Определяющие соотношения (стр. 3 )

Рассмотрим смешанное соединение трех нелинейно-вязких элементов: первые два соединенных параллельно элемента подсоединены последовательно к третьему ( см. рис. 4.4.11с). Пусть si, xi - напряжение и скорость деформации i-го элемента, соответственно (i=1,2,3):

si = Ki(xi)mi (i=1,2,3 , нет суммирования по i), (4.4.54)

где Ki и mi описывают свойства i-го элемента (i=1,2,3).

Выражения (4.4.54) дают три уравнения для нахождения шести неизвестных; недостающие три уравнения находим из достаточно очевидных соображений (см. рис. 4.4.11с):

x1=x2 , x = x1 + x3 , s1 + s2 = s

Пусть задана скорость деформации x(t) и необходимо определить отклик системы s(t). Для этого из 6 уравнений (4.4.54)-(4.4.55) составим следующее:

. (4.4.56)

Выражение (4.4.56) представляет собой трансцендентное уравнение относительно неизвестного x1. Решая его любым численным способом, находим x1, а затем и все остальные неизвестные, включая искомый закон s(t).

Пусть теперь задан закон изменения s(t) и требуется определить отклик системы x(t). В этом случае по известному s3=s сразу находится x3, а для x1 получаем трансцендентное уравнение (4.4.56), в котором теперь задана правая часть s(t) и необходимо любым численным способом определить x1. Искомую скорость x(t) находим как сумму x(t)=x1+x3.

Пусть при x=x0 напряжение s=s0, тогда имеем

, (4.4.57)

С учетом (4.4.57) можно получить из (4.4.56):

, (4.4.58)

где , и принято во внимание, что и . Легко видеть, что при заданной скорости деформации уравнение (4.4.58) является трансцендентным относительно неизвестного . Выражение для наклона М сигмоидальной кривой СП может быть записано в данном случае в следующем виде:

, (4.4.59)

где (i=1,2), а - решение (4.4.58). Символ “Ñ“ использован для того, чтобы указать, что данное значение М относится к смешанному соединению трех нелинейно-вязких элементов.

Расчеты показали, что выражение (4.4.59) позволяет путем выбора коэффициентов a10, a20, b10, b30 получить немонотонные зависимости параметров m(lgx) и М(lgx), соответствующие сигмоидальной кривой. Таким образом, смешанное соединение нелинейно-вязких элементов, в отличие от их последовательного или параллельного соединения, позволяет описать сигмоидальную кривую СП.

Проведенный выше анализ различных комбинаций нелинейно-вязких элементов показывает, что существует проблема корректного учета относительных вкладов различных механизмов деформации. В частности, многие физические модели СП содержат в себе зависимости напряжения от скорости деформации, аналогичные (4.4.48). В этой связи возникают следующие вопросы. Почему скорости суммируются? Какой геометрической картине деформирования это соответствует? Справедливо ли это только для растяжения(сжатия) или может быть обобщено на другие виды деформирования? В механике известна гипотеза однородного напряженного состояния, в соответствии с которой напряженное состояние считается однородным, а деформации суммируются. Такая гипотеза в одноосном случае эквивалентна рассмотренному выше случаю последовательного соединения элементов. Аналогом параллельного соединения элементов является другая гипотеза, согласно которой принимается, что деформированное состояние является однородным, тогда суммируются напряжения. Известны и смешанные гипотезы, промежуточные между этими двумя, которые в некотором смысле могут служить аналогом смешанного соединения. Если при одноосном растяжении смысл всех этих гипотез достаточно прозрачен и очевиден, то их обобщение на случай неоднородного напряженно-деформированного состояния представляет собой серьезную проблему. Уже по самому своему виду уравнение (4.4.48) является чисто феноменологическим, поскольку оно представляет собой по сути модельное предположение, заменяющее очень сложную физическую картину (сдвиги по плоскостям, неоднородность от зерна к зерну и внутри границ зерен и т. д.). Конечно, возможно следующее возражение: выражение (4.4.48) относится к единичному элементарному объекту (зерну, границе этого зерна). Но тогда в этом случае нужно говорить о площадках, их ориентации и способах суммирования. Выражение (4.4.48) должно быть дополнено грамотной и физически обоснованной схемой осреднения для перехода в нем к макровеличинам.

В заключение еще раз подчеркнем, что любые комбинации, составленные из нелинейно-вязких элементов, соответствуют частным случаям для соотношения вида x=f(s).

