Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике (стр. 1 )

Саратовский государственный университет им.

, ,

Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике

Часть 2

Случайные процессы

2009

Оглавление

Предисловие. 3

1. Введение в теорию случайных процессов. 4

2. Дискретные марковские цепи. 6

3. Корреляционная теория случайных процессов. 17

4. Условные математические ожидания. 21

5. Винеровский процесс и интегралы Ито. 22

Решения

2. Дискретные марковские цепи. 24

4. Условные математические ожидания. 42

5. Винеровский процесс и интеграл Ито. 45

Ответы (Дискретные марковские цепи) 47

Предисловие

Предлагаемый сборник задач предназначен для использования на семинарских занятиях по курсу «Теория случайных процессов» для студентов механико-математического факультета. Его цель – помочь студентам, овладевшим основами теории вероятностей, познакомиться с основными понятиями теории случайных процессов и овладеть методами решения задач, связанных с дискретными цепями Маркова, корреляционной теорией случайных процессов, винеровским процессом, интегралом Ито и стохастическими дифференциальными уравнениями. Отдельный раздел посвящен очень интересной теме – условные математические ожидания относительно σ – алгебры. Для части задач приведены решения. При составлении сборника использовались и известные задачи, возникшие в результате педагогической деятельности авторов.

Авторы будут благодарны за любые замечания, способствующие улучшению данного пособия.

1.  Введение в теорию случайных процессов

Задачи

1.  Является ли событием множество ?

2.  Является ли событием множество ?

3.  Является ли событием множество существует}?

4.  Будут ли траектории случайного процесса x(t) = x0t2 + x1t +x2, t Î (a, b), непрерывны в обычном смысле почти наверно на (a,b)?

5.  Будут ли траектории случайного процесса x(t) = x0t2 + x1t +x2, t Î (a,b), дифференцируемы в обычном смысле почти наверно на (a,b)?

6.  Является ли множество {w: Уравнение x0(w)t2 + x1(w)t +x2(w)=0 имеет действительные корни} событием?

7.  Является ли событием множество {w: Траектории процессов =x0(w)t+h0(w) и =x1(w)t+h1(w) параллельны}?

8.  Является ли событием множество {w: Траектории процессов =x0(w)t+h0(w) и =x1(w)t+h1(w) перпендикулярны}?

9.  Пусть случайные величины h1 и h2 равномерно распределены на отрезке [-2;2] и независимы. Чему равна вероятность Р(Траектории процессов tg(h1)t и tg(h2)t образуют острый угол меньше 45°)?

10.  Пусть случайная величина h равномерно распределена на отрезке [-1;1]. Чему равна вероятность Р(Траектория процесса h×t образует с положительной полуосью Ох острый угол больше 60°)?

11.  Пусть случайная величина h равномерно распределена на отрезке [-1;1]. Чему равна вероятность Р(Траектория процесса h×t образует с положительной полуосью Ох угол по модулю меньше 60°)?

12.  Пусть случайная величина h равномерно распределена на отрезке [-1;1]. Чему равна вероятность Р(Траектория процесса h×t образует с положительной полуосью Ох угол по модулю меньше 30°)?

13.  Пусть случайная величина h равномерно распределена на отрезке [-1;1]. Чему равна вероятность Р(Траектория процесса h×t образует с положительной полуосью Ох угол по модулю больше 30°)?

14.  Пусть случайная величина h имеет стандартное нормальное распределение. Чему равно математическое ожидание где действительные числа?

15.  Пусть случайные величины x и h независимы и имеют функции распределения Fx (x) и Fh(y) соответственно. Найти конечномерные распределения (до порядка 3 включительно) случайного процесса (t)=x t+h.

16.  Пусть случайные величины x и h независимы и имеют распределения: x – равномерное на [-1; 0] и h – равномерное на [0; 1]. Описать траектории случайного процесса z(t)=x t+h.

17.  Пусть случайные величины x и h независимы и имеют плотности распределения рx (x) и рh (y) соответственно. Для процесса z(t)=x t+h (1–t) найти плотность .

18.  Пусть x и h независимы и имеют распределения: x – равномерное на [-1,0] и h – равномерное на [0,1]. Описать траектории случайного процесса z(t)=x t+h.

2. Дискретные марковские цепи.

Задачи.

1. Пусть последовательность случайных величин , , образует цепь Маркова. Доказать, что для :

а)  ;

б)  ;

в) 

2. Пусть последовательность случайных величин , , образует цепь Маркова. Положим Пт. е. «прошлое»т. е. «настоящее»/ и т. е. «будущее»/. Доказать, что Р(ПБ/Н)=Р(П/Н)*Р(Б/Н).

3. Пусть последовательность случайных величин , , образует цепь Маркова. Выразить через переходные вероятности и начальное распределение вероятностей следующие величины: , , и .

4. Пусть последовательность случайных величин , , образует цепь Маркова. Доказать, что любая подпоследовательность этой последовательности также образует цепь Маркова.

5. Если , , цепь Маркова, то последовательность , , где натуральное, тоже образует цепь Маркова. Доказать.

