Основы математики страхования жизни (стр. 3 )

Метод накопленной стоимости

Накопленная актуарная стоимость на момент окончания договора страхования представлена в виде суммы актуарных накопленных стоимостей каждого взноса. Для единичных взносов имеем:

(10)

Расчет для формулы (10) осуществляется с помощью таблицы 4. В результате расчетов получим, как и следовало ожидать, такой же результат, как и для пошагового метода:

. Актуарная накопленная стоимость на конец любого года равна сумме актуарных накопленных стоимостей всех уплаченных ранее взносов.

Таблица 4

Год	Возраст на конец года	Число доживших	Актуарная накопленная стоимость
0	40	83344	1,734
1	41	82199	1,555
2	42	81001	1,393
3	43	79807	1,248
4	44	78599	1,117
5	45	77387
			7,048

Страхование ренты.

Во многих случаях более предпочтительным для страхователей является не получение единовременной выплаты, а регулярный доход в течение определенного периода времени или пожизненно. Регулярные выплаты через равные промежутки времени (ежемесячно, ежеквартально, ежегодно) называют рентой или аннуитетом (от annuity - ежегодный). Часто термин аннуитет относят только к последовательности платежей с ограниченным сроком, например n лет. Страховая рента отличается от обычной финансовой ренты тем, что она выплачивается только при условии, что ее получатель жив, т. е. является условной рентой.

Финансовая рента.

Рассмотрим сначала методы расчета финансовых рент, поскольку эти же методы применяются и при расчете страховых рент. Обычно производят расчет текущей стоимости стандартных рент пренумерандо и постнумерандо с единичным размером ежегодных выплат. Поскольку стоимость ренты в начальный момент времени неизвестна, то пошаговые расчеты следует проводить перспективным методом, начиная с момента окончания договора. В этот момент фонд, созданный для финансирования ренты, полностью исчерпан. В конце последнего года, непосредственно перед моментом последней выплаты, стоимость фонда равна последней выплате, т. е. единице.

Расчеты ведутся от момента окончания ренты по направлению к ее началу (в «обратном ходе» времени). Рекуррентная формула для расчетов имеет вид:

(10)

Результаты расчетов по формуле (10) сведены в таблицу 5, где приведены значения стоимости фонда, созданного для выплат ренты, на конец соответствующего года:

Таблица 5

Год	Стоимость фонда
5	1,000
4	1,909
3	2,736
2	3,487
1	4,170
0	3,791

Стоимость фонда на конец «нулевого» года, т. е. на момент начала договора (стоимость ренты) равна 3,791. Именно эту сумму должен внести клиент, чтобы обеспечить выплаты ренты с учетом начисления процентов.

Метод текущей стоимости

Текущая стоимость ренты легко может быть вычислена как сумма текущих стоимостей каждой выплаты на момент начала договора. Определение текущей стоимости потока платежей (Cush Flow) как суммы текущих стоимостей членов потока составляет суть метода дисконтированного денежного потока (Discounted Cush Flow, DCF):

(11)

Текущая стоимость (стоимость) стандартной ренты постнумерандо с единичными выплатами равна:

Страховая рента

Расчеты пошаговым методом производятся в том же порядке, как и для финансовой ренты. Расчеты ведутся от момента окончания ренты по направлению к ее началу (в «обратном ходе» времени). Рекуррентная формула для расчета страхового резерва на конец k-го года имеет вид:

(12)

Результаты расчетов по формуле (12) сведены в таблицу 6, где приведены значения страхового резерва на конец соответствующего года:

Таблица 6

Год	Возраст	Число	Страховой
		доживших	резерв
5	45	77387	1,000
4	44	78599	1,895
3	43	79807	2,697
2	42	81001	3,415
1	41	82199	4,060
0	40	83344	3,640

Величина страхового резерва на конец «нулевого» года, т. е. на момент начала договора (стоимость ренты) равна 3,791. Именно эту сумму должен внести клиент, чтобы обеспечить выплаты ренты с учетом начисления процентов.

Метод текущей стоимости

Актуарная текущая стоимость ренты легко может быть вычислена как сумма актуарных текущих стоимостей каждой выплаты на момент начала договора:

(13)

Актуарная текущая стоимость (стоимость) стандартной ренты постнумерандо с единичными выплатами равна:

Таблица 7

Год	Возраст на конец года	Число доживших	Актуарная текущая стоимость ед. выплат
0	40	83344
1	41	82199	0,897
2	42	81001	0,803
3	43	79807	0,719
4	44	78599	0,644
5	45	77387	0,577
		APV	3,640

Расчет актуарной текущей стоимости ренты постнумерандо выполнен в таблице 7.

Страхование жизни (на случай смерти).

В отличие от страхования на дожитие и страхования ренты в страховании жизни период уплаты страховой премии и период страховых выплат практически всегда перекрываются, что усложняет расчет динамики страхового фонда. Наиболее просто, как и ранее, динамика фонда описывается при единовременной уплате страхового взноса.

1.  Единовременный (разовый) взнос.

Пусть единичная страховая сумма выплачивается в случае смерти застрахованного в конце года смерти. Тогда последовательность страховых выплат представляет собой переменную ренту постнумерандо в течение всего срока действия договора страхования, причем суммарная страховая выплата за каждый год равна числу умерших за этот год. Изменение величины страхового фонда на конец года (после выплат) описывается формулой:

(1)

где - число умерших за k+1-ый год в возрасте x+k.

Как и при расчете ренты, будем исходить из того, что после окончания срока страхования страховой фонд полностью исчерпан и равен нулю. Таким образом, расчет будет происходить от конца договора к началу, в «обратном течении времени». Преобразуя (1), имеем:

(2)

Пример. Мужчина в возрасте 40 лет застраховал свою жизнь на сумму 1 млн. руб. сроком на 5 лет. Определить величину единовременного страхового взноса.

Решение задачи производится с помощью таблицы 8 для единичной страховой суммы.

Таблица 8

Год	Возраст	Число	Число	Страховой
		доживших	умерших	резерв
5	45	77387	1212	0,000
4	44	78599	1208	0,014
3	43	79807	1194	0,026
2	42	81001	1198	0,037
1	41	82199	1145	0,046
0	40	83344		0,054

Величина страхового резерва на конец «нулевого» года, т. е. на момент начала договора (стоимость ренты) равна 0,054. Умножая это значение на 1 млн. руб., получим сумму 54 тыс. руб. Именно эту сумму должен внести клиент, чтобы обеспечить страхование жизни на 5 лет со страховой суммой 1 млн. руб.

Метод текущей стоимости

Актуарная текущая стоимость ренты выплат по смерти легко может быть вычислена как сумма актуарных текущих стоимостей страховых выплат каждого года с единичной страховой суммой: