Механика (стр. 4 )

турли ва=тлар орасида турли иш бажарилганда ва=тнинг кичик Dt оралигидаги DА иш =аралади ва =увватнинг ыртача =иймати

(2)

формула ёрдамида ани=ланади. Таъсир этувчи куч ызгарувчан былганда, оний =увват.

(3)

тенглик ёрдамида ани=ланади.

Бажарилган иш ифодасидан фойдаланиб оний =увват учун

(4)

бо\ланишни оламиз. (4) га кыра =уйидагини ёзамиз.

+увват таъсир этувчи куч ва щаракат тезлиги векторларининг скалар кыпайтмасига тенг. (41 расм).

5. +увват бирлиги. Вт, Ж/с, эрг/с, кгм/с.

+увват бирлиги сифатида Си системасида ватт(втт) олинган:1 Вт-1с давомида 1ж иш бажарадиган иш бажарувчи =увватдир.

[N]=[A]/[t]=Ж/c=Вт.

=увват ылчами - [N]=L2MТ - 3.

6.Энергия ща=ида тушунча.

Жисмлар Механик щаракати ёки щолатининг ылчови щаракат ми=дори катталигидир. Жисм щаракатининг турли шакллари (механик, иси=лик, эле=тромагнит ва бош=а) мавжуд эканидан ва улар жисмлардаги щаракат ызгаришлари натижасида бир-бирига ытиши мумкин эканидан щаракат ми=дори ылчов сифатида етарли былмай =олади. Буни тенг массали, бир хил тезликда бир-бирига томон щаракатланувчи шарлар мисолида изощлаш мумкин. Улар ты=нашгунча Механик щаракатда эдилар, лекин ты=нашгач тыщтаб =олдилар, щаракат йы=олди. Лекин бу щаракат шарлардаги исси=лик ми=дорини орттиришга сарфланиб, ундаги молекулалар щаракатини ызгартиради. Бу ызгаришни щаракат ми=дори тушунчаси билан тушунтриб былмайди.

Материянинг барча ызгаришларида ызгармас катталик ва умумий ылчов энергиядир.

Материянинг щаракати абадий былганидан, энергия материянинг барча шаклларида намоён былувчи материя щаракати (механик, исси=лик, электрамагнит ва бош=алар)нинг ягона ми=дорий ылчовидир.

Система щолатини ани=ловчи физикавий катталиклар щолат параметрлари дейилади. Масалан, жисмлар системасининг механик щаракати щолатини тезлик ва уларнинг ызаро жойлашишининг берилиши билан ани=ласак, газ щолатини ани=лаш учун унинг босими, щажми, температурасини берилиши зарур.

Энергия щолат параметрлари билан ми=дорий бо\ланган былади.

Энергия система щолатининг функциясидир.

Жисмларнинг ызаро таъсири натижасида механик щаракат жисмлар орасида та=симланиши, Механик щаракатнинг бир тури бош=а турга ытиши мумкин. Шу каби барча жараёнларида берилган щаракат ми=дори бажарилган ишга пропорционал былади.

Иш бир жисмдан бош=а жисмга щаракатни узатиш ылчовидир ёки энергиянинг бир жисмдан бош=а жисмга ытиш ылчовидир.

Содда =илиб айтганда, механик иш энаргия ызгаришининг ылчовидир. Табиатда материя щаракати узлуксиз ва чексизлигидан мавжуд материянинг энергияси йы=олмайди ва йы=дан пайдо былмайди. Бу табиатнинг асосий =онуни энергиянинг са=ланиш =онунидир. Хар бир жисм ва жисмлар системаси муайян энергия запасига эгадир. Барча процесслар ва щодисаларда энергия бир жисмдан бош=а жисимга ёки жисмнинг бир =исмидан бош=а =исмига ытади. Лекин материя щаракатининг турли шакллари бир-бирига ытиши мумкин. Демак, материя щаракатининг турли шакллари мавжуд, энергия барча шаклдаги щаракатларининг ягона ылчовидир. +ис=алик учун механикавий энергия, "Исси=лик энергия", "Электр энергия" ва хоказо дейилади. Бундан энергиянинг турли экани келиб чи=майди. Буни "Жисмнинг механик щаракатига мос келган энергия катталиги", "исси=лик щаракатига мос келган энергия катталиги", ва хоказо деб тушунмо= зарур.

Бажарилган иш энергия ызгаришнинг ылчови эканидан иш ва энергия бирлиги бир хилдир. Си системасида энергия бирлиги (жоуль =1ж ва СГС системасида 1 эрг ва практик системада 1кГм олинади.

7. Кинетик энергия.

Жисмнинг текис щаракат кинетик энергияси.

а) Моддий ну=та (жисм ёки система) куч таъсирида тезлигини ызгартиради, ёки тезланиш олади. Кучнинг =ыйилиш ну=таси кычади, куч таъсири келиб чи=аётган система иш бажаради, щаракатланётган жисм (система) энергияси ызгаради. Куч таъсирда щаракатланаётган жисмнинг энергияси кинетик (грекча kinema-щаракат сызидан олинган) энергия дейилади.

