Математика (стр. 3 )

Каждый вариант КИМ содержал задания на тождественные преобразования выражений, содержащих корни, степени (с рациональными показателями), логарифмы, тригонометрические функции. В заданиях с выбором ответа (базового уровня) проверялось владение каким-либо одним из изученных свойств выражений и правил действий с ними. Ученик должен был применить свойство (правило) для конкретных значений и сделать вычисления. Причем условие задания явно указывало на тот вид математической деятельности, владение которым необходимо продемонстрировать. Например, «Выполните действия…», «Вычислите…», «Найдите значение выражения…». По таблице 6 можно увидеть, что задания в представленных на экзамене двух группах вариантов несколько различались по проверяемым элементам содержания.

По теме «Степень с рациональным показателем» были представлены задания базового уровня Части 1. В первой группе вариантов эти задания проверяли владение свойством деления степеней с одинаковыми основаниями, а во второй – на само понятие степени с рациональным показателем. При этом результаты в обеих группах вариантов оказались одинаково достаточно успешными. В первой группе вариантов задания по этой теме оказались по силам 93% выпускников, а во второй – 96%.

Одинаковые результаты по группам вариантов показали учащиеся и по теме «Корень n-й степени». Задания базового уровня сложности проверяли овладение основными свойствами корней n-й степени: в первой группе вариантов – корень из произведения, а во второй – частное корней одинаковой степени. И в первой, и во второй группах вариантов с заданием справились по 93% экзаменующихся.

Так же мало отличаются друг от друга результаты по группам по теме «Логарифмы». В первой группе вариантов необходимо было применить правило «логарифм произведения и сумма логарифмов», с которым справились 92% учащихся, а во второй – правило «логарифм степени и произведение числа и логарифма», с ним справились 93% учащихся.

Как уже было сказано выше, планируемые показатели трудности этих заданий находятся в диапазоне 55–85%. Можно считать, что выпускники Московской области с этими заданиями справились довольно успешно, показатели трудности этих заданий оказались в диапазоне 92–96%.

В варианты КИМ было включено одно задание повышенного уровня с кратким ответом. В первой группе вариантов основную часть задания составляло преобразование иррационального выражения вида . Эти задания оказались по силам 49% выпускников. Во второй группе вариантов необходимо было найти значение тригонометрического выражения, которое требовалось предварительно упростить. В процессе упрощения выражения необходимо было применение формул приведения, формул синуса или косинуса двойного аргумента, а также представление тангенса угла через синус и косинус того же углового аргумента. С этим заданием справились лишь 28% учащихся. Это говорит о том, что раздел «Тригонометрия» по-прежнему остается для учащихся более сложным разделом. Однако планируемые показатели трудности этих заданий находятся в диапазоне 15–50%, обеих группах вариантов результаты выпускников Московской области не выходят за эти рамки.

3.2. Уравнения и неравенства

Уравнения, неравенства и их системы содержатся во всех частях вариантов КИМ. Эти задания достаточно полно отражают многообразие видов уравнений, неравенств и систем уравнений и методов их решений, изучаемых в 10-11-х классах средней школы. В них включены тригонометрические, иррациональные, показательные, логарифмические уравнения; уравнения смешанного типа (иррационально-показательные и логарифмическо-тригонометрические); рациональные и показательные неравенства; системы уравнений, содержащие одно иррациональное уравнение или два логарифмических уравнения. Кроме того, в КИМах было представлено задание высокого уровня сложности, которое состояло из решения двух кубических уравнений и нахождении количества корней уравнения f(y) = g(y) с разнотипными элементарными функциями f и g.

На базовом уровне и в первой, и во второй группе вариантов предлагались задания с выбором ответа: тригонометрическое уравнение, рациональное неравенство. В первую группу вариантов было включено простейшее показательное неравенство, а во вторую – задание на нахождение области определения логарифмической функции, выполнение которого сводилось в решению квадратного неравенства. С этими заданиями справились 82-91% выпускников.

Еще одним заданием с выбором ответа в обеих группах вариантов было графическое. Задание состояло в решении одного из неравенств f(x) > g(x) или f(x) < g(x) при заданных графиках функций y = f(x) и y = g(x). С этим заданием справились около 85% выпускников. В предыдущие годы с заданиями графического характера справлялись несколько хуже. Изменение результатов в лучшую сторону говорит о том, что учителя стали больше внимания уделять графическим методам, что соответственно повысило математическую культуру учащихся.

