Определяющие соотношения (стр. 2 )

x = xe + xp = /E + Csn, (4.4.24)

xe и xp - скорости деформации упругого и нелинейно-вязкого элементов соответственно, Е - модуль упругости для упругого элемента, n=1/m, C=1/Kn - характеристики нелинейно-вязкого элемента. Уравнение (4.4.24) - это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Рассмотрим режим деформирования с постоянной скоростью деформации x=x0=const. Пусть s0 - напряжение на установившейся стадии (когда ds/dt=0), тогда

s0=K(x0)m или x0=C(s0)n. (4.4.25)

Общее решение уравнения (4.4.24) может быть записано в квадратурах:

, (4.4.26)

где t0 - некоторое характерное время, определяемое выражением

t0 = s0/Ex

Легко проверить, что t0 является характерным временем релаксации для тела Максвелла.

Интеграл, входящий в правую часть выражения (4.4.26), не выражается через элементарные функции, поэтому уравнение (4.4.24) в общем случае не имеет решения в аналитическом виде. Для того чтобы найти одно из возможных решений, зададимся конкретным значением параметра m, например, пусть m=0,5, тогда n=2. Если посмотреть в справочник [39], легко убедиться в том, что в этом случае уравнение (4.4.24) представляет собой уравнение Риккати. Общее решение его имеет вид:

. (4.4.28)

Асимптотики выражения (4.4.28) достаточно очевидны: при t0 напряжение изменяется по упругому закону s=Ext, а при t напряжение sss.

Рассмотрим теперь режим релаксации напряжений. В этом случае уравнение (4.4.24) имеет аналитическое решение, которое при начальном условии s(tk)=sk имеет вид:

, (4.4.29)

где введены обозначения xk=C(sk)n и tk=sk /Exk. Если на активном участке достигнут режим насыщения (ds/dt»0), то sks0 и tkt0.

Типичная зависимость s(t), которая получается при расчетах по формулам (4.4.26) и (4.4.29), представлена на рис. 4.4.7. Введем в рассмотрение следующие количественные характеристики этой кривой: а) t1/2 представляет собой промежуток времени, за который напряжение увеличивается на активном участке от начального нулевого значения до величины s0/2, где s0 - напряжение на установившейся стадии из (4.4.25); b) t1/2R - промежуток времени, в течение которого напряжение падает от стационарного значения s0 до половины этой величины при релаксации напряжений. Из полученных выше теоретических выражений (4.4.26) и (4.4.29) следует:

, (4.4.30)

. (4.4.31)

Анализ выражений (4.4.30)-(4.4.31) показывает, что параметр t1/2 относительно слабо изменяется с изменением m (при изменении m от 0 до 1 величина параметра t1/2 увеличивается от 0,5 до 0,7 от t0). В то же время характер зависимости t1/2R от m совершенно иной: для несверхпластичных материалов (при m<0,3) имеет место резкое изменение t1/2R по мере уменьшения m. Для того чтобы более наглядно показать, каким образом влияет величина показателя скоростной чувствительности СП материала на его характерное время релаксации, рассмотрим табл. 4.4.1. Например, при изменении параметра m от m=0,07 до 0,04 с шагом 0,01 время релаксации увеличивается на порядок на каждом шаге! Таким образом, характерной особенностью материалов в состоянии СП по сравнению с теми же материалами в обычном состоянии являются существенно меньшие времена релаксации.

Конечно, этот вывод сделан в рамках модели обобщенного тела Максвелла, однако он хорошо согласуется с экспериментом. “Сверхпластичники” уже давно “нащупали” его эмпирически; в частности, известна методика определения оптимальной температуры СП по минимальному времени релаксации [57].

Проведем некоторые количественные оценки. Авторами работы [11] выполнены эксперименты на релаксацию образцов из сплава Вуда (Bi-25%Pb-12,5%Sn-12,5%Cd) при комнатной температуре. По формуле (4.4.31) при x0=5,4810-4 с-1; s0=17,1 МПа; m=0,4; E=2,41010 Па получается tp=5,6 c. В то же время независимая оценка экспериментальной кривой методами нелинейного регрессионного анализа дала оценку характерного времени релаксации 5,5 с, которая приведена в работе [11].