Жисмнинг кинетик энергияси катталигини ёки щаракат энергиясини жисмнинг ушбу щаракатини юзага келтириш учун бажарилиши зарур былган иш катталиги быйича ани=лаш мумкин. F куч m массали жисмга таъсир =илсин ва унинг v1 тезликдаги щолатидан v2 тезликкача ызгартирсин. Жисм щаракати тезлиги бу куч таъсирида v1 дан v2 гача (ызгаргунча) Dt ва=тда DS масофа босиб ытган былсин. Бажарилган иш катталиги.

(1)

былиб, F=constant эканидан, щаракат текис тезланувчан былади.

Tезланиш.

(2)

былганидан, таъсир этувчи куч катталиги.

(3)

тенгламадан, босиб ытилган йылни эса,

(4)

тенгламадан топамиз (1), (3) ва (4) ифодаларидан фойдаланиб бажарилган иш учун

(5)

тенглик ырнли былади.

Демак, бажарилган иш энергиянинг орттирмасига сон жищатидан тенг экан. Кинетик энергияни Еk билан белгиласак(44-расм),

Ek=mv2/2 (6)

ва бундан фойдаланиб (5) ни

A=Ek2-Ek1=DEk

A=DEk (7)

кыринишда ёзамиз.

Демак, маълум v тезликда кетаётган жисмни тыхтатиш учун (v2=o) унга =арши

А=DEk=mv2/2

тенглик билан ани=ланувчи манфий иш бажариш зарур.

б) Релятивистик механикада кинетик энергия.

Релятивистик механикада жисм массаси тезликка бо\ли= былганидан

(1)

бажарилган ишни щисоблашда

(2)

буни щисобга олмо= зарур. (14) ифода v=P/m ни щисобга олиб,

P2+(m0c)2=(mc)2 (3)

тенгликни оламиз. Дифференциаллагач

pdp=c2dm (4)

ва pdp=pdp, p=mv ни щисобга олиб vdp=c2dm тенгликни оламиз.

Релятивстик механикада иш масса орттирмаси билан ани=ланади.

A=Dmc2=DE

Моддий ну=та (заррачанинг) тыла ёки релятивистик энергиясини

E=mc2

билан белгилаймиз. Бу щолда

A12=E2-E1 (5)

моддий ну=та тинч турганда энергия ёки тинч щолатдаги энергияси

E=m0c2 (6)

былади. Кинетик энергия зарра щаракатига бо\ли= былган релятивистик энергия =исмидир.

(7)

Бажарилган ишни кинетик энергия айримаси кыринишда ёзиш мумкин.

A12=Ek2-Ek1 (8)

тинч щолатдаги Е0 ва тыла релятивистик энергия Е ва импульс орасидаги муносабат.

E2=E02+(pc)2 (9)

фа=ат эламентар зарралар учунгина ты\ри былмай, моддий ну=талар системаси учун щам ты\ри былади.

8. Потенциал энергия ва куч. Потенциал энергия ща=ида тушунча.

Системада фа=ат консерватив ва гироскопик кучлар таъсир этса, система учун потенциал (лотинча potentia-имконият сызидан олинган) энергия тушунчасини татби= этиш мумкин. Системанинг материал ну=талари кoординатала - рини характерловчи бирор щолатини бошлан\ич (нуль) щолат деб оламиз.

Системанинг потециал энергияси фа=ат унинг координаталари функциясидир. Потенциал энергия =иймати cистеманинг =айси щолати бошлан\ич щолат учун =абул =илинишига бо\ли= былиб, у бир =ийматли эмасдир. Шу сабабли, системанинг икки щолати орасидаги потенциал энергия фар=и ща=ида фикр юритилади. +аралаётган ва бошлан\ич щолат орасидаги потенциал энергия фар=и, системани =аралаётган щолатдан бошлан\ич щолатга ытишда консерватив учлар бажарган ишга тенг былади.

Система 1 вазиятдан 2 вазиятга ытишини А12 иш, Еп1 ва Еп2 потенциал энергиялар ор=али

A12=Eп1-Eп2 (1)

тенглик ёрдамида ифодаланади. (42-расм). Демак, консерватив кучлар иши потециал энергия камайишига тенгдир. Потенциал энергия камайиши кинетик энергия ортишига тенг эканидан

Ек2-Ек1=Еп1-Еп2 (2)

ва бундан

Ет=Ек+Еп (3)

натижани оламиз. Фа=ат консерватив кучлар мавжуд системада тыла энергия ызгаришсиз =олади. Потенциал энергия кинетик энергига ва аксинча айланиш былиши мумкин, лекин тыла энергия ызгармайди. Бу инергиянинг са=ланиш =онунидир.

б) Бир жинсли тортишиш майдонида потенциал энергия.

