Аналитическая геометрия

Введение

Аналитическая геометрия – раздел математики, в котором геометрические задачи решаются средствами алгебры на основе метода координат. Возникновение метода координат тесно связано с бурным развитием астрономии, механики и техники в 17 в. Отчётливое и исчерпывающее изложение этого метода и основ аналитической геометрии было сделано P. Декартом в его «Геометрии» (1637). Основные идеи метода были известны также его современнику П. Ферма. Дальнейшая разработка аналитической геометрии связана с трудами Г. Лейбница, И. Ньютона и особенно Л. Эйлера.

Важность аналитической геометрии заключается в том, что данное направление устанавливает взаимосвязь между геометрическими кривыми и алгебраическими уравнениями. Это соотношение делает возможным преобразование задач геометрии в задачи алгебраических уравнений и наоборот. В последнее время, время бурного роста компьютерных технологий, такие понятия как компьютерная анимация и автоматическое осуществление дизайна представляются явлениями повседневными. Эти прикладные программы основаны на трехмерной аналитической геометрии.

Основными понятиями аналитической геометрии являются простейшие геометрические образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка. Методы аналитической геометрии применимы к фигурам на плоскости и к поверхностям в трехмерном пространстве, а также допускают естественное обобщение и на пространства более высоких размерностей. Мы начнем с аналитической геометрии на плоскости.

Основная задача аналитической геометрии заключается в изучении геометрических фигур с помощью соотношений между координатами точек, из которых эти фигуры образованы. Любую фигуру можно рассматривать как множество точек, удовлетворяющих некоторому геометрическому условию. Это условие можно записать в виде алгебраического уравнения, связывающего координаты x и y каждой точки фигуры. Суть метода аналитической геометрии состоит в изучении свойств фигуры с помощью соответствующего уравнения, исследуемого средствами алгебры. Этот метод позволяет устанавливать геометрические факты систематичным образом, в отличие от традиционной «синтетической» геометрии, где приходилось изобретать методы доказательства для каждого отдельного случая.

  Сущность метода координат заключается в следующем. Рассмотрим, например, на плоскости p две взаимно перпендикулярные прямые Ox и Оу . Эти прямые с указанными на них положительными направлениями, началом координат О и выбранной масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат Оху на плоскости. Прямые Ox и Оу называются соответственно осью абсцисс и осью ординат. Положение любой точки М на плоскости по отношению к этой системе Оху можно определить следующим образом. Пусть Mx и My — проекции М на Ox и Оу, а числа х и y — величины направленных отрезков OMx и ОМу . Понятие направленный отрезок означает, что величина х отрезка OMx, например, равна длине этого отрезка, взятой со знаком плюс, если направление от О к Mx совпадает с направлением на прямой Ox, и со знаком минус в противоположном случае. Числа х и у называются декартовыми прямоугольными координатами точки М в системе Оху. Обычно они называются соответственно абсциссой и ординатой точки M. Для обозначения точки М с абсциссой х и ординатой у пользуются символом М(х, у). Ясно, что координаты точки М определяют её положение относительно системы Оху.

Пусть на плоскости p с данной декартовой прямоугольной системой координат Оху задана некоторая линия L. Используя понятие координат точек, можно ввести понятие уравнения данной линии L относительно системы Оху как соотношения вида F(x, y) = 0, которому удовлетворяют координаты х и у любой точки M, расположенной на L, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на L. Если, например, линия L является окружностью радиуса R с центром в начале координат O, то уравнение x2+ y2 — R2 = 0 будет уравнением рассматриваемой окружности, в чём можно убедиться, обратившись к рис. 2. Если точка М лежит на окружности, то по теореме Пифагора для треугольника OMMx получается x2 + y2 — R2 = 0. Если же точка не лежит на окружности, то, очевидно, x2 + y2 — R2 ¹ 0. Итак, линии L на плоскости можно сопоставить её уравнение F(x, y) = 0 относительно системы координат Оху.

