Определяющие соотношения (стр. 1 )

4.4. Определяющие соотношения

Определяющие соотношения (ОС) - законы связи между напряжениями и деформациями - замыкают систему уравнений, составляющих начально-краевую задачу механики; проблема построения ОС является фундаментальной проблемой МДТТ. Цель настоящего параграфа состоит в том, чтобы, по возможности наглядно и доступно, рассказать о простейших видах и типах ОС, известных из литературы. Как уже было отмечено в п. 4.1, основное внимание в настоящей книге уделяется именно ОС: какие ОС известны в литературе, какова их область применимости, насколько они удовлетворяют общим требованиям теории ОС и т. п. Поэтому неудивительно, что объем этого параграфа довольно большой; кроме него, пятая глава второй части книги также полностью посвящена ОС. В этой связи представляется целесообразным составить небольшой “путеводитель” по содержанию параграфа 4.4, цель которого - помочь читателю найти вопросы, представляющие для него интерес, и пропустить при первом чтении остальные подразделы.

Для простоты всюду, где это не будет оговорено особо, речь будет идти о малых деформациях и одноосном деформировании, т. е. будут обсуждаться только скалярные свойства материалов.

В первом подразделе (п. 4.4.1) речь идет о тех ОС, с которыми читатель уже знаком, в частности, приведены некоторые сведения о законах Гука, Ньютона, идеальной пластичности и т. п. Читатель, знакомый с этими законами, может пропустить этот подраздел без ущерба для дальнейшего чтения. Второй подраздел (п. 4.4.2) посвящен одному из стандартных подходов механики деформируемого твердого тела - структурно-механическому моделированию. Отличительной особенностью такого подхода является его наглядность, что позволяет свести к минимуму математические выкладки и излагать материал, максимально используя различные образы - схемы, диаграммы, графики и т. д. Это вызвано стремлением учесть специфику образа мышления предполагаемого читателя – материаловеда. Здесь же приводятся некоторые примеры использования такого подхода для анализа особенностей механического поведения материалов в состоянии СП. В третьем подразделе (п. 4.4.3) приводятся некоторые элементарные сведения о теориях ползучести (феноменология, классические теории, учет структурных изменений). В п. 4.4.4 изложена общая схема подхода к построению ОС, основанного на введении в рассмотрение внутренних переменных, предназначенных для макроскопического описания внутреннего состояния материала; предложена общая схема “наведения мостов” между механикой и физикой СП. В последнем подразделе (п.4.4.5) приведены некоторые сведения о теориях пластичности (теории течения, теория упругопластических процессов ).

4.4.1*. Простейшие определяющие соотношения

4.4.1.1*. Закон Гука

В истории науки есть такие имена, которым "не повезло", - их полузабыли или совсем забыли, и результаты, полученные этими учеными, зачастую связываются с другими, более известными и громкими именами. К таким ученым относится и Гук1. Он был не только ученым, но еще и талантливым изобретателем, выдающимся архитектором и градостроителем, отличным организатором, профессором и лектором и поистине гениальным экспериментатором. Работал он "за десятерых". Он был современником Гюйгенса, Ньютона, Лейбница, старших Бернулли2, и высказал множество идей из сферы их деятельности, а это почти всегда порождало такие споры о приоритете на крупные открытия, как печально известная тяжба с Исааком Ньютоном о приоритете на закон всемирного тяготения. Отражением борьбы за приоритет была и вышедшая в 1676 г. работа Гука "Десять изобретений, которые я намерен опубликовать", где под заголовком "Истинная теория упругости и жесткости" стояло только "ceiiinosssttuv". Это анаграмма, где буквы расставлены по алфавиту, была расшифрована автором только года через три: "ut tensio sic vis" - "каково удлинение, такова и сила". На современном языке перевод латинской фразы звучит как "напряжение пропорционально деформации".

