затраты на хранение единицы продукции на разных этапах различны и составляют соответственно h1=4, h2=7, h3=0. Затраты на производство xj единиц продукции на j-м этапе определяются функцией

jj(xj) = 5xj2 + 2 , т. е. а=5; b=0; с=2.

Требуется указать, сколько единиц продукции на отдельных этапах следует производить, чтобы заявки потребителей были удовлетворены, а наши общие затраты на производство и хранение за все три этапа были наименьшими.

Исходные данные задачи можно кратко записать одной строкой:

d1 d2 d3 a b c h1 h2 h3 y1

0 4

Воспользовавшись рекуррентными соотношениями, последовательно вычисляем F1 (x = y2), F2 (x = y3), ..., Fk (x = yk+1), ... и соответственно находим

1 (x= y2), 2 (x = y3 ), ..., `k (x = yk+1), ...

Положим k = 1. Тогда

Параметр состояния x = у2 может принимать целые значения на отрезке

0 у2 d2 + d3 0 y2 5 + 1 т. е. у2 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

При этом каждому значению параметра состояния должна отвечать определенная область изменения переменной x1, 0 х1 4 + у2

Однако, на первом этапе объем производства х1 не может быть меньше единицы, так как спрос d1 = 4, а исходный запас у1 = 4. Более того, из балансового уравнения х1 + у1 - d1 = у2 непосредственно следует, что объем производства связан со значением параметра состояния x= у2 соотношением x1 = y2 + d1 - y1 = y2 + 4 - 4 = y2

Если задан уровень запаса к началу первого этапа, то каждому значению у2 отвечает единственное значение х1 и потому F1(x = y2) = W1 (x1, y2)

Придавая у2 различные целые значения от 0 до 6, находим

y2 = 0, x1 = 0 , W1 (0;0) = 5×02 + 2 + 0 = 2

y2 = 1, x1 = 1 , W1 (1;1) = 5×12 + 2 + 1 = 7

y2 = 2, x1 = 2 , W1 (2;2) = 5×22 + 2 + 2 = 24

y2 = 3, x1 = 3 , W1 (3;3) = 5×32 + 2 + 3 = 50

y2 = 4, x1 = 4 , W1 (4;4) = 5×42 + 2 + 4 = 86

y2 = 5, x1 = 5 , W1 (5;5) = 5×52 + 2 + 5 = 132

y2 = 6, x1 = 6 , W1 (6;6) = 5×62 + 2 + 6 = 188

x = y2	0	1	2	3	4	5	6
F1 (x = y2)	2	7	24	50	86	132	188
x1(x=y2)	0	1	2	3	4	5	6

Переходим ко второму этапу. Полагаем k = 2 и табулируем функцию F2(x = y3)

Здесь минимум берется по единственной переменной х2, которая может изменяться в пределах 0 £ x2 £ d2 + y3 или 0 £ x2 £ 5 + y3, где верхняя граница зависит от параметра состояния x = у3, который принимает значения на отрезке 0 £ y3 £ d3 , т. е. 0 £ y3 £ 1,

а аргумент у2 связан с х2 и у3 балансовым уравнением x2 + y2 - d2 = y3 ,

откуда следует y2 = y3 + d2 - x2 = y3 + 5 - x2

Придавая параметру состояния значения 0 и 1, будем последовательно вычислять W2 (x2, x), а затем определять F2(x ) и 2(x ).

Пусть x = у3 = 0. Тогда 0 £ x2 £ 5, т. е. переменная х2 может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5, а каждому значению х2 отвечает определенное значение у2, вычисляемое по формуле у2 = 0 + 5 - х2

Последовательно находим:

если x2 = 0, то y2 = 5 – 0 = 5, W2 (0,0) = 5×02 + 2 + F1(5) = 2 + 132 = 134,

x2 = 1, y2 = 5 – 1 = 4, W2 (1,0) = 5×12 + 2 + F1(4) = 7 + 86 = 93,

x2 = 2, y2 = 5 – 2 = 3, W2 (2,0) = 5×22 + 2 + F1(3) = 22 + 50 = 72,

x2 = 3, y2 = 5 – 3 = 2, W2 (3,0) = 5×32 + 2 + F1(2) = 47 + 24 = 71,

x2 = 4, y2 = 5 – 4 = 1, W2 (4,0) = 5×42 + 2 + F1(1) = 82 + 7 = 89,

x2 = 5, y2 = 5 – 5 = 0, W2 (5,0) = 5×52 + 2 + F1(0) = 127 + 2 = 129,

Наименьшее из полученных значений W2 есть F2 (0), т. е.

F2 (x = y3 = 0) = min W2 (x2,0) = min (134, 93, 72, 71, 89, 129) = 71,

x2

причем минимум достигается при значении х2, равном `2 (x = y3 = 0) = 3.