Жисмнинг потенциал энергияси жисм ва ер маркази орасидаги масофага бо\ли= былиб, ноль сирт деб олинган ну=тадан ер марказигача масофага бо\ли= потенциал энергия Е билан ноль сиртдан h баландликкача ораликка бо\ли= былган потенциал энаргиялар йи\индисига тенг былади.

Еп=Еnh+Еп0 (4)

=аралаётган мисолимизда DЕ=Епh=А ыринлидир.

в) Деформация потенциал энергияси.

Деформацияланмаган щолда пружинанинг эластик энергиясини ноль деб олсак, унинг эластик (потенциал) энергияси

(5)

формула ёрдамида ани=ланади.

г) Иккита моддий ну=та орасидаги гравитацион тортишиш потенциал энергияси.

Гравитацион куч марказий куч былганидан, у консерватив кучдир ва шунинг учун потенциал энергия ты\рисида гап юрита оламиз.

Одатда чексиз масофада турувчи жисмлар орасидаги потенциал энергия E=0 былади. Шу шартга кыра

(4)

Икки жисм орасидаги ызаро тортишиш кучига бо\ли= потенциал энергия чексизликда Eпmax=Eп¥=0 былганидан, масофа камайган сари энергия максимал =ийматдан камаяди ёки у манфийдир.

Потенциал майдоннинг щар бир ну=тасига бир томондан жисмга таъсир этувчи F куч векторининг бирор =иймати мос келса, иккинчи томондан, жисм Е потециал энергиясининг щам бирор =иймати мос келади. Бундан жисмга таъсир этувчи куч билан унинг потенциал энергияси орасида бо\ланиш былиши керак. Шу бо\ланишни топиш учун жисмни кичик DS масофага силжитилган ва=тда майдон кучлари бажарган элементар DА ишни щисоблайлик. Бу DS силжиш фазода ихтиёрий танлаб олган DS йыналиш быйлаб содир былади деб =абул =иламиз (43- расм).

Бу иш =уйидагига тенг:

DA=FsDS=FDScosa (1)

Fs - кучнинг S йыналишга проекцияси. Бажарилган иш потенциал энергия щисобига бажарилгандан унинг DS йыли камайишига тенг былади.

DA=-DEп (2)

(1) ва(2) ни солиштириб, =уйидагини оламиз.

FsDS=-DEп

бундан

(3)

(3) ифода Fs кучнинг DS масофадаги ыртача =ийматини беради. Берилган ну=тадаги =иймати шу ифодадан DS®0 даги лимитини олиш ор=али топилади.

(4)

Потенциал энергия S йыналишдагина эмас бош=а йыналишларда щам ызгаради. Шу сабабли (4) ифода Е дан S йыналиши быйича хусусий щосиладир.

(5)

(5)ифода фазовий координат системасининг х, у,z ы=лари учун щам ты\ридир.

(6)

(6) ифодалар F куч векторининг коoрдината ы=ларига проекцияларини ифодалйди. Агар бу проекциялар маълум былса координата ы=ларидаги бирлик векторларни i, j, k деб олсак ( улар ыкларидаги ортлар щам дейилади) кучни =уйдагича ёзамиз

(7)

(7) ифода вектор эканидан уни скаляр сон Е нинг градиенти (grad) дейилади ва шундай белгиланади

(8)

математикада символик вектор =абул этилиб, уни " набла-оператор" ёки "Гамильтон оператори" дейилади.

(9)

бундан

(10)

келиб чи=ади.

9. Ички энергия. Энергия са=ланишнинг умумий =онуни.

Системага иш=алиш кучлари ва умуман =аршилик кучлари (диссипатив кучлар) щам таъсир этсин. Бундай щолда патенциал энергия ортмаган щолда кинетик энергия камайиши, кинетик энергия ортмаган щолда патенциал энергия камайиши мумкин. Эркин тебранаётган математик маятникниг ва=т ытиши билан тыхтаб =олиши, эластиклик чегарасидан ытказиб, чызилган пружинанинг щолатларида тыла механик энергия камаяди ёки йы=алади. Бундай щолда "йы=олган энергия диссипатив кучларга =арши иш бажаришга сарфланади", дейилади. Бу диссипатив кучларнинг физик табиатини очиб беради.

Макроскопик механика жисмларнинг атом тузилишини щисобга олмайди, макроскопик жисм ёки унинг макроскопик =исмларнинг потенциал ва кинетик энергияларини щисобга олади, холос. Диссипатив кучлар таъсир этувчи системада йы=отилган кинетик ёки потенциал энергия шу системани ташкил этувчи атом ва молекулаларнинг тартибсиз кинетик энергиясига ва ызаро таъсир потенциал энергиясига айланади. Системани ташкил этувчи атом ва молекулаларнинг тыла энергияси Е дейилади. Бу энергия сезги органларимиз воситасида исси=лик сифатида сезилади.

Жисмнинг исси=лиги шу жисмни ташкил этувчи атом ва малекулаларнинг тартибсиз щаракат энергияси эканлиги ХIХ аср иккинчи яримида изощланади, ва шу ва=тдан бошлаб энергия са=ланиш =онуни деб, тан олинади.

Энергия механикадагина кинетик ва потенциал энергияларга ажратилади ва бош=а щаракат шаклларига мос энергияларини =амраб ола олмайди.

Энергияни уни бирор турига киритиш =аралаётган масалага бо\ли= былади. Макраскопик механикада си=илган газнинг эластик энергияси потенциал энергия деб =аралади.

Молекуляр физикада эса газ эластиклиги молекулаларнинг исси=лик щаракати ёрдамида изощланади.

Бу щолда газ эласти=лиги молекулаларнинг кинетик энергиялари ёрдамида изощланади.

Энергиянинг са=ланиш принципи =атор щодисаларда ыз татби=ини топиш билан бирга щали текширлмаган сощаларда асосий мезон былиб щисобланади.

Щодисаларда бу =онундан четланишиш мавжуддек былиб кыриниши, мумкин ва янги ходисаларни очишга ёрдам беради. Радиоактив ликнинг ва нейтринонинг очилиши бунга мисол былаолади.

Натижада энергия са=ланиш принципини макроскопик механикадан таш=ари унинг =онунларини татби= этиб былмайдиган физик щодисаларга щам =ыллаш мумкин.

Маърузадаги асосий таянч сыз ва иборалар.

1. Механик иш. 2. +увват.

3. Энергия. 4. Кинетик энергия.

5. Потенциал энергия.

6. Энергия са=ланиш =онуни.

А Д А Б И Ё Т Л А Р:

[1, §22], [2, §29-30], [3, §28-34],

[4, II боб, §1], [8, §18], [12, §24-25].

Синаш саволлари.

1.  Механик иш ифодасини ёзинг ва унга таъриф беринг.

2.  +увват деб нимага айтилади?

3.  Энергия деб нимага айтилади?

4.  Кинетик ва потенциал энергия формуласини ёзинг ва изощланг.

5.  Энергия са=ланиш =онунини баён этинг.

IV боб. Моддий ну=талар системасининг динамикаси.

11- М А Ъ Р У З А.

Моддий ну=талар системасининг динамикаси.

Са=ланиш =онунлари.

Режа.

1.  Моддий ну=талар системаси. Ички ва таш=и кучлар. Берк система.

2.  Моддий ну=талар системасининг щаракати. Масса маркази. Масса маркази координаталари. Масса маркази щаракати.

3.  Импульс са=ланиш =онуни ва ундан келиб чи=увчи хулосалар.

1.Моддий ну=талар системасининг динамикаси. (Механик системалар динамикаси.) Ички ва таш=и кучлар. Масса маркази.

Бир ёки икки жисм щаракат =онунларини ырганиш табиат ва техникада учрайдиган барча механик щаракат масалаларини щал этмайди. Ызаро таъсирда былган бир неча жисмлар ёки моддий ну=талар моддий ну=талар системаси ёки механик системаси дейилади. Система щаракати давомида уни ташкил этувчи жисмларнинг шакли ва ылчамлари щисобга олинмаса, =аралаётган щаракат моддий ну=талар системаси щаракати деб =аралади.

Системага кирувчи жисмлар орасидаги ызаро таъсир кучлари ички кучлар, системаси таркибидаги жисм билан унга кирмайдиган бош=а жисмлар орасидаги ызаро таъсир кучлари таш=и кучлар дейилади.

Таш=и таъсир кучларининг умумий таъсир этувчиси нолга тенг былган система берк (ёпи=, ажратилган) система дейилади.

Масаланинг =ыйилишига =араб бир кучни ички ёки таш=и деб =араш мумкин. Масалан, =уёш системасини ягона система деб =арасак, планеталар ва =уёш орасидаги ызаро таъсир кучлар ички кучлар, щар бир планетани олиб уларни щаракатини =арасак, ер сиртидаги щодисаларни кузатсак, у таш=и куч былади.

Бирор таш=и куч таъсирида моддий ну=талар системасининг барча ну=талари бир-бирига нисбатан кычиб, ызларининг щаракат щолатларини ызгартирадилар. Системани тыла ырганиш учун уни ташкил этувчи барча ну=таларнинг щаракатини ырганмо= зарур. Бунинг учун щар бир ну=тага Ньютон =онунларини тадби= этиб, щар бир ну=та учун щаракат тенгламасини тузиб система щаракатини ани=лаш мумкин. Лекин бу усул билан система щаракатини ани=лаш айрим тез содир былувчи жараёнларда (урилишларда) кучларни ани=

функция сифатида ифодалаш о\ир эканидан ёки система жуда кып моддий ну=талар мажмуаси эканидан мураккаблашиб кетади. Механик системанинг масса маркази ёки инерция маркази тушунчаси киритилиши билан бу масалани енгил щал этиш мумкин. Элементар физика курсида жисмнинг =исмларига таъсир этувчи о\ирлик кучларнинг умумий таъсир этувчиси =ыйилган ну=та о\ирлик маркази деб аталган эди.

