Истоки творчества (стр. 3 )

-1 0 1

÷-x-1÷=-nx-mx+m+kx+k+d ÷x-1÷= nx+mx-m+kx+k+d ÷-x - 1÷ =-nx-mx+m–kx-k +d ÷ x-1÷= nx-mx+m+kx+k+d

-x - 1 =-nx-mx+m–kx-k +d x +1 =-nx-mx+m+kx+k +d - x +1 =nx-mx+m+kx+k +d x -1 =nx+mx-m+kx+k +d

В каждом из четырех полученных равенств сгруппируем подобные :

1) - x - 1 = (-n - m - k) x + (m-k +d)

2) x+1 = (-n-m+k) x + (m + k +d)

3) - x +1 = (n-m+k) x + (m + k +d)

4) x-1 = (n+ m +k) x + (-m + k +d)

Так как в равенствах левая часть равняется правой, можно из наших выражений получить системы уравнений:

1) - n – m - k =n – m +k = 1 3) n – m + k =-1 4) n + m +k =1

m - k + d = -1 m + k + d = 1 m +k + d = 1 - m+k +d =-1

Теперь согласно методу последовательного исключения неизвестных в каждой системе складываем II и I уравнения. Получаем несколько выражений, которые имеют следующий вид:

1) - n -2k + d =-2 2) - n +2k + d =2 3) n +2k + d =0 4) n +2k + d =0

Составим новую систему, но так как выражения (3) и (4) одинаковые, она будет содержать три уравнения:

- n-2k + d =-2

-n+2k + d = 2

n +2k + d = 0

Воспользуемся еще раз методом последовательного исключения чисел и к I уравнению прибавим II. Из данного сложения получается:

-2n + 2d = 0 Þ -2n = -2d Þ n = d

Подставляем значение n = d в I уравнение системы:

-n – 2k +d = -2

ß

-d -2k +d = -2

ß

k=1

подставляем в III уравнение системы известные нам значения: n=d, k=1

n + 2k + d =0 Þ d + 2 + d = 0 Þ d = -1

Учитывая, что n = d, n = -1. Для того чтобы найти последний неизвестный коэффициент m подставим известные нам значения в следующее уравнение:

-n – m – k = - 1

ß

1 - m -1 = -1

ß

m = 1

Ответ: k=1, n = -1, d = -1, m = 1

Пример 2.

Дано:

÷ êx ê- a ÷ = n÷ x÷ + m÷ x - a÷ + k÷ x + a÷ + d

Найти: n, m, k, d при a = 2

Решение:

Во-первых, заменим в выражении коэффициент a на 2. Оно будет иметь следующий вид:

÷ êx ê- 2 ÷ = n÷ x÷ + m÷ x - 2÷ + k÷ x + 2÷ + d

Далее приступим к раскрытию модулей с помощью числовой прямой, отметив на ней числа -2, 0 и 2.

÷-x-2÷=-nx-mx+2m+kx+2k+d ÷x-2÷= nx+mx-2m+kx+2k+d ÷-x-2÷=-nx-mx+2m–kx-2k+d ÷x-2÷= nx-mx+2m+kx+2k+d

-x -2=-nx-mx+2m–kx-2k +d x +2 =-nx-mx+2m+kx+2k +d - x +2=nx-mx+2m+kx+2k +d x-2 =nx+mx-2m+kx+2k +d

В каждом из четырех полученных равенств сгруппируем подобные:

1) - x-2 = (-n-m-k)x + (2m-2k+d)

2) x+2= (-n-m+k)x + (2m+2k+d)

3) - x+2 =(n-m+k)x + (2m+2k+d)

4) x-2 =(n+m+k)x + (-2m+2k+d)

Так как в равенствах левая часть равняется правой, можно из наших выражений получить системы уравнений:

1) - n – m - k =n – m +k = 1 3) n – m + k =-1 4) n + m +k =1

2m - 2k + d = -2 2m + 2k + d =2 2m +2k + d =2 -2m+2k +d =-2

(Аналогично решению первого примера)

Будем решать методом последовательного исключения неизвестных,

а именно, ко II уравнению прибавляем I. Получаем несколько выражений, которые имеют следующий вид:

1) –n+m–3k+d =–n+m+3k+d = 3 3) n+m+3k+d = 1 4) n–m+3k+d = -1

Составим новую систему, которая будет содержать четыре уравнения.