Основная идея метода координат на плоскости состоит в том, что геометрические свойства линии L выясняются путём изучения аналитическими и алгебраическими средствами свойств уравнения F(x, y) = 0 этой линии. Например, применим метод координат для выяснения числа точек пересечения окружности С радиуса R и данной прямой линии В  (рис. 3).

Пусть начало системы координат Оху находится в центре окружности, а ось Ox направлена перпендикулярно прямой В. Так как прямая В перпендикулярна оси Ox, то абсцисса любой точки этой прямой равна некоторой постоянной a. Таким образом, уравнение прямой В имеет вид x — a = 0. Координаты (x, y) точки пересечения окружности С, уравнение которой имеет вид x2 + y2 — R2 = 0, и прямой В удовлетворяют одновременно уравнениям

x2 + y2 - R2 = 0, х - а = 0, (1)

то есть являются решением системы (1). Следовательно, геометрический вопрос о числе точек пересечения прямой и окружности сводится к аналитическому вопросу о числе решений алгебраической системы (1). Решая эту систему, получают х = a, у = ± . Итак, окружность и прямая могут пересекаться в двух точках (R2 > a2) (этот случай изображен на рис. 3), могут иметь одну общую точку (R2 = a2) (в этом случае прямая В касается окружности C) и не иметь общих точек (R2 < a2) (в этом случае прямая В лежит вне окружности C).

В аналитической геометрии на плоскости систематически исследуются так называемые алгебраические линии первого и второго порядков. Эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраическими уравнениями первой и второй степени. Линии первого порядка суть прямые, и обратно, каждая прямая определяется алгебраическим уравнением первой степени Ax + By + С = 0. Линии второго порядка определяются уравнениями вида Ax2 + Вху + Су2 + Dx + Еу + F = 0. Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. Можно доказать, что таким способом уравнение любой вещественной линии второго порядка может быть приведено к одному из следующих простейших видов:

, , , , .

Первое из этих уравнений определяет эллипс, второе — гиперболу, третье — параболу, а последние два — пару прямых (пересекающихся, параллельных или слившихся).

Итак, между множеством линий на плоскости и множеством уравнений с двумя неизвестными существует взаимно-однозначное соответствие.

  В аналитической геометрии в пространстве также пользуются методом координат. При этом декартовы прямоугольные координаты.x, у и z (абсцисса, ордината и аппликата) точки М вводятся в полной аналогии с плоским случаем (см. рис).

Каждой поверхности S в пространстве можно сопоставить её уравнение относительно системы координат Oxyz. (Так, например, уравнение сферы радиуса R с центром в начале координат имеет вид x2 + y2 + z2 — R2 = 0.) При этом геометрические свойства поверхности S выясняются путём изучения аналитическими и алгебраическими средствами свойств уравнения этой поверхности. Линию L в пространстве задают как линию пересечения двух поверхностей S1 и S1. Если F1(x, y, z) = 0 и F2(x, y, z) = 0 — уравнения поверхностей S1 и S2, то пара этих уравнений, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение линии L. Например, прямую L в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. Так как плоскость в пространстве определяется уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0, то пара уравнений такого вида, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение прямой L. Таким образом, метод координат может применяться и для исследования линий в пространстве. В аналитической геометрии в пространстве систематически исследуются т. н. алгебраические поверхности первого и второго порядков. Выясняется, что алгебраическими поверхностями первого порядка являются лишь плоскости. Поверхности второго порядка определяются уравнениями вида:

  Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Ну + Mz + N = 0.

Основной метод исследования и классификации этих поверхностей заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. Важнейшими вещественными поверхностями второго порядка являются:

- эллипсоид;

- однополостной гиперболоид;

- двуполостной гиперболоид;

- эллиптический параболоид;

- гиперболический параболоид.

  Перечисленные важнейшие поверхности второго порядка часто встречаются в различных вопросах механики, физики твёрдого тела, теоретической физике и инженерном деле. Так, при изучении напряжений, возникающих в твёрдом теле, пользуются понятием т. н: эллипсоид напряжений. В различных инженерных сооружениях применяются конструкции в форме гиперболоидов и параболоидов.

