Математический анализ (стр. 3 )

не предусмотрены

5.4. Самостоятельная работа студентов

Номер раздела	Наименование и содержание разделов, вынесенных на самостоятельную работу	Вид работы	Объем работы в часах для одного студента	Список литературы (с указанием разделов, глав, страниц)	Форма контроля
1	Основные элементарные функции	Заполнить таблицу: свойства и графики основных элементарных функций	4	Гл. 2 §2 п.22 (c. 49-52) [2]	Проверка таблицы
1	Комплексные числа	Домашнее задание	8	Гл. VII § 7.1-7.6 (с. 94-100) [1]	Проверка домашнего задания, экзамен
1	Предел числовой последовательности	Типовой расчет	4	Гл. XVI § 16.1-16.4 (с. 208-217) [1]; Гл. 3 §1 п.27-28 (c. 59-62) [2]	Защита типового расчета, экзамен
2	Предел и непрерывность функции одной переменной	Типовой расчет, подготовка к контрольной работе	7	Гл. XVII §17.1-17.8 (с. 219-238) [1]; Гл. 3 [2]; п. 5.1-5.5 (с. 149-173) [7]	Защита типового расчета, контрольная работа, экзамен
2	Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентность бесконечно малых функций	Изучение темы, не выносимой на практические занятия	5	Гл. XVII §17.1-17.8 (с. 219-238) [1]; Гл. 3 [2]; п. 5.1-5.5 (с. 149-173) [7]	Проверка конспекта
3, 4	Геометрический и физический смысл производной. Применение производной к исследованию функции и построению графиков. Задачи на наименьшие и наибольшие значения.	Типовой расчет, подготовка к контрольной работе	37	Гл. XIX §19.1-19.5 (с. 265-273) [1]; Гл. 7 [2]; п. 6.1, 6.6, 6.7, 6.8 (с. 176-180, 190-200) [7]; [9]	Защита типового расчета, контрольная работа, экзамен
3, 4	Кривизна плоской кривой.	Изучение темы, не выносимой на лекции	7	Гл. 13 (с. 405-410) [2]; п. 6.9 (c. 200-203),6.10 (с.204) [7].	Проверка конспекта
5	Интегральное исчисление функции одной переменной	Типовой расчет	29	Гл. XX §20.1-20.5 (с. 274-290), Гл. XXI §21.1-21.6 (с. 292-316) [1]; Гл. 10, 11, 12 [2]	Защита типового расчета, контрольная работа, экзамен
	Многочлены, корни многочлена. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение рациональной дроби на простейшие.	Изучение темы, не выносимой на практические занятия	7	Гл. VIII (с.101–109), п. 20.3.4 (с. 384–385) [1]; § 5.4, 5.5, 5.6 (c. 209–217) [6].	Проверка конспекта
6	Предел и непрерывность функции двух переменных. Формула Тейлора для функции двух переменных.	Изучение темы, не выносимой на практические занятия	6	§22.2 (с. 321–324) [1]; §8.10 (с. 326–328) [5]; гл. 8 §1, 2 (с. 228–230, 234-236) [2].	Проверка конспекта
6	Функция многих переменных	Типовой расчет	10	Гл. XXII §22.1-22.7 (с. 319-343) [1];	Защита типового расчета, экзамен
7	Сходимость числовых и функциональных рядов. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.	Типовой расчет, подготовка к контрольной работе	34	Гл. XXIV §24.1-24.7 (с. 379-413) [1]; гл. 15 (с.11-67) [3].	Защита типового расчета, контрольная работа, экзамен
8	Дифференциальные уравнения	Типовой расчет, подготовка к контрольной работе	28	Гл. XXIX, XXX (с. 782-518) [1]	Защита типового расчета, контрольная работа, экзамен
8	Теория устойчивости.	Изучение темы, не выносимой на лекции	12	§30.8 (с. 532–537) [1]; §1.25, 1.26 (с. 118–135) [6].	Проверка конспекта
9	Элементы операционного исчисления	Подготовка к контрольной работе	16	[6].	Контрольная работа, экзамен

