Рабочая программа дисциплины Математика (стр. 2 )

4.2.1.  Перечень лекционных занятий

1 семестр

Раздел 1. Векторная алгебра. Векторные пространства. Эвклидовы пространства – 7 час.

Основные метрические понятия: вектор, длина вектора, угол между векторами. Проекция вектора на ось. Операции над векторами. Векторное и смешенное произведения векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора. Преобразование базиса. Векторное, линейное и евклидово пространства. Скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского. Ортонормированный базис и его свойства. Система координат и ее преобразование.

Раздел 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве - 6 час.

Понятие линий и поверхностей. Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Плоскость в пространстве. Различные виды уравнений плоскости. Угол между плоскостями. Прямая в пространстве. Приведение общего уравнения прямой в пространстве к каноническому виду. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола; их геометрические свойства, уравнения и построение.

Раздел 3. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений – 8 час.

Матрицы. Определители второго, третьего, порядка. Миноры, алгебраические дополнения. Операции над матрицами и их свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Вычисление ранга матрицы. Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения. Критерий совместности. Матричный способ решения. Метод Крамера. Метод Гаусса решения произвольной системы линейных уравнений. Однородные системы. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.

Раздел 4. Линейные операторы, собственные векторы и собственные числа линейных операторов - 4 час.

Понятие функции в линейных пространствах. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Действия над линейными операторами и соответствующими матрицами. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора и их свойства. Сопряженный и самосопряженный линейный оператор.

Раздел 5. Последовательности, предел последовательности, свойства пределов, бесконечно большие и бесконечно малые – 7 час.

Определение последовательности. Действия над числовыми последовательностями. Ограниченные и неограниченные последовательности. Предел последовательности. Вычисление пределов. Бесконечно большие и бесконечно малые, их свойства. Сходящиеся последовательности, их свойства. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности.

Раздел 6. Балансовые модели в экономике, модель Леонтьева – 3 час.

Межотраслевой баланс. Модель Леонтьева. Коэффициенты прямых и полных материальных затрат.

Раздел 7. Предел и непрерывность функции одной переменной - 5 час.

Понятие предела функции, его единственность. Связь между ограниченностью и существованием предела. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах. Предел суммы, произведения и частного. Замечательные пределы. Определение непрерывности функции в точке. Критерий непрерывности. Непрерывность функции на множестве. Непрерывность элементарных функций. Основные теоремы о непрерывных функциях. Использование непрерывности при вычислении пределов. Точки разрыва и их классификация.

Раздел 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной, приложения производной - 9 час.

Определение производной, правила дифференцирования. Основные теоремы дифференциального исчисления. Дифференциал функции. Условия монотонности функции. Экстремум, необходимые и достаточные условия экстремума. Правило Лопиталя. Экономический смысл и приложения производной. Понятие конечной разности, численное дифференцирование. Формула Тейлора, численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений.

Раздел 9. Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции нескольких переменных - 8 час.

Определение и способы задания функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных. Частные производные. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции нескольких переменных. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Производная по направлению и градиент.

2 семестр

Раздел 10. Интегральное исчисление функции одной переменной, определенный интеграл, приложения - 11 час.

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов для основных элементарных функций. Основные методы интегрирования (интегрирование по частям, замена переменных). Интегрирование дробей с квадратичным знаменателем. Интегрирование простейших иррациональностей. Интегрирование тригонометрических функций. Понятие об определенном интеграле от непрерывной функции (формула Ньютона-Лейбница). Основные свойства определенного интеграла. Монотонность определенного интеграла и теорема о среднем. Определенный интеграл как предел интегральных сумм и его геометрические приложения. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и связь с первообразной подынтегральной функции. Интегрирование по частям и замена переменой в определенном интеграле. Несобственные интегралы. Применение определенного интеграла в экономике.

Раздел 11. Числовые и функциональные ряды – 8 час.

