Математика (теория вероятностей и математическая статистика) (стр. 12 )

2. На прямом участке оживленного городского проспекта установлены четыре светофора, работающих независимо друг от друга. Вероятность проехать светофор без остановки в часы пик равна для каждого из них 0,3. С какой вероятностью курьер доставки товаров проследует три светофора без остановок.

3. Имеется 5 заготовок для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки равна 0,8. Случайная величина Х – число заготовок, оставшихся после изготовления первой годной детали.

1)  Составить таблицу распределения Х.

2)  Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3)  Построить график функции распределения y = F(x)

4)  Найти вероятность P(0,5<X<3).

4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P(1.5<X<3).

Вариант 16.

1. За последний период времени 500 автомобилей было возвращено на автомобильный завод из-за наличия дефектов, причем 100 из них были выпущены в понедельник, 100 ­ во вторник, 100 ­ в среду, 100 ­ в четверг и 100 ­ в пятницу. Оказалось, что 40 автомобилей нуждаются в устранении серьезных неполадок, возникших в течение гарантийного периода. Среди автомобилей, выпущенных в пятницу, 15 имеют серьезные неполадки. Являются ли события А=«автомобиль был выпущен в пятницу» и В=«автомобиль имеет серьезные неполадки» независимыми? Сравнить вероятности Р(В) и Р(В/А).

2. Известно, что 40% пациентов, у которых выявлено некоторое заболевание «альфа», должны сделать операцию. В палате находятся четверо больных, которым недавно поставлен диагноз «альфа». Какова вероятность того, что операцию сделает только один из них (все равно кто именно)?

3. Банк предполагает разместить свободные средства. Менеджер отдела инвестиций должен выбрать один из трех инвестиционных проектов: А, В или С. Финансово-аналитический отдел подготовил экспертную информацию по этим проектам. Специалисты оценили возможные размеры доходов и соответствующие им вероятности. Считая доход по проекту А случайной величиной Х, по проекту В ­ случайной величиной У и по проекту С ­ Z, выбрать один из трех проектов, обосновать выбор с точки зрения ожидаемого дохода и рискованности инвестиции. Для выбранного проекта

1) Построить график функции распределения y = F(x) соответствующей случайной величины.

2)Найти вероятность того, что инвестиция окажется убыточной или не принесет никакого дохода.

Х	-500	-200	200	600	900
р	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

У	-100	100	200	300	500
р	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

Z	-500	-200	200	600	900
р	0.015	0.035	0.9	0.035	0.015

4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P(-2<X<3).

Вариант 17.

1. Подброшены две игральные кости. Событие А ­ сумма выпавших очков равна 9, событие В ­ разность выпавших очков равна 1. Зависимы ли события А и В? Объяснить почему (подтвердить вычислениями).

2. Магазин получает товар партиями по 100 штук. Если пять взятых наудачу образцов соответствует стандартам, партия товара поступает на реализацию. В очередной партии восемь единиц товара с дефектом. Какова вероятность того, что товар поступит на реализацию?

3. Вероятность, что покупателю потребуется обувь 42 размера, равна 0,3. В магазине 3 покупателя. Случайная величина Х – число покупателей, находящихся в магазине, которым требуется обувь 42 размера.

1)  Составить таблицу распределения Х.

2)  Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3)  Построить график функции распределения y = F(x)

4)  Найти вероятность P(0,5<X<3).

4. Автоматический токарный станок настроен на выпуск деталей со средним диаметром 2.00 см и со средним квадратическим отклонением 0.005 см. Действует нормальный закон распределения. Компания технического сервиса рекомендует остановить станок для технического обслуживания и корректировки в случае, если образцы деталей, которые он производит, имеют средний диаметр более 2.01 см, либо менее 1.99 см.

1)  Найти вероятность остановки станка, если он настроен по инструкции на 2.00 см.

2)  Если станок начнет производить детали, которые в среднем имеют слишком большой диаметр, а именно, 2.02 см, какова вероятность того, что станок будет продолжать работать?

Вариант 18.

1. Из трех бухгалтеров, восьми менеджеров и шести аналитиков необходимо с помощью случайного выбора сформировать комитет, состоящий из десяти человек. Какова вероятность того, что в комитете окажутся: один бухгалтер, пять менеджеров и четверо аналитиков?