На базовом уровне в первой группе вариантов предлагались задания с краткой записью ответа: иррациональное уравнение и уравнение вида . Во второй группе вариантов предлагались задания с краткой записью ответа: уравнение вида и логарифмическое уравнение. При решении иррационального уравнения в первой группе вариантов требовалось применить стандартный прием решения таких уравнений – возведение в квадрат обеих частей уравнения с последующей проверкой корней. В другой группе вариантов для решения уравнения вида необходимо было вынести общий множитель за скобки и воспользоваться свойством равенства произведения нулю. С этими заданиями в обеих группах вариантов выпускники справились довольно успешно, около 83% учащихся дали верный ответ.

При решении уравнения вида в первой группе вариантов от учащихся требовалось понимание неравносильности преобразования для любых значений переменной х. Во второй же группе вариантов при решении логарифмического уравнения от учащихся требовалось понимание, что замена уравнения уравнением является равносильной. С этими заданиями в обеих группах вариантов справилось около 85% выпускников.

В варианты КИМ было включено два задания повышенного уровня с кратким ответом. Одно из заданий в первой группе вариантов представляло собой систему уравнений, содержащих два логарифмических уравнения, а во второй группе вариантов – одно из уравнений, входящих в систему было иррациональным. Из таблицы 6 видно, что такие задания оказались одинаково по сильны выпускникам, с ними справлялись 66-67% учащихся. Другое задание в обеих группах вариантов было одинаковым и представляло собой комбинированное иррационально-показательное уравнение. В общем виде уравнение имеет вид . Решение уравнения осуществляется путем последовательного применения нескольких стандартных приемов: возведение в квадрат обеих частей уравнения; приведение полученного показательного уравнения к стандартному виду; решение соответствующего квадратного уравнения; решение простейшего показательного уравнения. С этим сложным алгоритмом справились 45-50% выпускников.

На повышенном уровне в первой группе вариантов было предложено иррациональное уравнение, а во второй – комбинированное логарифмическо-тригонометрическое уравнение. К этим заданиям необходимо было записать решение. В ходе решения иррационального уравнение путем равносильных преобразований получалось уравнение вида . С полным решением этого уравнения справились 20% выпускников. При чем одной из основных ошибок учащихся при выполнении задание было отсутствие проверки корней после применения свойства равенства нулю произведения. Во второй группе вариантов в ходе решения комбинированного логарифмическо-тригонометрического уравнения получалось тригонометрическое уравнение, которое после использования формул двойного аргумента, понижения степени или основного тригонометрического тождества сводилось к квадратному. Однако преобразование исходного уравнения в тригонометрическое являлось неравносильным, и после решения полученного уравнения требовалось отбросить посторонние корни. С полным решением этого уравнения справились 10% выпускников. Это несколько ниже планируемого уровня сложности 15-20%. Также как и при выполнении задания В6 (преобразование тригонометрического выражения в сравнении с иррационально-показательным), решение логаримическо-тригонометрического уравнения во второй группе вариантов, оказалось значительно сложней соответствующего иррационального в первой группе вариантов, и с ним справилось меньшее количество выпускников.

В данном тематическом блоке было представлено и два задания высокого уровня сложности. Так задания С3 во всех вариантах были с параметром. Формулировка заданий в общем виде «Найдите значения параметра а, для которых при каждом х из промежутка значение выражения не равно значению выражения » фактически может позволить нам отнести это задание к тематическому блоку «Выражения и преобразования». Однако уже на первом шаге выполнения задания учащиеся составляют уравнение (или неравенство, поскольку в вопросе звучит требование «не равно»), и дальнейшая работа над заданием сводится к решению и исследованию полученного уравнения (или неравенства). В первой группе вариантов в ходе решения учащиеся получают логарифмическое уравнение, которое путем замены переменной легко сводится к квадратному. Во второй группе вариантов в ходе решения учащиеся получают аналогичное показательное уравнение, которое тем же путем сводится к квадратному. И далее решение заключается в исследовании особенностей расположения корней полученного квадратного уравнения. В отличие от предыдущих лет, когда задача с параметром являлась фактически самой сложной в вариантах КИМ, в 2007 году уровень сложности задания 5-8%. По таблице 6 видно, что в обеих группах вариантов для выпускников Московской области эти задания оказались несколько сложнее. Возможно одним из факторов, послуживших этому, стал психологический фактор. Все-таки задачи с параметром по-прежнему вызывают у учащихся значительные затруднения, иногда только из-за наличия в условии самого параметра.