Позже выяснилось, что этот закон Гука, право на который принадлежит ему безусловно, описывает только упругое поведение тел, а не поведение любых тел при произвольных нагрузках, как полагал сам Гук. "Современная" форма была придана закону Гука только лет через пятьдесят английским ученым Томасом Юнгом1. Вместо абсолютных величин (сила и удлинение) он ввел относительные (напряжение и деформация), и тогда оказалось, что в законе Гука коэффициент пропорциональности - модуль Юнга E - является постоянной самого материала, а не конструкции, и характеризует его важнейшее свойство - жесткость. Сам Юнг в 1807 г. писал о своем модуле довольно туманно: "Модуль упругости какого-либо вещества представляет собой столбик этого вещества, способный произвести давление на свое основание, которое так же относится к весу, как длина столбика к уменьшению его длины" [4]. Не удивительно, что современники не приняли это одно из самых важных технических понятий. Юнга, как человека, далекого от практики, в это время даже отстранили от чтения лекций в Королевском институте.

Закон Гука в своем первоначальном виде имел скалярный вид, поскольку был записан для одноосного случая. Его обобщения на трехмерный случай были даны позже; как известно (см., например, [91]), для изотропного материала закон Гука в тензорном виде имеет вид:

Eexx =sxx - n(syy+szz), Ggxy = txy,

Eeyy =syy - n(szz+sxx), Ggyz = tyz, (4.4.1)

Eezz =szz - n(sxx+syy), Ggzx = tzx.

Здесь G - модуль сдвига, E - модуль Юнга, n - коэффициент Пуассона1. Легко показать, что для изотропного тела три этих постоянных материала связаны соотношением: E=2G(1+n). Закон Гука для анизотропного тела имеет более сложный вид:

eij = Aijkls kl, (4.4.2)

где Aijkl - тензор, характеризующий упругие свойства материала и обладающий некоторыми свойствами симметрии. Эти определяющие соотношения являются фундаментом как теории упругости, так и ряда инженерных дисциплин (сопротивление материалов, детали машин и др.).

4.4.1.2*.Вязкие жидкости

Для описания вязкого поведения жидкости, например воды, обычно используют известный реологический закон И. Ньютона:

t = mv/y, (4.4.3)

где t - касательная компонента тензора напряжений, v/y - поперечная к направлению потока производная скорости сдвига (касательная компонента тензора скорости деформации), m - коэффициент вязкости. Для обычных жидкостей он зависит только от температуры (если давления не слишком высоки). Единицей измерения вязкости в системе СИ является паскаль-секунда: 1 Па×с=1 Н×с/м2. Вязкость воды при комнатной температуре равна 1,05×10-3 Па×с, а глицерина - 139,3 Па×с. Принципиальной особенностью обычных (ньютоновских) жидкостей является то, что величина m не зависит ни от напряжения, ни от деформации, ни от скорости деформации, другими словами, m - это константа материала.

Для линейного напряженного состояния можно принять

s = lx, (4.4.4)

где s - напряжение; x - скорость деформации; l - коэффициент пропорциональности. В литературе l иногда называют вязкостью Трутона; для ньютоновской жидкости она является константой материала. Для несжимаемой жидкости l=3m.

В тензорном виде ОС для вязкой жидкости имеют следующий вид [44,51]:

sij = - pdij + 2mxij, xii = 0, (4.4.5)

где p - гидростатическое давление и xij - девиатор скорости деформации. Для ньютоновской жидкости вязкость не зависит от скорости деформации. Это ОС является фундаментом классической гидродинамики. Уравнения движения сплошной среды, в которые введено это ОС, известны как уравнения Навье-Стокса. Для очень вязких жидкостей уравнения Навье-Стокса становятся неприменимыми. Например, глицерин, канифоль ведут себя как твердые тела в течение достаточно малых промежутков времени. В то же время они обладают свойством текучести при больших временах. Аморфные тела, например стекло, можно рассматривать как предельный случай таких жидкостей с очень большой вязкостью [44,51].

Если ввести в соотношения (4.4.5) девиатор напряжений Sij, то они примут вид

Sij =2mxij, xii = 0, (4.4.6)

где Sij=sij-(1/3)skkdij.

Таким образом, для изотропной вязкой несжимаемой жидкости девиаторы напряжений и скорости деформаций пропорциональны. Это соотношение можно трактовать как условие совпадения направлений девиаторов напряжений и скорости деформаций. Согласно терминологии такие свойства называются векторными.