Основные понятия. Сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд. Знакоположительные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакопеременные ряды, признак сходимости Лейбница. Понятие о функциональной последовательности, функциональный ряд. Степенные ряды, разложение функции в степенной ряд. Область сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях. Ряды Фурье.

Раздел 12. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши – 6 час.

Основные определения и классификация дифференциальных уравнений. Физические задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Решение дифференциального уравнения первого порядка и его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Методы решения некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений.

Раздел 13. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Задача Коши – 3 час.

Линейные однородные дифференциальные уравнения, общее решение. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения, методы их решения. Задача Коши.

Раздел 14. Алгебра случайных событий. Аксиомы вероятности. Классическая, статистическая и геометрическая вероятности – 6 час.

Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания. Испытания и события, алгебра событий. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Схема испытаний и формула Бернулли.

Раздел 15. Дискретные и непрерывные случайные величины, их числовые характеристики, нормальное распределение и его свойства – 7 час.

Случайная величина. Дискретная случайная величина. Закон распределения, числовые характеристики дискретной случайной величины и их свойства. Биномиальное распределение, распределение Пуассона. Непрерывная случайная величина. Функция распределения и её свойства. Плотность вероятностей. Числовые характеристики: математическое ожидание и дисперсия. Нормальный закон распределения, его параметры.

Раздел 16. Выборки, состоятельные и несмещенные оценки параметров распределений – 4 час.

Элементы математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Эмпирическая функция распределения, полигон и гистограмма частот. Выборочные характеристики: средняя арифметическая, медиана, мода, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации. Статистические оценки параметров распределения. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Оценка генеральной дисперсии по выборочной дисперсии. Статистическая проверка гипотезы о распределении.

Раздел 17. Многомерные случайные величины, корреляция, регрессионные уравнения. Оценки параметров – 4 час.

Многомерный статистический анализ. Многомерные методы оценивания и статистического сравнения. Понятие о корреляции. Множественный корреляционно-регрессионный анализ. Коэффициенты корреляции. Линии регрессии. Уравнение линейной регрессии. Канонические корреляции. Множественный ковариационный анализ. Применение многомерных статистических методов в социально-экономических исследованиях.

3 семестр

Раздел 18. Линейное программирование. Геометрический и симплекс метод решения задач линейного программирования. Двойственные задачи – 6 час.

Общая задача линейного программирования. Графическое решение задач линейного программирования. Каноническая и неканоническая модели задачи линейного программирования. Симплекс-метод. Вырожденность в задачах  линейного программирования. Понятие двойственности. Виды двойственных задач. Лемма двойственности. Достаточный признак оптимальности в двойственных задач. Первая основная теорема двойственности. Вторая основная теорема двойственности. Решение двойственной задачи по теоремам двойственности. Теорема об оценках. Экономическая интерпретация двойственных задач. Свойства оценок.

Раздел 19. Динамическое программирование – 2 час.

Вариационное исчисление. Задача динамического программирования. Функция цены. Принцип оптимальности. Уравнение Беллмана. Достаточные условия оптимальности. Минимизация квадратичных функционалов.

Раздел 20. Методы оптимального управления – 3 час.

Основная задача оптимального управления. Принцип максимума (принцип минимума). Каноническая форма записи. Принцип максимума для систем, содержащих управляющие параметры. Задачи с подвижным правым концом. Условия трансверсальности. Проблема идентификации. Критерий идентифицируемости.

Раздел 21. Теория игр, кооперативные игры, смешанные стратегии – 2 час.

Основные определения. Понятие платежной матрицы. Верхняя и нижняя цены игры. Игры с седловой точкой. Игры в смешанных стратегиях. Сведение игровых задач к задаче линейного программирования.

Раздел 22. Теория графов. Эйлеровы и гамильтоновы графы. Сетевые графики. Сети Петри – 3 час.

Основные понятия теории графов. Деревья. Планарные графы. Реализация некоторых “управляющих” систем функций алгебры логики в классе СФЭ. Метод Шеннона для синтеза СФЭ. Верхняя и нижняя оценки функции Шеннона. Автоматные функции. Их реализация схемами из функциональных элементов и элементов задержки.

