, (2.34)

где: – число степеней свободы, оставшихся от статистически независимых результатов серии измерений после вычисления среднего арифметического;

- гамма-функция, входящая в - распределение Стьюдента.

В справочной литературе - распределение Стьюдента представляют в виде таблиц [Приложение А], по которым, при вычислении неопределенностей результатов измерений, находят значения квантилей распределения Стьюдента по заданной доверительной вероятности (или по заданному параметру доверия ) и числу степеней свободы . Из определения , неравенство равносильно неравенству:

, (2.35)

откуда следует:

. (2.36)

Обработанный результат измерения записывают в виде:

. (2.37)

В теории погрешностей и неопределенностей оперируют бесконечными совокупностями случайных величин, описываемыми законами распределений. В практике же совокупности всегда ограничены.

Совокупность всех возможных значений случайной величины называется генеральной совокупностью.

Определенное, конечное число значений случайной величины, полученное тем или иным способом, называется выборкой из генеральной совокупности.

Генеральная совокупность описывается законом распределения, то есть вероятностью получить любое значение случайной величины (или, для случая непрерывной случайной величины, значение величины в определенном интервале ее изменения). Законы распределения, как мы видели, содержат постоянные параметры (например, и в нормальном законе распределения). На практике всегда имеют дело с выборкой.

2.3 Задачи теории погрешностей и неопределенностей

В теории погрешностей и неопределенностей решают следующие задачи:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

·  по данным выборки определяют надежные средние показатели, которые можно принять в качестве оценок параметров генеральной совокупности;

·  оценивают точность параметров и надежность их оценок;

·  проверяют наличие существенных различий между средними значениями в двух сериях измерениях.

·  проверяют гипотезу относительно закона распределения случайной величины;

Характеристики выборки

2.3.1 Среднее

Среди ряда значений измеряемой случайной величины (здесь могут быть и одинаковые значения), чаще встречаются такие, для которых плотность вероятности больше. Поэтому среднее арифметическое разумно принимают в качестве оценки среднего значения .

2.3.2 Модой (или наиболее вероятным значением), называется такое значение , которому соответствует максимум вероятности в распределении выборки случайных величин.

2.3.3  Эмпирическая дисперсия:

(2.38)

2.3.4  Размах:

. (2.39)

2.3.5  Коэффициент корреляции:

понятие коэффициента корреляции вводится для выборки, содержащей согласованных пар значений () для двух случайных величин и .

Очень часто необходимо ответить на вопрос: есть ли какая-то связь между случайными величинами и ? И если она существует, то какова ее сила?

Характеристикой выборки является эмпирический коэффициент корреляции.

, (2.40)

где, и – эмпирические среднеквадратичные отклонение величин , .

Итак, определено 5 характеристик выборок (есть еще и другие, реже используемые).

Решая первую задачу – нахождение оценок параметров генеральной совокупности по характеристикам выборок, определяют возможность использования введенных выше характеристик выборок в качестве оценок соответствующих параметров распределений.

Из рассмотренного ранее материала следует, что точных и однозначных значений параметров распределений случайных величин в опытах получить невозможно, поскольку объем выборок всегда ограничен. В опытах можно получить только оценки неизвестных параметров распределений. К оценкам параметров распределений предъявляют три необходимых и достаточных требования. Оценки параметров должны быть состоятельными, несмещенными и эффективными.

3. Термины, обозначения и определения

В настоящих рекомендациях использованы следующие основные термины, обозначения и определения, согласно [1.10]:

неопределенность (измерений): Параметр, связанный с результатом измерений и характеризующий рассеяние значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине;

стандартная неопределенность : Неопределенность результата измерений, выраженная в виде среднего квадратического отклонения (СКО);

суммарная стандартная неопределенность : Стандартная неопределенность результата измерений, полученного через значения других величин, равная положительному квадратному корню суммы дисперсий или ковариаций этих величин. Понятие ковариация используется для определения связи между двумя множествами исходных данных. Ковариация представляет собой среднее произведений отклонений для каждой согласованной пары точек исходных данных. Например: - ковариация измеренных согласованных пар значений и .

расширенная неопределенность : Величина, определяющая интервал вокруг результата измерений, в пределах которого, как можно ожидать, находится большая часть распределения значений, которые с достаточным основанием (с доверительной вероятностью ) могли бы быть приписаны измеряемой величине.

- оценка -й входной величины;

- -й результат измерения -й входной величины;

- среднее арифметическое значение -й входной величины;

- оценка измеряемой величины;

- стандартная неопределенность;

- стандартная неопределенность, оцененная по типу А;

- стандартная неопределенность, оцененная по типу В;

- стандартная неопределенность оценки -й входной величины;

- стандартная неопределенность единичного измерения -й входной величины;

- коэффициент корреляции оценок -й и -й входных величин;

- суммарная стандартная неопределенность;

- коэффициент охвата (числовой коэффициент, используемый как множитель при суммарной стандартной неопределенности для получения расширенной неопределенности ). В общем случае коэффициент охвата выбирают в соответствии с формулой

, (3.1)

где - квантиль распределения Стьюдента с эффективным числом степеней свободы и доверительной вероятностью (уровнем доверия) .