-n+m–3k+d = -3

–n+m+3k+d = 3

n+m+3k+d = 1

n–m+3k+d = -1

Воспользуемся еще раз методом последовательного исключения чисел и из I уравнения вычтем II. Из этого следует:

-6k = -6 Þ - k =-1 Þ k =1

Теперь из III уравнения вычтем IV.

2m = 2 Þ m = 1

Подставим известные значения k и m в следующую систему уравнений:

- n – m - k = -1

2m - 2k + d = -2

Так как k =1 и m = 1:

- n – 1 - 1 = -1 Þ n =-1

2 - 2 + d = -2 d = -2

Ответ: n = -1, m = 1, k = 1, d = -2

Из примеров 1, 2, 3 можно заметить, что m, n, k, d – постоянные параметры равенства÷ êx ê- a ÷ = n÷ x÷ + m÷ x - a÷ + k÷ x + a÷ + d , где m, n, k при любом a остаются неизменны, а d всегда равен –a.

Глава 2. Нахождение неизвестных значений

параметров для равенства, содержащего тройной модуль:

ê÷ êx ê- a ÷ -aê= n÷ x÷ + m÷ x - a÷ + k÷ x + a÷ + b÷ x - 2a÷ + c÷ x + 2a÷ +d

Пример 1.

Дано:

ê÷ êx ê- a ÷ -aê= n÷ x÷ + m÷ x - a÷ + k÷ x + a÷ + b÷ x - 2a÷ + c÷ x + 2a÷ +d

Найти: n, m, k, b, c, d при а = 1

Решение:

Во-первых, заменим в выражении коэффициент а на 1. Оно будет иметь следующий вид: ê÷ êx ê-1 ÷ -1ê= n÷ x÷ + m÷ x - 1÷ + k÷ x + 1÷ + b÷ x - 2÷ + c÷ x + 2÷ +d

Далее приступим к раскрытию модулей в выражении с помощью числовой прямой, отметив на ней числа -2,-1, 0, 1 и 2.

-2

êê-x-1ê-1ê= - nx – êê-x-1ê-1ê= - nx– êê-x-1ê-1ê= -nx - êê-x -1ê-1ê=nx - êê-x-1ê-1ê=nx + ê ê-x-1ê-1ê=nx+

- mx +m –kx –k – - mx +m–kx–k – - mx +m +kx +k– - mx +m +kx +k – +mx - m +kx +k – +mx - m+kx+k+

- bx+2b-cx - 2c+d bx +2b+cx+2c+d - bx+2b+cx+2c+d - bx+2b+cx+2c+d - bx+2b+cx+2c+d +bx-2b+cx+2x+d

ê-x-1-1ê= - nx – ê-x-2ê= - nx– êx+1ê-1ê= -nx - ê-x +1-1ê=nx - êx -1-1ê=nx + êx – 1 -1ê=nx+

- mx +m –kx –k – - mx +m–kx–k – - mx +m +kx +k– - mx +m +kx +k – +mx - m +kx +k – +mx - m+kx+k+

- bx+2b-cx - 2c+d bx +2b+cx+2c+d - bx+2b+cx+2c+d - bx+2b+cx+2c+d - bx+2b+cx+2c+d +bx-2b+cx+2x+d

-x-2= - nx – x + 2= - nx– -x - 0= - nx - x +0 = nx - - x +2 =nx + x – 2 =nx+

- mx +m –kx –k – - mx +m–kx–k – - mx +m +kx +k– - mx +m +kx +k – +mx - m +kx +k – +mx - m+kx+k+

- bx+2b-cx - 2c+d bx +2b+cx+2c+d - bx+2b+cx+2c+d - bx+2b+cx+2c+d - bx+2b+cx+2c+d +bx-2b+cx+2c+d