Т а б л и ц а 4.4.1

Зависимость характерного времени релаксации обобщенного тела Максвелла от величины параметра m для несверхпластичных материалов

m	0,30	0,25	0,20	0,15	0,10
t1/2R/t0	1,73	2,33	3,75	8,79	56,8
m	0,08	0,07	0,06	0,05	0,04
t1/2R/t0	252	752	3 320	27 600

Введем в рассмотрение параметр k, равный отношению характерных времен:

k = t1/2/t1/2R. (4.4.32)

Можно показать, что для СП материалов (m>0,3) справедлива асимптотика:

k m. (4.4.33)

Отметим, что выражение (4.4.33) находится в противоречии с экспериментальными данными для сплава Вуда, в соответствии с которыми величина этого параметра примерно на порядок выше [150].

Теперь посмотрим на определяющее соотношение s=Kxm несколько другими глазами. Если под входящим в него символом x понимать полную скорость деформации, то приходим к тому, что оно в принципе не описывает переходные режимы (см. рис. 4.4.6). Однако полная скорость деформации, как известно, состоит из двух слагаемых: упругого и неупругого:

x = xe + xp. (4.4.34)

Поскольку при СП упругие деформации всегда пренебрежимо малы, то на первый взгляд и не имеет особого значения, что именно стоит в правой части выражения s=Kxm. В то же время, если записать его в виде s=Kxpm, то легко видеть, что это дает возможность описывать переходные эффекты. Необходимо всегда иметь в виду это обстоятельство при анализе тех или иных определяющих соотношений. Как говорится, "мал золотник, да дорог".

Таким образом, комбинация упругого и нелинейно-вязкого элементов дает возможность описать качественно новый эффект: поведение СП материала в переходных режимах, при резком изменении скорости деформации, в том числе при испытании на релаксацию.

4.4.2.2. Многоэлементные модели

4.4.2.2.1. М о д е л ь М а з и н г а

Подход, основанный на введении в рассмотрение структурной модели, призванной отразить микронеоднородности в реальном материале, предложил Мазинг. В его подходе принимается, что любой элементарный объем работает как совокупность связанных между собой структурных частиц (подэлементов), наделенных заданными реологическими свойствами. Изменение этих свойств по объему (т. е. по подэлементам) определяется функцией неоднородности. Можно без преувеличения сказать, что модель Мазинга является прообразом вообще всех структурно-механических моделей и роль Мазинга в этом отношении сопоставима с ролью Гука в законе Гука.

Модель Мазинга представляет собой параллельное соединение N стержней, свойства которых могут быть упругопластическими или вязкими, в том числе нелинейно-вязкими [20]. Рассмотрим в качестве иллюстрации вариант модели Мазинга, представляющий собой параллельное соединение N идеально-упругопластических стержней различного поперечного сечения Sk (k=1,2,...,N). Для простоты можно считать, что модули Юнга для всех стержней одинаковы, что упрощает анализ, не влияя на его результаты [20]. Такую конструкцию принято называть стержневой моделью Мазинга.

Математически она может быть описана следующими соотношениями (в обозначениях из [20]):

условие совместности деформаций

ek = e (k=1,2,...,N), (4.4.35)

условие равновесия

, (4.4.36)

физические уравнения

ek = rk+ pk, rk = sk /E, (4.4.37)

при , при , , (4.4.38)

здесь k - номер стержня; sk, ek, rk, pk - его напряжение, полная деформация, упругая и пластическая составляющие деформации; точкой обозначается дифференцирование по времени t; E, , Sk - константы механической модели: модуль упругости, пределы текучести и площади поперечных сечений стержней; - суммарная площадь. Действующая нагрузка P, отнесенная к площади S, отвечает среднему напряжению s для моделируемого материала; e - деформация моделируемого материала.

Перепишем уравнение (4.4.36) следующим образом:

, (4.4.39)

где gk=Sk/S - весовые коэффициенты; угловые скобки означают усреднение с учетом этих коэффициентов. Таким образом, в структурно-механические модели можно вводить дополнительные "степени свободы", которым в модели Мазинга придается смысл площади поперечного сечения. В других моделях им может быть придан другой смысл, например объемная доля фаз.