4.4.3. Теории ползучести

4.4.3.1.Общие сведения

В истории механики деформируемого твердого тела соотношения типа тех, которые используются в СП, хорошо известны, - это различные варианты теории ползучести. С точки зрения механики СП может рассматриваться как частный случай ползучести, поэтому представляет интерес познакомиться в общих чертах с некоторыми известными на сегодняшний день теориями ползучести.

Диски паровых турбин испытывают значительные напряжения от центробежных сил и находятся в условиях относительно высоких температур. Инерционные напряжения в них не могут быть уменьшены путем увеличения толщины; некоторое снижение напряжений может быть достигнуто за счет рационального выбора профиля, однако здесь имеется совершенно определенный предел. Оказалось, что в ходе эксплуатации диаметр диска медленно растет, а профиль его - меняется. Это явление было названо "ползучестью", по-английски - creep. Термин "крип" можно до сих пор иногда встретить в русскоязычной литературе. Перед материаловедами встала тогда во весь рост задача получения материалов, стойких в отношении ползучести. Инженеров же интересовало, как можно определить расчетным путем время, по истечении которого деформация достигнет некоторой наперед заданной величины. Поэтому первые теории ползучести были созданы именно инженерами; позже эта теория сформировалась как самостоятельная ветвь механики деформируемого твердого тела.

Стандартный метод испытаний на ползучесть - это испытание постоянной нагрузкой цилиндрического образца. При малых деформациях изменение площади поперечного сечения мало и постоянство нагрузки можно отождествлять с постоянством напряжения. Однако в том случае, когда необходимо изучить поведение материала при больших деформациях (как это чаще всего и бывает в СП), для получения кривых ползучести при постоянных напряжениях нужны специальные установки, в которых растягивающая сила уменьшается пропорционально уменьшению площади поперечного сечения образца.

4.4.3.2. Феноменология ползучести

На рис. 4.4.12 представлена типичная кривая ползучести. Она имеет три характерные стадии. На первой стадии скорость деформации ползучести постепенно уменьшается до минимального значения xcmin. Вторая стадия - стадия установившейся, или стационарной ползучести, на которой наклон кривой (рис. 4.4.12), численно равный скорости деформации ползучести xc, постоянен: xc=xcmin=const. На третьей стадии скорость начинает возрастать и ползучесть заканчивается разрывом образца. Приведенная диаграмма представляет собой общую схему. Конечно, далеко не все кривые ползучести обязательным образом включают в себя все три стадии. В частности, один из участков может отсутствовать или вырождаться в точку. Например, если разрушение образца наступает сразу же после участка II, это значит, участок III вырождается в точку.

Р и с. 4.4.12. Характерный вид кривых ползучести

Вид кривых ползучести зависит от напряжения и температуры. Экспериментально установлено, что процесс ползучести зависит не от абсолютной, а от гомологической температуры. Это позволяет проводить испытания свинцовых образцов при комнатной температуре для установления основных закономерностей ползучести металлов при повышенных температурах.

Для минимальной скорости деформации при определенной температуре xcmin (скорость деформации на стадии установившейся ползучести) было предложено много различных эмпирических формул [55,76]. Наиболее экспериментально проверенной и распространенной в настоящее время является степенная зависимость:

xcmin = x* (s/s*)p, (4.4.60)

где s* - характерная величина напряжения, за которую может быть принят, например, предел пропорциональности или текучести материала при температуре испытаний; x* и p - для рассматриваемого материала зависят от температуры, причем x* является минимальной скоростью деформации ползучести при напряжении s*.

Первую стадию обычно называют стадией неустановившейся или затухающей ползучести (стадия I); скорость ползучести на этой стадии непрерывно уменьшается. В литературе предложен ряд аппроксимаций, например:

de/dt = ct -n, (4.4.61)

где e - деформация; t - время; с - некоторая постоянная, зависящая от температуры и приложенного напряжения; n - положительное число (0<n<1). Имеется тенденция к возрастанию n с понижением температуры. При низких температурах для многих металлов и сплавов n=1 и имеет место логарифмический закон ползучести:

e = alnt + c1 , (4.4.62)

где a и c1 - материальные постоянные. При низких температурах (ниже 0,30,5 Тпл) практически вся кривая ползучести большинства металлических материалов хорошо описывается логарифмическим законом (логарифмическая ползучесть).

При более высоких температурах испытания зависимость деформации от времени на стадии I выражается уравнением:

e = bt1/3 + c2 , (4.4.63)

которое получается из (4.4.61) при n=2/3 (ползучесть Андраде).

