Основы математики страхования жизни (стр. 2 )

(3.1.1)

В третьем столбце таблицы приведены значения вероятности умереть в течение года для человека в возрасте x:

(3.1.2)

Наряду с этими параметрами, приводимыми в таблице смертности, часто используются еще несколько связанных с ними величин. С вероятностью умереть тесно связана вероятность дожить до возраста x+1 год для человека в возрасте x, т. е. вероятность прожить еще один год:

(3.1.3)

Вероятность прожить еще n лет равна

(3.1.4)

Вероятность умереть в течение следующих n лет равна

(3.1.5)

Статистические исследования смертности населения показали, что смертность среди мужчин выше, чем среди женщин, вследствие чего у последних более высокая продолжительность жизни. В России в 1990 г. средняя продолжительность жизни женщин составляла 74,4 года, мужчин - 63,9 года, т. е. разница составляла 10,5 лет. График зависимости числа доживших от возраста для Российской Федерации изображен на рис. 1

К настоящему времени эта разница увеличилась. В связи со значительными отличиями уровня смертности среди мужчин и женщин, особенно в пожилом возрасте, российские страховые компании как правило устанавливают различные тарифные ставки для мужчин и женщин, используя соответствующие таблицы смертности. Во многих же развитых странах используют единую таблицу смертности для мужчин и женщин и, соответственно, единую систему тарифных ставок.

Пример 3.1.1. Определить вероятность умереть в течение года для человека в возрасте 40 лет.

Из таблицы 3.1 находим:

Пример 3.1.2. Определить для человека в возрасте 40 лет вероятность дожить до 60 лет.

Из таблицы 3.1 находим:

В актуарной математике большое значение имеет еще один демографический фактор - средняя продолжительность оставшейся жизни. При практических расчетах обычно используют приближенное значение этой величины, которое обозначают. Рассмотрим схему расчета этого показателя. Число лиц, которые не проживут и года, равно , проживших 1 полный год, будет равно , проживших 2 полных года - , ........, проживших k полных лет - . В расчет принимается только полное число прожитых лет, что давало бы точный результат, если бы все смерти лиц в возрасте x происходили в начале года. Полное число лет, которое проживут лица в возрасте x из группы численностью , равно:

(3.1.6)

Разделив это число на численность группы, получим приближенное значение средней продолжительности оставшейся жизни для члена группы в возрасте x:

(3.1.7)

Часто эту величину называют округленным значением средней продолжительности оставшейся жизни, имея в виду, что в расчетах использовалось округленное до целого числа лет количество лет предстоящей жизни для группы численностью .

Пример 3.1.3. Найдем округленную среднюю продолжительность оставшейся жизни для мужчины в возрасте 65 лет.

Подставляя данные таблицы смертности формулу (3.1.7), получим значение средней продолжительности оставшейся жизни, равное 12,24 года.

3.2. Страхование на чистое дожитие.

Страхование жизни обычно осуществляется в двух формах: страхование сумм (капитала) и страхование рент (аннуитетов). В первом случае при наступлении страхового события (смерти или дожития) выплачивается единовременно определенная сумма денег, во втором - страховщик производит регулярные выплаты в течение определенного периода времени или пожизненно. В классическом страховании жизни имеют место только два страховых события: дожитие до определенного срока и смерть в период действия договора.

Наиболее простым вариантом является страхование на чистое дожитие (pure endowment), которое заключается в страховании определенной суммы денег на определенный срок. В случае смерти страхователя в период действия договора страховая сумма не выплачивается и взносы не возвращаются.

Банковским аналогом страхования на дожитие является помещение денег на вклад на определенный срок.

Пример 1. Клиент вносит в банк сумму в 1000 руб. по 10% годовых. Определить накопленную сумму через 5 лет.

Сумма накоплений на конец k-го года связана с суммой накоплений на конец предыдущего года рекуррентной формулой:

где s=1+i – годовой множитель наращения. Производя последовательные (пошаговые) расчеты, начиная с первого года, получим:

	Таблица 1
Процент	10,00%
Год	Сумма
	накоплений
0	1000,000
1	1100,000
2	1210,000
3	1331,000
4	1464,100
5	1610,510

Если задается не начальный вклад, а необходимая к концу 5-го года сумма накоплений S, то для определения соответствующей величины начального взноса, то расчеты удобнее производить в обратном порядке (при «обратном ходе времени»):

, где v=1/(1+i) – годовой дисконтный множитель.

	Таблица 2
Год	Сумма
	накоплений
5	1000,000
4	909,091
3	826,446
2	751,315
1	683,013
0	620,921

Страхование на дожитие.

В отличие от банковского вклада в страховой компании накопления умерших участников страхования не выдаются наследникам, а распределяются между оставшимися в живых участниками страхования (дожившими). Численность доживших при расчете определяется в соответствии с таблицами смертности для страны или региона.