В книге [20] показано, каким образом модель Мазинга может быть применена для описания реальных диаграмм деформирования материалов; развит соответствующий математический аппарат; рассмотрено его обобщение на случай бесконечного количества стержней. Показано, что для таких систем имеет место принцип Мазинга: кривая деформирования при разгрузке подобна начальной кривой деформирования с коэффициентом подобия 2 (подробнее см. [20]).

Для СП большой интерес представляет структурная модель реономной среды, предложенная в книге [20], представляющая собой параллельное соединение подэлементов, скорость ползучести которых определяется как нелинейная функция текущего значения его напряжения, зависящая от температуры.

Принимается, что деформация каждого элемента равна сумме упругой ee и неупругой eu составляющих:

ek = e = , = sk/E, (4.4.40)

причем неупругая составляющая деформации eu накапливается с некоторой скоростью xu, являющейся функцией напряжения и температуры Т:

= fk(s, T

Далее авторы принимают очень важную гипотезу: считается, что кривые напряжение - деформация при разных скоростях деформации подобны. В этом предположении можно показать, что вид функции в правой части (4.4.41) един для всех элементов = f(s, T), причем сама функция f(s, T) может быть определена как зависимость установившейся скорости ползучести от действующего напряжения.

В книге [20] детально разработана соответствующая теория поведения такого материала как при простом монотонном, так и при немонотонном нагружении. Необходимо отметить, что область применимости этой теории, вообще говоря, проверена только при малых деформациях (все экспериментальные данные, приведены в [20] для деформации менее 1%).

Модель Мазинга представляет интерес прежде всего как наглядный пример использования структурно-механических моделей пластичности для описания поведения материала как при монотонном, так и при немонотонном нагружении. По мнению авторов книги [20], использованное ими математическое описание поведения материала можно трактовать как модель упруговязкопластической среды, отражающей микронеоднородность реальных сплавов. Конечно, с такой точкой зрения можно спорить, однако в любом случае необходимо отметить, что в данном случае авторами книги предложен вариант определяющих соотношений, удовлетворяющий общим требованиями механики сплошных сред, оснащенный набором экспериментальных методик определения материальных функций, опробованный на примере ряда сталей и сплавов (в основном коррозионно-стойких и жаропрочных), что позволило авторам рекомендовать (и применять самим) предложенную ими теорию для расчета ответственных элементов машин, эксплуатируемых в соответствующих условиях.

4.4.2.2.2. Т е л о Б и н г а м а

Будем называть модели, содержащие три или более элементов, многоэлементными. В качестве примера трехэлементной модели рассмотрим тело Бингама: комбинацию упругого, пластического и вязкого элементов, представленную на рис. 4.4.8. Если напряжение не превышает некоторого предела ss, то эта конструкция деформируется по упругому закону; как только напряжение превысит этот предел, в работу "включится" линейно-вязкий элемент. Определяющее соотношение для этого тела может быть записано в виде:

(4.4.42)

Здесь ss, l и E - постоянные материала. В работе [25] проведен анализ этого определяющего соотношения; разработаны методики определения материальных постоянных; проведена их экспериментальная апробация на примере легкоплавкого сплава олово-свинец. В частности, установлено, что теоретические кривые зависимости усилия от времени процесса деформирования с постоянной скоростью движения захватов (материальные константы найдены из испытаний на ползучесть) хорошо согласуются с экспериментальными кривыми, в то время как аналогичные кривые, рассчитанные на основе постоянных, найденных при испытании на релаксацию, резко расходятся с ними. Отсюда следует, что рассматриваемая модель адекватна для процессов активного нагружения. В то же время для процессов, включающих в себя релаксацию, она неприменима (с теми же значениями материальных констант).

Р и с. 4.4.8. Тело Бингама: структурная схема и зависимость напряжения от времени при активном нагружении с постоянной скоростью деформации	Р и с. 4.4.9. Схема модели Арровуда-Мукерджи [98]

4.4.2.2.3. М о д е л ь А р р о в у д а - М у к е р д ж и

В 1987 г. была опубликована работа Арровуда и Мукерджи [98], в которой сообщалось о том, что на кривой релаксации сплава олово-свинец эвтектического состава ими был обнаружен излом, указывающий на скачкообразное увеличение скорости релаксации. Этот излом был зафиксирован вблизи нижнего порога чувствительности использованного оборудования (испытательная машина фирмы "Instron"), поэтому сами авторы не смогли однозначно выявить, является ли он свойством материала, или же это - "артифакт машины"[1]. Тем не менее это не помешало авторам предложить интересную структурно-механическую модель, схема которой представлена на рис. 4.4.9 (обозначения несколько изменены по сравнению с оригиналом). Как видно из этого рисунка, испытательная машина моделируется упругим элементом Еm. Образец моделируется последовательно соединенными нелинейно-вязким элементом m, упругим элементом Е1 и элементом Фойхта (параллельное соединение линейно-вязкого l и линейно-упругого E2 элементов).