В 2007 году это не было заданием с параметром. Условия заданий в первой группе вариантов начинались словами «Докажите, что...» и представляли собой систему двух уравнений. Условия заданий во второй группе вариантов начинались более привычными для текстов КИМ словами «Найдите…» и представляли собой два различных уравнения, такие, что корни одного являлись и корнями другого (что фактически перекликается с определением системы уравнений). Задания на доказательство впервые появились в ЕГЭ по математике. Однако по сути менялась только форма ответа в этом задании: вместо явной записи всех решений системы уравнений в их числовом представлении требовалось дать оценку
количества этих решений. Первое уравнение системы имело вид , где в левой части стоит кубический многочлен с целыми коэффициентами. Второе уравнение в первой группе вариантов после преобразований приводилось к виду , а во второй – к виду , где – другой кубический многочлен с целыми коэффициентами.

Решение всех заданий можно было оформить в виде выполнения трех основных шагов. Шаг 1) решения начинался с необходимых тождественных преобразований подкоренного выражения второго уравнения системы. Уравнение являлось достаточно простым. Один из его корней достаточно легко находился подбором: это всегда или , или . Так как подбором найти несколько сложнее, то такой корень встречался только, если в подкоренном выражении стоял многочлен., что второй множитель всегда является полным квадратом . Значит, область определения подкоренного выражения – это промежуток и отдельно расположенное число .

Шаг 2) состоял в основном в проверке того, что из первого шага является корнем первого уравнения системы. И далее оказывалось, что другие корни первого уравнения, если и были, то не входили в область определения второго уравнения. А это значит, что система может иметь решение только если.

Шаг 3) заключался в исследовании уравнения , которое получалось при подстановке во второе уравнении е системы. Это уравнение сводилось к уравнению вида f(у) = g(у), где функция g(у) линейная, а функция f(у) показательная. И далее количество корней уравнения f(у) = g(у) находилось с помощью использования обычных сведений о характере монотонности и непрерывности элементарных функций, изучаемых в школьном курсе математике. Безусловно, что одним из сложных моментов в решении данного задания носил число психологический характер, поскольку уравнения системы на вид носили весьма «страшный» вид. В полной мере с этим заданием справились 0,6% учащихся (от общего количества). Как мы уже отметили выше, задания в первой группе вариантов имели вид системы в явном виде, во второй же группе вариантов уравнения не были объединены знаком системы, хотя из формулировки заданий было понятно, что решения одного уравнения одновременно являются решениями и другого уравнения. В таблице 6, однако, видно, что в первой группе вариантов с данным заданием справились успешнее, вторая же формулировка оказалась более запутанной и сложной. Ни один выпускник, выполняющий работу второй группы вариантов, не справился полностью с этим заданием.

3.3. Функции

Задания на проверку функциональных представлений учащихся касались: области определения логарифмической функции, области значений тригонометрических функций, распознавание графиков элементарных функций, четности (нечетности) функции, периодичности функции, нахождения производной функции, точек максимума (минимума).

На базовом уровне проверялось умение исследовать какое-либо одно свойство функции: найти производную функции, найти множество значений тригонометрической функции, найти область определения функции. В таблице 6 представлены результаты выполнения соответствующих заданий. В целом учащиеся довольно успешно с ними справились. Однако заметим, что в задании на нахождение производной в первой группе вариантов функция представляла собой сумму степенной и тригонометрической функций, а во второй – сумму нескольких степенных функций. Результат показывает, что учащиеся задания, содержащие тригонометрические функции для учащихся стали более сложными: в первой группе вариантов успешно справились с заданием 89%, тогда как во второй группе – 98%. В графическом задании в первой группе вариантов необходимо было воспользоваться свойствами графика четной (нечетной) функции, а во второй – распознать график показательной или логарифмической функций. Результат показывает, что учащиеся задания на знание свойств графиков четной(нечетной) функции для учащихся оказались сложнее, чем задание на распознавание графиков функций: в первой группе вариантов успешно справились с заданием 73%, против 84% во второй группе.