Проведем стандартную процедуру свертки для выражения (4.4.6): SijSij=(2/3)(se)2 =4m2xijxij =4m2(3/2)(xe)2. Здесь se=[(3/2)SijSij]1/2 - интенсивность напряжений (второй инвариант девиатора напряжений); xe=[(2/3)xijxij]1/2 - интенсивность скоростей деформаций (второй инвариант девиатора скорости деформации, который в силу несжимаемости совпадает с самим тензором скорости деформации). Отсюда следует:

se=3mxe, (4.4.4’)

и, следовательно, из (4.4.4) l=3m. Для обычной (ньютоновской) жидкости l=3m являются постоянными материала.

Еще в прошлом веке Сен-Венан по аналогии с уравнениями гидродинамики написал соотношения пластичности, по виду совпадающие с уравнениями для жидкости, однако имеющие другой смысл. Этим уравнениям позже было присвоено его имя; характерно, что они сейчас настолько широко используются в СП, что считаются, по сути, единственным способом обобщения феноменологических физических уравнений состояния на трехмерный случай. Соотношения, по виду напоминающие (4.4.6), широко используются в механике ОМД. Принципиальным отличием соотношений типа Сен-Венана является предположение о том, что коэффициент пропорциональности m может зависеть и от температуры, и от скорости деформации, и, вообще говоря, от истории деформирования.

Помимо интенсивности напряжений и скоростей деформаций иногда вводят в рассмотрение следующие инварианты:

Интенсивность напряжений сдвига:

t = [SijSij/2]1/2 = se/Ö3, (4.4.7а)

Интенсивность скоростей деформаций сдвига:

H = [2xijxij]1/2 = xeÖ3. (4.4.7b)

Как следует из (4.4.4’), m=t/H. В теории Сен-Венана зависимость интенсивности напряжений сдвига от интенсивности скоростей деформаций сдвига не всегда является функцией; она может быть и функционалом процесса. В теории жидкостей этого нет, поэтому в этом смысле соотношения типа Сен-Венана принципиально сложнее, “богаче” соответствующих соотношений для жидкостей.

4.4.1.3*.Нелинейно-вязкие жидкости

Поведение некоторых жидкостей не может быть описано линейным законом Ньютона (4.4.3). Такие жидкости называют неньютоновскими. Для описания их свойств вводят хорошо известное “сверхпластичникам” соотношение s=Kxm. Для некоторых нелинейно-вязких жидкостей (суспензии асимметричных частиц, растворы высокополимеров) K и m<1 почти постоянны в широких интервалах напряжений и скоростей деформации, а кажущийся коэффициент вязкости l=s/x=Kxem-1=K1/ms1-1/m убывает с ростом x. Такие жидкости называют “псевдопластическими” [51]. Известны также так называемые "дилатантные" жидкости (суспензии твердых частиц, крахмальные клейстеры), для которых m>1 и кажущаяся вязкость растет с ростом напряжения.

Для нелинейно-вязкой жидкости se=Kxem, и коэффициент эффективной вязкости l равен: l=s/x=Kxem-1 = K1/ms1-1/m. Учитывая, что в этом случае 2m=2l/3, получим следующее ОС:

sij =sdij + (2K/3)xem-1xij , (4.4.8)

где K и m - материальные постоянные.

Если переписать стандартное соотношение s=Kxm в виде x=Cxn, получим известное в теории ползучести соотношение (см., например, [55]). Соотношения такого вида и их обобщения широко используются в теориях ползучести (см. 4.4.3). Необходимо отметить, что все соотношения в теориях ползучести записываются не для полной скорости деформации, как это обычно принято делать в работах по СП, а для ее составляющей - скорости деформации (и деформации) ползучести. Конечно, полная деформация в СП мало отличается от деформации ползучести (очевидно, что в СП упругие деформации малы по сравнению с неупругими); к чему может привести такая, на первый взгляд, несущественная подмена полной деформации ее частью, будет показано несколько позже.

4.4.1.4*. О пороговом напряжении

Как отмечено выше, кажущаяся вязкость материала в состоянии СП сильно зависит от скорости деформации, поэтому его часто рассматривают как нелинейно-вязкую жидкость. Тем не менее это не единственно возможный способ описания. В механике деформируемого твердого тела принято рассматривать материал не как жидкость, а как твердое тело. Различие между твердыми телами, с одной стороны, и жидкостями - с другой, иногда может показаться достаточно ясным, но, однако, далеко не всегда. Например, лед представляет собой, безусловно, твердое тело; в то же время ледники сползают с гор подобно жидкости. С другой стороны, во многих технологических процессах ОМД, например, при прокатке раскаленного металического листа, поведение металла больше похоже на поведение жидкости, нежели твердого тела.