2. В среднем 25% взрослого населения некоторого большого города смотрит популярное телевизионное шоу. Какова вероятность того, что среди восьми случайно выбранных взрослых людей шоу смотрит трое или больше?

3. Курс междуреченского доллара меняется еженедельно. Сегодня он равен 87 рублям. Через неделю он может увеличиться на 2 рубля с вероятностью 0,2, уменьшиться на 2 рубля с вероятностью 0,3 либо остаться неизменным. Случайная величина Х – курс междоллара через две недели.

1)  Составить таблицу распределения Х.

2)  Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3)  Построить график функции распределения y = F(x)

4)  Найти вероятность P(84,5<X<88).

4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P().

Вариант 19.

1. Три мяча выбирают случайным образом из коробки, содержащей 5 белых, 6 красных и 4 желтых мяча. Найти вероятность того, что

а) все три мяча красные;

б) все три мяча разные по цвету;

в) все три мяча одинаковые по цвету.

2. Двух - или четырехмоторный аэроплан может оставаться в воздухе до тех пор, пока функционирует половина его двигателей. Чему равна вероятность падения каждого из типов аэропланов, если вероятность любой поломки двигателя составляет 0,001?

3. Банк предполагает разместить свободные средства. Менеджер отдела инвестиций должен выбрать один из трех инвестиционных проектов: А, В или С. Финансово-аналитический отдел подготовил экспертную информацию по этим проектам. Специалисты оценили возможные размеры доходов и соответствующие им вероятности. Считая доход по проекту А случайной величиной Х, по проекту В ­ случайной величиной У и по проекту С ­ Z, выбрать один из трех проектов, обосновать выбор с точки зрения ожидаемого дохода и рискованности инвестиции. Для выбранного проекта

1) Построить график функции распределения y = F(x) соответствующей случайной величины.

2) Найти вероятность того, что инвестиция окажется убыточной или не принесет никакого дохода.

Х	-800	-300	100	500	1000
р	0.1	0.25	0.3	0.25	0.1

У	-300	0	100	200	500
р	0.1	0.25	0.3	0.25	0.1

Z	-800	-300	100	500	1000
р	0.01	0.025	0.93	0.025	0.01

4. Рыночный торговец так настроил свои электронные весы, что показания стоимости покупки округляются до ближайшего целого числа рублей. Считая ошибку округления распределенной равномерно, найти математическое ожидание и дисперсию ошибки показания весов. Найти вероятность того, что торговец в результате округления недополучит от 20 до 35 копеек от очередного клиента.

Вариант 20.

1. В подразделение отряда космонавтов входят 12 человек, из них 7 уже были в космосе, а 5 ­ еще нет. Для участия в проекте отбирают 4 кандидатов. Какова вероятность того, что по крайней мере у двоих из отобранных кандидатов уже есть космический опыт?

2. Консервный цех складирует продукцию в штабели по 500 штук. В некотором штабеле оказалось 150 нестандартных банок. Инспектор выбирает наудачу последовательно две банки. Какова вероятность того, что а) обе банки нестандартные; б) обе банки качественные?

3. На дне глубокого сосуда лежат спокойно 6 шаров – 2 белых и 4 черных. Случайная величина Х – число извлеченных без возвращения шаров до первого белого.

1)  Составить таблицу распределения Х.

2)  Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3)  Построить график функции распределения y = F(x)

4)  Найти вероятность P(0,5<X<3).

4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P().

6. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ № 5

Студенты, имеющие варианты с 1 по 10, выполняют задание № 1, имеющие варианты с 11 по 20 – задание № 2.

Задание №1

Отдел маркетинга крупной швейной фабрики провёл анкетирование 500 человек (женщин) по вопросу роста (Х) см и веса (Y) кг. В результате была выявлена следующая зависимость (таблица 12).

Таблица 12

Зависимость роста и веса

N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
X	168	169	156	171	175	159	167	169	170	156	168	169
Y	73	68	56	75	66	60	60	68	68	54	62	56

N	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
X	164	171	174	176	170	173	171	196	155	174	176	176	172
Y	66	66	64	81	61	69	62	60	61	66	75	60	70

N	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38
X	172	163	187	172	161	176	164	166	168	162	163	172	175
Y	67	59	84	70	60	70	60	63	55	55	65	65	64

Продолжение таблицы 12