Магистерская диссертация (стр. 3 )

§ 2.3 Основные характеристики модели Блэка-Шоулза и биномиальной модели.

Приведем вкратце основные концепции моделей, которые будут использованы автором при проведении расчетов.

Для математических моделей ценообразования опционов существует ряд основных положений.

1.  Изменение цены актива – случайный процесс, в теории характеризующийся логнормальным (логарифмически нормальным) распределением. Это связано с тем, что кривая такого распределения не имеет отрицательных значений и указывает на большую вероятность увеличения случайной величины, нежели ее падения (что лучше соответствует поведению цен, чем нормальное распределение) [2].

Плотность логнормально распределенной случайной величины z = ex записывается следующим образом:

где a – мат. ожидание нормально распределенной величины x, а s2 – ее дисперсия.

2. 

Если S(t) - спот-цена актива в момент t, то изменение цены описывается стохастическим процессом Ито, выражающимся уравнением

где z – винеровский процесс, m - ожидаемая доходность актива, s - отклонение цены от ожидаемого изменения.

Винеровский случайный процесс - процесс X(t), 0<t<¥, для которого X(0)º0, а в любом интервале (t2, t1) приращение процесса характеризуются гауссовским распределением с параметрами (0, t2 - t1) [5], то есть

3.  В моделях рассматривается непрерывное начисление процента.

4.  Выполняются гипотезы Блэка – Шоулза: эффективность рынка, отсутствие возможности арбитража, нулевые трансакционные издержки.

В начале 1970-х гг. Блэк и Шоулз создали модель оценки премии европейских опционов (впервые опубликованную в статье F. Black, and M. Scholes, “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”, Journal of Economics (May 1973)).

Выплаты в день истечения европейского колл-опциона равны

max (ST-X, 0).

Текущая цена европейского колл-опциона равна

c = e-r(T-t)E(max (ST-X, 0)),

где Е(x) – ожидание величины x:

E(x) = ,

p(x) – вероятность достижения величиной x этого значения.

Предположим, что цена базового актива
распределена логнормально:

,

где μ = r – σ2/2. Следовательно,

,

где n(x) = - функция нормального распределения.

Поскольку подынтегральное выражение обращается в ноль при значениях ε, меньших величины

,

то .

Вычисления интегралов позволяют получить формулу Блэка-Шоулза:

c = SN(d1) – e-r(T-t)XN(d2),

где

N(x) = - функция стандартного нормального распределения,

d1 = , d2 = .

Текущая цена европейского пут-опциона равна

p = e-r(T-t)E(max(X-ST, 0).

Проводя аналогичные вычисления, получаем формулу

p = e-r(T-t)XN(-d2) – SN(-d1).

(разумеется, последнюю формулу можно получить и с помощью пут-колл паритета) [2].

Биномиальные модели предполагают, что основная случайная переменная характеризуется биномиальным распределением. Применение биномиальных моделей к ценообразованию опционов подразумевает моделирование цены актива, лежащего в основе опциона как биномиального процесса, будь то цена ценной бумаги
, обменный курс или процентная ставка, для определения распределения этой переменной на момент исполнения. Затем с использованием ограничивающих условий определяется будущая стоимость опциона и дисконтируется
к настоящей, определяя таким образом текущую цену на опцион.

Биномиальная модель допускает возможность создания безрискового портфеля посредством хеджирования длинной позиции по активу короткой позицией по ряду справедливо оцененных опционов по покупке этого актива. Следовательно, только безрисковая процентная ставка должна быть использована для дисконтирования, поскольку предполагается, что если портфель захеджирован наилучшим образом, он будет безрисковым и, следовательно, должен характеризоваться безрисковой процентной ставкой.

Основные подходы – это построение биномиальной решетки (или дерева), а также использование биномиальной алгебры для получения суммы текущих стоимостей каждой вероятностно взвешенной будущей стоимости опциона.

Построение решетки проходит просто. В каждом конкретном периоде цена может расти либо падать, u – коэффициент движения вверх цены актива (1 + относительный прирост цены), а d – коэффициент движения вниз цены актива (1 - относительное падение цены). Необходимо также условие d < (1+r) < u, поскольку если d и u меньше, чем безрисковая ставка, безрисковый актив всегда будет иметь более высокие доходы, чем рисковый актив, что вступает, конечно же, в противоречие с финансовой теорией.

