Математика (стр. 3 )

Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

3.19.

3.20.

Задача 4.

4.1-4.20 Решить матричные уравнения и сделать проверку.

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.

4.15.

4.16.

4.17.

4.18.

4.19.

4.20.

Раздел II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Задание 1. Вычисление производных

1). Производная сложной функции

Пусть дана сложная функция =F(φ(X)), причем промежуточная функция U=(φ(X)) имеет в некоторой точке X производную U’=(φ’(X)), а функция Y=F(U) - в соответствующей точке U производную Y’u=F’(U). Тогда функция Y= F(φ(X)) имеет производную в точке X и Y’x=F'(U)·φ или Y’x=F'u·U’x, т. е. производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточной переменной на производную от промежуточной переменной по независимой переменной.

При вычислении производных удобно пользоваться таблицей производных в следующей форме (U - дифференцируемая функция от некоторой переменной).

1. Y=C Y’=0.

2. Y=U Y’=U’

3. Y=Uα(α=const) Y’=α·Uα-1·U’

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

Пример. Найти производную функцию.

т. е. где

2). Логарифмическая производная

Логарифмическая производная функции y=f(x) называется производная от логарифма этой функции, т. е. при y>0.

Нахождение производной от функций, которые допускают допускают операцию логарифмирования, значительно упрощается, если эти функции предварительно прологарифмировать, а затем воспользоваться логарифмической производной. Заметим, что логарифмическую производную будем применять формально, не учитывая, что формула имеет смысл лишь при y>0.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Пример. Найти y', если

3). Производная неявной функции

Функция y(х) называется неявной, если зависимость между х и y выражена уравнением F(x,y)=0, неразрешенным относительно y.

Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение продифференцировать, считая y функцией от x, и вновь полученное уравнение решить относительно производной y’.

Пример. Найти y’x, если

Задание 2. Исследование функций и построение графиков.

При построении графика функции следует:

1. Найти, область определения функции,

2. Определить четность (нечетность), периодичность функции,

3. Найти точки разрыва,

4. Определить точки пересечения графика с осями координат,

5. Найти точки экстремума я вычислить значения функции в этих точках,

6. Определить интервалы возрастания и убывания функции,

7. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости,

8. Определить асимптоты,

9. Найти предельные значения функции при х стремящимся к граничным точкам области определения.

Разумеется, в процессе исследования функции не обязательно строго придерживаться приведенной схемы, иногда даже удобно изменить порядок плана.

Исследование функций с помощью производных

а). Возрастание и убывание функции

Функция f(x), определенная в некотором промежутке, возрастает в нем, если для любых двух значений x1, и х2 из этого промежутка неравенство x2≥x1, влечет за собой неравенство f(x2)≥f(x1).

Функция f(x), определенная в некотором промежутке, убывает в нем, если для любых двух значений x1, и х2 из этого промежутка неравенство x2>x1 влечет за собой неравенство f(x2)≤f(x1).

Для того чтобы дифференцируемая функция f(x), возрастала в некотором промежутке, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была неотрицательна в этом промежутке, f’(x)≥0.

Для того чтобы дифференцируемая функция f(x) убывала в некотором промежутке, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была неположительна в этом промежутке, f(x)≤0.

Промежутки, в которых функция возрастает (убывает), называются промежутками монотонности функции. Чтобы найти промежутки монотонности функции, необходимо:

1). Найти область определения функции.

2). Найти производную функции.

3). Приравнять производную к нулю, го есть определить ее корни, а также найти точки, в которых производная не существует, а функция существует.

4). Определить знак производной в каждом из промежутков, на которые разбивается полученными точками область определения функции.

б). Исследование функции нa экстремум

Пусть функция f(x) задана и непрерывна па отрезке [a;b] и не является в нем монотонной. Точка x0 называется точкой локального максимума, если существует такая δ - окрестность точки x0, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство f(x0)≥f(x) (рис.1)

Аналогично определяется точка локального минимума.

Точка х0 называется точкой локального минимума, если существую такая δ - окрестность точки х0, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство f(x0)≤f(x) (рис. 2).

Необходимые условия экстремума

Если функция f(x) в точке x0, имеет экстремум, то производная f’(x0) обращается в нуль или не существует.

Точка x0, в которой f’(x0)=0, называется стационарной точкой.

Достаточные признаки существования экстремума

Правило 1. Если при переходе (слева направо) через стационарную точку x0, производная f’(x0) меняет знак с плюса на минус, то в точке x0 функция f’(x0) имеет максимум; если с минуса на плюс, то минимум; если знак не меняет, то экстремума нет.

Правило 2. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема и имеет непрерывную вторую производную в точке x0 и в некоторой ее окрестности, тогда если f’(x0)=0, a f’’(x0), то в точке х0 функция f(x0) достигает экстремума:

1) максимума, если f’’(x0)<0.

2) минимума, если f’’(x0)>0.

в). Выпуклость. Вогнутость. Точки перегиба

График функции y=f(x) называется выпуклым в интервале (а, b), если он расположен ниже касательной. проведенной в любой точке этого интервала (рис. З).

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (а, b), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 4).

Достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика функции.

Если f’’(x)<0 в интервале (a, b), то график функции является выпуклым в этом интервале; если же f’’(x)> 0,то в интервале (a, b) график функции - вогнутый.

Точка (x0; f(x0)) графика функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Если x0 - абсцисса точки перегиба графика функции y=f(x0), то вторая производная равна нулю или не существует в этой точке. Точки, в которых f’’(x0)=0 или f’’(x0) не существует, называются критическими точками второго рода.

Если при переходи через критическую точку второго рода x0, вторая производная меняет знак, то точка (x0, f(x0)) есть точка перегиба.