Составим систему дифференциальных уравнений, описывающих поведение модели Арровуда-Мукерджи. При последовательном соединении элементов складываются скорости деформации составляющих элементов, а при параллельном - напряжения. Отсюда имеем:

, (4.4.43)

s = E2eF +lxF , (4.4.44)

где eF, xF - деформация и скорость деформации элемента Фойхта соответственно. Система уравнений (4.4.43)-(4.4.44) в общем случае не имеет аналитических решений. Арровуд и Мукерджи решали численно. Однако в некоторых частных случаях эта система позволяет получить решение в аналитическом виде. Например, при ползучести (s=const) решение этой системы уравнений имеет вид (при начальном условии x(0)=0):

x = x0[1-exp(-t/tF)]. (4.4.45)

где tF=l/E2 - характерное время для тела Фойхта; x0=Сsn - скорость деформации на установившейся стадии, C и n - постоянные нелинейно-вязкого элемента. Таким образом, модель Арровуда-Мукерджи предсказывает, что в режиме ползучести (s=const) деформация образца выходит на стационарный режим, причем величина установившейся скорости деформации контролируется нелинейно-вязким элементом. Можно показать, что система уравнений (4.4.имеет общее решение в квадратурах для произвольного режима мягкого нагружения1 s=s(t). Однако для жесткого нагружения (даже в простейшем случае - испытании на релаксацию) эта система может быть решена только численными методами.

Арровуд и Мукерджи предложили свою модель для того, чтобы описать кривую релаксации с изломом. Однако анализ работы [98] показывает, что для этого они меняют константы материала в точке излома. Это означает, что модели материала, описывающей кривую релаксациии с изломом, в работе [98] не предложено. В этом смысле ситуация аналогична описанной выше в п. 4.4.2.2.2: тело Бингама не позволяет удовлетворительно описать кривые ползучести и релаксации с использованием одного и того же набора материальных констант. Точно так же и модель Арровуда-Мукерджи не позволяет описать всю кривую релаксации (до и после излома), используя один и тот же набор констант; это означает, что модели Арровуда-Мукерджи нет, вместо этого имеются некоторые аппроксимационные соотношения, в которые под каждый конкретный процесс подгоняются свои константы.

4.4.2.2.4. У п р у г о в я з к о п л а с т и ч е с к и е м о д е л и С м и р н о в а

Как видно из предыдущего изложения, подход к построению определяющих соотношений, основанный на применении структурно-механических моделей пластичности, дает довольно богатые возможности для описания механического отклика материала. Возникает естественный вопрос: почему бы не попытаться его применить для описания сигмоидальной кривой СП? В литературе уже были попытки такого рода. В частности, [87] пытался получить модель предложенной им EVP-среды как результат комбинирования структурных элементов. Однако его попытки не увенчались успехом: оказалось, что предложенное им дробно-рациональное выражение s через x (формула Смирнова) не соответствует какой-то определенной комбинации структурных элементов. На рис. 4.4.10 представлены две различные структурные схемы, приведенные в книге [87], которые частично описывают поведение EVP-среды Смирнова. Ниже проведен чисто механический анализ этих схем.

В первом случае (верхняя схема на рис. 4.4.10) при напряжениях s<s0<ss имеет место лишь упругая деформация e=s/E. При s>s0 "включится" нелинейно-вязкий элемент и (при s<ss) скорость деформации будет определяться выражением:

x = /E + [(s-s0)/K)]n . (4.4.46)

Как только напряжение s достигнет значения ss, "включится" соответствующий элемент и напряжение перестанет расти.

Во втором случае (нижняя схема на рис. 4.4.10) будет отсутствовать начальный упругий участок и при s<s0 деформация будет отсутствовать. При s>s0 скорость деформации будет определяться выражением (4.4.26), а при s>ss напряжение перестанет расти.