Принципиальное отличие твердого тела от жидкости, с точки зрения механики, состоит в существовании отличного от нуля порогового напряжения sr: считается, что если напряжения не превышают sr, то никаких деформаций нет, а если напряжения достигли этого значения, тогда деформация развивается неограниченно при s=sr. В теории идеальной пластичности принимается, что sr есть константа материала. Элементарная модель, соответствующая такому поведению, называется в литературе элементом сухого трения или пластическим телом Сен-Венана.

Конечно, представление о существовании порогового напряжения довольно условно; известны сообщения о том, что даже самые твердые тела, например вольфрам, “ползут” с течением времени под действием относительно небольших нагрузок. Поэтому на практике под пороговым напряжением обычно подразумевается максимальное напряжение, при котором за некоторое характерное время ts величина деформации не превышает определенного заданного наперед значения (например, погрешность измерений, обычную для механического эксперимента). Характерное время определяется, очевидно, тем диапазоном скоростей деформаций, для которого предназначено рассматриваемое ОС; в СП характерные скорости деформации лежат в пределах от 10-5 до 10-1 с-1, тогда характерные времена ts будут 10с.

Помимо идеальной пластичности, в литературе имеются примеры и более сложных моделей пластичности, например, моделей упрочняющихся материалов. Отличительной особенностью всех теорий пластичности является обязательное наличие “переключателя”: если величина того или иного инварианта напряженного состояния (или их комбинации) не превосходит некоторого “порогового” значения, то имеет место упругость, а при достижении этого “порога” наступает пластичность. Подробнее речь о теориях пластичности идет в п. 4.4.5.

4.4.2. Структурно-механические модели

Как уже было отмечено в п. 4.1.1, свойства материалов чрезвычайно разнообразны, в то же время это не означает, что все известные материалы можно разделить на три больших класса: упругие, пластичные и вязкие. Напротив, все эти свойства присущи одновременно всем телам, только проявляются они в разных условиях в разной степени. Напомним, что заветной целью механика является построение адекватных ОС; это значит, что он должен учитывать в своих уравнениях по мере возможности все эти свойства. Механик может идти к своей цели разными путями. Один из стандартных способов построения ОС состоит в конструировании модели из элементарных "кирпичиков", в качестве которых выступают следующие элементы: упругий элемент (s=Ee), вязкий (t=mdv/dy) и элемент сухого трения (x=0 при s<ss, x¹0 при s=ss) - рис. 4.4.1 а, b,c соответственно. Любые комбинации таких "кирпичиков" называются структурно-механическими моделями пластичности. Необходимо подчеркнуть, что этот термин является в механике устоявшимся и общепринятым, причем в данном случае термин "структурно-" не имеет никакого отношения к микроструктуре исследуемого материала.

Свойства каждого "кирпичика" в простейшем случае описываются постоянным числом: для упругого элемента - это модуль Юнга Е=const, для вязкого - коэффициент вязкости l=const, для пластичного - пороговое напряжение ss=const. Наибольший интерес в СП представляет, несомненно, нелинейно-вязкий элемент (рис. 4.4.1d), вязкость которого зависит от скорости деформации, а свойства определяются двумя константами K и m.

a)	b)	c)	d)

Р и с. 4.4.1. Схематическое изображение элементарных "кирпичиков" и их характеристики

Ниже рассмотрены некоторые комбинации этих элементов друг с другом. Сначала рассмотрены свойства комбинаций, состоящих из двух элементов, которые имеют принципиально новые свойства (по сравнению со свойствами составляющих данную комбинацию элементов), и поэтому позволяющие описать качественно новые эффекты. После этого рассмотрены некоторые варианты многоэлементных комбинаций, в частности упруговязкопластические модели, которые позволяют качественно описать очень богатую гамму свойств. Особое внимание уделено свойствам комбинаций, содержащих нелинейно-вязкий элемент. Для простоты изложения ниже используются некоторые жаргонные термины: так, например, напряжения на вязком элементе называются вязкими, на упругом - упругими; аналогичным образом говорится об упругих и вязких деформациях и т. п.