Раздел 23. Теория массового обслуживания. Процессы Пуассона. Марковские процессы – 3 час.

Показательное распределение и его свойства. Простейший поток и его свойства. Марковские СМО. СМО с отказами и неограниченной очередью, их основные характеристики.

Раздел 24. Производственные функции – 2 час.

Понятие производственной функции. Свойства производственных функций. Изоклины и изокосты.

Раздел 25. Модели поведения потребителей. Функции полезности – 2 час.

Определение и основные свойства функции полезности. Теорема о максимуме функции полезности на ограниченном множестве. Методы оптимизации. Метод множителей Лагранжа.

Раздел 26. Модель фирмы. Модели конкуренции на товарных рынках – 4 час.

Математическая модель производства. Модели оптимизации производственной деятельности. Модели конкуренции на монотоварных рынках. Равновесие по Курно и Стакельбергу.

Раздел 27. Модель экономического равновесия. Модель Эрроу-Гурвица – 4 час.

Односторонняя модель Эрроу-Гурвица. Исходные данные для модели. Оптимизация производственной деятельности и функции полезности в модели. Равновесие в модели Эрроу-Гурвица.

Раздел 28. Уравнения Слуцкого – 3 час.

Исследование зависимости спроса от дохода. Исследование зависимости спроса от цен. Изменение спроса при изменении цены с компенсацией. Вывод уравнений Слуцкого.

Раздел 29. Динамические модели макроэкономики. Модель Солоу – 4 час.

Вывод уравнений модели. Стационарное решение. Устойчивость стационарного решения. “Золотое” правило накопления. Модель оптимального экономического роста. Учет запаздывания при переходе инвестиций в фонды в модели Солоу.

4.2.2.  Перечень практических занятий

1 семестр

1 семестр (54 час)

1.  Вектор, длина вектора, угол между векторами. Операции над векторами. Векторное и смешенное произведения векторов	2 ч
2.  Линейная зависимость и независимость векторов. Базис линейного пространства. Преобразование базиса	2 ч
3.  Скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского. Ортонормированный базис	2 ч
4.  Векторные пространства и их линейные преобразования	2 ч
5.  Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости	2 ч
6.  Плоскость в пространстве. Различные виды уравнений плоскости. Угол между плоскостями. Прямая в пространстве	2 ч
7.  Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола	2 ч
8.  Матрицы и операции над ними. Жорданова и диагональная формы матриц	2 ч
8. Определители. Миноры, алгебраические дополнения	2 ч
9. Системы линейных уравнений. Ранг матрицы	2 ч
10. Линейные операторы, собственные векторы и собственные числа линейных операторов	2 ч
11. Самосопряженные операторы. Норма линейного оператора	2 ч
12. Межотраслевая балансовая модель Леонтьева	2 ч
Контрольная работа № 1	2 ч
13. Предел функции. Предел суммы, произведения и частного. Замечательные пределы	3 ч
14. Предел дробно-рациональной функции. Использование непрерывности при вычислении пределов. Точки разрыва и их классификация	2 ч
15. Основные правила и формулы дифференцирования функции	2 ч
16. Производная сложной функции	3 ч
17. Производная степенно-показательной функции	2 ч
18. Производные высших порядков, дифференциал	2 ч
Контрольная работа № 2	2 ч
19. Исследование функции на экстремум	2 ч
20. Правило Лопиталя. Асимптоты к графику функции	2 ч
21. Полная схема исследования функции с помощью производной	2 ч
22. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент. Производная по направлению	2 ч
Контрольная работа № 3	2 ч
Итого:	54 час

2 семестр

2 семестр (54 час)