В каждом из полученных равенств сгруппируем подобные:

1) - x - 2 = (-n - m - k-b-c) x + (m-k +2b-2c +d)

2) x + 2 = (-n - m - k-b+c) x + (m-k +2b+2c+d)

3) - x - 0 = (-n - m+ k-b+c) x + (m+k +2b+2c +d)

4) x + 0 = (n - m-+k-b+c) x + (m+k +2b+2c +d)

5) - x +2 = (n+ m+ k-b+c) x + (-m+k +2b+2c +d)

6) x - 2 = (n+ m+ k-+b+c) x + (-m+k -2b+2c +d)

Так как в равенствах левая часть равняется правой, можно из наших выражений получить системы уравнений:

1)  -n - m - k-b-c=n - m - k-b+c =1 3) - n - m+ k-b+c =-1

m-k +2b-2c +d =-2 m-k +2b+2c+d=2 m+k +2b+2c +d=0

4) n - m-+k-b+c =1 5) n+ m+ k-b+c =n+ m+ k-+b+c = 1

m+k +2b+2c +d = 0 - m+k +2b+2c +d= 2 - m+k -2b+2c +d= -2

Теперь согласно методу последовательного исключения неизвестных в каждой системе складываем II и I уравнения. Получаем несколько выражений, которые имеют следующий вид:

1) - n -2k + b – 3c + d =-3 2) - n -2k + b + 3c + d =3 3) - n +2k + b + 3c + d =-1

4) n +2k + b +3c + d = 1 5) n + 2k + b + 3c + d =1 6) n + 2k - b + 3c + d =-1

Составим новую систему, которая будет содержать шесть уравнений с пятью неизвестными:

- n -2k + b – 3c + d =-3

- n -2k + b + 3c + d =3

- n +2k + b + 3c + d =-1

n +2k + b +3c + d = 1

n + 2k + b + 3c + d =1

n + 2k - b + 3c + d =-1

Воспользуемся еще раз методом последовательного исключения чисел и из I уравнения вычтем II, из II – III и т. д. .

Из данного вычитания получается:

1)-6c = -6

c = 1

2)-4k = 4

k = -1

3)-2n = -2

n=1

4) 2b=2

b= 1

Теперь подставим известные значения в уравнение, чтобы найти d

-  1 + 2 + 1 – 3 + d =-3

ß

d = -2

Есть еще одно неизвестное, чтобы найти его подставим известные значения в первое уравнение:

-1- m+1-1-1= -1

ß

m= -1

Ответ: В уравнении ê÷ êx ê- a ÷ -aê= n÷ x÷ + m÷ x - a÷ + k÷ x + a÷ + b÷ x - 2a÷ + c÷ x + 2a÷ +d

c = 1, k = -1 , n=1, b= 1, m= -1, d = -2 при а=1

Пример 2.

Дано:

ê÷ êx ê- a ÷ -aê= n÷ x÷ + m÷ x - a÷ + k÷ x + a÷ + b÷ x - 2a÷ + c÷ x + 2a÷ +d

Найти: n, m, k, b, c, d при а = 2

Решение:

Во-первых, заменим в выражении коэффициент а на 2. Оно будет иметь следующий вид: ê÷ êx ê-2÷ -2÷ = n÷ x÷ + m÷ x - 2÷ + k÷ x + 2÷ + b÷ x - 4÷ + c÷ x + 4÷ +d

Далее приступим к раскрытию модулей в выражении с помощью числовой прямой, отметив на ней числа -4,-2, 0, 2 и 4.