4.4.2.1. Двухэлементные модели

Рассмотрим сначала комбинации, которые можно составить только из двух элементов. Очевидно, что любая комбинация двух элементов одного и того же типа не представляет интереса, поскольку она может быть заменена одним элементом аналогичного типа. Например, комбинация двух упругих элементов с модулями упругости Е1 и Е2 может быть заменена одним упругим элементом с эквивалентным модулем упругости Еэкв. Легко показать, что при параллельном соединении Еэкв=Е1+Е2, а при последовательном - Еэкв=Е1Е2/(Е1+Е2). Рассмотрим поэтому комбинации двух линейных элементов разного типа.

4.4.2.1.1. У п р у г о п л а с т и ч н о c т ь

Комбинация упругого и пластического элементов (рис. 4.4.2) позволяет описать упругопластическое поведение материала. Модели такого рода довольно широко применяются на практике при расчетах элементов конструкций, работающих за пределами упругости. Некоторые примеры можно найти в стандартных курсах сопротивления материалов (см., например, [91] ).

Если предположить, что тело подчиняется закону Гука при напряжениях ниже предела текучести и полная деформация является суммой упругой и пластической деформации, получим тело Прандтля - последовательное соединение линейно-упругого элемента с элементом Сен-Венана (рис. 4.4.2а).

На рис. 4.4.2 показано схематически, как выглядит диаграмма напряжение-деформация материала при разных видах испытания. Отметим, что упругопластический материал не релаксирует - напряжения в нем не изменяются с течением времени при остановке активного захвата.

4.4.2.1.2. В я з к о п л а с т и ч н о с т ь

Комбинация вязкого и пластического элементов дает возможность описывать вязкопластическое поведение материала (рис. 4.4.3). Модели такого рода широко используются при описании реологического поведения таких неньютоновских жидкостей, как например, применяемые на нефтепромыслах для промывания скважин глинистые и цементные растворы, масляные краски, сточные грязи, а также некоторые пасты. В литературе показанные на рис. 4.4.3 комбинации принято называть пластиком Шведова-Бингама.

Р и с. 4.4.2. Последовательное и параллельное соединения упругого и пластического элементов. Цифрами на графиках обозначено: 1 - активное нагружение (деформирование при x=const); 2 - разгрузка (скорость деформации x<0)	Р и с. 4.4.3. Последовательное и параллельное соединения вязкого и пластического элементов

Реологические законы вязкопластических жидкостей обычно приписывают Бингаму (1916), хотя они были известны уже задолго до этого (в 1889) . Определяющее соотношение для пластика в скалярном виде имеет вид

s = s0+Ax, или t=t0+mH, (4.4.9)

где s0=t0Ö3, A=3m, H=xÖ3. Для пластика Шведова-Бингама коэффициент эффективной вязкости l равен l=s/x=s0/x+A. Величина l для пластика Шведова-Бингама монотонно убывает с ростом скорости деформации и в пределе стремится к А. Соотношения типа Бингама применяются и для описания СП материалов, например [27].

Заметим, что в литературе по реологии под телами Бингама и Шведова принято понимать более сложные модели: тело Бингама представляет собой параллельное соединение пластического и линейно-вязкого элементов, к которым последовательно включен линейно-упругий элемент. Тело Шведова отличается от тела Бингама тем, что в него вместо линейно-вязкого элемента установлены последовательно соединенные линейно-упругий и линейно-вязкий элементы.

4.4.2.1.3. В я з к о у п р у г о с т ь

Рассмотрим теперь комбинацию двух линейных элементов: вязкого и упругого (рис. 4.4.4). К числу вязкоупругих сред относятся многие полимерные материалы, в частности твердое топливо для ракетных двигателей. Развитие космической техники способствовало росту интереса к вязкоупругому поведению материалов и привело в итоге к развитию теории вязкоупругости.

Вязкий и упругий элементы могут быть соединены двумя различными способами: параллельно и последовательно (рис. 4.4.4). В первом случае получаем тело Фойхта, а во втором - тело Максвелла.

