На рисунке изображены 10 точек и соединяющие их отрезки. Покрасьте три точки так, чтобы отрезков, которые соединяют две непокрашенных точки, было в два раза меньше, чем отрезков, соединяющих покрашенную и непокрашенную точки. (Устинов)
Ответ. Например вот так:
------
Дан куб, составленный из 27 кубиков размером 
. Можно ли его разделить на уголки, составленные из 3 кубиков?
Ответ. Можно.
Решение.
нижний слой средний слой верхний слой
куба куба куба
1 | 2 | 2 | 1 | 3 | 2 | 6 | 9 | 9 | ||
1 | 3 | 4 | 6 | 3 | 7 | 6 | 9 | 7 | ||
5 | 5 | 4 | 5 | 8 | 4 | 8 | 8 | 7 |
Одинаковыми цифрами обозначены кубики одного уголка.
------
Дан квадрат 
, из которого вырезаны 4 угловые клетки. В получившейся фигуре разместили 8 точек следующим образом:
|
| |||||
|
| |||||
|
| |||||
|
|
Заполните эту фигуру уголками
и | ||||||
так, что точки принадлежали большим уголкам.
Решение.
|
| |||||
|
| |||||
|
| |||||
|
|
------
Можно ли поверхность куба оклеить в один слой без наложений и пропусков шестью равными равнобедренными треугольниками?
Ответ. Можно
Решение.
Одинаковыми цифрами обозначены части одного треугольника.
------
Нарисуйте на плоскости 8 точек и соедините их непересекающимися отрезками так, чтобы из каждой точки выходило ровно 4 отрезка.(Московские регаты)
------
Можно ли расположить на плоскости (но не на одной прямой!) пять точек так, чтобы выполнялось условие: «если три точки являются вершинами треугольника, то этот треугольник – прямоугольный»? Ответ объясните. (Московские регаты)
Ответ: можно.
Пример такого расположения – вершины квадрата ABCD и точка О пересечения его диагоналей. Треугольники AOB, BOC, COD, DOA, ABC, ADC, ABD и CBD являются прямоугольными, а тройки точек A, O, C и B, O, D треугольников не образуют.
|
------
Из клетчатого листа бумаги по линиям сетки вырезана фигура. Назовем чисткой фигуры удаление всех клеток, имеющих общую сторону или вершину с границей фигуры. Приведите пример фигуры, которая после первой чистки останется единым куском, после второй чистки распадется на 2 части, после третьей чистки распадется на 3 части.
(Устинов)
Решение.
Условию задачи удовлетворяет, например, такая фигура:
------
На рисунке изображены 12 точек. Покрасьте 7 точек в черный цвет так, чтобы никакие 4 из покрашенных точек не являлись вершинами прямоугольника. (Устинов)
Решение. Например вот так:
------
Нарисуйте два выпуклых четырехугольника, один внутри другого, так, чтобы любая прямая соединяющая две вершины внутреннего четырехугольника, проходила через какую-либо вершину внешнего четырехугольника.
(Устинов)
Ответ:
 |
------
Отметьте на плоскости 4 точки так, чтобы среди попарных расстояний между ними было ровно два различных.
(Устинов)
Ответ. Условию удовлетворяют вершины квадрата.
------
Выпуклый шестиугольник имеет две пары параллельных сторон. Верно ли, что две оставшиеся стороны этого шестиугольника также параллельны?
(Устинов)
Ответ. Нет, неверно, например:
 |
Расположите на плоскости 6 прямых и отметьте на них 7 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено 3 точки.(Московская олимпиада)
Ответ. Например, так:
------
Отметьте на плоскости 5 точек так, чтобы среди попарных расстояний между ними было ровно два различных.
(Устинов)
Ответ. Условию удовлетворяют вершины правильного пятиугольника.
------
На круглом торте расположены 6 розочек так, как показано на рисунке. Двумя прямолинейными разрезами разрежьте торт на
а) три куска так, чтобы количество розочек на любых двух кусках было различным.
б) четыре куска так, чтобы количество розочек на любых двух кусках было различным.
а) б)
(Устинов)
Решение. Например, так:
а) б)
------
Можно ли разрезать трехклеточный уголок на 4 равные части?
Ответ. Можно. Например,