О\ирлик кучига бо\ли= былмаган, системанинг масса мркази тушунчаси умумийро= тушунчадир.

2.Масса маркази.

Икки моддий ну=танинг масса маркази деб, улар орасидаги масофани массаларига тескари пропорционал ми=дорда былувчи ну=тага айтилади.

m1 ва m2 массали моддий ну=таларнинг =ыз\олмас система даги координатлари x1,y1,z1 ва x2,y2,z2 былсин (45-расм). Моддий ну=таларни бирлаштирувчи кесмани m1/m2 нисбатда былувчи ну=танинг координатлари x, y,z кесма охиридаги ну=та координатлари билан =уйидагича бо\ланган аналитик геометрия =оидаларига кыра:

(1)

(1) ифодаларни x, y,z га нисбатан ечиб,

(2)

Масса маркази координатларини топамиз.

Учта моддий ну=танинг масса маркази деб, улардан иккитасининг масса маркази С1 билан учинчи моддий ну=та орасидаги масофани биринчи иккитаси массаси йи\индиси m1+m2 билан учинчисиснинг массаси m нисбати m1+m2/m3 каби былувчи С2 ну=тага айтилади. Икки моддий ну=танинг масса марказини топган каби уч моддий ну=та учун щам масса маркази координатларини ани=лаш мумкин (46-расм).

(3)

системага тыртинчи, бешинчи ва хоказо моддий ну=таларни =ышиб n та моддий ну=тадан иборат система учун масса маркази координатларини топа оламиз.

(4)

(5)

Умумий щолда, системани ташкил этувчи моддий ну=талар щолатини, шу система билан бо\ланган ва координаталари бошига нисбатан вазиятини белгиловчи радиус векторлар (r1,r2,r3,...,rn) ёрдамида ани=лаш мумкин.

Системанинг масса маркази ёки инерция маркази шундай ну=таки, унинг радиус–вектори моддий ну=таларнинг радиус-веторлари билан

(6)

ифода ёрдамида бо\ланган. Бу ерда системанинг умумий массаси М=m1+m2+m3+...+mn. Системанинг масса маркази С щарфи билан белгиланади.

(7)

3.Импульс са=ланиш =онуни ва ундан келиб чи=увчи хулосалар.

Таш=и кучдан ажратилган (берк) система берилган. Система иккита жисмдан ташкил топган. Жисмлар орасидаги ызаро таъсир кучи таъсир давомида ызгармас былсин. Ньютоннинг II =онунига кыра биринчи жисмнинг щаракат ми=дори ызгариши D(mv), иккинчи жисм томонидан Dt ва=тда таъсир этиб турувчи куч F импульсига тенг былади.

D(mv)1=F12Dt1 (1)

Иккинчи жисмнинг щаракат ми=дорининг ызгариши эса, биринчи жисм томонидан иккинчи жисмга таъсир этувчи куч F импульсига тенг.

D(mv)2=F21Dt2 (2)

Ньютоннинг учинчи =онунига мувофи=

F12=-F21 (3)

ва ызаро таъсир ва=тлари тенглигидан

Dt1=Dt2=Dt (4)

щаракат ми=дорларининг ызгариши орасида

D(mv)1=-D(mv)2 (5)

ёки

D(mv)1+D(mv)2=0 (6)

муносабатлар ыринли былади.

Демак, ызаро таъсир кучларининг табиатига ва ызаро таъсир ва=тига бо\ли= былмаган щолда ажратилган икки жисмнинг умумий щаракат ми=дори (импульси) ызгармайди.

Бу натижани бир неча ызаро таъсир этувчи жисмларга ва ва=т ытиши билан ызгарувчи кучларга щам тадби= этиш мумкин. Куч ызгарувчи былганда, ызаро таъсир ва=ти оралиги Dt ни шундай кичик dt ва=т ораликларига былиб =араладики, бу ораликларди кучни талаб этилган ани=лик билан ызгармас деб олиш мумкин. Щар dt ва=т оралиги учун (6) муносабат бажарилади ва ундан Dt оралик учун щам бажарилиши келиб чи=ади.

Олинган натижани n та жисмдан иборат система учун тадби= этиш учун ёпи= (берк) система тушунчасини киритамиз. Таш=и таъсир кучларининг умумий таъсир этувчиси 0 га тенг былган система берк (ёпи=) система дейилади.

Массалари m1,m2,m3,...,mn былган жисмлар ёпи= системани ташкил этсин.

Щар бир моддий ну=та (жисм) =олган моддий ну=талар томонидан былган таъсир натижасида щаракат ми=дорининг ызгариши мос равишда

d(mv)1; d(mv)2;...; d(mv)n; (7)

былади.

m1 массали моддий ну=тага бош=а моддий ну=талар томонидан былган таъсир кучларини F12,F13,F14,...,F1n билан, массаси m2 былган ну=тага таъсир кучларни F21,F23,F24,...,F2n ва хоказо, билан белгилайлик. (Бунда индекс =айси ну=тага куч таъсир этаётганини, иккинчи индекс =айси ну=та томонидан куч таъсир этаётганини кырсатади.)