При достаточно большом времени испытания (и высоких температурах) стадия I сменяется стадией II (установившейся ползучести), на которой деформация происходит с приблизительно постоянной скоростью, зависящей от приложенного напряжения и температуры испытания. На основе многочисленных экспериментальных данных, полученных на металлах и твердых растворах, предложен ряд аппроксимаций x=f(s, Т), в частности:

1) для низких напряжений x=C1s, (4.4.64)

2) для средних напряжений x=C2sn, (4.4.65)

3) для относительно высоких напряжений x=C3exp(Bs/T), (4.4.66)

где C1, C2, C3 и B - константы, зависящие от материала и условий деформирования. Легко видеть, что степенная зависимость (4.4.65) совпадает со стандартным определяющим соотношением для СП материала s=Kxm.

Параметры, входящие в выражения (4.4.64)-(4.4.66), вообще говоря, не имеют определенного физического смысла и подбираются из формальных условий наилучшей аппроксимации экспериментальных данных.

В отличие от приведенных выше зависимостей, предложил [94] использовать зависимости скорости ползучести от напряжения принципиально иного вида:

, , , (4.4.67)

где - интенсивность скоростей деформаций ползучести; - компоненты тензора скоростей деформаций ползучести; su - интенсивность напряжений; Sij - компоненты девиатора напряжений.

Для одноосного случая исследованы соотношения дробного вида

или , (4.4.68)

где А, n, sB и s0 - постоянные; w - параметр поврежденности (см. п. 4.4.3.5 и вторую часть книги).

Какие особенности этих выражений можно отметить? Во-первых, входящим в них параметрам можно приписать четкий физический смысл; во-вторых, конструкция выражений (4.4.68) представляет собой дробно-рациональное выражение, которое позволяет хорошо описать экспериментальные кривые, имеющие точку перегиба. Выше уже отмечалось, что известная каждому “сверхпластичнику” формула Смирнова также представляет собой дробно-рациональное выражение.

4.4.3.3. Классические теории ползучести

В классических теориях ползучести задается связь трех из следующих четырех переменных: деформация, скорость деформации, напряжение и время.

Согласно теории течения предполагается, что при заданной температуре между скоростью деформации ползучести, напряжением и временем существует определенная зависимость:

F(xc, s, t) =

Теория течения была предложена Давенпортом [105]. Наиболее распространен следующий вариант теории течения:

xc = (s/s*)pB, (4.4.70)

где B - для определенного материала функция времени и температуры. Если проинтегрировать (4.4.70) при условии s=const, получим уравнение

ec = (s/s*)pt, (4.4.71)

где t - безразмерный параметр. Его можно рассматривать как некоторое модифицированное время. Легко заметить, что уравнение вида (4.4.71) описывает семейство подобных кривых "деформация - время".

Проанализируем поведение материала, свойства которого могут быть описаны выражением вида (4.4.71), при испытании на релаксацию. Пусть образец нагружен растягивающим усилием до некоторого напряжения s(0), после чего активная траверса останавливается. Предположим, что испытательная машина абсолютно жесткая и остановка активной траверсы происходит мгновенно. Тогда полная деформация e будет постоянна во времени

e = ee + ec = const. (4.4.72)

Составляющие полной деформации перераспределяются: деформация ползучести ec возрастает во времени, а упругая деформация eе уменьшается. Дифференцируя (4.4.72) по времени и принимая во внимание, что скорость упругой деформации xe =/E, находим основное уравнение релаксации:

ds/dt = - Exc. (4.4.73)

Подставляя (4.4.70) в (4.4.73), после интегрирования получим уравнение семейства кривых релаксации по теории течения:

s(t) = s(0)/[1+(p-1)Esn -1(0)t/sp]1/(n

Заметим, что в работе [109] аналогичное выражение получено для кривых релаксации СП материала, где в качестве определяющего было использовано соотношение s=Kxm.

Согласно теории упрочнения предполагается, что при заданной температуре между скоростью деформации ползучести, напряжением и деформацией ползучести существует определенная зависимость:

F(xe, s, ee) =0. (4.4.75)

Теория упрочнения была предложена Людвиком [52], Надаи [60] и Давенпортом [105]. Дальнейшее ее развитие принадлежит [76].

Зависимость вида (4.4.75) обычно представляется в виде:

xc(ec)a = f(s), (4.4.76)

причем предполагается, что f(0)=0.