I. Аналитическая геометрия на плоскости

1. Ось и отрезок оси. Координаты на прямой

Прямая, на которой выбрано положительное направление, называется осью. На чертежах положительное направление оси обозначают стрелкой. Отрезок оси, ограниченный какими-нибудь точками A и B, называется направленным отрезком, если сказано, какая из этих точек считается началом отрезка, какая – концом. Направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B обозначается символом . Величиной направленного отрезка называется его длина, взятая со знаком плюс, если направление отрезка (т. е. направление от начала к концу) совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус, если это направление противоположно положительному направлению оси. Величина отрезка обозначается символом . Из сказанного ясно, что величина отрезка, в отличие от его длины есть число относительное. Очевидно, длина отрезка есть модуль его величины, поэтому, в согласии с принятым в алгебре способом обозначать модуль числа, для обозначения длины отрезка мы будем употреблять символ. Если точки A и B совпадают, то определяемый ими отрезок называется нулевым; очевидно, в этом случае АВ=ВА=0 (направление нулевого отрезка следует считать неопределенным).

Пусть дана какая-нибудь ось а. Примем некоторый масштабный отрезок в качестве единицы измерения длин и отметим на этой прямой буквой О какую-нибудь точку. Тем самым на прямой а будет введена система координат.

Координатой любой точки М прямой а (в установленной системе координат) называется число x, равное величине отрезка ОМ:

.

Точка О называется началом координат; ее собственная координата равна нулю. В дальнейшем символ М(х) означает, что точка М имеет координату х.

Если и - две произвольные точки прямой а, то формула

выражает величину отрезка , формула

выражает его длину.

2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости

Декартова прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, пронумерованных в каком-нибудь порядке.

Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси - координатными осями. Первая из координатных осей называется осью абсцисс, вторая - осью ординат.

Начало координат обозначается буквой О, ось абсцисс - символом Ох, ось ординат - символом Оу.

Координатами произвольной точки М в заданной системе называют числа

, ,

где и - суть проекции точки М на оси Ох и Оу;

- обозначает величину отрезка оси абсцисс;

- величину отрезка оси ординат.

Рис. 1. Декартова система координат.

Число х называется абсциссой точки М, число у - ординатой этой же точки. Символ М(х;у) обозначает, что точка М имеет абсциссой число х, а ординатой число у.

3. Полярные координаты

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки).

Рис. 2. Полярная система координат.

Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числаи (см. рис.). Число r называется полярным радиусом точки М, а число θ – полярным углом точки М. Символ М(r;θ) обозначает, что точка М имеет полярные координаты r и θ.

Полярный угол θ имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину , где n - целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам , называется главным.

В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1). Пользоваться одним и тем же масштабом, 2). При определении полярных углов считать положительным повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную ось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной осью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, то есть ось Ох направлена вправо, а ось Оу - вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, то есть положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).

При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки х к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам

,

В этом же случае формулы

,

являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

При одновременно рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.

4. Проекция отрезка на произвольную ось.. Расстояние между двумя точками.

Проекцией отрезка на ось u называется число, равное величине отрезка оси u, где точка А1 является проекцией точки А на ось u, а точка А2 - проекцией точки В на эту же ось. Проекция отрезка на ось u обозначается символом . Если на плоскости задана система декартовых прямоугольных координат, то проекция отрезка на ось Ох обозначается символом Х, его проекция на ось Оу - символом Y.

Если известны координаты точек М1(х1,у1) и М2(х2,у2), то проекции X и Y направленного отрезка на координатные оси могут быть вычислены по формулам

Х=х2 – х1, Y=y2 – y1..

Таким образом, чтобы найти проекции направленного отрезка на координатные оси, нужно от координат его конца отнять соответствующие координаты начала.

Угол θ, на который нужно повернуть положительную полуось Ох так, чтобы ее направление совпало с направлением отрезка , называется полярным углом отрезка .

Угол понимается как в тригонометрии. Соответственно этому θ имеет бесконечно много возможных значений, которые отличаются друг от друга на величину вида (где n - целое положительное число). Главным значением полярного угла называется то из его значений, которое удовлетворяет неравенствам .

