Тема 1. Построение линейно-регрессионной модели экономического процесса (стр. 3 )

Тема 2 Проверка регрессионных моделей на адекватность

Любая математическая модель не является точной, всегда существует вероятность возникновения статистической ошибки при проведении расчетов. Могут возникнуть ошибки при округлении, использовании неточных данных и т. п. Для того чтобы оценить, на сколько хорошо или плохо модель представляет реальный экономический процесс, используют некоторые критерии этой оценки.

1) Средняя ошибка аппроксимации

(1)

где

y – реальные данные;

-данные рассчитанные по модели.

Допустимый уровень этого критерия от 8% до 10%, если значение критерия выше, то модель не следует применять при расчетах.

2) Коэффициент эластичности

(2)

Критерий (2) показывает, на сколько процентов в среднем по всей совокупности измерений изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения.

Задачи для контроля и самопроверки

Задача№1

Некоторый экономический процесс представлен регрессионными моделями:

а) ; б) ; в) ; г) .

Рассчитать в общем виде коэффициент эластичности для каждой модели, если известно среднее значение фактора х.

Задача№2

Рассчитать среднюю ошибку аппроксимации для всех линейных моделей из задач темы 1. Заполнить следующую таблицу:

№ Задачи из темы 1	Модель	Значение критерия

Задача№3

По некоторым территориям Новосибирской области была собрана статистика по некоторым факторам. Фактор 1 – расходы на покупку продовольственных товаров, фактор 2 – среднедневная заработная плата одного работающего.

Территория	1	2	3	4	5	6	7
Фактор 1	68,8	61,2	59,9	56,7	55	54,3	49,3
Фактор 2	45.1	59	57,2	61,8	58,8	47,2	55,2

Проверить, что данный процесс описывается уравнением . Оценить значения критериев (1) и (2) для этой модели.

Тема 3. Основы линейного программирования

Задача, в которой требуется минимизировать (максимизировать) линейную форму вида при условиях или , называется задачей линейного программирования в произвольной постановке.

Эту же задачу можно записать в матричной форме

(1)

Подробнее рассмотрим систему ограничений на задачу, она выглядит так

(2)

Построим математическую модель (задачу линейного программирования).

Опр. Набор чисел , удовлетворяющий ограничениям задачи линейного программирования, называется ее планом.

Опр. Решением задачи линейного программирования называется ее план, минимизирующий (или максимизирующий) линейную форму.

Рассмотрим две математические постановки задач линейного программирования для общего случая:

а) Задача оптимального использования ресурсов.

Постановка задачи:

Для изготовления нескольких видов продукции используют m видов ресурсов . Это могут быть материалы, электроэнергия, полуфабрикаты и т. п. Объем каждого вида ресурсов известен и ограничен значениями . Параметры количество i-го ресурса расходуемого на производство j-го продукта.

Прибыль от реализации каждого вида продукции составляет .

Постановка задачи в виде таблицы:

Таблица 1

Представление таблицы оптимального использования ресурсов

Вид ресурсов	Объем ресурсов	Параметры
P1	P2	…	Pn
s1	b1			…
s2	b2			…
…	…	…	…	…	…
sm	bm			…
Прибыль	c1	c2	…	cn

Таким образом, математическая модель экономического процесса оптимального распределения ресурсов в общем виде выглядит так:

Целевая функция , а система ограничений совпадает с (2) с добавлением, которое говорит о вполне определенном количестве продукции, которую необходимо произвести.

б) Задача о составлении рационального рациона питания.

Постановка задачи:

В общей постановке задачи приняты следующие обозначения:

-различные виды продуктов;

- перечень из m необходимых витаминов (питательных веществ);

- содержание i-го витамина в j-м продукте;

- минимальная суточная потребность в i-м витамине;

- количество каждого вида продукта в суточном рационе.

Постановка задачи в виде таблицы:

Таблица 2

Представление таблицы составления оптимального рациона питания

Вид витамина	Суточная потребность	Параметры
P1	P2	…	Pn
s1	b1			…
s2	b2			…
…	…	…	…	…	…
sm	bm			…
Стоимость единицы продукта	c1	c2	…	cn

Целевая функция имеет вид , система ограничений с учетом имеет вид:

Пример

Предприятие выпускает три вида продукции. Каждая продукция требует обработки на трех различных типах установок. Ресурс времени каждого типа установок ограничен и составляет . Известна прибыль от каждого вида продукции она равна соответственно . Также известно количество выпускаемой продукции каждого вида .

Задание 1. Запишите целевую функцию прибыли?

Учитывая данные задачи прибыль по каждому виду продукции составляет , следовательно целевая функция прибыли для всех видов продукции имеет вид .

Задание 2. Учитывая тот факт, что параметры определяют количество ресурса времени установки i-го типа, которое необходимо для выпуска одной единицы продукции j-го типа запишите систему ограничений для этой конкретной ситуации?

Исходя из выражения (2) системы ограничений в общей постановке, получим:

Где ограничения по времени.

Тема 4. Геометрический метод решения задач линейного программирования

Поясним последовательность действий при решения ЗЛП графическим методом на простом примере для двумерного случая. Итак, пусть в результате экономического исследования была построена следующая задача, целевая функция определена и имеет вид , система ограничений и .(а) (б)

Шаг 1. Определение области допустимых решений для этого необходимо построить уравнения прямых заданных в системе координат , выразив одну переменную через другую, получив, например систему уравнений (б).

Шаг 2. Построим многогранник решений - это фигура, ограниченная уравнениями прямых (1), (2) и (3) пронумерованных соответственно (б) и координатными осями. Фигура образованная таким образом ограничивает область допустимых решений (ОДР).

 

Рис 1 Построение ОДР и вектора градиента (2,4)

Шаг 3. Построим функцию, линию уровня на рис. обозначена пунктирной линией. Найдем ее вектор нормали это вектор с координатами . В нашем случае это вектор с координатами (2;4).

Шаг 4. Выполним параллельный перенос в направление вектора градиента до точки однозначно определяющей оптимальное решение и принадлежащей ОДР это точка на пересечение прямых (1) и (2).

Шаг 5. Найдем координаты точки пересечения прямых, решив для этого соответствующую систему уравнений вида.

Вычисляем оптимум целевой функции исходя из условия задачи

Задачи для контроля и самопроверки

а) Экономико-математическая постановка задач линейного программирования

Построить математическую модель процесса, обеспечивающую максимум выручки: производственная фирма может выпускать любые из шести видов продукции. Технологии их выпуска, расход ресурсов на единицу продукта, цены гарантированной реализации продукции, а также объёмы сырья и трудовых ресурсов в предстоящем временном периоде представлены в каждом из нижеприведённых вариантов.

Вариант №1

	Прод.1	Прод.2	Прод.3	Прод.4	Прод.5	Прод.6	Ресурсы
Сырьё (кг)	2	3	5	6	7	10	204
Труд (чел\ч.)	11	9	7	5	3	2	180
Цена (тыс. руб.)	11,8	11,7	10,5	9,4	9,3	10

Вариант №2