Управление качеством (стр. 8 )

Вычисляется значение Tn, и по наперед заданному значению уровня значимости α в табл.14 находится критическое значение Cα, отвечающее числу наблюдений n. Если Tn > Cα, то гипотеза об однородности совокупности наблюдений отвергается и xn может быть исключено из ряда наблюдений как нарушающее однородность выборки: xn значимо отличается от среднего значения . Если же Tn < Cα гипотеза об однородности совокупности принимается и нет достаточных оснований считать, что xn есть значимое отклонение.

Tn < Cα, xn - исключается!

 

В статистической литературе часто используется термин «доверительная вероятность» β (β=1-α). Критическое значение Cα=С1-β есть величина критерия Tn, отвечающая доверительной вероятности β

(35)

Пример. Пусть имеются данные выборочных наблюдений. Ряд значений характеризуется числами 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 18. Сомнительным представляется число 18.

Среднее значение составляет:

Среднеквадратическое отклонение равно: ,

.

Зададимся уровнем значимости α = 0,05 (уровень значимости критерия есть вероятность отвергнуть гипотезу, если она верна) и из табл.14 получим величину критического значения критерия С0,05 = 2,294. Поскольку полученное значение Т10 = 2,41 больше Сα = 2,294, гипотеза об однородности ряда наблюдений отвергается и последнее значение наблюдения (18) должно быть исключено как нетипичное.

Для изучения минимального значения выборки x1=min xi используется величина

(36)

Ti имеет такое же распределение, что и Tn, поэтому можно использовать ту же табл. 14 критических значений Смирного-Граббса.

3.3. Критерий исключения одного экстремального наблюдения (Ф. Граббса)

Для построения решающего правила при исключении максимального значения используется величина

, (37)

где x1 ≤ x2 ≤ ≤…≤ xn – вариационный ряд из наблюдений x1, x2, x3… xn.

, (38)

. (39)

Для исключения минимального наблюдения используется величина

, (40)

где . (41)

Распределение величин (37) и (40) найдено и затабулировано Ф. Граббсом (табл.15).

Таблица 15

Таблица критических значений Cα для величин Gn и G1

(критерий Ф. Граббса)

n	Уровень значимости, α	n	Уровень значимости, α
0,1	0,05	0,025	0,1	0,05	0,025
3	0,0109	0,0027	0,0007	14	0,5942	0,5340	0,4792
4	0,0975	0,0494	0,0248	15	0,6134	0,5559	0,5030
5	0,1984	0,1270	0,0808	16	0,6306	0,5755	0,5246
6	0,2826	0,2032	0,1453	17	0,6461	0,5933	0,5342
7	0,3503	0,2696	0,2066	18	0,6601	0,6095	0,5621
8	0,2050	0,3261	0,2616	19	0,6730	0,6243	0,5785
9	0,4502	0,3742	0,3101	20	0,6848	0,6379	0,5937
10	0,4881	0,4154	0,3526	21	0,6958	0,6504	0,6076
11	0,5204	0,4511	0,3911	22	0,7058	0,6621	0,6206
12	0,5483	0,4822	0,4232	23	0,7151	0,6728	0,6327
13	0,5727	0,5097	0,4528	24	0,7238	0,6829	0,6439
				25	0,7319	0,6923	0,6544

Гипотеза об однородности совокупности отвергается, если Gn и G1 меньше критического значения Gα; максимальное (минимальное) значение наблюдения исключается из совокупности:

 

Пример. Пусть имеется ряд значений:

-0,60; -0,19; -0,13; -0,10; -0,09; -0,06; -0,02;

-0,03; -0,04; 0,08; 0,9; 0,17; 0,21; 0,27; 0,43

Интерес представляет минимальное значение -0,60 и максимальное 0,43, которые существенно удалены от основной совокупности наблюдений.

Используем критерий Граббса по отношению к минимальному отклонению х1 = -0,60.

,

Критическое значение С0,05, отвечающее уровню значимости α = 0,05 находится из табл.15: Сα = 0,5559.

Величина G1 оказалась меньше, чем С0,05, поэтому гипотеза об однородности совокупности отвергается и минимальное значение -0,60 должно быть исключено из общей совокупности данных.

Если использовать критерий Т1, получаем:

Критическое значение С0,05 = 2,493 (табл.14).

Поскольку Т1 > С0,05, x1 может быть исключено из однородной совокупности и по этому критерию.

Рассмотрим оставшиеся 14 наблюдений и проверим х14 = 0,43 на предмет грубой ошибки. Получаем:

Критическое значение С0,05, найденное из табл.14 и соответствующее уровню значимости α = 0,05 равно С0,05 = 0,5340.

Поскольку G14 > С0,05, нет оснований считать х14 грубой ошибкой.

При рассмотрении критерия Т14 получаем:

.

При С0,05 = 2,461, Т14 < С0,05 гипотеза об однородности совокупности принимается и значение х14 должно быть оставлено в совокупности вариационного ряда.

3.4. Критерий исключения нескольких экстремальных наблюдений (Титьена-Мура)

Существенным недостатком рассмотренных критериев является их ориентация на выявление лишь одной грубой ошибки. Однако реально в выработке может быть несколько членов выработки, которые могут подозреваться в качестве грубой ошибки.

Процедура применения критерия:

1) Для проверки k наибольших или наименьших наблюдений на ошибочность, вычисляются значения Lk, Ľk.

, (42)

где , (43)

, (44)

где . (45)

2)  Если полученное значение меньше, чем критическое Cα (табл.16, 17), то следует заключение о присутствии в выборке ошибочных наблюдений, Lk, Ľk < Cα, k наблюдений исключается.

Таблица 16

Критическое значение Cα для критерия Титьена-Мура Lk и Ľk при α=0,10

k N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	0,011	-	-	-	-	-	-	-	-	-
4	0,98	0,03	-	-	-	-	-	-	-	-
5	200	038	-	-	-	-	-	-	-	-
6	280	091	0,020	-	-	-	-	-	-	-
7	348	148	056	-	-	-	-	-	-	-
8	404	200	095	0,038	-	-	-	-	-	-
9	448	248	134	068	-	-	-	-	-	-
10	490	287	170	098	0,051	-	-	-	-	-
11	526	326	208	128	074	-	-	-	-	-
12	555	361	240	159	103	0,062	-	-	-	-
13	578	388	270	186	126	0,82	-	-	-	-
14	600	416	298	212	150	104	0,068	-	-	-
15	611	436	322	236	172	124	086	-	-	-
16	631	458	342	260	194	144	104	0,073	-	-
17	648	478	364	282	216	165	125	092	-	-
18	661	496	384	302	236	184	142	108	0,080	-
19	676	510	338	316	251	199	158	124	094	-
20	688	530	420	339	273	220	176	140	110	0,085
25	732	588	489	412	350	296	251	213	180	152
30	766	637	523	472	411	359	316	276	240	210
35	792	673	586	516	458	410	365	328	294	262
40	812	702	622	554	499	451	408	372	338	307
45	826	724	648	586	533	488	447	410	378	348
50	840	774	673	614	562	518	477	442	410	380

Таблица 17