êê-x-2ê-2ê= - nx – êê-x-2ê-2ê= - nx– êê-x-2ê-2ê= - nx - êêx -2ê-2ê=nx - êêx-2ê-2ê=nx + ê êx-2ê-2ê=nx+

- mx +2m –kx –2k – -mx +2m–kx–2k – - mx +2m +kx +2k– - mx +2m-kx-2k– +mx +2m+kx -2k– +mx - 2m+kx+2k+ - bx+4b-cx - 4c+d bx +4b+cx+4c+d - bx+4b+cx+4c+d - bx+4b+cx+4c+d - bx+4b+cx+4c+d +bx-4b+cx+4x+d

ê-x-2-2ê= - nx – ê-x-2-2ê= - nx– êx+2ê-2ê= - nx - ê-x +2-2ê=nx - êx -2-2ê=nx + êx – 2 -2ê=nx+

- mx +2m –kx –2k – -mx +2m–kx–2k – - mx +2m +kx +2k–-mx +2m +kx +2k– +mx -2m +kx +2k– +mx - 2m+kx+2k+

- bx+4b-cx - 4c+d bx +4b+cx+4c+d - bx+4b+cx+4c+d - bx+4b+cx+4c+d - bx+4b+cx+4c+d +bx-4b+cx+4с+d

-x-4= - nx – x + 4= - nx– - x - 0= - nx - x +0 = nx - - x +4 =nx + x – 4 =nx+

- mx +2m –kx –2k – -mx +2m–kx–2k – - mx +2m +kx +2k– - mx +2m +kx +2k– +mx -2m +kx +2k– +mx - 2m+kx+2k+

- bx+4b-cx - 4c+d bx +4b+cx+4c+d - bx+4b+cx+4c+d - bx+4b+cx+4c+d - bx+4b+cx+4c+d +bx-4b+cx+4c+d

В каждом из четырех полученных равенств сгруппируем подобные :

1) - x - 4 = (-n - m - k-b-c) x + (2m-2k +4b-4c +d)

2) x + 4 = (-n - m - k-b+c) x + (2m-2k +4b+4c+d)

3) - x - 0 = (-n - m+ k-b+c) x + (2m+2k +4b+4c +d)

4) x + 0 = (n - m-+k-b+c) x + (2m+2k +4b+4c +d)

5) -x +4 = (n+ m+ k-b+c) x + (-2m+2k +4b+4c +d)

6) x - 4 = (n+ m+ k-+b+c) x + (-2m+2k -2b+22c +d)

Так как в равенствах левая часть равняется правой, можно из наших выражений получить системы уравнений:

1)  -n - m - k-b-c=n - m - k-b+c =1 3) - n - m+ k-b+c =-1

2m-2k +4b-4c +d =-4 2m-2k +4b+4c+d=4 2m+2k +4b+4c +d=0

4) n - m-+k-b+c =1 5) n+ m+ k-b+c =n+ m+ k-+b+c = 1

2m+2k +4b+4c +d = 0 -2m+2k +2b+2c +d= 4 -2m+2k -4b+4c +d= -4

Теперь согласно методу последовательного исключения неизвестных в каждой системе складываем II и I уравнения. Получаем несколько выражений, которые имеют следующий вид:

1) - n +m-3k + 3b – 5c + d =-5 2) - n +m-3k + 3b + 5c + d =5

3) - n+m+3k+3b+5c+d =-1 4) n +m+3k + 3b +5c + d = 1

5) n - m+3k + 3b +5c + d =3 6) n - m+3k-3b + 5c + d =-3

Составим новую систему, которая будет содержать шесть уравнений с пятью неизвестными:

- n +m-3k + 3b – 5c + d =-5

- n +m-3k + 3b + 5c + d =5

- n+m+3k+3b+5c+d =-1

n +m+3k + 3b +5c + d = 1

n - m+3k + 3b +5c + d =3

n - m+3k-3b + 5c + d =-3

Воспользуемся еще раз методом последовательного исключения чисел и из I уравнения вычтем II, из II – III и т. д.