Формулы

, ,

где - есть длина отрезка, выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Отсюда же вытекают формулы

, , ,

которые выражают длину и полярный угол отрезка через его проекции на координатные оси.

Если на плоскости даны две точки М1(х1,у1) и М2(х2,у2), то расстояние d между ними определяется формулой

.

5. Деление отрезка в данном отношении

Если точка М(x, y) лежит на прямой, проходящей через две заданные, несовпадающие между собой точки М1(х1,у1) и М2(х2,у2), и дано отношение , в котором точка М делит отрезок , то координаты точки М определяются по формулам

, .

Если точка М является серединой отрезка , то =1 и ее координаты определяются по формулам

, .

Отметим, что число не зависит от того, как выбрано положительное направление на отрезке М1М2.

Число может быть положительным или отрицательным числом, может равняться нулю, или принимать бесконечное значение в зависимости от расположения точки М на отрезке М1М2:

Но , так как при М1М= - ММ2 и М1М+ММ2=М1М2=0, т. е. точки М1 и М2 совпадают, а мы предполагаем их различными.

6. Площадь треугольника

Площадь треугольника с вершинами ,, вычисляется по формуле

.

При вычислении по этой формуле площадь получится положительной, если обход вершин в порядке их нумерации происходит против часовой стрелки, и отрицательной в противоположном случае.

Отсюда, в частности, вытекает условие расположения трех точек на одной прямой:

=0.

Площадь многоугольника с вершинами , , , ,… равна

.

В частном случае, когда по этой формуле вычисляется площадь треугольника, следует принять и .

7. Уравнение линии как геометрического места точек

Уравнением линии называется уравнение с переменными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и только они.

Входящие в уравнение линии переменные х и у называются текущими координатами, а буквенные постоянные — параметрами. Например, в уравнении окружности переменные х, у - текущие координаты, а постоянная R — параметр.

В связи с аналитическим представлением линии возникают задачи двух типов. Задачи первого типа заключаются в изучении свойств линии при помощи заранее данного уравнения этой линии. Такое изучение проводится средствами математического анализа и выходит за рамки аналитической геометрии. Задачи второго типа заключаются в выводе уравнения линии, заранее заданной геометрически, т. е. линии, заданной, как геометрическое место точек, удовлетворяющих некоторым условиям.

Общее уравнение прямой. Всякая прямая плоскости определяется линейным уравнением с двумя переменными

.

Доказано, что прямая, определяемая общим уравнением, ортогональна вектору с координатами (А, В). Коэффициент А при переменной х является первой координатой нормального вектора прямой, а коэффициент В при переменной у является второй координатой нормального вектора прямой.

Заметим, что если два общих уравнения и определяют одну и ту же прямую, то найдется такое число t, что справедливы равенства

А1=А·t, B1=B·t, C1=C·t.

Рассмотрим, как располагается прямая относительно системы координат в зависимости от значений коэффициентов А В и С общего уравнения прямой:

а) при С = 0 - прямая проходит через начало координат;

б) при B = 0 - прямая параллельна оси Оу;

в) при А = 0 - прямая параллельна оси Ох;

г) при В = С = 0 Ах = 0, х = 0 — ось Оу;

д) при А = С = 0 By = 0, у = 0 — ось Ох.

Перенесем в общем уравнении параметр С в правую часть и разделим обе части уравнения на -С. Уравнение примет вид

.

Обозначим , . Получим

.

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках.

Заметим, что в уравнении примой в отрезках числа и имеют простой геометрический смысл: они равны величинам отрезков, которые отсекает прямая на осях Ох и Оу, соответственно. В этом легко убедиться. Например, точка пересечения прямой с осью Ох определяется из совместного рассмотрения уравнения прямой в отрезках и уравнения у=0.

Каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой будем называть направляющим вектором этой прямой. Найдем уравнение прямой, проходящей через данную точку М1(х1,у1) и имеющей заданный направляющий вектор . Очевидно, что некоторая точка М(х, у) лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны, т. е., когда координаты этих векторов пропорциональны:

.

