Математика (стр. 1 )

Министерство образования и науки РФ

Филиал Санкт-Петербургского государственного

инженерно-экономического

университета в г. Твери

МАТЕМАТИКА

Методические указания и задания

к контрольным работам № 1, 2

для студентов заочной формы обучения

всех специальностей

Тверь 2009

СОСТАВИТЕЛИ:

Ст. преподаватель Л. М. МОЛОДЧЕНКОВА,

Кандидат физико-математических наук,

доцент Т. С.МОИСЕЕНКО,

Ст. преподаватель Н..А. ПОЛОЗЕНКО,

Ст. преподаватель Т. Н. ГРУЗИНА

Ст. преподаватель В. А. НОВИК

РЕЦЕНЗЕНТ

старший преподаватель В. Г. БЛИНОВА

ПОДГОТОВИЛ

Ст. преподаватель В. А.НОВИК

ББК __

Рекомендовано к публикации Редакционно-издательским советом филиала СПбГИЭУ в г. Твери (протокол от 01.01.2001 г.)

© НОВИК В. А., 2009

© Филиал СПбГИЭУ в г. Твери, 2009

Раздел I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Контрольная работа № 1.

Указания к задаче 1

Задача 1 связана с процентными расчетами. Здесь следует принять во внимание, что:

1) процент от величины S составляет одну сотую долю этой величины:

2) величина Δ составляющая α% от величины S, вычисляется но формуле:

(1)

3) если величина Δ составляет α%, от величины S, то S вычисляется по формуле:

 

(2)

4) если на вклад в банке начисляется ежегодно (ежемесячно и т. п.) α%, начисленные проценты не изымаются и капитализируются (т. е. начисляется "процент на процент"), то исходный вклад S превращается через n - лет (месяцев и т. п.) в сумму S, вычисляемую по формуле:

(3)

5) если в условиях предыдущего пункта за n лет накопилась сумма S, то первоначальная сумма S0 вычисляется по формуле:

 

(4)

6) в тех же условиях число лет n, за которые сумма S0 превращается в S, определяется в формулу:

(5)

Рассмотрим несколько примеров применения приведенных формул.

Задача 1. Найти величину Δ, составляющую 7 % от величины S=5000.

Решение. Величину Δ находим по формуле (1).

 

Задача 2. Найти величину S, если 5% от нее равны Δ=100.

Решение. Величину S находим по формуле (2).

 

Задача 3. Пусть в банк внесена сумма S0 =10000 руб. при начислении α=10% ежемесячно. Найти сумму S, в которую вклад превратится через 5 месяцев (при условии неизъятия вклада и капитализации начисленных процентов).

Решение. Величину S находим по формуле (3).

 

Задача 4 В банк положена сумма S:0, которая через 6 лет превратилась в сумму S=10500 руб. при проценте по вкладам α=10 %.

Определить сумму S0

Решение. Величину S находим по формуле (4).

 

Задача 5 Пенсионный фонд инвестирует вклады в предприятия, дающие 15 % годовых. Клиент вносит по S0 =10000 руб. ежегодно в течение 10 лет. Какой будет накопленная сумма к концу 10 года?

Решение. Подсчитаем накопленные суммы Sk, отвечающие ежегодным вкладам:

Вклад 1-го года превращается за 10 лет в

Вклад 2-го года превращается за 9 лет в

………………………………………………..

Вклад 10-го года превращается за 1 год в

Так как вся накопленная сумма равна то имеем:

В квадратных скобках стоит сумма геометрической npoгрессии со знаменателем

Используя формулу для ее суммы

 

Где n=9 находим:

=

Задача 6. В условиях предыдущей задачи клиент желает накопить сумму в один миллион рублей. Каким должен быть его ежегодный взнос?:

Решение. В предыдущем пункте вычислена накопленная за 10 лет сумма:

 

По условию S= I 000 000 руб. Следовательно,

 

Указания к задаче 2

Для решения задачи 2 (прямая линия на плоскости) следует использовать следующие сведения:

1). Угол наклона прямой к оси ОХ – это тот угол, на который нужно повернуть ось ОХ, чтобы она совпала с данной прямой (или оказалась параллельной ей). Как обычно, угол положителен, если по­ворачиваем против часовой стрелки, и отрицателен, если поворачи­ваем по часовой стрелке. Будем обозначать его буквой φ.