Сумма накоплений всех участников страхования, заключивших договор в возрасте x на конец k-го года связана с суммой накоплений на конец предыдущего года рекуррентной формулой:

(3)

где s=1+i – годовой множитель наращения.

Сумма индивидуального фонда, приходящегося на одного дожившего (страховой резерв), определяется формулой:

(4)

Пример 2. Мужчина в возрасте 40 лет страхуется на дожитие на срок 5 лет. Ставка процента – 10% годовых. Если внесена сумма 1000 руб., то какую сумму он получит при завершении договора?

Производя последовательные (пошаговые) расчеты, начиная с первого года, получим:

		Таблица 3
Год	Возраст	Число	Страховой
		доживших	резерв
0	40	83344	1000,000
1	41	82199	1115,323
2	42	81001	1245,000
3	43	79807	1389,989
4	44	78599	1552,487
5	45	77387	1734,482

В финансовой и актуарной математике принято описывать динамику единичной суммы. Если положить , то последовательно применяя рекуррентную формулу (4), получим накопленную актуарную стоимость единичной суммы:

(5)

Если согласно условиям контракта задана единичная конечная (страховая) сумма, то величина страхового взноса равна актуарной текущей стоимости:

(6)

Термин актуарный в определении накопленной и текущей стоимости подчеркивает, что расчеты ведутся с учетом фактора выживания.

Полученный в формуле (6) результат легко можно получить, с использованием преобразованной для расчетов в «обратном времени» рекуррентной формулы (4):

(7)

В актуарной математике метод расчета по формуле (4) называют ретроспективным, поскольку для определения текущего значения используются «прошлые» значения; метод же расчета по формуле (7) называют перспективным, поскольку используются «будущие» значения.

Страхование на дожитие с уплатой взносов в рассрочку (накопительная рента)

Обычно страхование оплачивается не единовременным взносом, а периодически в начале каждого года в течение всего срока действия договора страхования n. Рассмотрим сначала динамику роста счета в банке, куда клиент вносит в начале каждого года единичную сумму.

Сумма накоплений на конец k-го года связана с суммой накоплений на конец предыдущего года рекуррентной формулой:

Пример. Клиент вносит в банк в течение 5 лет в начале каждого года сумму, равную 1 руб. под 10% годовых. Определить сумму накоплений к концу каждого года.

Производя последовательные (пошаговые) расчеты, начиная с первого года, получим:

Таблица 2

Год	Сумма накоплений
0	0,000
1	1,100
2	2,310
3	3,641
4	5,105
5	6,716

Пример 2. Клиент планирует за 5 лет накопить сумму 1 млн. руб. Определить величину ежегодных взносов, вносимых в банк в начале каждого года, если банк начисляет 10% годовых.

Для решения используем результат предыдущей задачи. Если от единичных взносов накопленная сумма равна 6,716, то от взносов величиной P=1/6,716=0,149 накопленная сумма будет равна 1. Ответ: P=149 тыс. руб.

Метод накопленной стоимости.

Рассмотренный выше пошаговый метод прост и нагляден, однако при достаточно большом числе шагов весьма громоздок. Метод накопленной стоимости представляет сумму накоплений на конец срока договора как сумму накоплений от каждого взноса в отдельности:

Если величина всех взносов равна 1, то

(8)

Расчет по формуле (8) естественно дает значение 6,716.

Если конечная сумма равна 1, то величина ежегодных взносов определяется из условия:

Страхование на дожитие с периодической уплатой взносов.

Величина индивидуального страхового фонда (страхового резерва) определяется формулой ретроспективной формулой:

(9)

Пример 3. Мужчина в возрасте 40 лет застраховался на дожитие сроком на 5 лет. Определить сумму, которую он получит при дожитии до окончания срока страхования, если он вносит в начале каждого года 10 тыс. руб., а процентная ставка равна 10%.

Если взносы равны 1, то динамика накоплений иллюстрируется таблицей 3. Очевидно, что при размере взносов 10000 руб. полученная сумма будет равна 70480 руб.

Таблица 3

Год	Возраст	Число	Страховой
	на конец года	доживших	резерв
0	40	83344	0,000
1	41	82199	1,115
2	42	81001	2,361
3	43	79807	3,753
4	44	78599	5,308
5	45	77387	7,048

Пример 3. Клиент планирует за 5 лет накопить сумму 1 млн. руб. Определить величину ежегодных взносов, вносимых в страховую компанию в начале каждого года, если процентная ставка равна 10% годовых.

Для решения используем результат предыдущей задачи. Если от единичных взносов накопленная сумма равна 7,048, то от взносов величиной P=1/7,048=0,142 накопленная сумма будет равна 1. Ответ: P=142 тыс. руб.