Это уравнение называется каноническим уравнением прямой.

Заметим, что в каноническом уравнении прямой один из знаменателей или может оказаться равным нулю (оба числа иравняться нулю быть не могут, ибо вектор ненулевой).Так как всякую пропорцию можно понимать как , обращение в нуль одного из знаменателей означает обращение в нуль и соответствующего числителя. В самом деле, если, например, , то, поскольку , из равенства заключаем, что .

В заключение запишем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1(х1,у1) и М2(х2,у2). Считаем, что точки отличны друг от друга. Так как за направляющий вектор такой прямой можно принять вектор и прямая проходит через точку М1(х1,у1), то из канонического уравнение получаем уравнение искомой прямой в виде

.

Это уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости, с заданными координатами (х1,у1), (х2,у2).

Параметрические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой элементарно получаются из канонического уравнения. Запишем каноническое уравнение в виде

,

где t – параметр, имеющий тот или иной физический смысл, зависящий от решаемой задачи.

Тогда можно записать: , или окончательно

.

Полученные уравнения и есть искомые параметрические уравнения прямой. Уравнения допускают наглядную механическую интерпретацию. Если считать, что параметр t это время, то полученные параметрические уравнения определяют движение точки по прямой линии с постоянной скоростью .

Приведем в качестве примера параметрическое уравнение окружности. Пусть М(х, у) –текущая точка окружности с центром в начале координат и радиусом R.

В качестве параметра t выберем угол, который составляет радиус-вектор точки М с осью Ох. Из треугольника ОМА получаем параметрическое уравнение окружности:

.

Чтобы получить уравнение окружности в декартовых координатах, исключим из системы уравнений параметр t. Для этого возведем каждое уравнение системы в квадрат и сложим их:

.

Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом.

Тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох называется угловым коэффициентом прямой и обычно обозначается буквой k:

.

Если =0, то и k=0. Это означает, что прямая параллельна оси Ох и ее угловой коэффициент равен нулю.

Если , то не имеет смысла. Это означает, что прямая перпендикулярна оси Ох и она не имеет углового коэффициента.

Угловой коэффициент можно вычислить, если известны координаты двух каких-либо точек этой прямой: М1(х1,у1) и М(х, у). Тогда

Это равенство и есть уравнение прямой, проходящей через точку М1(х1,у1) с угловым коэффициентом k. Обычно его записывают в виде

.

Если прямая пересекает ось Oy в некоторой точке (0,b), то уравнение принимает вид

или

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k обозначает угловой коэффициент данной прямой, а b – представляет собой величину отрезка, осекаемого данной прямой на оси Oy, начиная от начала координат. Чтобы убедиться в этом достаточно рассмотреть систему уравнений

,

где второе уравнение есть уравнение оси Оу и решив эту систему найти координаты точки пересечения данной прямой и оси Оу : х=0, у=b.

Нормированное уравнение прямой

Нормированное уравнение прямой имеет вид

,

где p - длина перпендикуляра (нормали), опущенного из начала координат на прямую, а - угол наклона этого перпендикуляра к оси Ох. Чтобы привести общее уравнение прямой Ах + By + С = 0 к нормированному виду, нужно все члены его умножить на нормирующий множитель

,

взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена С. Это объясняется тем, что общее уравнение Ах+Ву+С=0 и нормированное уравнение должны определять одну и ту же прямую. А в силу замечания, сделанного в разделе «общее уравнение прямой», найдется такое число t, что , , .Возводя в квадрат первые два равенства и затем складывая их, получим , откуда

.

Остается уточнить, какой из знаков взять в этой формуле. Так как по смыслу расстояние р всегда неотрицательно, то из равенства

следует, что знак t противоположен знаку С.

Расстояние d от точки (x; у) до прямой найдем, если в левую часть нормального уравнения прямой на место текущих координат подставим координаты (x; y) и полученное число возьмем по абсолютной величине:

или

.

Условие параллельности двух прямых. Очевидно, прямые и параллельны друг другу, если k1= k2. Если прямые заданы общими уравнениями А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0, то, переписав их в виде

и , видим, что , . Следовательно, условие параллельности прямых примет вид

или .