2). Угловой коэффициент прямой - это тангенс угла наклона пря­мой к оси ОХ. Будем обозначать его буквой k. Следовательно.

k = tgφ (1)

3). Уравнение прямой с угловым коэффициентам

Если прямая не параллельна оси OY (рис. I), то ее уравнение

y=kx+b, (2)

где b - координата точки пересечения прямой с осью OY, k - угловой коэффициент прямой, (x, у) - координаты любой точки на прямой.

Если прямая параллельна оси OY (рис. 2), то ее уравнение

x=a, (3)

где a – абсцисса точки пересечения прямой с осью OX.

4). Уравнение прямой, проходящей через точку М0(x0,y0) и имеющую угловой коэффициент k,

y-y0=k(x-x0), (4)

где (x0,y0) - координаты заданной точки на прямой, k - угловой коэффициент прямой, (x,y) - координаты любой точки на прямой.

5). Уравнение прямой, проходящей через две заданные, точки М1(x1,y1) и М2(x2,y2):

(5)

где ; (x1,y1) - координаты одной точки на прямой, (x2,y2) - координаты другой точки на прямой, (x,y) - координаты любой точки на прямой.

6). Общее уравнение прямой:

Ax + By +C=0, (6)

где A, B, С - заданные числа, причем А и В одновременно в нуль не обращаются. (x,y) - координаты любой точки на прямой.

Если В не обращается в нуль, то уравнение (6) можно преобра­зовать следующим образом:

(6')

Тогда, сопоставив формулы (6') и (2), имеем:

7). Условие параллельности двух прямых

k1=k2; (7)

где k1 и k2 - угловые коэффициенты прямых.

8). Условие перпендикулярности двух прямых

k1·k2=-1, (8)

где k1 и k2 - угловые коэффициенты прямых.

9). Нахождение координат точки пересечения двух прямых.

Если две непараллельные прямые заданы своим уравнениями:

A1X+B1Y+C1=0 и A2X+B2Y+C2=0,

то координаты точки пересечения этих прямых - есть решение системы уравнений:

 

(9)

10). Нахождение координат середины отрезка

Если точка А имеет координаты (xа,yа), а точка В - (xь,yь), то координаты середины О отрезка АВ можно найти по формулам:

(10)

11). Нахождение длины отрезка

Если точка А имеет координаты (xа,yа), а точка В - (xь,yь), то длину отрезка АВ можно найти по формуле:

(11)

12). Свойства диагоналей параллелограмма и ромба

Диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам. Диагонали в ромбе взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

13). Свойства средней линии треугольника

Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон треугольника и параллельна третьей стороне.

Рассмотрим несколько примеров применения приведенных формул.

Задача 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

2x+3y-12=0 и x-y-1=0 и наклонной к оси OX под углом π/4.

Решение. Найдем точку пересечения прямых 2x+3y-12=0 и x-y-1=0. Для этого следует решить систему уравнений (9):

Следовательно прямая проходит через точку М0(3,2). Прямая наклонена к оси ОX под углом π/4, поэтому по формуле (1) найдем угловой коэффициент k=tgφ=tgπ/4=1.

Прямая проходит через точку М0(3,2) и имеет угловой коэффициент k=1, поэтому уравнение прямой будем искать в виде (4):

y-y0=k(x-x0), где x0=3, y0=2, k=1.

Тогда получим: y-2=1(x-3)Þx-y-1=0.

Задача 2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку C(3,2) и середину отрезка АВ, где А(3,5), B(-7, 9).

Решение. Найдем координаты середины отрезка АВ по формулам (10):

 

Подставляя xa=3, xb=-7, ya=5,

yb=9, получим: x0=-2, y0=7, т. е. O(-2,7) – середина отрезка AB. Прямая проходит через две точки С(3,2) и О(-2, 7), поэтому ее уравнение будем искать в виде (5):

 

Подставляя x1=3, x2=-2, y1=2, y2=7, получим:

 

Задача 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку С(3,2) параллельно прямой 4x+5y-2=0.

Решение. Найдем угловой коэффициент k1 прямой 4x+5y-2=0. Для этого представим уравнение в виде (2): у=kx+b.

 

Следовательно,

Используя условие параллельности прямых (7), получим, что угловой коэффициент прямой

 

Так как прямая проходит через точку С(3,2) и имеет, то уравнение прямой будем искать в виде(4):

y-y0=k(x-x0).

Подставляя x0=3, y0=2, получим:

Задача 4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямой 2x-3y+12=0 с осью OX, перпендикулярно прямой x+2y+4=0.

Решение. Найдем угловой коэффициент k1 прямой x+2y+4=0. Для этого представим наше уравнение в виде (2): у=kx+b.