Щар бир ну=та учун динамиканинг иккинчи =онунини =ыллайлик:

(8)

Тенгламаларнинг сони системани ташкил этувчи моддий ну=талар сонига тенг. Щаракат ми=дорлари ызгаришларининг геометрик йи\индисини олиб, системанинг умумий щаракат

ми=дорини топамиз. (8) ифодани чап томонининг йи\индиси dt ва=тдаги щаракат ми=дори ызгаришни топамиз. (8) ифодани чап томондаги йи\индиси dt ва=тдаги щаракат ми=дори ызгариши, ынг томони эса системага таъсир этувчи барча кучларнинг импульсини топамиз. Система ёпи= эканидан на тижавий куч нольга тенгдир. Ща=и=атан Ньютон III =онунига мувофи= щар бир таъсир этувчи куч Fik га акс таъсир кучи Fki мос келади:

ва хоказо.

Бу кучларнинг умумий таъсир кучи нолга тенг. Демак, истеманинг щаракат ми=дори ызгариши нолга тенг былади.

(9)

ёки

(10)

Ёпи= системанинг тыла щаракат ми=дори бутун щаракат давомида ызгармас катталикдир (Щаракат ми=дорининг са=ланиш =онуни).

Бу =онун физиканинг фундаментал =о-нунларидан былиб, макроскопик ва микроскопик жисмлардан тузилган системалар учун щам тенг кучли бажарилади.

Агар системанинг бирор моддий ну=тасига таш=и куч таъсир этса, у щаракат ми=дорини ызгартиради. Системанинг мос ну=таларига таъсир этувчи умумий таъсир кучларини F1,F2,F3,...,Fn билан белгилаб, (8) тенгламаларни =уйидаги кыринишда ёзамиз.

(11)

Тенгламаларни чап ва ынг томонларини йи\индисини олиб, чап томонида щаракат ми=дори тыла ызгариши векторини, ынг томонида натижавий таш=и куч импульсини оламиз.

(12)

Ички кучлар йи\индиси нолга тенглигини щисобга олсак, натижавий таш=и кучни F билан белгилаб,

(13)

тенгликни оламиз.

Жисмлар системаси щаракат ми=дорининг тыла ызгариши натижавий таш=и куч импульсига тенг былади. (13) тенгликни =уйидаги кыринишда ёзиш мумкин.

(14)

Моддий ну=талар системаси щаракат ми=дорининг тыла ызгаришидан ва=т быйича олинган щосила система ну=таларига таъсир этувчи таш=и кучларнинг умумий ташкил этувчисига тенгдир.

4.Механик системанинг масса маркази щаракати.

Механик системанинг илгариланма щаракатини системага кирувчи барча жисмларнинг массаси мужассамлашган бир ну=танинг-масса марказининг щаракати сифатида =араш мумкин.

Механик системанинг тыла щаракат ми=дори система масса маркази каби щаракатланувчи ва массаси система массасига тенг моддий ну=таники каби былади.

(1)

(1) ифодани ва=т быйича дифференциаллайлик ва §2 нинг (14) ифодаси билан солиштирайлик. Щар иккала ифодада система щаракат ми=дори тыла ызгариши векторидан щосила =атнашмо=да. Демак, (1) ифода дифференциали кучни беради.

(2)

Бу ерда K=Mvc-масса марказининг щаракат ми=дори, F-системадаги бирор жисмга таъсир этувчи таш=и кучларнинг умумий ташкил этувчисидир.

Механик системанинг масса маркази, системани ташкил этган жисмларга таъсир этувчи таш=и кучларнинг умумий ташкил этувчиси таъсиридаги системанинг массаси тыпланган бир моддий ну=тадай щаракатланади. Бу масса марказининг щаракати ща=идаги теоремадир.

Агар механик система ёпи= былса, F=0 былиб, система импульсининг доимийлиги шарти бажарилади:

K=Mvc=constant

Ёпи= механик системанинг масса маркази тинч туради ёки текис ва ты\ри чизи=ли щаракат =илади.

Механик системанинг масса маркази ща=идаги =онун системани ташкил этувчи алощида жисмларнинг щаракатини тыла ёритмасада, система щаракатининг мущим томонларини ойдинлаштириб беради.

Маърузадаги асосий таянч сыз ва иборалар.

1. Масса маркази.

2. Ёпи=(берк) система.

3. Масса марказининг щаракати.

А Д А Б И Ё Т Л А Р:

[1, гл.3, §18-19], [8, IY боб],

[12, §22-23].

Синаш саволлари.

1.  Берк система деб =андай системага айтилади?

2.  Моддий ну=талар системаси масса маркази координатлари ифодасини ёзинг.

3.  Моддий ну=талар системаси учун импульс са=ланиш =онунини баён этинг.

12 - М А Ъ Р У З А.

Ызгарувчан массали жисм ва система

кинематикаси.

Режа.

1. Ызгарувчан массали жисм ва система щаракати.

