Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Уральский государственный педагогический университет»
Факультет математический
Кафедра геометрии
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине
«Дополнительные главы алгебры и геометрии»
для направления «010400 – Прикладная математика и информатика»
по циклу Б.3 – Профессиональный цикл
вариативная часть
Очная форма обучения
Курс – 3
Семестр – 5, 6
Объем в часах всего – 144
в т. ч.: лекции – 20
практические занятия – 36
самостоятельная работа – 88
Экзамен – 6 семестр
Екатеринбург 2011
Рабочая учебная программа по дисциплине
«Дополнительные главы алгебры и геометрии»
ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет»
Екатеринбург, 2011. – 34 с.
Составители:
, д. ф.-м. н., профессор, профессор каф. геометрии УрГПУ
, к. ф.-м. н., доцент, доцент каф. геометрии УрГПУ
Рабочая учебная программа обсуждена на заседании кафедры геометрии УрГПУ
Протокол № 8 от 7 апреля 2011 г.
Зав. кафедрой
1. Пояснительная записка
Данная программа предназначена для работы со студентами, обучающимися по направлению «010400 – Прикладная математика и информатика».
Основная цель курса состоит в формировании дуальной, алгебро-геометрической культуры.
Студент должен усвоить основные идеи программы, понять значение основных результатов, овладеть техникой всех рассуждений и доказательств и уметь убедительно их воспроизводить. Еще важнее овладение студентом методами и частными приемами решения конкретных задач, что и является основой успешного прохождения курсовых и выпускных экзаменов. Исходя из этого, изложение курса «Геометрия» строится на уровне строгости, адекватном принятому в настоящее время в большинстве мировых образовательных учреждений университетского статуса. Подходы, точки зрения, математический язык и степень общности приближены к современному состоянию математической науки.
По курсу предусматривается контроль знаний, включающий индивидуальные контрольные работы, коллоквиум, экзамен 6 семестре.
2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
2.1. Учебно-тематический план очной формы обучения
1 семестр
№ п/п | Наименование раздела, темы | Всего трудоемкость | Аудиторные занятия | Самостоятельная работа | ||
Всего | Лекции | Практические | ||||
1. | Векторная алгебра | 30 | 16 | 6 | 10 | 14 |
2. | Аналитическая планиметрия и стереометрия | 60 | 20 | 6 | 14 | 40 |
3 | Геометрические преобразования | 30 | 12 | 6 | 6 | 18 |
4 | Изображение фигур на плоскости | 24 | 8 | 2 | 6 | 16 |
| Итого | 144 | 56 | 20 | 36 | 88 |
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
1. Векторная алгебра
Векторы и линейные действия с ними. Базисы и координаты. Скалярное умножение векторовВекторное умножение векторов. Смешанное произведение трех векторов,
2. Аналитическая планиметрия и стереометрия
Координатный метод. Об аналитическом задании фигур на плоскости. Прямая линия на плоскости. Квадрики на плоскости (кривые 2-го порядка).
Квадрики и прямые. О задании фигур в пространстве. Плоскость в пространстве. Прямая линия в пространстве. Квадрики в 3-мерном пространстве (поверхности второго порядка). Квадрики и прямые в пространстве.
5. Геометрические преобразования
Группы преобразований. Аффинные преобразования. Движения. Подобия.
8. Изображение фигур на плоскости
Понятие изображения. Изображение плоских фигур. Изображение пространственных фигур.
4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
1. Темы, вынесенные на самостоятельное изучение
1. Многогранники.
2. 3. Вопросы для экзамена
1. Направленные отрезки (связанные векторы). Сонаправленность и антинаправленность, противоположность отрезков. Длина отрезка. Направленные отрезки нулевой длины.
2. Свободные векторы. Длины векторов, орты, нуль-вектор. Сонаправленность, антинаправленность, противоположность, коллинеарность, компланарность векторов. “Аксиомы” Г. Вейля, связывающие векторы и точки. Критерии равенства векторов.
3. Сложение векторов. “Правило треугольника”, его корректность. 4 закона сложения, их доказательства. Следствие о вычитании.
4. Умножение вектора на число, его 4 закона, их доказательства. Понятия линейной комбинации и линейной выражаемости векторов.
Базис на прямой. Теорема о разложении вектора по базису, критерии коллинеарности векторов.
5. Базис на плоскости, теорема о разложении по нему, критерии компланарности.
6. Базис в 3-пространстве, теорема о разложении вектора по базису и ее следствие.
7. Координаты вектора в данном базисе, их свойства, критерий коллинеарности.
8. Угол между (ненулевыми) векторами. Перпендикулярность векторов, поведение нуль-вектора. Ортонормированный базис (ОНБ). Проекция вектора на вектор, ее связь с углом между векторами, с координатами в ОНБ и линейные свойства.
9. Скалярное произведение векторов, его связь с длиной, перпендикулярностью, коллинеарностью и проекциями, с вектором высоты треугольника.
10. Законы скалярного умножения, их доказательства. Следствие о “сокращении”, о диагоналях параллелограмма. Неравенства для длин суммы и разности векторов.
11. Формулы скалярного произведения в координатах. Приложения к вычислению длин векторов, углов между ними, проекций, работы силы на прямолинейном пути. Критерий перпендикулярности, нахождение вектора, перпендикулярного данному вектору на плоскости.
12. Правые и левые тройки и пары векторов. Векторное произведение векторов, его связь с коллинеарностью и площадью параллелограмма. Тождество Лагранжа.
13. 6 законов векторного умножения. Доказательства антипереместительного закона и закона вынесения скаляра. Ложность сочетательного закона (ассоциативности).
14. Смешанное произведение трех векторов, теорема о геометрическом смысле его знака и модуля (связь с объемами). Доказательство распределительных законов векторного умножения и законов смешанного умножения.
15. Векторное и смешанное произведения в координатах. Приложения к вычислению площадей параллелограммов и треугольников, объемов параллелепипедов и тетраэдров, высот упомянутых фигур, проверке коллинеарности и компланарности векторов, ориентации тройки векторов.
16. «Двойное» векторное произведение, доказательство тождества «бац минус цаб» и тождества Якоби.
17. Направленные углы на ориентированной плоскости, нахождение их косинусов и синусов.
18. Аффинный репер и аффинная система координат в пространстве. Радиус-вектор и координаты точек. Ортонормированный репер и прямоугольная система координат (ПСК). Задачи о координатах вектора, о расстоянии между точками.
19. “Деление отрезка в данном отношении” (простое отношение трех точек), середина отрезка и центр масс треугольника.
20. Задача о замене репера. Матрица перехода к новому базису, ее невырожденность. Вывод формул преобразования координат при замене репера. Важные частные случаи: замена базиса, перенос начала, поворот осей на плоскости.
21. Координатное (“неявное”) задание фигур на плоскости. График уравнения (неравенства, системы). Две основные задачи аналитической геометрии. Окружность, круг. Векторное (параметрическое) задание линий, примеры.
22. Полярная система координат на плоскости, ее связь с сопряженной ПСК. Задание фигур в полярной системе, примеры. Прямая в полярной системе координат.
23. Векторное, параметрические и каноническое уравнения прямой на плоскости. Проведение прямой через две точки.
24. Теорема об общем уравнении прямой, ее следствия о направляющем векторе, о “неполных” уравнениях, об уравнениях “в отрезках” и “с угловым коэффициентом”.
25. Задание полуплоскости с помощью линейного неравенства.
26. Взаимное расположение двух прямых. Теорема о пучке прямых.
27. Прямая в прямоугольной системе координат и метрические задачи. Нормальный вектор прямой. Геометрический смысл свободного члена в уравнении прямой и нормированное уравнение. Расстояние от точки до прямой.