Р и с. 4.4.4. Последовательное и параллельное соединения упругого и вязкого элементов

Для модели Максвелла скорости упругой и вязкой деформации складываются:

, (4.4.10)

где s - напряжение, x - скорость деформации, E - модуль Юнга и l=3m - коэффициент вязкости. При постоянном напряжении s=s0=const тело Максвелла деформируется с постоянной скоростью x0=s0/l подобно вязкой жидкости. При постоянной скорости деформации x=x0=const интегрирование (4.4.8) при начальном условии s(0)=0 дает:

s =lx0[1-exp(-Et/l)]. (4.4.11)

Если в некоторый момент времени t=t1 прекратить деформирование, то из (4.4.10) легко получить при x=0 следующее выражение:

s =s1exp[-E(t-t1)/l], t>t1, (4.4.12)

описывающее возвращение с ростом t напряжения s к нулевому значению. Явление постепенного убывания напряжений во времени при постоянной деформации носит название релаксации напряжений. Таким образом, тело Максвелла является релаксирующим. Если в момент времени t=t1 происходит не остановка активного захвата, а изменение направления ее движения, скорость деформации меняет знак. Интегрируя (4.4.10) при x=-x0=const, можно получить закон изменения напряжения во времени при разгрузке, из которого следует, что при t напряжение в образце s-lx0.

В модели Фойхта складываются упругие и вязкие напряжения:

s=Ee + lx, (4.4.13)

где e - деформация. Интегрируя (4.4.13) для случая s=s0=const,

получим:

e = (s0/E)[1-exp(-Et/l)] , (4.4.14)

которое выражает запаздывание при росте времени t установления упругой деформации. Постоянная l/E - характерное время запаздывания. Таким образом, при постоянном напряжении величина относительного удлинения все время возрастает и в пределе достигает окончательной величины e0=s0/E. Если в некоторый момент времени t2 нагрузка будет снята (s=0 при t>t2), дальнейшая деформация будет происходить по закону:

e = e2exp[-E(t-t2)/l], t>t

Таким образом, при снятии нагрузки деформация будет убывать от своего значения в момент времени e2=e(t2) до нуля. Явление постепенного возрастания деформаций после приложения нагрузки и убывания после снятия нагрузки носит название последействия.

Если при t>t2 напряжение поменяет знак и станет равным - s; из зависимости деформации от времени для этого случая следует, что при t деформация образца e-s/E.

Таким образом, тело Фойхта под действием постоянной нагрузки не обладает свойством бесконечной текучести. Для него при t x0. В то же время для тела Максвелла xs0/l, т. е. будет течь с постоянной скоростью x=s0/l. Поэтому среду, подчиненную реологическому закону Фойхта, называют вязкоупругим "наследственным" твердым телом, а тело Максвелла представляет собой вязкоупругую "наследственную" жидкость.

Теория линейной вязкоупругости применяется для твердых тел со свойствами, которые в области малых деформаций весьма близки к свойствам полимерных материалов: натурального и синтетического каучуков, аморфных полимеров с малыми и большими молекулярными весами, полимеров в композиции с другими волокнами и др. В зависимости от температуры для этих материалов характерны стеклообразное состояние при низких температурах, когда они почти идеально упруги, и высокоэластические состояния при высоких температурах, когда они значительно деформируются при низких напряжениях и имеют сильно выраженные временные свойства (релаксации, ползучести). В линейной теории вязкоупругости связь между напряжениями и деформациями задается соотношениями [33]:

, , (4.4.16)

где K и R - ядра ползучести и релаксации соответственно. В опыте на ползучесть быстро прикладывается и поддерживается постоянным напряжение s=s1=const и регистрируется деформация e=e1(t). Из второго соотношения (4.4.16) находят ядро ползучести. В опыте на релаксацию мгновенно удлиняют образец до деформации e2=const и регистрируют отклик материала s2(t). Из первого соотношения (4.4.16) находят ядро релаксации. Легко показать, что

, . (4.4.17)

4.4.2.1.4. К о м б и н а ц и и д в у х н е л и н е й н о - в я з к и х э л е м е н т о в

Как уже отмечалось выше, любая комбинация двух линейных элементов одного типа может быть заменена одним элементом того же типа. Этого нельзя сказать о комбинации нелинейных элементов одного типа. Рассмотрим комбинацию двух нелинейно-вязких элементов. При их параллельном соединении складываются напряжения:

s = K1xm1 + K2xm

При последовательном соединении складываются скорости деформации

x = C1sn1 + C2sn

Заметим, что выражения (4.4.18) и (4.4.19) являются частными случаями для более общего вида ОС s=f(x) или x =j(s).