Первые участки ползучести удовлетворительно описываются степенной функцией времени, так что деформация ползучести пропорциональна tb. Принимая во внимание, что в этом случае xc пропорциональна btb-1, из (4.4.52) находим, что тогда a=(1-b)/b. В первых опытах Андрадэ [97] было найдено, что b=1/3, и тогда a=2. Интересно, что сам Андрадэ считал показатель b=1/3 универсальной константой; для подтверждения этого были построены различные физические теории. Более поздние экспериментальные исследования показали, что величина этого показателя для разных материалов непостоянная, она может зависеть от температуры и от напряжения. Для функции напряжения предлагались различные аппроксимации, в частности и степенная.

Таким образом, определяющие соотношения, используемые в СП, известны и используются в классических теориях ползучести. Более того, в плане идейном (т. е. в плане построения соотношений, их исследования и т. д.) классические теории ползучести намного “богаче” ОС СП, и далеко не все их достижения использованы в СП. Правда, кто-то может возразить: “Позвольте, но когда речь идет о сверхпластичности, обычно говорят о том, что нужно учитывать изменения структуры в ходе СПД!” В этой связи уместно напомнить о том, что уже известно в этом отношении в теориях ползучести.

4.4.3.4. Учет структурных изменений при ползучести

В литературе по ползучести часто можно встретить утверждения о том, что поведение материалов при ползучести определяется не только свойствами начальной структуры и температурой, но и структурными изменениями в процессе деформации. Вот что пишет по этому поводу в своей книге [75] профессионал-механик .

"Рассматривая ползучесть как некоторый вид квазивязкого течения металла, мы должны допустить, что в каждый момент скорость ползучести при данном структурном состоянии определяется однозначно величиной действующего напряжения и температурой. Структурное состояние - это термин, чуждый по существу механике, поэтому применение его в данном контексте должно быть пояснено более детально. Понятие о структурном состоянии связано с теми или иными физическими методами фиксирования этого состояния - металлографическими наблюдениями, рентгеноструктурным анализом, измерением электрической проводимости и т. д. Обычно физические методы дают лишь качественную характеристику структуры, выражающуюся, например, в словесном описании картины, наблюдаемой на микрофотографии шлифа. Иногда эта характеристика может быть выражена числом, но это число бывает затруднительно ввести в механические определяющие уравнения. В современной физической литературе, относящейся к описанию процессов пластической деформации, и особенно ползучести, в качестве структурного параметра, характеризующего, например, степень упрочнения материала, принимается плотность дислокаций. Понятие плотности дислокаций нуждается в некотором пояснении. Линейная дислокация характеризуется совокупностью двух векторов - направленного вдоль оси и вектора Бюргерса. Можно заменить приближенно распределение большого числа близко расположенных дискретных дислокаций их непрерывным распределением и определить таким образом плотность дислокаций, которая представляет собою тензор. Экспериментальных методов для измерения тензора плотности дислокаций не существует. Однако некоторую относительную оценку можно получить, например, путем подсчета так называемых ямок травления. Когда линия дислокации выходит на поверхность, в окрестности точек выхода имеется концентрация напряжений. При травлении реактивами поверхности кристалла окрестность точки выхода дислокаций растравливается более интенсивно, около этой точки образуется ямка. Таким образом, определяется некоторая скалярная мера плотности дислокаций, которая вводится в определяющие уравнения как структурный параметр. Условность такого приема очевидна..."

И далее излагает идею метода введения в определяющие соотношения структурных параметров. Каким образом можно установить связь между структурным состояниями материала и значениями структурных параметров?

"Предположим, что над образцом из данного материала проводится некоторая программа механических испытаний А, в ходе испытаний фиксируются структурные состояния материала любым физическим методом, например, снимаются микрофотографии шлифов А1, А2,..., Аn. У нас нет никаких средств для количественной оценки этих фотографий, но мы ясно различаем их; мы можем утверждать, что фотография Аn+1 отличается от фотографии Аn. Будем записывать это так: Аn+1Аn. Более того, мы можем утверждать, что фотография Аn+1 отвечает стадии процесса деформирования, следующей за Аn. Введем следующее обозначение: Аn+1>Аn. Пусть теперь над образцом проводится испытание по другой программе В и снимается серия микрофотографий В1, В2,... Вn. Будем называть материал однопараметрическим, если для каждой фотографии Вs можно найти тождественную фотографию Аk, Вs=Аk, и если из Bs+1>Bs следует Аk+1>Аk. Теперь в качестве структурного фактора можно принять любую монотонную функцию q от k, q(k).