Конечно, в зависимости от соотношения между s0 и ss в работе описанных выше комбинаций будут свои особенности. В книге [87] из физических соображений принимается, что всегда s0£ss.

Интересно отметить, что обе показанные на рис. 4.4.10 структурно-механические модели не позволяют получить известную каждому “сверхпластичнику” формулу Смирнова:

или , (4.4.47)

где s0, ss, Kv и mv - материальные постоянные, которые имеют специальные названия: s0 - пороговое напряжение1; ss - предел текучести; Kv и mv - параметры, характеризующие вязкость материала (речь об этом соотношении более подробно пойдет во второй части книги). В то же время сами по себе схемы, представленные на рис. 4.4.10, потенциально могут описать сигмоидальную кривую, поскольку при активном нагружении величина напряжения в обоих случаях ограничена сверху и снизу; например, по схеме на верхней части рис. 4.4.10 справедливы неравенства (при активном нагружении): sr £ s £ ss. Тем не менее в литературе пока нет сообщений о том, что комбинации “кирпичиков”, показанные на рис. 4.4.10, позволили успешно описать сигмоидальную кривую СП. Что касается формулы Смирнова, она позволяет это сделать (см. ч. II. 2).

Вообще, дробно-рациональные выражения типа формулы Смирнова способны описывать эффекты типа сигмоидальности - и не только в СП, но и в ползучести [94]. Оказывается, что такого рода выражения хорошо описывают экспериментальные зависимости, имеющие точку перегиба.

Р и с. 4.4.10. Комбинации упругого, вязкого и пластического элементов (из книги )	Р и с. 4.4.11. Комбинации нелинейно-вязких элементов: параллельное (а), последовательное (b) и смешанное (с) соединения

4.4.2.2.5. К о м б и н а ц и и н е л и н е й н о - в я з к и х э л е м е н т о в

Можно показать, что комбинация произвольного конечного числа линейно-вязких и линейно-упругих элементов может быть заменена комбинацией одного линейно-вязкого и одного линейно-упругого элемента (это вполне естественно для системы линейных элементов). Наибольший интерес в СП будут, по-видимому, представлять модели, содержащие хотя бы один нелинейный элемент. Поскольку основной механической характеристикой материала в состоянии СП является его аномально высокая чувствительность к скорости деформации, естественно принять в качестве такого нелинейного элемента упоминавшуюся выше нелинейно-вязкую жидкость.

Рассмотрим различные варианты соединения нелинейно-вязких элементов (рис.4.4.11).

Свойства комбинаций из нелинейно-вязких элементов представляют собой не более чем разновидности соотношения x=f(s). В этом смысле они не так “богаты”, как, например, комбинации упругого, вязкого и пластического элементов. Однако анализ их свойств может представить интерес для “сверхпластичников” по следующим причинам.

Феноменология СП достаточно хорошо изучена, в связи с чем в литературе предложено довольно много различных вариантов физических (микроскопических) моделей СП. При разработке таких моделей основной целью часто ставится отыскание специфической комбинации известных микромеханизмов пластической деформации поликристаллов, которая могла бы описать особенности механического поведения СП материалов. Принято рассматривать три основных микромеханизма: зернограничное скольжение (ЗГС); внутризеренное дислокационное скольжение (ВДС) и диффузионную ползучесть (ДП). Обычно принимается гипотеза об аддитивности основных механизмов СПД: считается, что величина пластической деформации ep при СПД обусловлена вкладами трех основных механизмов: ep=eЗГС+eДП+eВДС, откуда

xp= xЗГС + xДП + xВДС, (4.4.48)

причем под вкладом того или иного микромеханизма, например ЗГС, понимается отношение bЗГС=eЗГС/ep=xЗГС/x.

Считается, что для каждого микромеханизма деформации характерен вполне определенный уровень скоростной чувствительности, поэтому в теоретических моделях их часто описывают соотношением вида s=Kxm, где для ЗГС принимается m»0,5, для ДП m»1, а для ВДС - m»0,1.