28. Угловой коэффициент, его геометрический смысл. Угол между прямыми, направленный угол от прямой до прямой, биссектрисы углов, условие перпендикулярности, проведение перпендикуляров к прямым. Нахождение точки, симметричной данной точке относительно данной прямой.
29. Эллипс, его фокальное определение, вывод канонического уравнения, изучение формы, эксцентриситет, директориальное свойство, параметрические уравнения.
30. Гипербола, ее фокальное определение, вывод канонического уравнения. Изучение формы, асимптоты, эксцентриситет, директориальное свойство, связь со “школьной” гиперболой.
31. Парабола, вывод канонического уравнения. Изучение формы, эксцентриситет, фокальная хорда, связь со “школьной” параболой.
32. Понятие квадрики (кривой 2-го порядка), его независимость от выбора репера. Теорема о классификации квадрик, идея ее доказательства.
33. Действие переноса начала на уравнение 2-го порядка. Инварианты переноса начала. Центры квадрик, их геометрический смысл.
34. Действие поворота осей на уравнение 2-го порядка. Инварианты поворота осей. Существование угла поворота, изгоняющего произведение координат из уравнения 2-го порядка; тангенс, синус и косинус этого угла. Характеристическое уравнение для квадрики.
35. Классификация квадрик. Случай двух квадратов, метод их выделения. Эллиптические и гиперболические квадрики.
36. Классификация квадрик. Случай одного квадрата - параболические квадрики. Главные направления и оси.
37. Кривые с директориальным свойством, вывод их полярного уравнения. Переход к ПСК и идентификация с коническими сечениями.
38. Общие точки квадрики и прямой. Пересечение квадрики с прямой неасимптотического направления, “середины хорд”. Пересечение квадрики с прямой асимптотического направления. Асимптоты. Поиск асимптотических направлений.
39. Понятие касательной прямой к квадрике, вывод ее уравнения, если точка касания - не центр квадрики.
40. Диаметры квадрик, вывод их уравнения, сопряженные диаметры, связь с центрами.
1. Неявное и векторное задания сферы.
2. Неявное и векторное задания цилиндрической поверхности.
3. Векторное задание конической поверхности. Конус второго порядка.
4. Задание линий. Винтовая линия.
5. Векторное и каноническое уравнения плоскости. Уравнение плоскости (МоМ1 М2).
6. Теорема об общем уравнении плоскости. Критерий возможности изобразить вектор в плоскости.
7. “Неполные” уравнения плоскости, уравнения “в отрезках”, примеры построения плоскостей по общим уравнениям.
8. Задание полупространств.
9. Взаимное расположение 2 плоскостей.
10. Теорема о пучке плоскостей.
11. Плоскость в прямоугольной системе координат (ПСК): нормальный вектор, геометрический смысл свободного члена, уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору, нормированное уравнение плоскости.
12. Расстояние от точки до плоскости и между плоскостями. Биссекторные плоскости.
13. Угол между плоскостями. Проведение плоскости, перпендикулярной к данной.
14. Векторное и канонические уравнения прямой.
15. Общие уравнения прямой и переход от них к каноническим.
16. Взаимное расположение прямой и плоскости.
17. Взаимное расположение двух прямых.
18. Угол между прямыми, условие перпендикулярности, уравнения биссектрис.
19. Угол между прямой и плоскостью, условие их перпендикулярности.
20. Проведение перпендикуляра к плоскости, к прямой.
21. Существование общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.
22. Расстояние от точки до прямой, угол между двумя прямыми.
23. Цилиндры 2 порядка.
24. Эллипсоид, его исследование методом сечений. Прямолинейные образующие.
25. Однополый гиперболоид.
26. Двуполый гиперболоид. Прямолинейные образующие.
27. Конус 2 порядка. Сечения конуса.
28. Эллиптический параболоид. Прямолинейные образующие.