Из данного вычитания получается

1)-10c = -10 c = 1

2)-6k = 6 k = -1

3)-2n = -2 n=1

4) 2m=-2 m=-1

5) 6b=6 b= 1

Теперь подставим известные значения в уравнение, чтобы найти d

-  1-1 + 3 + 3 -5 + d =-5

ß

d = -4

Ответ: В уравнении ê÷ êx ê- a ÷ -aê= n÷ x÷ + m÷ x - a÷ + k÷ x + a÷ + b÷ x - 2a÷ + c÷ x + 2a÷ +d

c = 1, k = -1 , n=1, b= 1, m= -1, d = -4 при а = 2

В ходе работы я заметила, что в равенствеê÷ êx ê- a ÷ -aê= n÷ x÷ + m÷ x - a÷ + k÷ x + a÷ + b÷ x - 2a÷ + c÷ x + 2a÷ +d всегда c = 1, k = -1 , n=1, b= 1, m= -1, а вот d всегда равен -2а.

Вывод:

В результате проделанной работы мы выполнили поставленную в начале задачу, то есть нашли все значения неизвестных параметров при различном значении коэффициента а. Было доказано, что равенство

÷ êx ê- a ÷ = n÷ x÷ + m÷ x - a÷ + k÷ x + a÷ + d выполняется при любом а.

После решения третьего примера стало очевидным, что значения параметров n, m, k не изменяются ни при каком а, то есть всегда n = -1, m =1, k =1. А вот на d значение коэффициента а оказывает влияние, так как при решении примеров было установлено, что d = -а.

Предположенная гипотеза подтвердилась, так как равенство

÷ êx ê- a ÷ = n÷ x÷ + m÷ x - a÷ + k÷ x + a÷ + d действительно выполняется при любом а и n, m, k, d имеют постоянные значения (n = -1, m =1, k =1, d = - а.).

Во второй части работы мы усложнили первый вариант равенства, добавив в него еще один модуль.

Выяснили, что равенство ê÷ êx ê- a ÷ - aê= n÷ x÷ + m÷ x - -a÷ + k÷ x + a÷ + b÷ x - 2a÷ + c÷ x + 2a÷ +d выполняется также при любом значении а, а вот значения некоторых параметров не совпадают со значениями первого варианта работы, теперь они равны: c = 1, k = -1 , n=1, b= 1, m= -1 - на коэффициент d значение а также оказывает влияние d=-2a.

Очевидно , где n - количество коэффициентов а под модулями в левой части равенства

Я думаю, что мое исследование поможет мне в дальнейших работах, связанных с вычислениями, а именно при встрече с уравнением вида: ÷ êx ê- 1 ÷ = b - я смогу заменить его на следующее:-÷ x÷ +÷ x - a÷ +÷ x + a÷-d= b – так как считаю его решение более рациональным. Мы уже доказали равенство двух представленных выражений, поэтому замена одного на другое возможна. Также можно заменить ê÷ êx ê- a ÷ -aê= k на ê÷ êx ê- a ÷ -aê= n÷ x÷ + m÷ x - a÷ + k÷ x + a÷ + b÷ x - 2a÷ + c÷ x + 2a÷ +d ê= k.

Также при встрече с подобным уравнением, где коэффициент d будет не известен, я смогу найти его по представленной выше формуле.

Петрова Екатерина, 7 класс МОУ «Орловская СОШ» Руководитель: , учитель математики

«Зрительные иллюзии и геометрия»

Иллюзии – обман чувств, нечто кажущиеся. Ошибочное восприятие предметов, явлений. Представителей естественных наук, в частности физиков и астрономов всегда волновала надежность визуальных наблюдений.

Стоит ли доверять всему, что мы видим? Можно ли увидеть то, что никто не видел? Правда ли, что неподвижные предметы могут двигаться? Почему дети и взрослые видят один и тот же предмет по-разному? Всегда ли можно доверять своему зрению?

Ответы на эти и другие «почему» я постаралась найти в своей работе с помощью геометрии, строгие законы, которой объясняют некоторые особенности зрительного восприятия.

Объектом исследования являются зрительные иллюзии, а предметом - изучение причин иллюзий.

Цель работы: Объяснить зрительные иллюзии с точки зрения геометрии.

Гипотеза: Зрительные иллюзии можно объяснить с помощью законов геометрии.