Биномиальный подход может быть обобщен таким образом, что срок действия опциона может быть разделен на любое количество временных периодов или биномиальных испыытаний. В самом деле, если временной интервал между периодами становится бесконечно малым, то есть торговля происходит непрерывно, биномиальная модель становится моделью Блэка-Шоулза.

Величины u и d, которые относятся к волатильности актива, должны быть определены на основе рыночной информации и скорректированы в соответствии с количеством биномиальных испытаний. Кокс в 1979 году показал, что u и d соотносятся со средним квадратическим отклонением следующим образом:

u = , d = ,

где (T-t) – срок действия опциона в годах или долях лет, а n – количество биномиальных испытаний.

Обычно также требуется, чтобы u = 1/d, благодаря чему движение цены вверх с последующим движением вниз равнозначно движению вниз с последующим движением вверх. В этом случае видоизмененное биномиальное дерево называется биномиальной решеткой. Следовательно, движение вверх и вниз определяется изменчивостью переменной, средним квадратическим отклонением натурального логарифма отношений цен активов, т. е. средним квадратическим отклонением непрерывно наращенного дохода.

С помощью решетки мы можем рассчитать различные стоимости основного актива к финальному периоду, а также потенциально возможные стоимости опциона на момент исполнения. Далее находятся потенциальные стоимости опциона на предыдущий период, и так до начального момента, что и дает нам премию опциона. В главе 3 автором будет продемонстрирована конкретная биномиальная решетка для подсчетов по проекту.

Приведем также общую биномиальную формулу для оценки опциона.

Для опциона на покупку:

.

Для опциона на продажу:

,

где j – количество произошедших движений вверх, а n-j – количество произошедших движений вниз [2].

Теперь, когда выполнены все предпосылки к проведению расчетов, можно приступать к рассмотрению конкретного инвестиционного проекта и выполнению необходимых аналитических выкладок. Это станет предметом рассмотрения в третьей главе.

Глава 3. Применение метода к реальному инвестиционному проекту.

§ 3.1. Общие данные о проекте.

За основу при проведении расчетов был взят план строительства первой очереди Новгородской парогазовой электростанции (ПГЭС), которое планировалось начать в 1999 году. Для реализации проекта было создано акционерное общество, учредителями которого стали РАО «ЕЭС России», АО «Новгородэнерго», РАО «ГАЗПРОМ», администрация Новгородской области, некоторые иностранные инвесторы. Проект имеет ряд особенностей, выгодно характеризовавших его как объект инвестиций, и, следовательно, как актуальный объект для анализа:

·  использование современной энерготехнологии (комбинированный парогазовый цикл);

·  относительно небольшой объем требуемых инвестиций;

·  короткий срок завершения строительства и ввода в эксплуатацию;

·  экономическая эффективность.

Основной целью осуществления проекта строительства являлось снижение дефицита электроэнергии в Новгородской области за счет ввода дополнительных генерирующих мощностей. Ведь ранее большая часть необходимой энергии поступала по электросетям из других районов Северо-Запада России, а в последующие годы положение могло значительно ухудшиться в связи с выводом из эксплуатации отработавшего свои сроки оборудования ряда мощных энергоисточников. Помимо этого, реализация проекта дала бы мощный импульс для решения многих задач социально-экономического развития области, получения дополнительной прибыли на вложенный капитал и потока реальных денег от налогов на прибыль в бюджеты всех уровней [1].

В нижеследующих таблицах в качестве иллюстрации приведены основные показатели работы станции, а также интегральные показатели эффективности инвестиционного проекта.

Таблица 3.1
Наименование показателей	Ед. изм.	Значение
Стоимость строительства	млн. USD	624,28
Нормативный срок службы станции (жизненный цикл)	лет	27
Установленная электрическая мощность	тыс. кВт	686
Коэффициент использования установленной мощности	%	70
Удельный расход топлива на электроэнергию	г у. т./кВтч	244,8
Цена условного топлива	$/т. у.т.	переменная
Затраты на капитальный ремонт	млн. USD	19,9
Межремонтный срок	лет	1
Эксплуатационные затраты без амортизации и капитального ремонта	$ млн.	9,25
Расход электроэнергии на собственные нужды	%	2,4

Таблица 3.2
Показатели эффективности	Без заимствования	С заимствованием
Чистый дисконтированный доход, млн. USD	111	105
Внутренняя норма доходности, %	9%	9,82%
Период возврата вложенных средств (без дисконтирования), лет	14	17
Период окупаемости (с учетом дисконтирования), лет	22	22
Индекс доходности	1,061	1,053

Наконец, согласно данным, приводимым компаниями РАО «ЕЭС» и «Новгородэнерго» по состоянию на май 2004 года [24], [26], проект все еще находится в стадии планирования, в частности, до конца не проработаны гарантии инвесторам. Это позволяет автору беспристрастно оценить его инвестиционную привлекательность альтернативным методом. Тем больший интерес могут представить результаты вычислений, в частности, как аргумент либо в пользу осуществления строительства, либо в пользу его приостановки или откладывания на определенный срок.