Пусть x = у3 = 1. Тогда 0 £ x2 £ 5, т. е. переменная х2 может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Последовательно находим:

если x2 = 0, то y2 = 5 – 0 = 5, W2 (0,1) = 5×02 + 2 + 7×1 + F1(5) = 9 + 132 = 141,

x2 = 1, y2 = 5 – 1 = 4, W2 (1,1) = 5×12 + 2 + 7×1 + F1(4) = 14 + 86 = 100,

x2 = 2, y2 = 5 – 2 = 3, W2 (2,1) = 5×22 + 2 + 7×1 + F1(3) = 29 + 50 = 79,

x2 = 3, y2 = 5 – 3 = 2, W2 (3,1) = 5×32 + 2 + 7×1 + F1(2) = 54 + 24 = 78,

x2 = 4, y2 = 5 – 4 = 1, W2 (4,1) = 5×42 + 2 + 7×1 + F1(1) = 89 + 7 = 96,

x2 = 5, y2 = 5 – 5 = 0, W2 (5,1) = 5×52 + 2 + 7×1 + F1(0) = 134 + 2 = 136,

Наименьшее из полученных значений W2 есть F2 (1), т. е.

F2 (x = y3 = 1) = min W2 (x2,1) = min (141, 100, 79, 78, 96, 136) = 78,

x2

причем минимум достигается при значении х2, равном `2 (x = y3 = 1) = 3.

x= у3	0	1
F2 (x= y3)	71	78
(x= y3)	3	3

Переходим к следующему этапу. Полагаем k=3 и табулируем функцию F3 (x = y4):

Вычисляем значение функции состояния только для одного значения аргумента x = у4 = 0, так как не хотим оставлять продукцию в запас в конце исследуемого периода.

0 £ x3 £ d3 + y4 или 0 £ x3 £ 1 + y4, 0 £ x3 £ 1 , y3 = y4 + d3 – x3 = 1 – x3

Пусть x3 = 0, y3 = 1 – 0 = 1: W3 (0,0) = 5×02 + 2 + F2(1) = 2 + 78 = 80,

x3 = 1, y3 = 1 – 1 = 0, W3 (1,0) = 5×12 + 2 + F2(0) = 7 + 71 = 78,

Получаем F3 (x = y4 =0) = min W3 (x3,0) = min (80, 78) = 78, минимум достигается при значении переменной х3, равной `3 (x = y4 = 0) = 1.

Таким образом, мы получили не только минимальные общие затраты на производство и хранение продукции, но и последнюю компоненту оптимального решения. Она равна = 1.

Чтобы найти предпоследнюю компоненту, учтем, что х3 + у3 - d3 = y4 или 1 + у3 - 1 = 0,

oткуда у3 = 0. Находим

Учитывая, что x2 + y2 – d2 = y3 или 3 + y2 – 5 = 0, y2 = 2 ,

Таким образом, оптимальный план производства имеет вид х1 = 2, х2 = 3, х3 = 1, а минимальные общие

затраты составляют 78 единиц.

Полезна самопроверка полученного результата. Для этого по исходным данным и найденному плану производства заполняем таблицу и убеждаемся, что заявки потребителей на каждом этапе выполняются

у1 + х1 ³ d1 у2 + х2 ³ d2 у3 + х3 ³ d3

4 + 2 ³ 4 2 + 3 ³ 5 0 + 1 ³ 1

и что суммарный объем производства и имевшегося к началу первого этапа запаса продукции равен суммарной потребности

у1 + х1 + х2 + х3 = d1 + d2 + d3

4 + 2 + 3 + 1 = 4 + 5 + 1

7. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества

Первый и Второй игроки играют в матричную игру с матрицей А = (aij). Стратегия первого есть P, а стратегия второго – Q.

В нашем случае имеем:

Седловой точки нет, что легко видеть:

					min aij
	1	-2	4	3	-2
	4	1	-2	-3	-3
max aij	4	1	4	3

-2 ≠ 1

Для начала необходимо свести нашу игру (2*4) к игре 2*2. Для этого необходимо графическое решение.