Приведенные рассуждения вовсе не означают, что нужно нумеровать фотографии, это есть лишь некоторая рациональная основа, позволяющая перекинуть мост между физикой и механикой..."

Подход, схема которого изложена в приведенной выше цитате , получил позже название подхода с внутренними переменными. Он широко применяется в механике. В следующем параграфе изложена общая схема этого подхода и приведены некоторые комментарии.

4.4.4. Уравнения с внутренними переменными

4.4.4.1 Общая схема подхода

Изложенное выше является основой подхода к построению определяющих соотношений, который получил в литературе название: ”определяющие соотношения с внутренними переменными” [141]. Основная идея этого подхода заключается в следующем: принимается, что текущее значение напряжения пластического течения зависит от прошлой истории через текущие значения набора внутренних переменных. Эти переменные являются макроскопическим описанием внутреннего микроструктурного состояния материала, которое, в свою очередь, зависит от предыстории. (Иногда эти переменные называют внутренними из-за того, что ими нельзя управлять). Определяющее соотношение с внутренними переменными включает в себя уравнения эволюции для каждой из внутренних переменных, которые записываются исходя из некоторых физических соображений.

На основании такой идеологии сформулировал систему определяющих соотношений ползучести и длительной прочности [76]:

, , (4.4.77)

где - компоненты тензора скоростей деформаций ползучести, - интенсивность тензора деформаций ползучести, - интенсивность скоростей деформаций ползучести, su - интенсивность напряжений, w - мера поврежденности, l - коэффициент пропорциональности.

Уравнения (4.4.77) должны быть дополнены кинетическим уравнением для поврежденности w:

, (4.4.78)

и условием наступления момента разрушения (см. подробнее ч. II, гл. 3). Эти три соотношения в точности соответствуют описанной выше процедуре введения в рассмотрение внутренней переменной, - в данном случае это поврежденность w.

Если речь идет не о ползучести, а о связи s-e, т. е. пластичности, то внутренние переменные могут быть введены следующим образом: текущее s-e соотношение принимается зависящим от прошлой истории через текущее значение набора внутренних переменных. Математически это может быть выражено следующим образом:

, (4.4.79)

где e - деформация, T - температура, а Si - внутренние переменные, для которых известны кинетические уравнения (уравнения эволюции):

, . (4.4.80)

Следует отметить, что этот подход - поэлементный, - в том смысле, что каждый элементарный механизм структурообразования будет представлен одной внутренней переменной, а полная модель получится в виде комбинации соответствующих переменных.

Общая схема и конкретные варианты определяющих соотношений с внутренними переменными приведены в книге Д. Коларова, А. Балтова и Н. Бончевой [42].

Вполне закономерен вопрос: а какое отношение имеет подход с внутренними переменными к сверхпластичности? Во второй части книги приведен обзор литературных данных, по результатам которого можно сделать следующее заключение: все физические соотношения СП можно трактовать как варианты определяющих соотношений с внутренними переменными; в этом качестве чаще всего (но не обязательно) используется средний размер зерен d.

В качестве типичного примера определяющих соотношений СП с внутренними переменными приведем работу [116], в которой предложена следующая система уравнений (в слегка измененных обозначениях):

x = A1[(s - s0)1/m]/dp + A2sn, (4.4.81)

= B/[qdq -1] + lxd. (4.4.82)

Постоянные, входящие в соотношения (4.4., для материала Al-5083 приведены в табл. 4.4.2.

В заключение этого пункта напомним об идее банка данных “История термомеханической обработки материала - структура - свойства”, речь о котором шла в п. 3.6.3. Очевидно, что те параметры структуры, которые будут включены в этот банк, и представляют собой внутренние переменные, которые необходимо вводить в определяющие соотношения СП.

Т а б л и ц а 4.4.2

Параметры математической модели для сплава Al-5083 [116]

Описание параметра (по терминологии авторов работы [116])	Обозначение	Единица измерения	Величина
Постоянная сверхпластичности	A1	Н×см×с
Постоянная ползучести	A2	Н×см×с
Показатель сверхпластичности	m	-	0,6
Показатель в законе ползучести	n	-	5
Показатель при размере зерна	p	-	4,3
Пороговое напряжение	s0	Н/см2	10
Постоянная статического роста зерен	В	Мкм/с	3,971019
Показатель статического роста зерен	q	-	22
Постоянная динамического роста зерен	l		0,31
Начальный размер зерен	d0	Мкм	10,1