5.5. Контроль самостоятельной работы студентов

Формы управления самостоятельной работой студента и формы контроля СРС	Кол-во часов
Проверка конспектов	4
Консультация перед экзаменом	6
Консультации с преподавателем по темам лекционных и практических занятий	5
Консультации по выполнению типовых расчетов, составлению конспектов	8

6. Образовательные технологии, используемые в учебном процессе данной дисциплины (рекомендации преподавателю)

6.1. Интерактивные формы обучения

Интерактивные формы обучения, применяемые при проведении практических занятий, лабораторных работ и семинаров	Краткое описание и примеры использования в темах и разделах, место проведения
Проблемные лекции	1. «Формула Тейлора функции одной переменной». 2. «Производная по направлению». 3. «Экстремум функции нескольких переменных».
Технология проблемного обучения	1. «Правило Лопиталя». 2. «Замена переменных. Интегрирование по частям». 3. «Интегрирование различных типов иррациональных и тригонометрических функций».
Работа в группах	1. «Предел функции. Вычисление пределов». 2. «Вычисление производных сложных функций». 3.«Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной». 4. «Вычисление частных производных функции нескольких переменных».

Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, должен составлять не менее 20 процентов от всего объема аудиторных занятий.

6.2. Инновационные способы и методы, используемые в образовательном процессе

№	Наименование	Краткое описание и примеры использования в темах и разделах
1.	Использование информационных ресурсов и баз данных	Использование информационных ресурсов Интернет, методических материалов сайта кафедры http://mivt. *****
2.	Применение электронных мультимедийных учебников и учебных пособий
3.	Ориентация содержания на лучшие отечественные аналоги образовательных программ
4.	Применение предпринимательских идей в содержании курса
5.	Использование проблемно - ориентированного междисциплинарного подхода к изучению наук	Применение математического анализа в теории вероятностей, вычислительной математике, физике и др. науках
6.	Применение активных методов обучения, «контекстного» и «на основе опыта»
7.	Использование методов, основанных на изучении практики (case studies)
8.	Использование проектно-организованных технологий обучения работе в команде над комплексным решением практических задач	Работа в группах на практических занятиях
9.	Другие

7. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля

1 семестр 1.  Функция, область определения и множество значений. 2.  Четность, нечетность, периодичность. 3.  Элементарные функции и их свойства. 4.  Построение графиков функций путем элементарных преобразований. 5.  Понятие сложной, обратной функции. 6.  Комплексные числа, действия с ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. 7.  Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексные числа. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа 8.  Определение предела последовательности, его геометрический смысл. 9.  Вычисление пределов на основании определения предела и применением основных теорем о пределах. 10.  Виды неопределённостей и правило их раскрытия. 11.  Пределы тригонометрических выражений, применение первого замечательного предела. 12.  Второй замечательный предел, его применение к вычислению пределов. 13.  Способы вычисления пределов. 14.  Определение непрерывности функции в точке. 15.  Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке. 16.  Точки разрыва и их классификация. 17.  Определение производной. 18.  Правила дифференцирования. 19.  Таблица производных. 20.  Правило дифференцирования сложной функции. 21.  Геометрический и физический смысл производной. 22.  Дифференцирование функций, заданных неявно. 23.  Дифференцирование функций, заданных параметрическими уравнениями. 24.  Логарифмическое дифференцирование. 25.  Определение дифференциала функции. 26.  Геометрический смысл дифференциала функции. 27.  Свойство инвариантности формы дифференциала первого порядка. 28.  Применение дифференциала в приближенных вычислениях. 29.  Производные высших порядков, их вычисление. 30.  Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. 31.  Другие виды неопределенных выражений. 32.  Методы исследования функции с помощью производной. 33.  Асимптоты графика функции. 34.  Схема полного исследования функции и построение графика. 35.  Формула Тейлора. 36.  Разложение элементарных функций по формуле Тейлора. 37.  Применение формулы Тейлора в приближенных вычислениях. 38.  Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке (три случая). 39.  Прикладные задачи на наименьшее и наибольшее значения. 2 семестр 40.  Определение первообразной. 41.  Определение неопределенного интеграла. Таблица интегралов. 42.  Простейшие приемы интегрирования. Метод подведения под знак дифференциала. 43.  Вычисление неопределенных интегралов методом подстановки. 44.  Интегрирование методом по частям. 45.  Интегрирование простейших дробей. 46.  Интегрирование рациональной дроби разложением на простейшие дроби. 47.  Интегрирование тригонометрических функций. 48.  Интегрирование некоторых видов иррациональностей. 49.  Формуле Ньютона-Лейбница. 50.  Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. 51.  Правило вычисления несобственных интегралов. 52.  Применение определенных интегралов к вычислению: площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах; объемов тел вращения; длины дуги кривой. 53.  Определение функции двух переменных, её области определения. 54.  Вычисление частных производных и полных дифференциалов первого порядка функций нескольких переменных. 55.  Понятие полного дифференциала функции двух переменных. 56.  Признак полного дифференциала. 57.  Метод отыскания функции по ее полному дифференциалу. 58.  Правило дифференцирования сложных функций нескольких переменных. 59.  Неявные функции и их дифференцирование. 60.  Вычисление частных производных высших порядков. 61.  Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности. 62.  Необходимый признак экстремума функции нескольких переменных. 63.  Достаточный признак экстремума функции двух переменных. 64.  Отыскание наибольших и наименьших значений функции двух переменных в замкнутой области. 65.  Определение и вычисление производной по направлению. 66.  Понятие градиента, его физический смысл. 3 семестр 67.  Понятие числового ряда, сходящегося ряда, суммы ряда. 68.  Необходимый признак сходимости числового ряда. 69.  Исследование сходимости числовых рядов с положительными членами с помощью признаков сравнения. 70.  Признак Даламбера сходимости знакоположительных числовых рядов. 71.  Радикальный и интегральный признаки Коши. 72.  Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. 73.  Контроль: проверочная работа по теме «Сходимость числовых рядов». 74.  Понятие функционального ряда. 75.  Нахождение области сходимости функционального ряда. 76.  Определение равномерной сходимости. Признак равномерной сходимости. 77.  Разложение функции в степенной ряд Маклорена и Тейлора. 78.  Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора. 79.  Применение степенных рядов к приближенному вычислению значений функций, интегралов, логарифмов, решению дифференциальных уравнений. 80.  Понятие дифференциального уравнения первого порядка, его общего и частного решений. 81.  Методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными и однородных. 82.  Методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка: линейные уравнения; уравнения Бернулли; уравнения в полных дифференциалах. 83.  Частные случаи решения уравнений высшего порядка, допускающих понижение порядка. 84.  Общий вид линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. 85.  Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения высшего порядка. 86.  Вид общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка в зависимости от корней характеристического уравнения. 87.  Общий вид линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. 88.  Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения высшего порядка. 89.  Метод вариации произвольной постоянной. 90.  Нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения со специальной правой частью методом подбора. 91.  Системы линейных дифференциальных уравнений. Матричная запись системы. 92.  Методы интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений. 93.  Определения оригинала, изображения. 94.  Таблица оригиналов и изображений. 95.  Восстановление оригинала по изображению. 96.  Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

Контрольные вопросы и задания для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины

1 семестр Комплексные числа, действия с ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексные числа. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа Предел числовой последовательности и его геометрический смысл. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Непрерывность функции в точке. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Правила дифференцирования. Таблица производных основных элементарных функций. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Теорема Лагранжа, её геометрический смысл. Признак монотонности функции на интервале. Точки экстремума. Необходимый и достаточные признаки существования экстремума. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Наибольшее и наименьшее значение функции, дифференцируемой на отрезке. Правило Лопиталя. 2 семестр 1.  Первообразная. Основная лемма о первообразной. Неопределенный интеграл, его свойства. 2.  Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. 3.  Интегрирование по частям и подстановкой. 4.  Интегрирование простейших дробей. 5.  Интегрирование рациональных функций методом разложения на простейшие дроби. 6.  Интегрирование некоторых иррациональных выражений. 7.  Интегрирование тригонометрических функций. 8.  Определенный интеграл 9.  Задача, приводящая к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла. 10.  Основные свойства определенного интеграла. 11.  Теорема о среднем. 12.  Производная от интеграла с переменным верхним пределом. 13.  Формула Ньютона-Лейбница. 14.  Вычисление определенного интеграла методом по частям и подстановкой. 15.  Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур. 16.  Приложение интегралов к вычислению длин дуг кривых и объемов тел. 17.  Несобственные интегралы. Признаки сходимости. 18.  Функция нескольких переменных. 19.  Определение функций нескольких переменных. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. 20.  Частное и полное приращение функции нескольких переменных. Частные производные первого порядка в точке для функции нескольких переменных. 21.  Частные производные функции нескольких переменных высших порядков. Смешанные производные. 22.  Полный дифференциал функции нескольких переменных. 23.  Касательная плоскость и нормаль к поверхности. 24.  Производная функции нескольких переменных по направлению вектора. Градиент функции нескольких переменных. 25.  Экстремумы функции нескольких переменных. Достаточное условие существования экстремума функции нескольких переменных. 3 семестр 1.  Обыкновенные дифференциальные уравнения: основные определения. Теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. 2.  Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. 3.  Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. 4.  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения Бернулли. 5.  Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. 6.  Дифференциальные уравнения высшего порядка: основные определения. Теорема Коши для дифференциальных уравнений высшего порядка. 7.  Дифференциальные уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка. 8.  Линейно зависимые и независимые системы функций. Определитель Вронского. 9.  Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка. Фундаментальная система решений. 10.  Линейные однородные дифференциальные уравнения высшего порядка: теорема о структуре общего решения. 11.  Линейные неоднородные дифференциальные уравнения: теорема о структуре общего решения. 12.  Линейные однородные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. 13.  Нахождение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 14.  Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: метод вариаций произвольных постоянных (Лагранжа). 15.  Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью: метод подбора. 16.  Системы дифференциальных уравнений: основные определения. Связь между нормальной системой дифференциальных уравнений первого порядка и дифференциальным уравнением высшего порядка. 17.  Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений. 18.  Понятие ряда, суммы ряда, ряд-эталон. 19.  Свойства сходящихся рядов. 20.  Необходимый признак сходимости ряда (показать, что он не является достаточным). 21.  Достаточные признаки сходимости положительных рядов: а) признак сравнения; б) признак Даламбера; в) признаки Коши. 22.  Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. 23.  Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. 24.  Функциональные ряды, основные определения. 25.  Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса. 26.  Степенные ряды. Теорема Абеля. 27.  Характер сходимости степенного ряда. 28.  Формула Тейлора. 29.  Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора: а) y = ex, б) y = sin x, в) y = cos x, г) y = (1+x)m, д) y = ln(1+x), е) y = arctg x 30.  Оригинал и изображение. Существование изображения (с доказательством). Единственность изображения. 31.  Теорема смещения. 32.  Теорема подобия. 33.  Теорема запаздывания. 34.  Теорема об изображении производной. 35.  Теорема об изображении интеграла.

Вопросы и задания для контроля самостоятельной работы обучающегося по отдельным разделам дисциплины

Образцы некоторых контрольных работ: Тема: Производные функций Вариант I Найти производную от функции : 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . Тема: Интегрирование рациональной дроби Вариант №1 1) Представить дробь в виде суммы простейших дробей, не находя неизвестные коэффициенты 2) Вычислить Тема: Дифференциальные уравнения I порядка Вариант I Решить дифференциальные уравнения: 1. , . 2. . 3. . 4. . 5. . Тема: Уравнения II порядка со специальной правой частью Вариант I Решить уравнение: . Не находя общего решения дифференциального уравнения, написать вид частного решения: а) ; б) .