Следовательно, Используя условие перпендикулярности прямых (8),

получим угловой коэффициент прямой

Найдем точку пересечения прямой 2x-3y+12=0 с осью OX. В точке пересечения с осью OX координата y=0 , поэтому 2x+12=0Þ x=-6. Получаем точку С(-6,0). Прямая проходит через точку С(-6,0) и имеет k=2, поэтому уравнение прямой будем искать в виде (4): y-y0=k(x-x0).

Подставляя x0=-,6 y0=0, k=2 получим:

Задача5. При каких значениях «а» прямые (а-3)x+4y+1=0 и 3x+8y+1=0 перпендикулярны?

Решение. Представим уравнения прямых в виде (2): у=kx+b.

 

Следовательно, Воспользуемся условием перпендикулярности прямых (8):k1•k2=-1.

 

Задача 6. Найти проекцию точки А(1,1) на прямую 2x+3y+12=0.

Решение. Проекция точки на прямую - это точка пересечения данной прямой и перпендикуляра к ней, проведенного через точку А, Найдем угловой коэффициент k1 данной прямой. Для этого представим уравнение 2х+Зу+12=0 в виде (2): у=k1x+b.

 

Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух, прямых (8): k1•k2=-1.

Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим:

Так как перпендикуляр проходят через точку А(1,1) и имеет то будем искать его уравнение в виде (4): y-y0=k(x-x0). Подставляя x0=1,y0=1, получим:

Найдем точку пересечения прямой 2x+3y+12=0 и перпендикуляра 3x-2y+1=0, решая систему уравнений (9):

 

Следовательно, точка проекция точки А(1,1) на прямую 2x+3y+12=0.

Задача 7. Точки A(-2,-l), В{5,-2) и С(0,4) являются вершинами треугольника ABC. Найти точку пересечения меридиан треугольника.

Решение. Обозначим середину стороны ВС буквой M, а середину стороны АС буквой N. Тогда координаты точек M и N найдем по формулам деления отрезка пополам.

 

Уравнения медиан AM и AN найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AM проходит через точки

А(-2;1) и М(2,5;1), поэтому:

 

Медиана BN проходит через точку B(5;-2) и N(-1;1,5), поэтому:

 

Точку пересечения медиан AM и BN найдем из системы уравнений:

т. е. точка пересечения медиан имеет координаты .

Задача 8. При каком m прямая 5у-mx+m-2=0 проходит через точку

A(-1;2)?

Решение. Так как точка А(-1;2) принадлежит прямой, то ее координаты удовлетворяют

уравнению прямой, поэтому имеем:

 

Указания к задаче 3

Meтод Жордана

Система линейных алгебраических уравнений называется системой с базисом, если в каждом ее уравнении имеется выделенное неизвестное, не входящее ни в одно из остальных уравнений и входящее в данное уравнение с коэффициентом, равным единице При соответствующей нумерации неизвестных (в k-м уравнении выделенной служит неизвестная xk) система с базисом имеет вид:

 

(A)

Выделенные неизвестные x1, x2……., xm называют базисными, а остальные – свободными (небазисными).

Если члены, содержащие свободные неизвестные, перенести в правую часть, то система с базисом запишется в следующем эквивалентном виде:

 

(B)

Решение системы (В) получается сразу: надо придать свободным неизвестным любые значения и определить из системы (В) отвечающие им значения базисных неизвестных. Ясно, что полученный таким образом набор значений x1, x2……., xm, xm+1 ,…. xn ,будет решением системы (В) и, тем самым, решением исходной системы (А). Также ясно, что таким образом может быть получено любое решение исходной системы. Другими словами: соотношения (В) дают общий вид решения системы (А).

Пример

В системе

базисными неизвестными служат x2, x5, x6. Решая систему относительно этих неизвестных, получим:

Эти формулы дают общее решение исходной системы: при любых конкретных значениях свободных неизвестных x1, x3, x4, они дают решение системы, и любое решение может быть получено таким путем. Положив, например, x1 = x3 = x4=0, получим для базисных неизвестных x2=10, x5=8, x6=15 и решение системы - вектор X(0) = (0;10;0;0,8;15). При x1=1, x3=-1, x4=4 получим значения x2=10-3+2+2=11 , x5=8-2-5-4=--3. x6= 15-4+3+10=24 и решение - вектор. X(1) = (1;11;-1;4;-3;24).

Заметим, что решение, в котором все свободные неизвестные равны нулю, называется базисным. В нашем примере - это X(0).