Задачи исследования:
Подобрать и изучить литературу по теме исследования.
Провести опыты, связанные со зрительными иллюзиями, и доказать их с точки зрения геометрии.
Найти примеры использования оптических иллюзий.
Разработать рекомендации по использованию иллюзий в современной жизни.
Сделать выводы, заключение

Я использовала следующие методы исследования:
1. Изучение литературы.
2. Сопоставление существенных признаков.
3. Доказательство, анализ, сравнение, обобщение.

В результате изучения литературы я узнала, что иллюзии делятся на:

1. Двойственные.

2. Зрительные искажения.

3. Иллюзии цвета и контраста.

4. Восприятие размера.

5. Кажущиеся фигуры.

6. Невозможные фигуры.

7. Перевернутые фигуры.

8. Распознавание образа.

9. Соотношение фигур и фона. (подобранны примеры, иллюстрации)

Наиболее часто картины с иллюзиями писал Сальвадор Дали, которого можно смело назвать величайшим гением сюрреализма 20-го века. (Приведена краткая биография)

Далее в работе приведено описание практической работы по выявлению иллюзий и их доказательство. Я решила провести опрос. Предложила некоторые картины Сальвадора Дали учителям и учащимся нашей школы с вопросом: Что изображено на картине? Предлагалось 6 картин. Например, Иисус в Иерусалиме Таинственный рыцарь и другие.

Мною было опрошено 10 учителей и 10 учащихся.

Результаты опроса представлены на диаграмме.

Вывод: 50% опрошенных учителей, 40% опрошенных учащихся обладают развитым стереометрическим зрением. 100% опрошенных сказали, что ранее не знали, что такое сюрреализм.

Так же для доказательства связи зрительных иллюзий и геометрии мной были проведены опыты:

Опыт №1.

Сравним относительные размеры находящихся в поле зрения предметов.

Если предметы удалены от глаз на одно и то же расстояние и расположены достаточно близко друг к другу, их сравнить легко. В этом случае мы редко ошибаемся в своей оценке: более высокий предмет виден под большим углом, поэтому и кажется выше.

Рис.1

Усложним задачу: расположим предметы на разном расстоянии от глаза, в том числе предметы разного размера. Тогда их видимые размеры кажутся одинаковыми.

Выстроим, друг за другом по росту несколько матрешек, посмотрим на них со стороны с самой маленькой фигурки, а затем начнем медленно отходить назад, не изменяя при этом направления взгляда, то можно наблюдать, как матрешки будут постепенно «сливаться», загораживая друг друга. Наконец, на некотором расстоянии будет видна только одна из них – та, что расположена ближе остальных.

Вывод: Независимо от формы предметов, наблюдаемое явление должно описываться «на языке математики» одним и тем же законом, в котором ключевую роль играют, вероятно, такие параметры, как линейный размер и расстояние до предмета.

Опыт №2.

Рассмотрим фрагменты висящей на стене картины. Почему, чем ближе мы подходим к ней, тем больше начинаем различать такие подробности, которые не замечали раньше?

Доказательство. Чем больше угол зрения, тем крупнее изображение каждой детали на сетчатке глаза, оно «захватывает» все больше нервных окончаний, благодаря чему мы начинаем различать в предмете такие подробности, которые не замечали раньше.

Вывод: хотите разглядеть фрагмент висящей на стене картины или мелкий шрифт на странице книги – попробуйте увеличить угол зрения, подойдя к холсту поближе (приблизив текст к глазам). А если объект наблюдения слишком мал или его детали плохо различимы невооруженным глазом, следует воспользоваться лупой или другим оптическим прибором, который позволяет увидеть объект под большим углом.

Опыт№3

Рассмотрим две «убегающие» от нас параллельные линии (трамвайные или железнодорожные).

Они кажутся сходящимися в некоторой точке горизонта. При этом сама точка представляется нам бесконечной удаленной и недосягаемой. Зрение словно пытается убедить нас в том, что вопреки законам геометрии параллельные прямые пересекаются.