* - квантиль распределения Стъюдента для доверительной вероятности (уровня доверия) и числа степеней свободы ;

- число степеней свободы при вычислении неопределенности оценки -й входной величины;

* - эффективное число степеней свободы;

- оценка эффективного числа степеней свободы;

- расширенная неопределенность;

- расширенная неопределенность для уровня доверия ;

- среднее квадратическое отклонение (СКО) случайной погрешности результата измерений;

- СКО единичного измерения при многократных измерениях -й входной величины;

- СКО среднего арифметического значения при многократных измерениях -й входной величины;

- СКО суммы случайных и неисключенных систематических погрешностей;

- коэффициент при суммировании систематической и случайной составляющих суммарной погрешности, принятый в нормативных документах Государственной системы измерений по метрологии*;

- доверительные границы суммарной погрешности результата измерений для доверительной вероятности ;

- квантиль нормального распределения для доверительной вероятности ;

- границы -ой составляющей неисключенной систематической погрешности;

- доверительные границы систематической погрешности измерения для доверительной вероятности ;

- нижняя граница отклонения измеряемой величины от результата измерений;

- верхняя граница отклонения измеряемой величины от результата измерений;

- симметричные границы отклонения измеряемой величины от результата измерений.

3.1 Общие положения

3.1.1 Основным количественным выражением неопределенности измерений является стандартная неопределенность .

3.1.2 Основным количественным выражением неопределенности измерений, при котором результат определяют через значения других величин, является суммарная стандартная неопределенность .

3.1.3 В тех случаях, когда это необходимо, вычисляют расширенную неопределенность по формуле

, (3.2)

где - коэффициент охвата.

3.1.4 Измеряемую величину определяют как

, (3.3)

где - входные величины (непосредственно измеряемые или другие величины, влияющие на результат измерения);

- число этих величин;

- вид функциональной зависимости.

3.1.5 Оценку измеряемой величины вычисляют как функцию оценок входных величин после внесения поправок на все известные источники неопределенности, имеющие систематический характер

. (3.4)

3.1.6 Затем вычисляют стандартные неопределенности входных величин и, при необходимости, возможные коэффициенты корреляции оценок -й и -й входных величин .

3.1.7 Различают два типа вычисления стандартной неопределенности:

вычисление по типу А - путем статистического анализа результатов многократных измерений;

вычисление по типу В - с использованием других способов.

3.2 Вычисление стандартной неопределенности по типу А -

3.2.1 Исходными данными для вычисления являются результаты многократных измерений: (где ; - число измерений -й входной величины).

В дальнейшем будут приведены примеры численных расчетов при измерении конкретных радиационных параметров.

3.2.2 Стандартную неопределенность единичного измерения -й входной величины вычисляют по формуле

, (3.5)

где - среднее арифметическое результатов измерений -й входной величины.

3.2.3 Стандартную неопределенность измерений -й входной величины, при которых результат определяют как среднее арифметическое, вычисляют по формуле

. (3.6)

3.3 Вычисление стандартной неопределенности по типу В -

3.3.1 В качестве исходных данных для вычисления используют:

- данные предшествовавших измерений величин, входящих в уравнение измерения;

- сведения о виде распределения вероятностей; (раздел 2 настоящих рекомендаций);

- данные, основанные на опыте исследователя или общих знаниях о поведении и свойствах соответствующих приборов и материалов;

- неопределенности констант и справочных данных;

- данные поверки, калибровки, сведения изготовителя о приборе и т. п.

3.3.2 Неопределенности этих данных обычно представляют в виде границ отклонения истинного значения величины от ее оценки. Наиболее распространенный способ формализации неполного знания о значении величины заключается в постулировании равномерного закона распределения возможных значений этой величины в указанных (нижней и верхней) границах [ для -й входной величины]. При этом стандартную неопределенность, вычисляемую по типу В - , определяют по формуле

, (3.7)

а для симметричных границ - по формуле

. (3.8)

3.3.3 В случае других законов распределения формулы для вычисления неопределенности по типу В будут иными, но такие случаи встречаются в практике редко.

3.3.4 Для вычисления коэффициента корреляции используют согласованные пары измерений (где ; - число согласованных пар результатов измерений)

. (3.9)

3.4 Вычисление суммарной стандартной неопределенности

3.4.1 В случае некоррелированных оценок , суммарную стандартную неопределенность вычисляют по формуле

. (3.10)

Здесь - коэффициент влияния - ой входной величины, определяемый дифференцированием уравнения измерения (3.3), который позволяет оценить относительный вклад этой величины в суммарную стандартную неопределенность .