На повышенном уровне КИМы содержали два графических задания, в которых необходимо было дать краткий ответ, и одно задание, в которых было необходимо привести решение. Графические задания были направлены на знание геометрического смысла производной и периодичность функции. По графику производной необходимо было в первой группе вариантов определить абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наибольший угловой коэффициент, а во второй – указать количество точек графика функции, в которых проведенные касательные имеют отрицательный коэффициент. Оба задания оказались достаточно сложными для учащихся, однако, по таблице 6 видно, что в первой группе вариантов с ним справились несколько успешнее, чем во второй.

Второе графическое задание повышенного уровня из этого тематического блока требовало понимание определения периодической функции и знания особенностей расположения ее графика. С этим заданием справились чуть больше половины учащихся. Основной причиной этого, наверное, можно считать тот факт, что в курсе алгебры и начал анализа учащиеся сталкивались в основном с периодичностью тригонометрических функций.

Третье задание повышенного уровня заключалось в нахождении точек максимума (минимума) функции. В первой группе вариантов необходимо было исследовать функцию вида , где содержит тригонометрические функции. После выполнения преобразований с использованием основного тригонометрического тождества и выполнения сокращения дроби выражение заменяется его числовым значением. Во второй группе вариантов необходимо было исследовать функцию вида . После применения в числителе дроби формулы разности квадратов можно выполнить сокращение дроби, вследствие чего выражение преобразуется в многочлен четвертой степени. В обеих группах вариантов выполненные преобразования выражения не являются тождественными, а расширяют область определения исходной функции. Поэтому требовалось уточнение области определения «новой» функции. Дальнейшее выполнение задания выполняется по довольно стандартному алгоритму: нахождение критических точек и определение среди них точек максимума (минимума). После применения стандартного алгоритма, необходимо проверить все ли найденные точки входят в область определения исходной функции. К сожалению, именно этот важный шаг решения оказался пропущенным многими учащимися, в результате чего их решение не могло быть оценено максимальным количеством баллов. Также отметим, что введение в первой группе вариантов тригонометрических функций не усложнило задания. Это можно проследить по таблице 6, где видно, что учащиеся в обеих группах вариантов справились с этими заданиями на одинаковом уровне. Это, скорее всего, свидетельствует о том, что для более сильных учащихся несложные преобразования тригонометрических выражений не представляет особых сложностей.

3.4. Числа и вычисления

Поскольку косвенно числовая линия присутствует практически во всех заданиях по математике, условно считаем, что в вариантах КИМ она представлена текстовой задачей. В 2007 году, как и в предыдущие годы, в каждый вариант КИМ была включена одна текстовая задача, составленная на материале основной школы. В первой группе вариантов были представлены задачи «на движение», а во второй – «на проценты». Задачи относились к заданиям повышенного уровня сложности, в которых необходимо было только привести верный ответ. Таким образом, учащиеся не должны были представлять решение текстовой задачи и выбор метода (составить уравнение или применить арифметический метод) тоже не играл никакой роли. По результатам выполнения этого задания можно заметить, что задача «на движение» оказалась по силам чуть меньше, чем половине учащихся, выполняющих эту группу вариантов, а точнее 47%. В тоже время задача «на проценты» поддалась только 17% выпускников. Планируемый уровень сложность данных заданий 10-30%. И, несмотря на то, что 17% не выходит за рамки предполагаемого уровня сложности, такая разница в успешности выполнения задания не может не настораживать. У нас вырисовывается еще одна тема – «Проценты», которая по-прежнему вызывает значительные сложности у учащихся и требует особого внимания при организации итогового повторения в 11-м классе.

3.5. Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических фигур

В 2007 году, как и в предыдущие годы, каждый вариант КИМ содержал три геометрических задачи: две – повышенного и одну – высокого уровней сложности. Из двух задач повышенного уровня сложности одна задача была планиметрическая и одна стереометрическая. Для решения планиметрической задачи в первой группе вариантов учащиеся должны были знать понятия параллелограмма, биссектрисы угла, периметра многоугольника; свойства параллельных прямых, подобных треугольников. Для решения планиметрической задачи во второй группе вариантов учащиеся должны были знать понятия равнобедренной трапеции, диагонали трапеции, средней линии трапеции, оснований трапеции, синуса или косинуса острого угла, площади трапеции; свойства равнобедренной трапеции, уметь решать прямоугольный треугольник по одной из его сторон и острому углу. В первой группе вариантов успешно справились с заданиями 21% выпускников, во второй – 28%, при планируемой трудности задания 10-20%.