§ 3.2. Расчеты по проекту.

Для проведения подсчетов методом реальных опционов необходимо знать следующие числовые данные:

·  дисконтированная стоимость производственного проекта (аналогично стоимости актива для финансового опциона);

·  дисконтированные инвестиционные издержки (аналогично цене исполнения
– страйк-цене опциона);

·  безрисковая ставка процента (полное сходство с финансовой моделью);

·  волатильность стоимости проекта (волатильность актива);

·  срок инвестиционного проекта (срок опциона).

Остановимся подробнее на каждом из этих пунктов. Имея обоснованные числовые показатели, дальнейшие преобразования сведутся к применению известных алгоритмов вычисления премии финансового опциона. Параметры будут получены для двух вариантов: с привлечением внешних заимствований (сторонних инвесторов) и без такового (с опорой лишь на денежные средства первоначальных реализаторов плана).

1.  Дисконтированная стоимость производственного проекта. Для ее подсчета воспользуемся анализом денежных потоков, проведенным авторами финансового плана [1]. Следующие таблицы представляют два прогнозируемых варианта расходования и поступления средств. В обоих вариантах стоимость проекта получится путем суммирования положительных значений дисконтированных потоков средств. Для случая самостоятельного финансирования это даст величину 623 млн. долл., а для акционеров – 298,2 млн. долл. Еще раз повторим, что, поскольку эти

Таблица 3.3 Анализ денежных потоков инвестиционного проекта (без заимствования), млн. USD
Год	Поток средств (Cashflow)	Текущий доход (Present Value)	Дисконтир. поток средств	Чистый дисконтир. доход
1	-52	-52	-49	-49
2	-122	-174	-106	-155
3	-282	-456	-230	-385
4	-166	-622	-127	-512
5	62	-560	44	-468
6	87	-473	58	-410
7	73	-400	46	-364
8	64	-336	37	-327
9	64	-271	35	-292
10	65	-207	33	-259
11	65	-142	31	-228
12	65	-77	29	-199
13	65	-11	27	-172
14	66	54	26	-147
15	66	121	24	-123
16	66	187	22	-100
17	67	254	21	-79
18	67	321	20	-59
19	67	388	19	-41
20	68	455	17	-23
21	68	523	16	-7
22	68	591	15	9
23	68	660	14	23
24	69	729	14	37
25	69	798	13	49
26	69	867	12	61
27	70	937	11	72
28	70	1007	11	83
29	70	1077	10	93
30	71	1147	9	102
31	71	1218	9	111

Таблица 3.4 Анализ денежных потоков акционеров, млн. USD
Год	Поток средств (Cashflow)	Текущий доход (Present Value)	Дисконтир. поток средств	Чистый дисконтир. доход
1	-15	-14,95	-14	-14
2	-38	-52,82	-33,1	-47
3	-91	-143,92	-74,4	-121
4	-69	-213,16	-52,8	-174
5	-11	-224,12	-7,8	-182
6	8	-215,9	5,5	-177
7	-3	-218,77	-1,8	-178
8	-9	-227,85	-5,3	-184
9	-6	-233,69	-3,2	-187
10	-3	-236,29	-1,3	-188
11	1	-233,65	0,3	-188
12	9	-226,31	4,1	-184
13	24	-202,52	9,9	-174
14	50	-152,29	19,5	-154
15	66	-85,85	24,1	-130
16	67	-19,09	22,6	-108
17	67	47,97	21,2	-86
18	67	115,35	19,9	-66
19	68	183,03	18,7	-48
20	68	251,03	17,6	-30
21	68	319,33	16,5	-14
22	69	387,95	15,5	2
23	69	456,87	14,5	16
24	69	526,1	13,6	30
25	70	595,65	12,8	43
26	70	665,5	12	55
27	70	735,66	11,3	66
28	70	806,14	10,6	77
29	71	876,92	9,9	87
30	71	948,01	9,3	96
31	71	1019,41	8,8	105

выгоды уже приведены к начальному периоду времени, их можно использовать в качестве аналога стоимости актива, на который заключается опционный контракт.