3.4.2 В случае коррелированных оценок суммарную стандартную неопределенность вычисляют по формуле

, (3.11)

где: - коэффициент корреляции;

* - стандартная неопределенность -й входной величины, вычисленная по типу А, или В.

3.5. Выбор коэффициента охвата при вычислении расширенной неопределенности

3.5.1 В общем случае коэффициент охвата выбирают в соответствии с формулой 3.1.

3.5.2 Эффективное число степеней свободы определяют по формуле

, (3.12)

где - число степеней свободы при определении оценки -й входной величины, при этом:

- для вычисления неопределенностей по типу А;

- для вычисления неопределенностей по типу В.

3.5.3 Во многих практических случаях при вычислении неопределенностей результатов измерений делают предположение о нормальности закона распределения возможных значений измеряемой величины и полагают:

при и при .

При предположении о равномерности закона распределения полагают:

при и при .

3.5.4 При представлении результатов измерений рекомендуют приводить достаточное количество информации для возможности проанализировать или повторить весь процесс получения результата измерений и вычисления неопределенностей измерений, а именно:

- алгоритм получения результата измерений;

- алгоритм расчета всех поправок и их неопределенностей;

- неопределенности всех используемых данных и способы их получения;

- алгоритмы вычисления суммарной и расширенной неопределенностей (включая значение коэффициента ).

4 Примеры обработки результатов измерений радиационных параметров

4.1 Пример оценки, учета и исключения погрешностей и неопределенностей при измерениях индивидуального эквивалента дозы внешнего облучения (при многократных измерениях)

Применительно к настоящим Методическим рекомендациям приняты следующие условные обозначения:

- индивидуальный эквивалент дозы внешнего облучения;

- амбиентный эквивалент дозы (амбиентная доза) внешнего облучения;

- мощность индивидуального эквивалента дозы внешнего облучения;

- мощность амбиентного эквивалента дозы внешнего облучения;

- плотность потока ионизирующего излучения вида R (нейтронное, фотонное, α- излучение и β- излучение) с энергией .

Операционной величиной для индивидуального контроля внешнего облучения является индивидуальный эквивалент дозы, . Рекомендуемая единица индивидуального эквивалента дозы - мЗв.

При этом рекомендуют применять следующие обозначения:

- для эквивалентной дозы внешнего облучения кожи при ношении индивидуального дозиметра непосредственно на поверхности наиболее облучаемой области кожи;

- для эквивалентной дозы внешнего облучения хрусталика глаза при ношении индивидуального дозиметра на голове;

- для эквивалентной дозы на поверхности нижней части области живота женщин при ношении индивидуального дозиметра на соответствующем месте поверх спецодежды;

- для эффективной дозы внешнего облучения при ношении индивидуального дозиметра на нагрудном кармане спецодежды.

4.2 Пример обработки и представления результатов измерения индивидальной дозы внешнего облучения при многократных измерениях

4.2.1 Произвести измерение индивидуального эквивалента дозы излучения в соответствии с инструкцией к используемому прибору.

Например, при использовании автоматизированного комплекса индивидуального дозиметрического контроля АКИДК-201 дозиметром ДТЛ-01 производят 3 измерения индивидуального эквивалента дозы g-излучения в Зв (мЗв).

Получают ряд значений в миллизивертах (мЗв), где а :

1, 05; 1,20; 1,10.

4.2.2 На основе полученных значений вычисляют среднее арифметическое значение индивидуального эквивалента дозы , мЗв, по формуле

мЗв.

4.2.3 Анализируют источники погрешности результата измерений.

Среднее квадратическое отклонение, характеризующее случайную составляющую погрешности при измерениях дозы вычисляют по формуле

мЗв.

Относительное среднее квадратическое отклонение вычисляют по формуле

4.2.4 Границы неисключенной систематической погрешности определены при калибровке соответствующего прибора (комплекса) и указаны в паспорте. Например, для комплекса АКИДК-201 определяем границы неисключенной систематической погрешности из паспорта

*.

_____________

* В выражениях для границ погрешностей, при равных значениях отклонений от нуля, знак ± здесь и далее опущен.

Границы неисключенной систематической погрешности в мЗв, определяют из формулы:

мЗв.

4.2.5 Доверительные границы суммарной неисключенной систематической составляющей погрешности результата измерений индивидуального эквивалента дозы излучения , при доверительной вероятности , оценивают по формуле

мЗв.

% .

4.2.6 Доверительные границы случайной погрешности результата измерений для доверительной вероятности определяют по формуле

,

где - квантиль распределения Стъюдента для доверительной вероятности (уровня доверия) и числа степеней свободы ;

- оценка эффективного числа степеней свободы, принятая в Нормативных Документах Государственной Системы Измерений по метрологии, при прямых измерениях .

Доверительные границы случайной погрешности результата измерений индивидуального эквивалента дозы излучения , при и эффективном числе степеней свободы , вычисляют по формуле

мЗв,

где (приложение А), при и числе степеней свободы .

%.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6