6. Пусть случайные величины образуют цепь Маркова. Доказать, что случайные величины , где , , также образует цепь Маркова.

7. Если , , цепь Маркова, то последовательность , , где натуральное, тоже образует цепь Маркова. Доказать.

8. Пусть - номер состояния в цепи Маркова в момент времени , матрица вероятностей перехода равна и начальное распределение . Положим Доказать, что последовательность , является цепью Маркова, и найти для этой цепи матрицу Р.

9. Пусть последовательность случайных величин , , является цепью Маркова с матрицей и множеством состояний {1,2,3}. Положим При каком условии последовательность случайных величин , также является однородной цепью Маркова?

10. Пусть , , независимые случайные величины с дискретным распределением, - некоторые измеримые функции. Доказать, что последовательность случайных величин , , где , образует цепь Маркова.

11. Пусть , , последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения 1 и -1 с вероятностями p и q=1-р соответственно. Положим а) , ; б) , ; в) , . Будет ли последовательность , , цепью Маркова?

12. Пусть , , последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения 1 и -1 с вероятностями p и q=1-р соответственно. Доказать, что последовательность , , где φ(-1,-1)=1, φ(-1,1)=2, φ(1,-1)=3, φ(1,1)=4, является цепью Маркова и построить матрицу Р для нее.

13. Пусть , последовательность случайных величин, принимающих значение в множестве Х. Если для любого и любых выполняется соотношение

, то последовательность случайных величин , , является цепью Маркова и для любых . Доказать.

14. На стоянку такси через единичные моменты времени прибывают машины (по одной в каждый момент). Если на стоянке нет ожидающих, то машина сразу уезжает. Обозначим через число пассажиров, приходящих в момент k на стоянку, и будем считать, что - независимые случайные величины. Пусть длина очереди в момент времени k, =0. Будет ли последовательность случайных величин , марковской цепью?

15. В начальный момент в урне белых и черных шаров. Через каждую единицу времени из урны (без возвращения) извлекается один шар. Пусть – число белых, а – число чёрных шаров в урне в момент времени k. Какие из указанных ниже последовательностей образуют цепь Маркова:

а) , ;

б) , ?

16. К рабочему, стоящему на контроле, через минуту поступают изделия, причём каждое из них независимо от других может оказаться дефектным с вероятностью p, 0<p<1. Поступившие изделия рабочий одно за другим проверяет, затрачивая на проверку каждого по одной минуте. Если изделие оказывается дефектным, то он прекращает проверку других изделий и исправляет дефектное, на что уходит ещё 5 минут. Пусть – число изделий, скопившихся у рабочего через n минут после начала работы. Будет ли последовательность случайных величин , , цепью Маркова?

17. Три танка ведут бой, каждый с двумя другими. Танк A уничтожает танк, по которому он ведёт огонь, с вероятностью 2/3, танк B – с вероятностью 1/2, танк C – с вероятностью 1/3. Танки открывают огонь одновременно, и каждый стреляет по сильнейшему из не уничтоженных к этому моменту противников. Написать матрицу вероятностей перехода за один шаг марковской цепи, состояниями которой будут множества танков, которые еще действуют в данный момент.

18. Три танка ведут бой, танк А стреляет в танк В, танк В – в танк С, танк С – в танк А. Танк А уничтожает танк В с вероятностью 2/3, танк В уничтожает танк С с вероятностью 1/2, танк С уничтожает танк А с вероятностью 1/3. Танки открывают огонь одновременно. Написать матрицу вероятностей перехода за один шаг марковской цепи, состояниями которой будут множества танков, которые еще действуют в данный момент.

19. Пусть последовательность случайных величин , , образует однородную цепь Маркова. Доказать, что для того чтобы случайные величины были независимы, необходимо и достаточно, чтобы все строки матрицы вероятностей перехода за один шаг были одинаковы.

20. Пусть , , последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения 1 и 0 с вероятностями p и q=1-p соответственно. Доказать, что последовательность пар , , образует цепь Маркова и найти матрицу Р вероятностей перехода за один шаг.

21. Эскадрилья бомбардировщиков состоит из четырех самолетов. Боевое задание она получает один раз в день. Если к концу дня из-за потерь, нанесенных противником, наличный состав самолетов уменьшается до нуля, одного или двух, то командир эскадрильи получает один самолет из резерва; этот самолет доставляется ночью. Если наличный состав равен трем или четырем самолетам, то командир не имеет права на пополнение. На следующий день, если в наличии имеется три или четыре самолета, то задание эскадрилье дается; в противном случае задание отменяется. Во время выполнения задания каждый самолет может быть выведен из строя с вероятностью р.

Ввести понятие состояния эскадрильи так, чтобы функционирование эскадрильи можно было описать с помощью цепи Маркова, построить матрицу Р и исследовать ее на регулярность.

22. Перед испытуемым находятся два табло с синими и зелеными лампочками. Последовательности зажигания описываются Марковскими цепями с матрицами перехода за один шаг

1) 2) .