8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

а) основная литература (не более 3 наименований)

1.  Владимирский, . Общий курс [Электронный ресурс] / , , . – 4-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2008. – 960 с. http://e. /books/element. php? pl1_cid=25&pl1_id=634

2.  Фихтенгольц, математического анализа [Текст]: учеб.: в 2 ч. / Г. М. Фихтенгольц. – 8-е изд., стер. – СПб.: Лань. Ч. 1. – 2006. – 440 с.: ил..

3.  Фихтенгольц, математического анализа [Текст]: учеб.: в 2 ч. / Г. М. Фихтенгольц. – 4-е изд., стер. – СПб.: Лань. Ч. 2. – 2002. – 463 с.: ил.

4.  Берман, задач по курсу математического анализа [Текст]: учеб. пособие / Г. Н. Берман. – 22-е изд., перераб. – СПб.: Профессия, 2008. – 432 с.

б) дополнительная литература:

5.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах: Уч. пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч. 1. – 4-е изд., испр. и доп. – М.: Высшая школа, 1986. – 304 с.

6.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах: Уч. пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч. 2. – 4-е изд., испр. и доп. – М.: Высшая школа, 1986. – 415 с.

7.  Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: Уч. пособие в 3 ч. Ч. 1 /Под ред. . – Минск: Высшая школа, 1990. – 270 с.

8.  Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: Уч. пособие в 3 ч. Ч. 3 /, В. В Бархатов, и др. Под ред. . – Минск: Высшая школа, 1991. – 288 с.

9.  и др. Исследование функций: Учеб. пособие /, , . – Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 2000. – 45 с.

10.  Типовые расчеты в курсе высшей математики: Учебное пособие. /Составитель: ; Под ред. . – Челябинск: ЧГТУ, 1993. – Часть II – 29c.

11.  Тарасова расчеты в курсе высшей математики. Учебное пособие./ Под редакцией .— Челябинск: ЧГТУ. 1995. — Ч. IV — 35с.

в) отечественные и зарубежные журналы по дисциплине, имеющиеся в библиотеке

г) программное обеспечение и Интернет-ресурсы

Образовательный математический сайт – http://*****/

Федеральный портал «Российской образование» – http://*****/subjects/mathematics. html

Математический портал «Вся математика в одном месте» – http://www. *****/

д) методические пособия для самостоятельной работы студента, для преподавателя

12.  Виноградов, расчеты по математике [Текст]: учеб. пособие / , ; под ред. ; Юж.-Урал. гос. ун-т, Златоуст. фил., Каф. Математика и вычисл. техника; ЮУрГУ. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ. Ч. 2. – 2005. – 100 с.

13.  Виноградов, расчеты по математике [Текст]: учеб. пособие / , ; под ред. ; Юж.-Урал. гос. ун-т, Златоуст. фил., Каф. Математика и вычисл. техника; ЮУрГУ. – Челябинск : Изд-во ЮУрГУ. Ч. 3. – 2005. – 64 с.

9. Материально-техническое обеспечение дисциплины

№ ауд.	Основное оборудование, стенды, макеты, компьютерная техника, наглядные пособия и другие дидактические материалы, обеспечивающие проведение лабораторных и практических занятий, научно-исследовательской работы студентов	Основное назначение (опытное, обучающее, контролирующее) и краткая характеристика использования при изучении явлений и процессов, выполнении расчетов
	Учебные аудитории для лекционных и практических занятий.	Обучающее
3-203	Компьютерный класс — 12 рабочих мест. Программы Microsoft Exсel, Mathcad, Power Point	Обучающее, контролирующее, наглядное изложение лекционного материала