г). Асимптоты

Прямая l называется асимптотой кривой y=f(x), если расстояние точки М(x,у) кривой от прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от кривой от начала координат, т. е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности.

Прямая x=а является вертикальной асимптотой кривой y=f(x), если

или .

Прямая y=b является горизонтальной асимптотой кривой y=f(x), если существует предел или

Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой кривой у=f(x), если существуют пределы

или

Пример. Найти асимптоты кривой Функция определена при всех

Так как то прямая x=2 является вертикальной асимптотой кривой.

Горизонтальных асимптот кривая не имеет, так и .

Определим, существуют ли наклонные асимптоты. Находим

Следовательно. существует правая наклонная асимптота y=x+1.

Следовательно, существует левая наклонная асимптота у=-x-1.

Пример. Исследовать функцию и построить график.

1. Функция определена и непрерывна на всей оси ОX, за исключением точки x=-1, где она терпит бесконечный разрыв. Следовательно, прямая x=-1 является вертикальной асимптотой.

2. Точка (0;0) является точкой пересечения функции с осями координат.

Производная обращается в нуль при x=0 и x=-2.

Функция возрастает при а убывает при

(-2;-4) - точка максимума, и (0,0) - точка минимума функции.

Вторая производная в нуль нигде не обращается, но при преходе x через точку x=-1 меняет свой знак с минуса па плюс. Следовательно, в интервале график функции выпуклый, а в интервале - вогнутый. Точек перегиба нет.

5.Наклонные асимптоты y=kx+b, где:

Следовательно, прямая y=x-1 является наклонной асимптотой при , аналогично можно показать, что эта же прямая является наклонной асимптотой при .

Частные производные первого порядка

Частной производной от функции z=f(x,y) по независимой переменной x называетcя производная.

, вычисленная при постоянном у.

Частной производной по y называется производная

, вычисленная при постоянном x.

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Пример: .

Рассматривая y как постоянную величину, дифференцируем функцию по переменной x.

Аналогично, рассматривая x как постоянную величину, получаем

Задание 3. Экстремум функции двух переменных

Необходимый признак экстремума. Если функция z=f(x,y) дифференцируема при x=x0 и y=y0 достигает в ней экстремума, то в этой точке равны нулю ее частные производные:

Достаточное условие экстремума. Пусть точка М0(x0,y0) является стационарной точкой функции z=f(x,y). Вычислим в этой точке значения вторых частных производных функции f(x,y) и обозначим их для краткости буквами А, В, С:

Если В2-AC<0, то функция f(x,y) имеет в точке М0(x0,y0) экстремум: максимум при А<0 (и С<0) и минимум при А>0 (и С>0).

Если В2-AC<0, то точка М0(x0,y0) не является точкой экстремума.

Если В2-AC=0, то никакого заключения о характере стационарной точке сделать нельзя и требуется дополнительное исследование.

Пример. Найти экстремум функции

M(21,20) – стационарная точка

Найдем значения вторых производных в точке М:

т. к. А<0, то в точке М(21,20) функция имеет максимум Zmax=482.

Раздел III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

1. Первообразная, неопределенный интеграл и их свойства

Рассмотрим задачу отыскания функции, для которой заданная функция является производной.

Определение 1.1

Пусть функции f(x) и F(x) определены на интервале (a,b). Если функция F(x) имеет производную на (а,b) и для всех выполняется равенство.

(1)

то функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b).

Пример

Если F(x) является первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), то очевидно, и функция F(x)+С где С-любая постоянная, является первообразной для функции f(x), на интервале (a,b).Справедливо и обратное утверждение.

Теорема 1.1

Пусть F1(x) и F2(x) - любые две первообразные для функции f(x) на интервале (a,b). Тогда для всех выполняется равенство

где С - некоторая постоянная. (Без доказательства)

Вывод. Если F(x) - одна из первообразных функций для функции f(x) на интервале (a,b), то любая первообразная Ф(x) для функции f(x) на интервале (а, b) имеет вид

Ф(х)=F(х)+С, где С - некоторая постоянная.

Определение 1.2

Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на интервале (а, b), называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале и обозначается

Символ называется знаком интеграла, f(x) – подынтегральная функция.

Таким образом, если F(х) - какая-либо первообразная функции f(x) на интервале (а, b). то пишут

Определение 1.3

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием функции f(x).

Операция интегрирования является обратной операции дифференцирования.

Общий метод дифференцирования и интегрирования, построенный с полным пониманием того, что одни процесс является обратным по отношению к другому, был открыт И. Ньютоном () и Г. Лейбницем (). Очень много написано по вопросу о приоритете этого открытия, но теперь установлено, что оба они открыли свои методы независимо друг от друга.

Свойства неопределенного интеграла

Будем предполагать, что все рассматриваемые функции определены и интегрируемы на одном и том же конечном или бесконечном промежутке.

Свойство 1.

Свойство 2.

Свойство 3.

Свойство 4.

Свойство 5. Пусть F(x) есть первообразная для функции f(x).

Тогда

Таблица основных неопределенных интегралов

8. ;

10.

11.

12.

13.

14.

Пример1. Найти неопределенный интеграл

Пример 2. Найти . Это интеграл вида . По свойству 5 неопределенных интегралов имеем

Пример 3. Найти .

Воспользуемся формулами тригонометрии.

Отсюда

Операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функции. Иначе обстоит дело с операцией интегрирования. Можно доказать, что интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями, например:

Каждый из указанных интегралов представляет собой функцию, не являющеюся элементарной. Перечисленные функции находят приложение в различных отраслях знаний. Например, интеграл называется интегралом Пуассона или интегралом ошибок. Он используется в статистике, теории теплопроводности и диффузии. Вследствие важности приложений эти функции изучены с такой же полнотой, как и простейшие элементарные функции, для них составлены графики и таблицы.