"ЗАТВЕРДЖУЮ"
Декан механіко-математичного факультету Київського національного університету
імені Тараса Шевченка
проф. І. О.Парасюк
2005р.
Програма вступного іспиту в аспірантуру за спеціальностями 01.01.06 - "алгебра і теорія чисел" та 01.01.08 - "математична логіка, дискретна математика і теорія алгоритмів"
I. Загальна частина
1. Математичний аналіз :
Метричні простори. Повні метричні простори. Теорема про стискуючі відображення. Неперервні та рівномірно неперервні функції. Компактні простори. Властивості неперервних функцій на компактному просторі.
Похідні та диференціали функцій однієї та багатьох змінних, зв'язок між ними. Похідні та диференціали вищих порядків. Формула Тейлора. Теорема про неявну функцію.
Нормовані лінійні простори. Лінійні функціонали, рівносильність обмеженості й неперервності лінійного функціонала. Продовження функціонала по неперервності. Теорема Хана-Банаха. Банахові простори. Спектр лінійного оператора. Компактні оператори. Спектр компактного оператора.
Гільбертів простір. Проекція на замкнений підпростір. Ортонормовані бази. Нерівність Бесселя і рівність Парсеваля. Формули Фур'є. Спряжений оператор, його існування та єдиність. Спектральна теорема для самоспряжених компактних операторів.
2. Лінійна алгебра:
Поняття поля. Поле комплексних чисел. Поле лишків. Многочлени. Корені многочленів. Розклад на незвідні множники. Взаємно прості многочлени. Теорема Безу, формули Вієта. Симетричні многочлени, основна теорема про симетричні многочлени.
Векторні простори. Лінійна залежність. База і розмірність. Координати, їх перетворення при заміні бази. Лінійні відображення, дії над ними. Матриця лінійного відображення, її перетворення при заміні бази. Дії над матрицями. Підпростори. Сума і перетин підпросторів, формула Грасмана. Пряма сума підпросторів. Ядро і образ лінійного відображення. Ранг і дефект, зв'язок між ними. Застосування до систем лінійних рівнянь. Теорема про ранг матриці. Обернене лінійне відображення, обернена матриця, умови їх існування.
Визначники, їх властивості і застосування.
Власні числа і власні вектори лінійного оператори. Характеристичний многочлен. Теорема Гамільтона-Келі. Умови діагоналізованості матриці лінійного оператора. Кореневі підпростори. Жорданова нормальна форма (існування та єдиність).
Білінійні і квадратичні форми. Матриця білінійної форми. Симетричні та кососиметричні форми, їх канонічний вигляд. Форми над полем дійсних чисел, закон інерції. Додатньо означені форми, критерій Сільвестра.
Унітарні (евклідові) простори. Ортонормовані бази. Спряжене лінійне відображення, його матриця в ортонормованій базі. Нормальні оператори, їх канонічна форма. Самоспряжені оператори. Унітарні (ортогональні) оператори.
3. Диференціальні рівняння:
Диференціальне рівняння 1-го порядку. Задача Коші, теорема про існування та єдиність її розв 'язку.
Лінійні системи диференціальних рівнянь. Вронскіан, його звязок з лінійною незалежністю розв'язків. Фундаментальна система розв'язків. Лінійні системи зі сталими коефіцієнтами, їхні розв 'язки.
4. Комплексний аналіз:
Аналітичні функції комплексної змінної. Умови Коші-Рімана. Незалежність інтеграла від аналітичної функції від шляху інтегрування. Інтеграл Коші. Розклад аналітичної функції у степеневий ряд. Область збіжності степеневого ряду.
Аналітичне продовження. Поняття про повну аналітичну функцію та її ріманову поверхню, приклади.
Класифікація особливих точок. Ряди Лорана. Лишки, теорема про лишки.
5. Геометрія і топологія :
Топологічні простори. Відкриті та замкнені множини. Неперервні відображення. Гомеоморфізм. Гаусдорфові простори. Компактні простори. Лема Урисона та теорема Тітце про продовження неперервної функції. Зв'язність.
Поняття гомотопії. Фундаментальна група топологічного простору. Однозв'язні простори. Накриття, зв'язок з фундаментальною групою. Фундаментальна група кола.
Поняття про групи гомологій топологічного простору.
Поняття про диференційовний многовид. Приклади. Дотичний простір до диференційовного многовида. Векторні поля на многовиді. Диференціальні форми.
II. Спеціальна частина
1. Теорія груп:
Основні поняття: група, підгрупа, гомоморфізм, ізоморфізм. Порядок елемента. Циклічні групи. Суміжні класи, теорема Лагранжа. Нормальні підгрупи і факторгрупи. Теорема про гомоморфізм.
Дія групи на множині. Формула орбіт, її застосування. Класи спряжених елементів. Центр р-групи. Теореми Силова. Розв'язні та нільпотентні групи, основні поняття.