Решение общей системы линейных алгебраических уравнений методом Жордана заключается в планомерном преобразовании системы к эквивалентной ей системе с базисом.

Алгоритм метода опишем на конкретном примере системы:
(1)

(2)

(3)

(4)

Систему рассматриваем для двух возможных значений правой части b3, третьего уравнения b3=15 и b3=10.

Отдельный шаг преобразования заключается в назначении в одном из уравнений неизвестной, которая должна быть в нем базисной, и исключении ее из остальных уравнений. Этот шаг повторяется до тех пор пока это возможно (см. ниже).

Выделим в первом уравнении неизвестную х2. Так как коэффициент при базисной неизвестной должен равняться единице, то делим обе части уравнения на коэффициент при х1 (т. е. на -1). Получим.

-7х1+x2-5x3+х4-2x5=-12. (1’)

Пользуясь уравнением (1’), исключим неизвестную х2 из остальных уравнений. Для этого умножаем (1’) на - 4 и складываем с уравнением (2). Затем умножаем (1’) на 6 и складываем с уравнением (3) Затем умножаем (1') на - 2 и складываем с уравнением (4).

(2’)

(3’)

(4’)

Базисная переменная в первом уравнении выделена. При этом получена эквивалентная система (1’) - (4’).

Аналогичным образом выбираем неизвестную х4, а уравнении (2’) и превращаем ее в базисную и т. д. Весь алгоритм оформляется в виде последовательных преобразований (описанного выше типа) таблицы, в которой записана вся информация о системе, каждая строка таблицы дает запись одного уравнения. В первом столбце записаны правые части уравнений, в остальных - коэффициенты при неизвестных см. на с. 19 Т.1.

Каждый шаг (так называемая большая итерация) требует выполнения следующих действий:

1. Выбор главного (ключевого или ведущего) элемента

За главный элемент можно принять любой отличный от нуля коэффициент при одном из неизвестных. В каждой строке главный элемент может выбираться только один раз. Невозможность выбора главного элемента говорит об окончании вычислений. Выбранный элемент заключается в квадратик. Его строку и столбец будем называть ключевыми.

2. Преобразование ключевой строки

Все элементы ключевой строки делятся на главный элемент. На его месте возникает единица. Полезно ее подчеркнуть.

3. Назначение дополнительных множителей

Каждой не ключевой строке исходной таблицы соотносится множитель равный взятому с обратным знаком ее элементу, стоящему в ключевом столбце. Эти множители приписаны справа от таблицы.

4. Преобразование не ключевых строк

Для преобразования не ключевой строки нужно каждый элемент преобразованной ключевой строки умножить на дополнительный множитель преобразуемой строки и добавить к соответствующему элементу.

5. Если в ходе вычислений появляется строка вида:

b	x1	x2		xn
b≠0	0	0		0

т. е. строка, в которой все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля, то система не имеет решений.

Действительно, всякое решение системы должно удовлетворять уравнению, записанному в этой строке, которое имеет вид:

...................................................

Поскольку его левая часть равна нулю для любых значений x1, x2,…, xn, а правая часть отлична от нуля, то ему не может удовлетворять ни один такой набор.

6. Если в ходе вычислений появляется строка, состоящая из одних нулей, то ее можно удалить из таблицы, так как такая строка отвечает уравнению:

 

которому удовлетворяет любой набор значений x1, x2,…, xn и поэтому ее можно не учитывать.

Заметим, что появление строки из одних нулей свидетельствует о том, что записанное в ней уравнение является следствием других уравнений системы.

Если при применении алгоритма не возникает противоречивой ситуации, описанной в п.5, то в каждой строке заключительной таблицы (т. е. в каждом уравнении) имеется базисная неизвестная, и система оказывается приведенной к эквивалентной системе с базисом.

Применим описанный алгоритм к системе из примера.

b	x1	x2	x3	x4	x5	Подмножитель
12 9 15(10) 4	7 3 11 -1	-1 4 -6 2	5 -1 11 -1	1 6 -8 5	2 -3 7 -1	- -4 6 -2
-12 57 57(-62) 28	-7 31 -31 13	1 0 0 0	-5 19 -19 9	1 2 -2 3	-2 5 -5 3	-1 - 2 -3
-40,5 28,5 0(-5) -57,5	-22,5 15,5 0 -33,5	1 0 0 0	-14,5 9,5 0 -19,5	0 1 0 0	-4,5 2,5 0 -4,5	4,5 -2,5 - -
17 -31/9 115/9	11 -28/9 67/9	1 0 0	5 -4/3 19/3	0 1 0	0 0 1

Т.1