1.   Первообразная функции и неопределенный интеграл. Основные правила интегрирования функций	2 ч
2.   Интегрирование методом замены переменных	2 ч
3.   Интегрирование по частям	1 ч
4.   Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен	2 ч
5.   Интегрирование рациональных и иррациональных функций	2 ч
6. Интегрирование тригонометрических выражений	1 ч
Контрольная работа № 4	2 ч
7. Вычисление определенного интеграла (формула Ньютона-Лейбница). Применение определенного интеграла в экономике	2 ч
8. Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур	1 ч
9. Вычисление длин дуг плоских кривых, объемов тел вращения	2 ч
10. Вычисление двойного интеграла. Приложения двойного интеграла	1 ч
11. Вычисление тройного интеграла. Криволинейный интеграл и его вычисление	2 ч
12. Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости знакопостоянных и знакопеременных рядов	2 ч
13. Функциональные ряды. Степенные ряды, разложение функции в степенной ряд. Область сходимости. Ряды Фурье. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов	2 ч
Контрольная работа № 5	2 ч
14. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными	2 ч
15. Линейные дифференциальные уравнения. Уравнение Бернулли	2 ч
16. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Задача Коши	2 ч
17. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка	2 ч
18. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальными правыми частями	2 ч
Контрольная работа № 6	2 ч
19. Элементы комбинаторики	2 ч
20. Алгебра событий. Теорема умножения и сложения вероятностей событий	2 ч
21. Формула полной вероятности. Формулы Байеса	2 ч
22. Повторные испытания. Формула Бернулли	2 ч
23. Дискретные случайные величины. Закон распределения, числовые характеристики дискретной случайной величины и их свойства.	2 ч
24. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Плотность вероятностей. Числовые характеристики: математическое ожидание и дисперсия.	2 ч
25. Интервальные оценки параметров распределения. Статистическая проверка гипотезы о распределении	2 ч
Контрольная работа № 7	2 ч
Итого:	54 час

3 семестр

3 семестр (54 час)

1.  Общая постановка задачи линейного программирования. Графическое решение задач линейного программирования	2 ч
2.  Каноническая и неканоническая модели задачи линейного программирования. Алгоритм перебора базисных решений систем линейных уравнений	2 ч
3. Симплекс-метод решения задача линейного программирования	2 ч
4. Двойственные задачи линейного программирования. Решение двойственной задачи по теоремам двойственности. Экономическая интерпретация двойственных задач	2 ч
5. Транспортная задача. Метод минимального элемента	2 ч
6. Открытая транспортная задача	1 ч
3.  Контрольная работа № 8	2 ч
7. Вариационное исчисление. Задача динамического программирования	2 ч
8. Функция цены. Принцип оптимальности. Уравнение Беллмана	2 ч
9. Минимизация квадратичных функционалов	2 ч
10. Основная задача оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина	2 ч
11. Принцип максимума для систем, содержащих управляющие параметры. Задачи с подвижным правым концом	2 ч
12. Условия трансверсальности. Критерий идентифицируемости	2 ч
13. Принятие решений в условиях неопределенности	2 ч
14. Платежная матрица. Верхняя и нижняя цены игры. Игры с седловой точкой	2 ч
15. Игры в смешанных стратегиях. Сведение игровых задач к задаче линейного программирования	2 ч
16. Эйлеровы и гамильтоновы графы. Сетевые графики. Метод Шеннона	2 ч
17. Сети Петри	2 ч
Контрольная работа № 9	2 ч
18. Простейший поток и его свойства. Марковские СМО	2 ч
19. СМО с отказами и неограниченной очередью, их основные характеристики	2 ч
20. Производственной функция. Изоклины и изокосты	1 ч
21. Функции полезности. Методы оптимизации. Метод множителей Лагранжа.	2 ч
22. Равновесие по Курно и Стакельбергу	2 ч
23. Односторонняя модель Эрроу-Гурвица. Равновесие в модели Эрроу-Гурвица	2 ч
24. Уравнение Слуцкого	2 ч
25. Модель Солоу	2 ч
Контрольная работа № 10	2 ч
Итого:	54 час

5.  Лабораторный практикум