Условие перпендикулярности двух прямых. . Очевидно, прямые и перпендикулярны друг другу, если углы наклона и этих прямых к оси Ох связаны соотношением , . Тогда или . Если прямые заданы общими уравнениями А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0, то учитывая, что , , получим условие перпендикулярности двух прямых, выраженное чере з коэффициенты общего уравнения прямой

= или .

Уравнение пучка прямых. Совокупность всех прямых плоскости, проходящих через некоторую точку М(х0,у0) называется пучком прямых с центром М.

Пусть А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0 – уравнения двух прямых, пересекающихся в точке М, и - произвольные числа, одновременно неравные нулю. Тогда +=0 – уравнение прямой, проходящей через точку М. Это следует, из понятия линейной зависимости функций. Если , то при получим уравнение пучка прямых в виде

+=0.

Это уравнение определяет все прямые пучка, кроме прямой, задаваемой уравнением , так как .

II. Аналитическая геометрия в пространстве

Аналитическая геометрия в пространстве

В аналитической геометрии в пространстве, как и в аналитической геометрии на плоскости, каждая задача, какой бы сложной она ни была, сводится к некоторым простейшим задачам. Таковыми задачами, например являются задача определения расстояния между двумя данными точками, задача деления отрезка в данном отношении, задача вычисления угла между двумя заданными отрезками и т. п. первые две задачи решаются аналогично соответствующим задачам на плоскости.

1. Определение расстояния между двумя заданными точками в пространстве. Пусть даны две произвольные точки и . Тогда расстояние между ними определяется по формуле

.

2. Деление отрезка в заданном отношении. Пусть даны две произвольные точки и тогда координаты точки , на прямой , делящей отрезок в заданном отношении , определяются по формулам

, , ,

где .

В частности, координаты середины данного отрезка получаются отсюда при :

, , .

Для решения других простейших задач пространственной аналитической геометрии удобно применять такие операции над векторами как сложение векторов, умножение вектора на число, скалярное умножение векторов, векторное умножение векторов. Определение и основные свойства этих операций над векторами будут рассмотрены в дальнейшем.

3. Уравнение плоскости.

3.1. Общее уравнение плоскости. Линейное уравнение вида

называется общим уравнением плоскости.

Коэффициенты и в этом уравнении имеют смысл координат вектора, нормального к плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку имеет вид

.

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно вектору с координатами (2;3:2).

Решение. или

Если два уравнения и определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны:

====.

Рассмотрим некоторые частные случаи общего уравнения плоскости.

1)  В уравнении плоскости Уравнение плоскости принимает вид и определяет плоскость, проходящую через начало координат.

2)  В уравнении плоскости Уравнение плоскости принимает вид и определяет плоскость, проходящую параллельно оси , или проходящую через эту ось. Действительно, в этом случае нормальный вектор с координатами имеет нулевую проекцию на ось , следовательно, этот вектор перпендикулярен оси , а сама плоскость параллельна этой оси, иди проходит через нее.

3)  В уравнении плоскости и Уравнение плоскости принимает вид и определяет плоскость, параллельную координатной плоскости , или совпадающую с ней. Действительно, в этом случае нормальный вектор с координатами имеет нулевые проекции на осии, следовательно, этот вектор перпендикулярен осям и, а сама плоскость параллельна этим осям, иди проходит через них. Следовательно, плоскость параллельна координатной плоскости . В этом же самом можно убедиться и другим путем. Представим уравнение в виде и положим Уравнение плоскости примет вид . Согласно этому уравнению все точки имеют одинаковые абсциссы () и, следовательно, расположены на одном расстоянии от плоскости . Отсюда ясно также, что есть величина отрезка, отсекаемого плоскостью на оси (считая от начала координат). В частности, если , то и ; в этом случае рассматриваемая плоскость совпадает с плоскостью . Такм образом, уравнение определяет плоскость .

3.2. Уравнение плоскости в отрезках. Аналогично тому, как это делалось для двухмерного случая можно представить уравнение плоскости в отрезках

,

где , , - величины отрезков, которые отсекает плоскость на координатных осях.