Вільні абелеві групи. Підгрупи вільних абелевих груп. Основна теорема про скінченні абелеві групи.
Поняття про вільну групу. Задавання груп твірними та співвідношеннями, приклади.
2. Кільця та поля :
Основні означення: кільце, поле, підкільце, підполе, гомоморфізм, ізоморфізм. Первинні (прості) поля. Характеристика поля. Ідеали і факторкільця. Теорема про гомоморфізм для кілець. Евклідові кільця, приклади. Ідеали евклідових кілець. Однозначність розкладу на множники в евклідових кільцях. Кільця і поля лишків.
Многочлени та їхні корені. Теорема про символічне приєднання кореня. Алгебричні розширення полів, їхні властивості. Поле розкладу многочлена, його існування та єдиність. "Основна теорема алгебри". Скінченні поля; існування та єдиність поля із рn елементів.. Циклічність мультиплікативної групи скінченного поля.
Розширення Галуа. Група Галуа, відповідність Галуа між підгрупами та підполями. Основна теорема теорії Галуа.
3. Елементи теорії зображень :
Поняття про лінійне зображення групи та кільця, приклади. Еквівалентність зображень. Нерозкладні та незвідні зображення (матричне та інваріантне означення). Лема Шура про незвідні зображення. Теорема Машке про розкладність звідного зображення скінченної групи. Зображення абелевих груп.
4. Теорія чисел :
Подільність цілих чисел. Прості числа. Найбільший спільний дільник, його властивості. Лінійні діофантові рівняння, умова їх розв 'язності. Конгруенції та їх властивості. Лінійні конгруенції, умови їх розв 'язності.
Функція Ейлера, її властивості та обчислення. Функція Мебіуса. Формула обертання Мебіуса.
Квадратичні лишки. Символ Лежандра, його властивості. Квадратичний закон взаємності.
Алгебричні і трансцендентні числа. Теорема Ліувілля про наближення алгебричних чисел. Існування трансцендентних чисел (конструктивне доведення).
5. Математична логіка:
Логіка висловлювань: формули, інтерпретації, логічний наслідок, тавтології. Булеві алгебри. Теорема про будову скінченних булевих алгебр. Числення висловлювань: аксіоми, правила виводу, теореми. Теорема дедукції. Повнота числення висловлювань.
Логіка предикатів: формули, інтерпретації, логічний наслідок. Моделі.. Загальнозначущі формули. Числення предикатів: аксіоми, правила виводу, теореми. Теорема дедукції. Повнота числення предикатів. Теорема компактності. Існування нестандартних моделей.
6. Теорія алгоритмів:
Поняття алгоритму, його формалізація (один з видів). Машини Тьюрінга. Рекурсивні функції, їх основні властивості. Ґеделева нумерація, її рекурсивність Збіжність класів обчислюваних і рекурсивних функцій. Теза Черча-Тьюрінга. Універсальний алгоритм (універсальна обчислювальна машина), його існування. Розв'язні і нерозв'язні масові задачі. Приклади нерозв'язних задач. Поняття про еквівалентність різних формалізацій поняття алгоритму.
6. Дискретна математика:
Основні правила комбінаторики. Формула включення - виключення. Поліноміальна теорема, властивості поліноміальних коефіцієнтів. Твірні функції та їх застосування. Числа Фібоначчі. Бінарні відношення. Способи їх задання. Основні класи бінарних відношень. Розбиття множини і зв'язок з відношеннями еквівалентності. Числа Стірлінга 2-го роду. Числа Белла.
Орієнтовані та неорієнтовані графи, способи їх задавання. Шляхи в графі. Ейлерові та гамільтонові графи. Критерій ейлеровості. Умови гамільтоновості. Планарні графи. Теорема Ейлера.
Література:
1. Дороговцев аналіз. - К.: Либідь. – 1994. – Ч.1-2.
2. , , Парасюк І. О. Диференціальні рівняння. – К: Либідь, 1994.
3. Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1971.
4. Диференціальна геометрія і топологія, Харків, Основа, 1995.
5. , Курс дифференциальной геометрии и топологии, Изд-во МГУ, 1980.
6. Введение в алгебру. М. Наука, 1977.
7. ін, , Лінійні прoстори, К. Вища школа, 1971.
8. , , Б. І.Хацет Алгебра і теорія чисел, ч.1, ч.2. – К.: Вища школа, 1976.
9. ван дер Алгебра – М. Наука, 1976
10. Алгебра. – Мир, 1968.
11. Мендельсон Введение в математическую логику. – М. Наука, 1987.
12. Мальцев и рекурсивные функции. – М. Наука, 1986.
13. Яблонский в дискретную математику. – М. Наука, 1979.
Затверджено на засіданні кафедри алгебри
та математичної логіки
Протокол № 9 від 14 березня 2005 р.
Завідувач кафедри