Испытуемый должен нажать на кнопку, если на обоих табло зажегся зеленый свет. С какой вероятностью после двух правильных нажатий подряд он может ожидать ситуацию, когда не надо нажимать?

23. Пусть , , , где , , последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Доказать, что последовательность , , образует однородную Марковскую цепь, найти , и , построить матрицу переходных вероятностей за один шаг, если случайные величины , , равномерно распределены на множестве .

24. Для конечной цепи Маркова, состоящей из одного класса несущественных состояний и одного класса существенных состояний, доказать, что:

а) из несущественного состояния можно перейти в любое существенное с положительной вероятностью;

б) из существенного состояния нельзя перейти в несущественное с положительной вероятностью.

25. Доказать, что несущественное состояние не может быть возвратным.

26. Два состояния i и j марковской цепи отнесем к одному классу K, если существуют такие целые , , что . Введем на множестве классов состояний отношение «<»: будем говорить, что , если существуют состояния и целое такие, что . Доказать, что:

а) различные классы не пересекаются;

б) если , то не может быть ;

в) если и , то .

27. Состояния цепи Маркова - неотрицательные целые числа. Из состояния j, , за один шаг цепь переходит в состояние j+1 с вероятностью и в состояние ноль с вероятностью 1-. Доказать, что для того чтобы состояния цепи были возвратными, необходимо и достаточно, чтобы ряд расходился и >0, .

28. Доказать, что если j невозвратное состояние, то для любого состояния i марковской цепи .

29. Доказать, что если состояние j несущественное, то для любого состояния i при .

30. Доказать, что конечная неразложимая цепь Маркова является непериодической тогда и только тогда, когда существует целое такое, что для любых состояний i и k.

31. Доказать, что для неразложимой цепи Маркова среднее число возвращений в данное состояние, выйдя из него, либо конечно для всех состояний, либо бесконечно для всех состояний.

32. Доказать, что любая цепь Маркова с конечным числом состояний имеет по крайней мере одно возвратное состояние.

33. Пусть все состояния двух цепей Маркова с матрицами вероятностей перехода за один шаг и возвратны. Будут ли возвратны состояния цепи Маркова с матрицей вероятностей перехода за один шаг ?

34. Доказать, что в конечной цепи Маркова состояние возвратно тогда и только тогда, когда оно существенно.

35. Доказать, что цепь Маркова не является эргодической, если:

а) в ней имеется по крайней мере одно несущественное состояние;

б) в ней имеется по крайней мере два не сообщающихся состояния.

36. Пусть последовательность целочисленных случайных величин , , образует конечную эргодическую цепь Маркова. Положим , , ,. Доказать, что существует и для всех j, .

37. Доказать, что для любого состояния цепи Маркова вероятность возвращения в него бесконечное число раз равна 0 или 1, причем в первом случае состояние невозвратно, а во втором возвратно.

38. По виду матрицы переходных вероятностей за один шаг:

1) восстановить недостающие вероятности;

2) построить граф переходов;

3) выделить классы несущественных и существенных состояний;

4) найти возвратные, периодические, нулевые состояния;

5) выяснить, является ли марковская цепь периодической, и в случае утвердительного ответа выделить подклассы;

6) выяснить, является ли марковская цепь эргодической, и найти предельные вероятности;

7) Задав начальное распределение, найти вероятность за три шага попасть в третье состояние:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ; ж) ;

з) ; и) ;

к) ; л) ;

м) ; н) ; о) ;

п) .

39. Дать классификацию состояний марковской цепи, для неприводимых классов найти предельные вероятности, если переходные матрицы за один шаг имеют вид:

а)  ;

б)  ;

в)  ;

г)  ;

д)  .

40. Пусть каждый человек, услышавший новость, может передать ее другому; при этом вероятность искажения смысла на противоположный постоянна и равна р=0,000001. Какова вероятность услышать новость в неискаженном виде после того, как она «побывала» у большого числа людей?

41. У профессора три излюбленных вопроса, один из которых он задает на каждом экзамене. Он никогда не задает какой-либо из этих вопросов два раза подряд. Если в прошлый раз был задан вопрос А, то он бросает монету и задает вопрос В, если выпал герб. Если был задан вопрос В, то он бросает две монеты и задает вопрос С, если выпадет два герба. Если был задан вопрос С, то он бросает три монеты и задает вопрос А, если выпадет три герба. Какой вопрос он задает чаще всего?

42. Известно, что если погоду в данной местности характеризовать только следующими состояниями: облачно, дождь и хорошая погода, то запись текущей погоды образует марковскую цепь с матрицей вероятностей перехода . Предскажите погоду на один и на два дня вперед, если сегодня погода хорошая. Имеет ли смысл пользоваться монетой, для того, чтобы решить, брать ли с собой зонтик, выходя из дому? Предполагается, что погода устойчива в течение дня.

43. Пусть имеется три карты с номерами 1, 2, 3. Состоянием системы назовем последовательность номеров этих карт . Предположим, что с вероятностями ½ состояние переходит в состояния и . Показать, что эта система будет марковской цепью. Построить матрицу переходных вероятностей за один шаг и найти финальное распределение.