Хотя предложено немало моделей СП, до сих пор остается открытым вопрос: какая модель или комбинация микромеханизмов в большей степени отвечает экспериментальным фактам? Недавно было установлено [88,142] (см. также ч. II, гл. 2), что если построить зависимость M(x) в координатах M/M0-x/x0, где M - наклон сигмоидальной кривой СП, а M0 соответствует оптимальной скорости деформации x0 для данной температуры, то практически все известные на сегодняшний день экспериментальные данные ложатся на некоторую единую кривую, которая может быть описана, например, следующим выражением [88,142]:

, (4.4.49)

где a0,5. Очевидно, что адекватные физические модели СП должны включать в себя такие зависимости напряжения от скорости деформации, которые позволили бы описать универсальную кривую СП.

На языке структурно-механических моделей СП выражение (4.4.48) может быть представлено в виде комбинации трех последовательно соединенных нелинейно-вязких элементов, для которой , и в общем случае последовательного соединения k нелинейно-вязких элементов:

, (4.4.50)

где bi=xi/x - относительный вклад i-того элемента в общую скорость деформации. Очевидно, что b1+b2+...bk=1; 0£ bi£1 (i=1,2,...,k).

Пусть ss=s(xs) некоторое характерное значение напряжения. Обозначим вклады механизмов деформации при скорости x=xs через b1s, b2s,..., bks соответственно: (i=1,2,...,k; b1s+b2s+...+ bks=1). Это позволяет исключить из уравнения (4.4.50) постоянные материала Ci, и оно принимает вид:

, (4.4.51)

где =s/ss и =x/xs - нормированные значения напряжения и скорости деформации соответственно. Таким образом, введение параметров bis в правую часть (4.4.51) равносильно введению констант материала Сi в выражение (4.4.50). Заметим, что если bis есть вклад i-того элемента при x=xs, то при x¹xs вклад i-того элемента в суммарную скорость деформации равен (i=1,2,...,k).

Наклон сигмоидальной кривой определяется как N=1/M=dlgx/dlgs=dlg/dlg. Легко показать, что

, (4.4.52)

где - решение трансцендентного уравнения (4.4.51), а символ “^” использован для того, чтобы указать, что данное значение М относится к последовательно соединенным нелинейно-вязким элементам.

Анализ выражений (4.4.начнем с предельных случаев. Можно показать, что

; . (4.4.53)

Таким образом, при очень малых скоростях (x/xs®0) величина параметров M и m стремится к mmax, а при больших скоростях (x/xs®¥) их величина стремится к mmin (здесь mmax и mmin - максимальное и минимальное значение параметров mi в цепочке).

Были проведены численные расчеты по формулам (4.4.5При расчетах варьировались как количество последовательно соединенных нелинейно-вязких элементов (проводились расчеты для k=2,3,4,5), так и относительные вклады этих элементов b1s, b2s,..., bks.. Оказалось, что M(x) монотонно убывает от mmax=max{mi} до mmin=min{mi}. Это означает, что кривая lg - lg, по-видимому, всегда является выпуклой и поэтому не может иметь сигмоидальный вид ни при каких комбинациях параметров mi³0 и bi³0 (i=1,2,...,k). Таким образом, физические модели СП, основанные на суммировании вкладов различных механизмов в общую деформацию (скорость деформации), не позволяют описать сигмоидальную кривую СП.

Аналогичный анализ и численные расчеты были проведены также и для комбинаций, составленных из параллельно соединенных нелинейно-вязких элементов. Вычислительные эксперименты показали, что кривые M(x) монотонно возрастают от mmin=min{mi}до mmax=max{mi}. Такое поведение, по-видимому, не зависит ни от количества параллельно соединенных элементов (проводились расчеты для 2,3,4 параллельно соединенных элементов), ни от их относительных вкладов. Это означает, что кривая lg-lg, по-видимому, всегда является вогнутой и поэтому не может иметь сигмоидальный вид ни при каких комбинациях параметров mi³0 (i=1,2,...,k). Таким образом, физические модели СП, основанные на суммировании вкладов в общее напряжение, также не позволяют описать сигмоидальную кривую СП.

Из полученных выше результатов следует, что последовательное и параллельное соединения нелинейно-вязких элементов являются в некотором смысле антиподами: если в первом случае зависимости М(lgx) - монотонно убывающие, то во втором - монотонно возрастающие. Отсюда следует, что можно ожидать, что смешанное соединение нелинейно-вязких элементов может, в принципе, дать немонотонный характер зависимости М(x) и, следовательно, описать сигмоидальную кривую СП.