2. Мещерский тенгламаси.

3. Циолковский формуласи.

Ызгарувчан массали жисм ва система щаракати.

Табиатда жисм ёки системанинг шундай щаракати щам кузатилади, унда жисм ёки системадан бирор ми=дорда модда йы=отилиши ёки =ышилиши щисобига умумий масса ызгариб боради. Масалан, Кычага сув сочаётган машина массаси сочилаётган сув щисобига учиб бораётган ракета ёки самолёт ёниш натижасида щосил былган газнинг чи=иши щисобига массаси камайиб борса, метеоритлар тушиши щисобига ернинг массаси, щаракати давомида юк ортилаётган вагоннинг массаси ортилган юк щисобига ортиб боради. Кичик тезликлардаги (v<<c) щаракат =онунлари санаб ытилгани каби камайиш ёки ортишдан иборат ызгаришини щисобга олиб ырганилади. Ёру\лик тезлигига я=ин тезликларда (v»0) эса, массани тезликка бо\ли= щолда ызгаришни щам назарда тутилади.

Учиб бораётган ракета ёки реактив самолётни ва ундан ёниш натижасида щосил былган газни икки жисмдан иборат система деб =араш мумкин. О\ирлик кучи ва гравитацион куч ва щавонинг =аршилик кучи =аралаётган системалар учун таш=и куч былади. Соддалик учун бу кучларни эътиборга олмасак, ёки ракета вазнсизлик щолатида бышли=да щаракатланса, система таш=и кучлар таъсиридан щоли былиб, уни ёпи= система деб олиш мумкин былади. Щаракат давомида массаси ызгариб борувчи жисмлар механикасининг умумий =онунлари ( й.) ва ( й.) лар томонидан тад=и= =илинган. уларни реактив космик кеманинг техникавий лойищаси ишлашга тадби= =илди. Парвоздаги ракета ызгарувчи массали жисмдир.

И. В.Мещерский тенгламаси.

Ызгарувчан массали жисм харакат тенгламасини оддий ракета щаракатидан келтириб чи=арамиз (47-расм).

Ракетани порох ёниб борсада, о\ирлик маркази ызгармайдиган, ылчами ва шаклини щисобга олмаса быладиган кичик жисм деб =араймиз. (Моддий ну=та каби). Ракетавий ёнил\и ёнишдан щосил былган газ (массаси dM), ёниш натижасида щосил былган кучнинг табиатига бо\ли= былмаган щолда, ракета билан (массаси М) фа=ат контакт щолдагина ызаро таъсирда былади, деб оламиз. Газ зарралари ракетадан чи=иши билан ызаро таъсир тыхтайди. Ракетанинг массаси М узлуксиз ызгаради деб =араймиз (Массанинг сакраб ызгариши кып по\онали ракетада содир былади). Бу массада ва=т быйича щосила мавжуд деб олишга, имкон беради. Натижада ракетани ызгарувчан М массали моддий ну=та деб =араймиз.

Ва=тнинг бирор t моментида ракетанинг массаси М, =ыз\олмас координат системасига нисбатан тезлиги v былсин (48-расм). Кичик ва=т орали\и dt да ракетадан dM массали газ отилиб чи=син, газнинг =аралаётган =ыз\алмас координат системасига нисбатан тезлиги u былсин. Ракета массаси камайганидан газ массасига тенг масса йы=отилганидан масса ызгариши dM ни манфий (dM<0) деб оламиз.

Ракетага таъсир этувчи таш=и кучларнинг (о\ирлик кучи ва =аршилик кучи) умумий таъсир этувчиси F. Газнинг ракетадан ажралиш пайтидаги реактив кучни Fр деб белгилаймиз. Бу щолда Fр реактив куч ички куч былади.

Щаракат ми=дорининг ызгариши таш=и кучлар тенг таъсир этувчисининг импульсига тенг былади.

(4)

(4) тенгликни группалашдан сынг dt га былиб, ызгарувчи массали моддий ну=та учун щаракат тенгламасини оламиз.

(5)

Бу ызгарувчан массали жисмлар щаракати учун тенгламасидир. Ракетанинг массаси щаракат давомида камайганидан dM/dt<0, харакат давомида жисм массаси ортса dM/dt>0 шарт бажарилади. dM/dt=0 шарт бажарилганда, щаракатланувчи жисм массаси ызгармас былиб (М=const), (5) тенглама Ньютоннинг II =онунига ытади. Тенгликдаги (u-v) тезлик газнинг ракетага нисбатан тезлиги былиб, уни нисбий тезлик дейилади, уни V билан белгиласак, (5) тенглаламани (V=u-v)

(6)

кыринишда ёзи оламиз. Бу ерда ифода отилиб чи==ан dM массали газ томонидан М массали ракетага таъсир этувчи реакция кучи ёки реактив кучни кырсатади. Реактив кучни йыналиши учиб чи=увчи газнинг тезлик йыналишига =арама-=арши былиб, у ракетага =ыйилган былади. Бу ерда V=u-v нисбий тезлик, u-газ тезлиги, v-ракета тезлиги, V-газнинг ракетага нисбатан тезлиги. ва=тнинг ихтиёрий моментида жисм массаси билан унинг тезланишнинг кыпайтмаси M×dv/dt жисмга =ыйилган таш=и куч умумий таъсир этувчиси F билан реактив кучларнинг F вектор йи\идисига тенг былади.