Постоянные Ki=1/(Ci)mi и mi=1/ni (i=1,2) описывают свойства элементов. Пусть s0 - напряжение, соответствующее некоторой скорости деформации x0. Введем следующие обозначения:

, (i=1,

Тогда, разделив обе части (4.4.18) на s0, легко получить следующее выражение:

, (4.4.21)

где =s/s0, =x/x0, =s0i/s0 (i=1,2). Аналогичным образом, если разделить (4.4.19) на x0, то получим:

(i=1,2) , (4.4.22)

где =x0i/x0 (i=1,2).

Смысл коэффициентов в (4.4.20) и в (4.4.22) достаточно прозрачен: они представляют собой вклад соответствующих членов в общее напряжение (скорость деформации). В частном случае, когда m1=m2 или n1=n2, легко видеть, что и , откуда m=1/n.

На рис. 4.4.5 представлены результаты расчетов по формулам (4.4.20) и (4.4.21). При расчетах было принято: s0=1; x0=1; s01=s02=0,5; x01=x02=0,5; m1=0,1; m2=0,9. Анализ рис. 4.4.5 приводит к следующим выводам. Если при x=x0 вклады обоих элементов равны, то при изменении скорости деформации в ту или иную сторону их относительные вклады меняются. Например, при увеличении x роль элемента с более высоким m (в данном случае элемента m2=0,9) в цепочке с параллельным соединением возрастает, а в цепочке с последовательным соединением - падает. При уменьшении x наблюдается обратная картина. Впрочем, этого и следовало ожидать: если сопротивление деформации при параллельном соединении определяется более прочным звеном, то при последовательном соединении - более слабым.

Как видно из рис. 4.4.5, ни при последовательном, ни при параллельном соединении вклады отдельных элементов не суммируются! Другими словами, комбинация из двух нелинейно-вязких элементов в принципе не может быть заменена одним элементом аналогичного типа с некоторыми эквивалентными характеристиками. Это обстоятельство не случайно, а является характерной особенностью нелинейных систем; принцип суперпозиции для них не имеет места.

Р и с. 4.4.5. Зависимость напряжения s от скорости деформации x для комбинации из двух нелинейно-вязких элементов при параллельном (1) и последовательном (2) соединении

4.4.2.1.5. О б о б щ е н н о е т е л о М а к с в е л л а

Закономерен следующий вопрос: все описанное выше, - это, конечно же, хорошо, вот только зачем все это нужно в СП? Чтобы ответить на него, рассмотрим следующий пример.

Стандартное ОС СП s=Kxm обладает тем очевидным недостатком, что напряжение s в этом случае является однозначной функцией скорости деформации x. Рассмотрим более общий случай: пусть напряжение s есть произвольная функция скорости деформации x:

s = f(x). (4.4.23)

Легко видеть, что при резком изменении скорости деформации отклик материала будет ступенькообразным независимо от конкретного выбора вида функции f(x) в выражении (4.4.23) - см. рис. 4.4.6. Таким образом, проблема не может быть решена за счет выбора конкретного функционального вида функции в (4.4.23). Математик, узнав о возникшей проблеме, сказал бы: “Друзья, в вашем случае напряжение s есть не функция, а функционал процесса“. Чтобы описать поведение материала при резком изменении скорости деформации, воспользуемся набором элементарных "кирпичиков", которые имеются в нашем распоряжении. Нужно описать переходный режим, - следовательно, можно попробовать добавить к нелинейно-вязкому еще один "кирпичик", - пусть это будет упругий элемент.

Р и с. 4.4.6. Программа ступенчатого нагружения по скорости деформации x (а) и соответствующий ей отклик материала s для нелинейно-вязкого элемента (сплошная линия). Пунктиром показан ход кривой для последовательно соединенных нелинейно-вязкого и упругого элементов	Р и с. 4.4.7. Зависимости от времени напряжения в образце s для обобщенного тела Максвелла

Легко проверить, что параллельное соединение нелинейно-вязкого и упругого элементов в данном случае не подходит для описания переходных режимов. Поэтому рассмотрим их последовательное соединение (назовем полученную комбинацию обобщенным телом Максвелла - см. рис. 4.4.7). В этом случае скорости деформации элементов складываются: