Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике (стр. 4 )

45) , , , при , где , и число черных шаров в первой урне равно j. Если - предельное распределение, то

, ,

и т. д. Тогда , , и т. д. Так как , то и , .

46) Для каждого шахматиста строим марковскую цепь с состояниями: выигрыш, ничья, проигрыш. Для шахматиста А матрица вероятностей перехода за один шаг имеет вид: , для шахматиста В она имеет вид: .

Предельное распределение для шахматиста А имеет вид , для шахматиста В . Таким образом, при большом числе партий доля выигрышей у В больше, чем у А, если и или и . Если , то все одинаково.

47) Ситуация описывается марковской цепью, состояния которой цифры на той грани, на которой кубик лежит. Матрица переходных вероятностей за 1 шаг имеет вид:

.

Так как Р(2)=Р2>0, то цепь эргодическая и предельное распределение существует и находится как решение системы уравнений , .

48) Покажем, что . Введем события

,

,

. Очевидно, что и . Тогда и .

49) .

В силу теоремы Маркова для конечной цепи регулярность эквивалентна эргодичности цепи, а эта последняя эквивалентна для конечной цепи ее неразложимости и непериодичности. Эта цепь неразложима и периодическая с периодом d=2, т. е. не будет регулярной.

50) Марковская цепь представляет собой один класс существенных сообщающихся между собой состояний. Так как , то состояние 1 непериодическое, а поэтому все непериодические. Так как вероятность вернуться в состояние 1 впервые, выйдя из него на 1-м, 2-м, …, n-м шаге, равны соответственно , ,…, и при , то , т. е. состояние 1 возвратно, а потому все возвратные. Цепь регулярная, так как Р(n)=Рn>0, а следовательно эргодическая, и поэтому предельное распределение существует и находится из системы уравнений

51) Предположим, что все состояния несущественные. Если i несущественное состояние, то найдется состояние k, в которое можно перейти с положительной вероятностью, а назад вернуться нельзя. Так как k несущественное, то найдется состояние m и т. д. Но цепь конечная, а потому обязательно будет возврат в какое-то несущественное состояние с положительной вероятностью, что противоречит определению несущественного состояния.

52)

в силу независимости случайных величин ; аналогично считается .

4. Условные математические ожидания

1) Так как случайные величины IA и IВ – дискретные, то

Другое решение. Определяемая случайной величиной IB s - алгебра FВ состоит из 4 множеств: W, Æ, В и . Тогда

. Так же

. Очевидно, что вообще для любой случайной величины x и . Наконец,

.

Таким образом, если положить , то

F .

12) Так как h – дискретная случайная величина с распределением Р(h = а)=1, то рассмотрим , где. Если b = a, то , и так как Р(А) = 1, то

.

Действительно, вероятностные меры Р и РА совпадают, потому что для любого события С, так как .

Другое решение: Определяемую случайной величиной h s - алгебру Fh можно считать состоящей из двух множеств: W и Æ. Так как и , то Fh .

13) Определяемая случайной величиной h s - алгебра Fh порождается событиями и всеми борелевскими множествами, принадлежащими [1/2;1], т. е. Fh = {[0;1/2]B; B}, где B Î (1/2; 1] – борелевское.

Если А [0;1/2] = Æ, А Î Fh то

.

(1)

Если А Ç [0;1/2] = Æ, А Î Fh, то

.

(2)

Рассмотрим теперь искомое условное математическое ожидание . Эта случайная величина должна быть Fh - измерима.

Докажем, что она почти наверно постоянна на [0;1/2]. В самом деле, если a и b – два значения z на [0;1/2], то должно пересекаться с [0;1/2]. Но ни одно собственное подмножество [0;1/2] не включается в Fh. Следовательно, . Точно так же . Отсюда следует, что а = =b, т. е. z на [0;1/2] постоянна почти наверно.

Поэтому из (1) и (2) следует, что в качестве z можно взять

.

(3)

14) Рассмотрим сначала структуру s - алгебры Fh, определяемой случайной величиной h. По определению эта s - алгебра порождается множествами , где В – любое борелевское множество на числовой прямой R. Пусть у Î В. Тогда оба решения уравнения принадлежат , т. е. это подмножество отрезка [0;1] должно быть симметричным относительно центра 1/2. Но это значит что любое подмножество, являющееся элементом Fh будет симметричным относительно 1/2. (См. рис.)

Возьмем теперь любое А Î Fh . Пусть .

Тогда .

Сделаем в интеграле по А2 замену w ® 1–w и учтем, что при этом направление интегрирования меняется на противоположное. Тогда

.

Так как постоянная функция очевидно измерима относительно Fh, то .

Интуитивно этот результат очевиден: он дает среднее значение случайной величины x в двух симметричных относительно 1/2 точках: и .

15) Найдем последовательно маргинальную плотность рh (y) и условную плотность р(x | h) (y):

;

.

Отсюда получаем

.

5. Винеровский процесс и интеграл Ито

6.ж) Применим формулу Ито

(4)

к функции : . Отсюда получаем

.

6. е) По формуле Ито (4) . Следовательно, .

9) Решение аналогичного обыкновенного дифференциального уравнения подсказывает, что решение стоит искать в виде: . Формула Ито (4), примененная к функции , дает:

.

Поставим полученное выражение в данное уравнение:

.

Остается решить обыкновенное дифференциальное уравнение

и получаем.

Ответы (Дискретные марковские цепи)

3) ; .

8)

3/7	4/7
1/11	10/11

9) .

11) Да. Да. Да, если .

12) , .

14) да.

15) Да. Да.

16) Нет.

17)

	Ø	А	В	С	АВ	АС	ВС	АВС
Ø	1	0	0	0	0	0	0	0
А	0	1	0	0	0	0	0	0
В	0	0	1	0	0	0	0	0
С	0	0	0	1	0	0	0	0
АВ	1/3	1/3	1/6	0	1/6	0	0	0
АС	2/9	4/9	0	1/9	0	2/9	0	0
ВС	1/6	0	1/3	1/6	0	0	1/3	0
АВС	0	0	0	4/9	0	2/9	2/9	1/9

18)

	Ø	А	В	С	АВ	АС	ВС	АВС
Ø	1	0	0	0	0	0	0	0
А	0	1	0	0	0	0	0	0
В	0	0	1	0	0	0	0	0
С	0	0	0	1	0	0	0	0
АВ	0	2/3	0	0	1/3	0	0	0
АС	0	0	0	1/3	0	2/3	0	0
ВС	0	0	1/2	0	0	0	1/2	0
АВС	1/9	2/9	1/18	1/9	1/9	2/9	1/18	1/9

20)