Ер шарига я=ин щаракатланувчи ракетага ер тортиш кучи ва щавонинг =аршилик кучи таъсир этиб, шу таш=и кучни ташкил этади. Ракета тезланиши реактив кучга бо\ли= былиб, уни ми=дори ва йыналишни ызгартириб ракетани бош=ариш мумкин. Агар ракетадан чи=увчи газнинг нисбий тезлиги V=u-v=0 былса, (6) ифода

(7)

кыринишни олади. (7) ифоданинг кыриниши ызгармас массали моддий ну=та щаракат тенгламаси каби былсада, бу ызгарувчан массали моддий ну=та щаракат тенгламасидир, чунки ракетанинг массаси М ва=тга бо\ли=дир.

M=f(t) (8)

Циолковский формуласи.

ызининг реактив техника тадби=ига оид ишлари билан ызгарувчан массали жисм механикасига катта щисса =ышди. 1903 йили унинг ракетанинг ты\ри чизи=ли щаракатига оид "Реактив приборлар ёрдамида коинотни текшириш" асари чоп этилди. У реактив щаракатдан фойдаланиш мумкин эканини асослади ва исботлаб берди. Унинг ишларида космосга парвоз этиш учун зарур былган тезликни олиш шартларини ани=лади. Ракетанинг бошлан\ич массаси ва унинг тезлиги орасидаги бо\ланишни кырсатувчи формуласи амалий ишларда щозир щам ыз кучини йы=отмади.

йиллардаги ишларида ер тортиш кучини енгиш учун зарур былган ё=ил\и ми=дорини ырганди, катта тезликдаги газ о=имини олиш учун ю=ори калорияли ё=ил\и ишлатишни таклиф этди. Циолковский узо= масофали сую=ликли ракеталар кашфиётчиси ва планеталараро парвоз назариясининг асосчиси щисобланади. У кып по\онали ракета назарияси \оясини ишлаб чи=иб, ва=тнинг бирор оралигида узулуксиз ызгарувчан массали ва бирор моментида сакраб ызгарувчи массали жисм щаракати =онуниятларини ани=лашда ыз щиссасини =ышди. Циолковский =ыйган ызига хос муаммолар реактив техника ривожида щал этувчи роль ыйнади. Катта тезликларда содир былувчи реактив ракетанинг мумкин былишлиги омилларини =араб чи=айлик. Бунинг учун таш=и кучлар таъсири (щавонинг =аршилик кучи, о\ирлик кучи) дан щоли былган щавосиз жойда ва ер шаридан етарли узо= масофадаги ракета щаракатини =арайлик. Отилиб чи=увчи газ щаракат тезлигининг йыналиши u ракета щаракати йыналиши v билан бир ты\ри чизи=да былиб, фа=ат =арама-=арши йыналган. Бу Циолковскийнинг биринчи масаласига мос келади. Бу массаланинг ечими натижасида Циолковский формуласини ва унинг натижаларини оламиз. +абул этилган шартларга суяниб, массаси ызгарувчан жисм тезлиги ва щаракат =онунини топамиз. Бу щолда ракетанинг щаракат тенгламаси (F=0 ни щисобга олсак).

(1)

ёки тезлик ызгариши

(2)

ифодаларини оламиз.

Масса ва=тга бо\ли= эканидан M=M0f(t) былади. Ва бунда f(t)-массанинг ызгариш =онуниятини кырсатувчи функциядир. Бошлан\ич масса ани= =ийматли М=М0 былганидан, t=0 ва=т бошида f(t)=f(0)=1 шарт бажарилади. (2) Ифодани интеграллаб ва бошлан\ич шартни щисобга олиб,

v=-vln(t)+c (3)

ва t=0 да f(0)=1 ва v=v0 эканидан C=v, унда

v=v0-Vlnf(t)=v0+VlnM0/M (4)

тенглик ыринли былади. (4) тенгламани

(5)

кыринишда ёзиш мумкин. (4) ва (5) тенгламалар Циолковский формуласи дейилади. Бу ерда v0,v-ва=тнинг t0 ва t пайтидаги тезликлар, V-газнинг нисбий тезлиги.

(4) ва (5) формулалардан ызгарувчан массали жисм тезлиги газнинг нисбий тезлиги V га ва моддий ну=танинг бошлан\ич массаси М0 ёниш жараёнидан кейин =олган масса Mр га бо\ли= эканини кырсатади. Агар ёниш жараёнида сарф ланган ёнил\и массаси m (ракетадан чи=иб кетувчи газ) былса, дастлабки тезлик ва v=0 былганда ёниш жараёни охиридаги тезлик учун