29. Гиперболический параболоид.
30. Прямые на однополом гиперболоиде, их свойства.
31. Прямые на гиперболическом параболоиде.
32. Понятие квадрики в R3, преобразование ее уравнения при замене репера.
33. Центры квадрик. Действие переноса начала координат на уравнение квадрики.
34. Классификация квадрик. Случай 3 квадратов.
35. Классификация квадрик. Случай 2 квадратов.
36. Классификация квадрик. Случай 1 квадрата.
37. Связь приведения квадратичной формы к главным осям с собственными векторами ее матрицы.
38. Характеристические корни и собственные векторы симметрической матрицы.
39. Приведение квадрик к главным осям. Основная теорема о классификации квадрик.
40. Общие точки квадрики и прямой.
41. Асимптотические направления, касательные и диаметральные плоскости квадрик.
42. Аффинные пространства. Следствия из аксиом Г. Вейля.
43. Аффинные реперы и их замены.
44. Прямые в аффинном пространстве, отношение “между”, отрезки, лучи и углы.
45. Плоскости в аффинном пространстве. Векторное уравнение плоскости. Гиперплоскости.
46. Общее уравнение плоскости в аффинном пространстве (в матричной форме) и “геометрический смысл системы линейных уравнений”. Плоскость как пересечение гиперплоскостей.
47. Пересечение плоскостей в аффинном пространстве.
48. Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве (случай неинцидентных направлений).
49. Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве (случай инцидентных направлений).
50. Наименьшая плоскость, содержащая две данные плоскости.
51. Евклидовы пространства, неравенство Коши-Буняковского, введение понятий ортогональности векторов, длины вектора, угла между векторами, ОНБ, расстояния между точками. Свойства расстояний.
52. Теорема о перпендикуляре. Вывод его уравнения в случае векторного или общего задания исходной плоскости. Нахождение расстояния от точки до плоскости.
1. Центральная проекция прямой на прямую, плоскости на плоскость. Их свойства и недостатки. Перспективы эллипса. Основные задачи проективной геометрии.
2. Расширенные аффинные пространства как основные модели проективной геометрии. Проверка законов инцидентности в них.
3. Однородные координаты. Арифметические модели проективной планиметрии, их изоморфность расширенным аффинным плоскостям. Перспективы в них. Уравнение прямой (каноническое, общее, параметрические).
4. Аксиомы инцидентности. Абстрактные проективные пространства. Их модели и проверка законов инцидентности в моделях.
1. Большой принцип двойственности. Доказать, что в абстрактном проективном пространстве прямая содержит не менее 3 точек, и что если точка
5. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ
СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Студент, изучивший дисциплину, должен знать:
основные определения, теоремы и формулы приведенных в программе разделов, понимать тесную взаимосвязь различных курсов математического профиля как на школьном, так вузовском уровнях.
Студент, изучивший дисциплину, должен уметь:
доказывать составляющие теоретическую часть курса предложения, выводить формулы для разных геометрических величин, а также аналитические задания геометрических фигур с целью использования их при решении разнообразных задач.
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
6.1. Рекомендуемая литература
Основная
1. Аргунов, геометрия [Текст] : учеб. пособие / , . – М.: Просвещение, 1966. – 366 с.
2. Атанасян, задач по геометрии. Ч. 1 [Текст] /, . – М.: Просвещение, 1973. – 256 с.
3. Атанасян, задач по геометрии. Ч. 2 [Текст] /, . – М.: Просвещение, 1975. – 287 с.
4. Атанасян, . Ч. 1 [Текст] : учеб. пособие / , . – М.: Просвещение, 1986. – 336 с.
5. Атанасян, . Ч. 2 [Текст] : учеб. пособие / , . – М.: Просвещение, 1987. – 352 с.
6. Базылев, . Ч 1 [Текст] : учеб. пособие / , , . – Б. м.:Б. и., 2004. – 351 с.