Отсюда видно, что данная матричная игра сводится к следующему варианту:

-2	3	p1
1	-3	p2
q1	q2

Имеем

Понятно, что p1 = 1 – p2. Отсюда

-2 + 2p2 + p2 = 3 – 3p2 – 3p2

-2 + 3p2 = 3 – 6p2

9p2 = 5 => p2 = 5/9, p1 = 4/9

Аналогично с q1 и q2. Получаем q1 = 2/3, q2 = 1/3

Пару оптимальных стратегий для каждого из игроков:

P* = (4/9, 5/9)

Q* = (2/3, 1/3)

Рассчитаем цену игры υ, получаем:

υ = -2 * 4/9 + 1 * 1/5 = -8/9 + 5/9 = -3/9 = -1/3

Цена игры есть математическое ожидание случайной величины W(P, Q), а, учитывая, что выигрыш одного есть проигрыш другого, имеем:

υ = m1 = m2

Рассчитаем риски игры r для Первого и Второго игроков:

r = δ = √D, D(x) = M(x2) – M2(x)

D1 = 4 * 4/9 + 5/9 – (-1/3)2 = 16/9 + 5/9 – 1/9 = 20/9

δ1 = √20/9 = 2√5/3 . 1,5

r1 = δ1 = 1,5

D2 = 9 * 4/5 + 9 * 5/9 –1/9 = 4 + 5 – 1/9 = 80/9

δ 2 = √80/9 = 4√5/3 . 3

r 2 = δ2 = 3

Рассчитаем среднюю дисперсию и риск:

D = 4 * 4/9 * 2/3 + 5/9*2/3 + 9 * 4/9 * 1/3 + 9 * 5/9 * 1/3 – (-1/3)2 = 32/27 + +10/27 + 36/27 + 45/27 – 1/9 = 120/27 = 40/9

δ = √40/9 = 2√10/3 . 2,1

R = δ = 2,1

8. Анализ доходности и риска финансовых операций

Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопределённости и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции раскованы, т. е. при их проведении возможны как прибыль, так и убыток (или не очень большая прибыль по сравнению с той, на что надеялись проводившие эту операцию).

Как оценить операцию с точки зрения её доходности и риска? Для этого существует несколько разных способов. Наиболее распространённым является представление дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отклонения этого случайного дохода.

Проведём анализ доходности и риска финансовых операций. В нашем случае даны четыре операции, известны доходы и вероятности получения этих доходов:

Q1:	-6	-5	-4	3
1/3	1/3	1/6	1/6

Q2:	0	8	12	20
1/5	1/5	1/5	2/5

Q3:	-6	-2	0	4
1/5	1/5	1/5	2/5

Q4:	0	2	10	28
1/5	2/5	1/5	1/5

Найдём средние ожидаемые доходы Qi и риски ri операций по соответствующим формулам:

Q = ∑ qipi, где pi есть вероятность получить доход qi.

ri = √Di, где Di = M(Q2) – Q2.

Q1 = -2 – 5/3 – 2/3 + 1/2 = -23/6; D1 = 12 + 25/3 + 8/3 + 3/2 - 23/6 = 353/36; r1 = √353/36 . 3,1

Q2 = 8/5 + 12/5 + 8 = 12; D2 = 64/5 + 144/5 + 800/5 – 144 = 288/5; r2 = √288/5 . 7,6

Q3 = -6/5 - 2/5 + 8/5 = 0; D3 = 36/5 + 4/5 + 32/5 – 0 = 72/5; r3 = √72/5 . 3,8

Q4 = 4/5 + 10/5 + 28/5 = 42/5; D4 = 8/5 + 100/5 + 784/5 – 42/5 = 170;

r4 = √,04

Нанесём средние ожидаемые доходы Q и риски r на плоскость.

Получили 4 точки. Чем правее точка (Q; r), тем более доходная операция, чем точка выше – тем более она рисковая. Нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (QN; rN) доминирует над точкой (Q; r), если QN $ Q и rN $ r и хотя бы одно из этих неравенств строгое.

В нашем случае, например, 2-ая доминирует над 4-ой.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая даёт одно число, по которому и определяют лучшую операцию. По нашему условию такая формула есть φ(Q) = 2Q-r. Тогда получаем:

φ(Q1) = -46/6 – 3,1 = 10,8

φ(Q2) = 24 – 7,6 = 16,4

φ(Q3) = 0 – 3,8 = - 3,8

φ(Q4) = 84/5 – 13,04 = 3,76

На основе этого видно: лучшей операцией является операция №2, а худшей – операция №3.

9. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг

Перед нами стоит задача сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из трёх видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 4 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 6 и 12 и рисками 3 и 10. Определить, как устроена рисковая часть оптимального портфеля, а также при какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции “short sale” и с какими ценными бумагами
.

При исследовании финансового рынка дисперсию иногда называют вариацией V и рискованность обычно отождествляют со средним квадратическим отклонением.

Итак, получили m0 = 4; ; .

Зададимся эффективностью портфеля mp.

Находим обратную матрицу к матрице V, она равна

Теперь вычисляем знаменатель:

Оптимальное значение долей есть

Подставив полученные ранее значения, получим

Отсюда рисковые доли соответственно равны:

Следовательно, безрисковая доля:

Найдём теперь значение mp, при котором возникает необходимость в проведении операции “short sale”:

При mp > 7, то X0* < 0 и необходимо провести операцию “short sale”