Курсовая работа по дисциплине «Прикладная математика» (стр. 1 )

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Государственный Университет Управления

Кафедра прикладной математики

Курсовая работа

по дисциплине «Прикладная математика»

Выполнил
Институт
Специальность
Специализация
Отделение
Курс
Группа
Руководитель
Дата сдачи на проверку
Дата защиты
Оценка
Подпись руководителя

Москва 2010

Оглавление

1. Линейная производственная задача. 3

2. Двойственная задача. 7

3. Расшивка узких мест. 9

4. Транспортная задача линейного программирования. 11

5. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений. 14

6. Динамическая задача управления производством и запасами. 17

7. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества. 20

8. Анализ доходности и риска финансовых операций. 22

9. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг. 24

1. Линейная производственная задача

Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли.

Технологическая матрица A, в которой каждый элемент aij означает необходимое количество i-го ресурса для выпуска j-го вида продукции:

Вектор B объемов ресурсов, каждый элемент которого bi означает предельное количество i-го ресурса для выпуска всего объема продукции:

Вектор удельной прибыли C, элементы которого cj означают прибыль от производства единицы продукции j-го вида:

Количество каждого из товаров задаётся с помощью производственной программы:

, где

x1, x2, x3, x4 - кол-во 1-ой, 2-ой, 3-ей и 4-ой продукции соответственно.

Технологическая матрица затрат показывает какое количество ресурсов требуется для производства 1 единицы продукции. Каждому виду продукции соответствует столбец в технологической матрице затрат А. Каждая строка матрицы А соответствует одному из видов ресурсов. Чтобы получить расход каждого ресурса при заданной производственной программе перемножим матрицу А и вектор производственной программы X:

Каждый элемент полученного вектора равен расходу соответствующего ресурса при заданной производственной программе, т. е. при . Так как матрица А указывает на необходимое количество определённого ресурса для производства 1 единицы продукции, то умножая это число на общее количество продукции данного вида мы получим расход данного ресурса для производства заданного количества определённого вида продукции. Сложив расход ресурса по всем видам продукции, мы получим общий расход ресурса.

Вектор В указывает на располагаемое количество ресурсов. Каждый элемент соответствует одному виду ресурса. Таким образом, при производстве при заданной производственной программе X и объеме располагаемых ресурсов B должны выполняться неравенства для каждого ресурса:

Вектор С указывает на прибыль от продажи 1 единицы продукции каждого вида. Каждый элемент вектора соответствует одному виду продукции. Чтобы найти прибыль от каждого вида продукции следует помножить вектор производственной программу X на вектор удельной прибыли С:

Сложив элементы полученного вектора мы получим совокупную прибыль от продажи всей продукции при заданном векторе производственной программы X. Так как x1, x2, x3, x4 – неизвестные запишем полученное выражение в виде функции:

Z = 26x1 + 35x2 + 18x3 + 30x4

Для достижения максимальной прибыли требуется найти максимум полученной функции Z. При этом x1, x2, x3, x4 по смыслу ³ 0. Учитывая условия ограничения по ресурсам, получим задачу на условный экстремум:

Z = 26x1 + 35x2 + 18x3 + 30x4 → max

0, 0, 0, 0

Для ее решения систему неравенств при помощи дополнительных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений

Z = 26x1 + 35x2 + 18x3 + 30x4 → max

0, 0, 0, 0

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов, а именно

х5 – остаток ресурса 1-го вида,

х6 – остаток ресурса 2-го вида,

х7 – остаток ресурса 3-го вида.

Решаем полученную задачу симплексным методом (методом направленного перебора базисных допустимых решений):

			26	35	18	30	0	0	0
C	Базис	Hi	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	α
0	Х5	126	2	5	1	4	1	0	0	25,2
0	Х6	84	3	0	7	2	0	1	0	-
0	Х7	75	2	1	4	0	0	0	1	75
	P	0	-26	-35	-18	-30	0	0	0
35	X2	126/5	2/5	1	1/5	4/5	1/5	0	0	63,75
0	Х6	84	3	0	7	2	0	1	0	28
0	Х7	249/5	8/5	0	19/5	-4/5	-1/5	0	1	31,125
	P	882	-12	0	-11	-2	7	0	0
35	Х2	14	0	1	-11/15	8/15	1/5	-2/15	0
26	Х1	28	1	0	7/3	2/3	0	1/3	0
0	Х7	5	0	0	1/15	-28/15	-1/5	-8/15	1
	P	1218	0	0	17	6	7	4	0

Как видно из последней симплексной таблицы, оптимальная производственная программа имеет вид

х1 = 28, х2 = 14, х3 = 0, х4 = 0,

а максимальная прибыль равна

Zmax = 1218

При этом 1-й и 2-й ресурсы будут исчерпаны полностью (х5=0, х6=0), а 3-й ресурс будет иметь остаток х7 = 5 единиц.

При выполнении производственной программы 1-й и 2-й ресурсы используются полностью, то есть образуют “узкие места производства”.

Проверим получившийся результат.

Воспользуемся тем, что в оптимальной производственной программе x3 = 0 и x4 = 0. Предположим, что третью и четвертую продукции мы не намеревались выпускать с самого начала. Рассмотрим задачу с оставшимися двумя переменными. Математическая модель будет выглядеть следующим образом:

Z = 26x1 + 35x2 ® max x2

75 III II

x1 ³ 0, x2 ³ 0

Grad(26;35)

2x1 + 5x2 = 126 25,2

x1 = 28