Для решения стереометрической задачи повышенного уровня сложности в первой группе вариантов учащиеся должны были знать понятия кругового цилиндра и его компонентов, косинуса или синуса острого угла прямоугольного треугольника, угла между скрещивающимися прямыми, признаки параллелограмма и прямоугольника. Во второй группе вариантов, чтобы успешно справиться со стереометрической задачей, учащиеся должны были знать понятия кругового конуса и его компонентов, угла между плоскостями, синуса или косинуса острого угла прямоугольного треугольника, периметра многоугольника, уметь строить сечение конуса плоскостью. В обеих группах вариантов успешно справились с заданиями 28-29% выпускников, при планируемой трудности задания 15-25%. Еще раз отметим, что приводить решение, а тем более обоснования к решениям геометрических задач повышенного уровня сложности от учащихся не требовалось.

Стереометрическая задача, включенная в Часть 3, представляла собой задачу высокого уровня сложности, проверявшую умения не только применять известные геометрические факты при рассмотрении предложенной в задаче нестандартной конфигурации, но и записывать решение задачи, приводя и вычисления, и необходимые обоснования ключевых моментов приведенного решения. В 2007 году впервые были выбраны конфигурации в виде комбинаций только многогранников, которые условно можно назвать заданиями о пирамидах, «вписанных» в пирамиду. Решение задач, связанных с комбинациями только многогранников, требовало от выпускников хороших представлений о многогранниках и сечениях плоскостями. В задачах обеих групп вариантов рассматривалась комбинация треугольной пирамиды и расположенной внутри ее определенным образом четырехугольной пирамиды. При анализе взаимного расположения фигур для вычисления необходимых величин важно установить: во-первых, вид основания четырехугольной пирамиды; во-вторых, расположение ее вершины и основания высоты. Во всех случаях основание четырехугольной пирамиды представлял собой параллелограмм, это было несложно доказать при правильно выполненных построениях. Объем можно было найти несколькими способами, один из которых – разбить четырехугольную пирамиду на две равновеликие треугольные пирамиды, объемы которых найти совсем несложно. Можно было также воспользоваться и векторно-графическим методом.

В первой группе вариантов вершина «встроенной» пирамиды совпадала с вершиной исходной пирамиды, во второй – вершина «встроенной» пирамиды лежала определенным образом на ребре исходной пирамиды. Как показал результат выполнения этого задания, задачи первой группы вариантов оказались по силам 2,7% выпускников (9 учащихся из 333-х выполнявших эту группу вариантов), а вот задачи второй группы вариантов не поддались ни одному выпускнику. Отдельно заметим, что в первой группе вариантов встречались задачи с разными формулировками. В некоторых вариантах это были задачи, в которых вопрос начинался со слов «Найдите объем…..», а в некоторых – «Найдите отношение объемов….». Из 190 учащихся, выполнявших задание на нахождение объема, полностью с заданием справились 7, что составляет 3,7%. А вот из 143 учащихся, которым досталось задание найти отношение объемов, справились с задачей двое, что составляет 1,4%.

4. ОБЩИЕ ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ

Необходимо признать, что ЕГЭ по математике в предложенной форме — вполне действенный механизм проверки реальных знаний учащихся на момент окончания школы или поступления в вуз:

в каждом варианте КИМ так или иначе представлены практически все темы, изучаемые по программе средней школы;

составителям текстов удалось избежать возможности списывания работ благодаря наличию разных по группировке вопросов вариантов;

группа заданий С относится к группе заданий повышенной и высокой сложности, что позволяет использовать результаты при зачислении в вуз.

Для повышения уровня общеобразовательной подготовки по математике при организации учебного процесса рекомендуется уделить особое внимание привитию навыков выполнения преобразований, решения уравнений и неравенств.

Основу всего обучения математики в частности подготовки к ЕГЭ, должны составлять:

формирование навыков использования алгоритмов решения задач;

воспитание математической культуры, развитие интуиции, умения пользоваться полученными знаниями;

использование тематического повторения с соблюдением правила "спирали", в первую очередь уделить достаточно времени при повторении темы "Числовые функции и их свойства", "Графики функций", "Логарифмическая функция", «Тригонометрия», «Проценты»;

проведение тренировочных тестов с обязательным жестким ограничением отводимого на решение времени;

использование для контроля знаний контрольно-измерительных материалов аналогичным материалам ЕГЭ.