44. Вернувшись после долгого отсутствия в родной город, вы решили позвонить по телефону всем вашим старым друзьям и сообщить о своем приезде. Под руками у вас оказались две устаревшие телефонные книги, причем вас предупредили, что в одной из них неверно уже около трети всех номеров, а в другой – около четверти, но, в какой именно, неизвестно. Можно избрать две такие тактики поведения:

1) книга выбирается наугад и, если указанный в ней номер нужного вам телефона оказался правильным, вы продолжаете ею пользоваться, если нет – берете другую книгу;

2) метод двух проб: в случаях «правильный – правильный», «правильный – неправильный» и «неправильный – правильный» книга не меняется, в случае «неправильный – неправильный» надо перейти к другой книге.

При какой тактике поведения вероятность правильных телефонных показателей выше?

45. N черных и N белых шаров размещены в двух урнах по N шаров в каждой. Число черных шаров в первой урне определяет состояние системы. На каждом шаге случайно выбирается по одному шару из каждой урны, и эти выбранные шары меняются местами. Построить матрицу Р и найти стационарное распределение.

46. Шахматист А каждую партию независимо от исходов предыдущих партий выигрывает с вероятностью р, проигрывает с вероятностью q и ничья с вероятностью r=1-p-q. Шахматист В менее уравновешен: выигрывает с вероятностями p+ε, p , p-ε соответственно, если предыдущая партия им выиграна, сыграна в ничью, проиграна. Аналогично вероятность проигрыша: она равна в этих трех случаях соответственно q-ε, q , q+ε. Кто наберет в длительном турнире больше очков?

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

47. Игральная кость последовательно перекладывается с одной грани равновероятно на любую из четырех соседних независимо от предыдущего. К какому пределу при стремиться вероятность того, что при n-м перекладывании кость окажется на грани 6, если сначала она находилась в этом же положении? (Сумма цифр на противоположных гранях равна 7).

48. пусть случайные величины независимы и каждая принимает значения ±1 с вероятностью ½. Образует ли последовательность случайных величин цепь Маркова?

49. На окружности расположены шесть точек, равноудаленных друг от друга. Частица из данной точки перемещается в одну из ближайших соседних с вероятностью ¼ или в диаметрально противоположную с вероятностью ½. Построить граф, написать матрицу вероятностей переходов за один шаг. Будет ли эта марковская цепь регулярной?

50. Пусть первая строка стохастической матрицы Р; >0, . В следующих строках , остальные элементы матрицы равны нулю. Классифицировать состояния марковской цепи и найти предельное распределение.

51. Доказать, что все состояния конечной цепи Маркова не могут быть несущественными.

52. Пусть , последовательность независимых целочисленных случайных величин и d>0 целое число. Доказать, что случайные величины , , образуют цепь Маркова. При каком условии она будет однородной?

3. Корреляционная теория случайных процессов

Задачи

1.  Если случайные величины x и h имеют моменты 2-го порядка, то будет ли их сумма x +h также иметь моменты 2-го порядка?

2.  Пусть случайные величины x и h имеют моменты 2-го порядка. Выразить ковариационную функцию процессов x×t и h×t через моменты случайных величин x и h?

3.  Пусть случайные величины x и h имеют моменты 2-го порядка. Выразить ковариационную функцию процесса x×t + 2h×t через моменты случайных величин x и h.

4.  Пусть случайные величины x и h имеют моменты 2-го порядка. Выразить ковариационную функцию процесса x×t – h×t через моменты случайных величин x и h.

5.  Пусть и имеют моменты 2-го порядка. Выразить математическое ожидание и ковариационную функцию процесса через математические ожидания и ковариационные функции и .

6.  Пусть случайная величина h имеет стандартное нормальное распределение. Чему равна ковариационная функция процесса , где действительные числа?

7.  Пусть случайная величина h имеет стандартное нормальное распределение. Чему равна ковариационная функция процесса , где комплексные числа?

8.  Пусть случайная величина x имеет нормальное распределение с параметрами т и s. Чему равна ковариационная функция и дисперсия процесса , где комплексное число?

9.  Пусть независимые случайные величины x и h имеют нормальные распределения с параметрами т и s. Как выражается математическое ожидание, ковариационная функция и дисперсия процесса x×t + h через моменты случайных величин x и h?

10.  Пусть случайные величины x и h имеют нормальные распределения с параметрами (т1; s1) и (т2; s2) соответственно и их коэффициент корреляции равен r. Как выражается математическое ожидание, ковариационная функция и дисперсия процесса x×t + h через моменты случайных величин x и h?

11.  Пусть , , , и процессы и – некоррелированы. Найти математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию процесса +.

12.  Пусть , = 2, = 9. Найти математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию процесса .

13.  Пусть , . Найти математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию процесса =th t + t3.

14.  Пусть , . Найти математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию процесса .

15.  Пусть , , , и процессы x(t) и h(t) независимы. Найти математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию процесса .

16.  Пусть , , , и . Найти математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию процесса .

17.  Известно, что , = –1, = 3, = 3, = 2, =–3. Найти для процесса математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию.

18.  Известно, что . Найти для процесса математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию.

19.  Известно, что . Найти математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию для процесса .

20.  Известно, что . Найти математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию для процесса .

21.  Известно, что . Найти для процесса математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию.

22.  Известно, что . Найти для процесса математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию.

23.  Известно, что . Найти для процесса математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию.

24.  Известно, что . Найти для процесса математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию.

25.  Известно, что . Найти для процесса математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию.

26.  Известно, что . Найти для процесса математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию.

27.  Известно, что . Найти для процесса математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию.

28.  Известно, что . Найти для процесса математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию.

29.  Известно, что . Найти для процесса математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию.

30.  Известно, что а коэффициент корреляции этих случайных величин равен 0,5. Найти для процесса математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию.

4. Условные математические ожидания

Задачи

1.  Выразить через условные вероятности события А.

2.  Показать, что для полной системы событий ?

3.  Если полная система событий состоит из 3 событий, то сколько событий в s–алгебре, порожденной этой системой?

4.  Если полная система событий состоит из п событий, то сколько событий в s–алгебре, порожденной этой системой?

5.  Опишите все события s–алгебры Fx.

6.  Пусть – случайный вектор. Опишите все события s–алгебры F x.

7.  Пусть – случайная величина, принимающая только значения 1, 2 и 3. Опишите все события s–алгебры F x.

8.  Пусть – полная система событий. Доказать, что если , то случайная величина x постоянна на каждом событии этой системы.

9.  Доказать, что как функция АÎ F при ВÎ F, Р(В) ¹ 0 будет вероятностной мерой на F.

10.  Доказать, что .

11.  Пусть случайная величина равномерно распределена на [-1; 1]. Тогда (по определению условного математического ожидания) является некоторой борелевской функцией от случайной величины . Нарисуйте график этой функции.

12.  Если h = а = const п. н., то п. н.. Доказать.

13.  Найти , если W = [0;1], Р – лебегова мера, , .

14.  Найти , если W = [0;1], Р – лебегова мера, , .

15.  Найти , если известна плотность случайного вектора : и в противном случае.

5. Винеровский процесс и интегралы Ито

Задачи

1.  Докажите, что, если винеровский процесс, то также винеровский процесс.

2.  Докажите, что, если винеровский процесс, то также винеровский процесс.

3.  Вычислить стохастический дифференциал Ито для процесса .

4.  Вычислить стохастический дифференциал Ито для процесса .

5.  Вычислить стохастический дифференциал Ито для процесса.

6.  Вычислить

а).  ;

б).  ;

в).  ;

г).  ;

д).  ;

е).  ;

ж).  ;

з). 

7.  Вычислить .

8.  Составить дифференциальное стохастическое уравнение для .

9.  Решить дифференциальное стохастическое уравнение.

10.  Решить дифференциальное стохастическое уравнение , .

11.  Решить дифференциальное стохастическое уравнение, , .

Решения.

2. Дискретные марковские цепи.

1. а)

;

б)

; с другой стороны,

;

в)

в силу равенства б).

2. . Покажем, что :

и .

3. P(;

аналогично для .

Рассмотрим два оставшихся выражения:

и

в силу задачи 1.

4. Пусть , , подпоследовательность последовательности , . Тогда

, где сумма берется по всем попущенным индексам от 0 до и используется задача 1.

5). Положим . Тогда

если использовать задачу №1.

6).

Повторяя этот прием, приходим к выражению

.

7). Положим . Тогда =

=

=, где сумма берется по всем пропущенным номерам от нуля до (n-1)m и используется задача №1.

8). Введем событие , состоящее в том, что случайные величины могут принимать значения из множества в зависимости от значений случайных величин . Тогда

в силу того, что исходная цепь марковская.

Аналогично

,

, так же вычисляется

Следовательно, последовательность является цепью Маркова. Найдем матрицу вероятностей перехода за 1 шаг: , тогда ;

, а тогда .

Замечание. Запись , означает, что - либо , либо .

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5