Пример. Составить уравнение плоскости, зная, что она отсекает на координатных осях отрезки , , .

Решение. Искомое уравнение или

3.3. Каноническое уравнение прямой в пространстве.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через заданную точку и имеющей направляющий вектор с координатами по аналогии с двухмерным случаем определяется выражением

.

Это уравнение называется каноническим уравнением прямой в пространстве.

Уравнение прямой в пространстве определяется, вообще говоря, как линия пересечения двух плоскостей. Пусть некоторая прямая задана двумя общими уравнениями

.

Составим каноническое уравнение этой прямой. Для этого нужно:

1)  найти какую-нибудь ее точку ; для этого нужно задать численное значение одной из неизвестных координат и подставить его в систему уравнений. После этого решить систему относительно двух оставшихся координат;

2)  найти направляющий векториз условия его перпендикулярности одновременно нормальному векторупервой плоскости и нормальному вектору второй плоскости; этим условиям удовлетворяет вектор, координаты которого равны алгебраическим дополнениям определителя векторного произведения :

=.

Т. е. , -, .

Пример. Найти каноническое уравнение прямой

.

Решение. Полагая, например, , находим из данной системы: , . Теперь найдем направляющий вектор прямой. Имеем =(3,2,4), =(2,1,-3). Отсюда находим координаты искомого вектора как алгебраические дополнения определителя:

=.

Тогда = -10, -=17, = -1. Из чего следует каноническое уравнение прямой

.

3.4. Параметрические уравнения прямой в пространстве.

Запишем каноническое уравнение прямой в виде

=.

Отсюда

.

Это параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку в направлении вектора . В полученной системе рассматривается как произвольно изменяющийся параметр. При этом величины меняются так, что точка движется по данной прямой. Параметрические уравнения прямой удобно применять в тех случаях, когда требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью.

Пример. Дана прямая

и плоскость . Найти точку их пересечения.

Решение. Дело сводится к тому, чтобы найти из трех уравнений (мы имеем два уравнения прямой и одно уравнение плоскости). Необходимые вычисления будут более простыми, если ввести еще одну переменную :

=.

Отсюда , , . Подставляя эти выражения в уравнение плоскости приходим к одному уравнению с одним неизвестным

.

Откуда следует = -1 и координаты искомой точки , ,

3.5. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки пространства.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через точки и по аналогии с двухмерным случаем имеет вид

.

3.6. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

По аналогии с двухмерным случаем, нормальное уравнение плоскости имеет вид

,

где - углы, которые составляет направленная нормаль плоскости с осями координат; - расстояние от плоскости до начала координат.

В этом случае расстояние от произвольной точки до плоскости определяется по формуле

.

Отсюда получаем следующее правило. Чтобы найти расстояние от некоторой точки до плоскости, нужно в левую часть нормального уравнения этой плоскости подставить координаты этой точки. Полученное число и будет равно искомому отклонению.

Если уравнение плоскости задано в общем виде, то оно приводится к нормальному таким же образом, как и для двухмерного случая. Пусть общее уравнение некоторой плоскости, а ее нормальное уравнение. Так как оба эти уравнения определяют одну и туже плоскость, то коэффициенты этих уравнений пропорциональны. Это значит. Что помножив все члены уравнения на некоторый множитель , мы получим уравнение, , совпадающее с уравнением , т. е. мы будем иметь , , , Откуда следует:

.

Число называется нормирующим множителем этого уравнения. Согласно равенству ( есть число отрицательное), знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена уравнения.

Пример. Даны плоскость и точка . Найти отклонение точки от данной плоскости.

Решение. Чтобы применить соответствующее правило, нужно прежде всего привести данное уравнение к нормальному виду. С этой целью находим нормимрующий множитель

=.

Умножая данное уравнение на нормирующий множитель, получаем нормальное уравнение плоскости

.

Подставляя в это уравнение координаты точки , получим

Итак, точка имеет отрицательное отклонение от данной плоскости и удалена от нее на расстояние 2.