7. Базылев, . Ч 2 [Текст] : учеб. пособие / , . – М.: Просвещение, 1975. – 367 с.
8. Ефимов, геометрия [Текст]: учеб. пособие / . – М.: Физматлит, 2003. – 584 с.
9. Жафяров, . Ч. 1 [Текст]: учеб. пособие / . – Новосибирск: Сибирское университет. изд-во, 2002. – 271 с.
10. Жафяров, . Ч. 2 [Текст]: учеб. пособие / . – Новосибирск: Сибирское университет. изд-во. – Новосибирск, 2003. – 267 с.
11. Погорелов, геометрии [Текст]: учеб. пособие / . – Подольск: Просвещение, 2005. – 150 с.
Дополнительная
1. Аналитическая стереометрия [Текст]: сост. , , . – Свердловск: СгПИ, 1991. – 36 с.
2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в системе таблиц [Текст]: сост. . – Екатеринбург: УрГПУ, 1999. – 34 с.
3. Геометрические величины [Текст]: сост. . – Екатеринбург: УрГПУ, 2005. – 22 с.
4. Геометрические преобразования [Текст]: сост. , , . – Екатеринбург: УрГПУ, 1996. – 32 с.
5. Дидактические материалы по векторной алгебре [Текст]: составители , , . – Екатеринбург: УрГПУ, 1995. – 47 с.
6. Изображение фигур в параллельной проекции [Текст]: сост. , . – Екатеринбург: УрГПУ, 1995. – 42 с.
7. Индивидуальные задания по аналитической планиметрии [Текст]: сост. . – Екатеринбург: УрГПУ,. 1995. – 48 с.
8. Индивидуальные задания по конструктивной геометрии [Текст]: сост. . – Екатеринбург: УрГПУ, 1999. – 34 с.
9. Индивидуальные задания по теме «Методы изображений» [Текст]: сост. . – Екатеринбург: УрГПУ, 1995. – 36 с.
10. Комплект индивидуальных заданий по курсу дифференциальной геометрии [Текст]: сост. , . – Екатеринбург: УрГПУ, 1994. – 28 с.
11. Конструктивная геометрия в вопросах и ответах [Текст]: сост. . – Екатеринбург: УрГПУ, 2000. – 24 с.
12. Линии и поверхности в евклидовом пространстве [Текст]: сост. . – Екатеринбург: УрГПУ, 1997. – 60 с.
13. Основные математические структуры курса геометрии [Текст]: сост. . – Екатеринбург: УрГПУ, 1995. – 26 с.
14. Основные методы и приемы решения задач конструктивной геометрии [Текст]: пособие для студ. педвузов и учителей; сост. . – Екатеринбург: УрГПУ, 2001. – 92 с.
15. Планиметрия Лобачевского [Текст]: сост. . – Екатеринбург: УрГПУ, 2001. – 50 с.
16. Построения циркулем и линейкой [Текст]: сост. , . – Екатеринбург: УрГПУ, 1992. – 31 с.
17. Проективные факты в решении элементарно-геометрических задач [Текст]: сост. . – Екатеринбург: УрГПУ, 2000. – 42 с.
7. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ И ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
1. Наборы карточек с изображениями поверхностей второго порядка.
2. Модели конической, цилиндрической поверхности, однополостного гиперболоида, гиперболического параболоида, модели правильных и полуправильных многогранников.
8. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ПРОГРАММЫ
доктор физико-математических наук
профессор
профессор кафедры геометрии УрГПУ
кандидат физико-математических наук
доцент
доцент кафедры геометрии УрГПУ
Раб. телефон (8-3
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине «Дополнительные главы алгебры и геометрии»
для направления «010400 – Прикладная математика и информатика»
по циклу Б.3 – Профессиональный цикл
вариативная часть
Подписано в печать Формат 60х84/16
Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 2
Тираж экз. Заказ
Уральский государственный педагогический университет.
620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26