Доказательство: Эта иллюзия объясняется рассмотренной нами выше особенностью зрительного восприятия. Объект (шпала), находящийся на различных расстояниях от наблюдателя, виден под разными углами зрения и по мере удаления вдоль параллельных прямых (рельсов), его угловой размер уменьшается, что приводит к видимому уменьшению расстояния между линиями (в данном случае оно определяется величиной шпалы). Очевидно, когда угол зрения достигает некоторой «критической» величины, глаз перестает различать удаляющийся объект как тело, имеющее размеры, и прямые «сливаются» для него в одну точку.

Вывод: существует предельное значение угла зрения – наименьшее значение, при котором глаз способен видеть раздельно две точки.

Опыт №4.

Определим высоту столба (вышки, дерева и т. п.).

. Рис.4

Отойдем от столба на расстояние, на котором больший палец, вытянутой вперед руки, закроет его полностью, (то есть их видимые размеры станут одинаковыми), подсчитав при этом число сделанных шагов. Для взрослого человека среднее расстояние от глаза до большого пальца вытянутой руки составляет 60 см, длина самого пальца - 7 см, а длина шага - 65 см. По этим данным легко вычислить примерную высоту столба. Аналогично определяется расстояние до недоступного объекта по его известной высоте. Отметим, что описанный способ надежен для оценки сравнительно близких расстояний до нескольких сотен метров; чем меньше предмет и чем дальше он находится, тем выше погрешность измерений.

Вывод: С позиции геометрии, во всех приведенных примерах мы имеем дело с подобными фигурами или соответствующими отрезками, а именно высотами, различных по форме фигур; более того, в каждом случае мы сталкиваемся с преобразованием гомотетии, центр которой совпадает с глазом наблюдателя. Поэтому можно утверждать, что если два предмета видны под одним углом зрения, то их линейные размеры отличаются во столько же раз, во сколько раз отличаются расстояния до предметов.

Рис. 5

Вывод:

Пути науки и искусства переплетались на протяжении столетий. Геометрия дарила живописи новые изобразительные возможности, обогащала язык живописи, а живопись эпохи Возрождения стимулировала исследования по геометрии, дала начало проективной геометрии.

Далее представлено описание и приведены примеры использования зрительных иллюзий в повседневной жизни и в разных областях жизнедеятельности человека.

5. Заключение, выводы.

Таким образом, наше исследование показало, сколь широка и многогранна деятельность человека, столь и различны требования, предъявляемые к форме и содержанию изображений. Одни из них должны производить на глаз человека такое же впечатление, какое производит и сам изображаемый предмет, иначе говоря, изображение должно обладать достаточной наглядностью. В другом случае изображение должно быть, в первую очередь, геометрически равноценно оригиналу, оно должно давать полную геометрическую и размерную характеристику изображаемого предмета.

Таким образом, гипотеза нашего исследования подтверждена.

Выводы:

1.  Существует взаимовлияние в развитии геометрии и живописи;

2.  Зрительные иллюзии существуют и их можно объяснить с помощью геометрии;

3.  Оптические иллюзии использовались, и будут использоваться человеком в повседневной жизни.

 

Медведева Наталья, 6 «А» класс СОШ №3»

Руководитель: , учитель истории

Почему империя Карла Великого оказалась менее долговечной,

чем Франкское государство Хлодвига

Я выбрала тему «Почему империя Карла Великого оказалась менее долговечной, чем Франкское государство Хлодвига». Я решила сравнить эти государства и выяснить, почему первое государство крепло и превратилось в империю, а второе – более крупное по размерам, с сильной армией, с более сильной властью монарха – не продержалось и полвека. Для этого я сравнила личности Хлодвига и Карла Великого, методы, которыми создавались государства, размеры, этнический состав, пути христианизации жителей Франкского государства и Франкской империи и социально-экономические условия развития государств, выяснила социально-экономические причины распада империи Карла Великого. Я предположила, что Карл Великий захватывал много земель. Так как земель было много, ими трудно было управлять. В таком большом государстве у людей много мнений и много разногласий. Карл больше действовал силой, а не подкупом, хитростью, как Хлодвиг, и его государство оказалось слабее.