Математика (стр. 4 )

Окончательно получаем

2)

В этих интегралах dV принимается

Пример 4. Вычистить по частям интеграл Сделаем предварительные преобразования, тогда

отсюда

Пример 5. Аналогично вычисляется такой интеграл . После преобразований: , получаем

3) .

В этих интегралах, выбор U(x) произволен. Дважды интегрируем по частям. Оба раза за U берем одно и то же. Интеграл сводится к самому себе.

Пример 6. Так в интеграле , примем .

Используя формулу интегрирования по частям (2), имеем

.

Ко второму интегралу повторно применим формулу (2), положив .

Тогда и

Таким образом наш интеграл свелся к самому себе. Разрешим последнее соотношение относительно J6

или

Замечание. В рассмотренном примере в ответе следовало бы писать константу С1, так как С1=4/29 С. Однако константы С и С1 являются произвольными постоянными величинами, поэтому мы не будем вводить дополнительные индексы. Конечно, указанные группы интегралов не исчерпывают всех, которые можно вычислять по формуле (2).

3). Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией R(x), называется функция, равная отношению двух многочленов:

где m, n – целые положительные числа, bi, aj – вещественные числа, (i=0,…,m; j=0,…,n).

Если m<n, то R(x) называется правильной дробью, если m≥n неправильной дробью.

Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби:

где - многочлены; - правильная дробь; l<n.

Пример 1. Рациональная функция является неправильной дробью. Разделив ее числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), получим

Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию правильных дробей.

Простейшей дробью называется дробь одного из четырех типов:

где А, а, М, N, р, q - вещественные числа, k - натуральное число (k≥2); p2-4q<0.

Теорема. Всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших рациональных пробей.

Пример 2. Найти .

Разложим правильную рациональную дробь, стоящую под знаком интеграла, на сумму простейших

(1)

Для того чтобы определить коэффициенты А, В и С, приведем дроби, стоящие в правой части равенства (1), к общему знаменателю. Он совпадет со знаменателем дроби, стоящей в левой части равенства (1). Чтобы равенство было верным, приравняем числители этих их дробей:

(2)

Так как тождество (2) должно выполняться для любого х, то зададим аргумент - следующие значения:

пусть x=1, то тождество (2) примет вид -1=-В, следовательно, В=1;

пусть x=2, то тождество (2) примет вид 1=2C, следовательно, ;

пусть x=0, то тождество (2) примет вид -3=2A, следовательно, ;

Подставим найденные коэффициенты в равенство (I), получаем

Теперь вычислить исходный интеграл не составляет труда.

4). Интегрирование подстановкой (замена переменной)

(3)

причем непосредственно подобрать первообразную для функции f(x) мы не можем, но нам известно, что она существует.

Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении

(4)

Будем считать, что функция φ(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т, тогда

Обозначим X - множество значении функции . Если функция f(x) определена на множестве X, то вычисление интеграла (3) с помощью замены переменного (4) сводится к вычислению интеграла

(5)

который может оказаться в каком-то смысле «проще», чем исходный.

Формула (5) называется формулой интегрирования заменой переменной. Она приводится без доказательства.

Так интегралы вида

,

где R - рациональная функция, с помощью подстановки

приводятся к интегралу от рациональной функции.

Пример 1. Интеграл вычисляется с помощью подстановки . В этом случае имеем .

Отсюда .

Заметим, что (последнее равенство не трудно проверить, приведя дроби к общему знаменателю). Наш интеграл равен разности двух интегралов:

.

Теперь возвращаемся к старым переменным .

При нахождении интегралов вида , где n и m - целые числа, возможны следующие случаи:

1).Одно из чисел n или m - нечетное, например m=2k+1. Тогда

.

После замены переменной t=sin t получаем интегралы от степенной функции:

.

2). Оба числа n и m - четные. Тогда рекомендуется воспользоваться тригонометрическими формулами понижения степени:

где α - любое вещественное число.

Пример 2. Вычислить интеграл .

Преобразуем этот интеграл

5). Интегрирование некоторых иррациональных функций

Рассмотрим интеграл вида

(6)

где R - рациональная функция, а, b - постоянные, τ, s - целые положительные числа.

Обозначим m - наименьшее общее кратное чисел s1,…,sk с помощью подстановки

ах+b=tm интеграл (6) приводится к интегралу от рациональной функции новой переменной t.

Сделаем в интеграле замену переменной .

Получаем , и наш интеграл преобразуется следующим образом:

В интегралах вида можно избавиться от иррациональности ответственно подстановками .

Пример 4. В интеграле рационально сделать замену переменной , тогда

Пример5. Вычислить интеграл .

Сделаем замену переменной ,

Тогда

Этот ответ можно еще преобразовать. Так как

то окончательно имеем

Наряду с указанными подстановками можно использовать и другие.

Пример 6. Интеграл

Вычисляется с помощью подстановки .

В этом случае

3. Определенный интеграл. Его определение и геометрический смысл

Пусть на отрезке [a, b] определена некоторая функция f(x). Будем говорить, что задано разбиение отрезка [a, b], если заданы точки x0, x1,…,xn, такие, что a=x0,<x1<…xn-1<xn=b.

Разбиение отрезка [a, b], будем обозначать символом {xk}. Отрезки [xk-1, xk], k=1,…,n, называются частичными отрезками. Обозначим длины этих отрезков символами Δxk:

Диаметром разбиения называется число .

На каждом частичном отрезке выберем произвольным образом точку и вычислим значение функции в этой точке f(ξk).

По данному разбиению {xk} построим сумму

(1)

которая начинается интегральной суммой или суммой Римана.

(Георг Фридерик Бернгард Риман – немецкий математик (). За свою короткую жизнь он опубликовал сравнительно небольшое число работ, но каждая из них была и остается важной, а некоторые из них раскрыли совершенно новые и плодотворные области).

Определение 3.1

Функция f(x), называется интегрируемой по Риману на отрезке [а, b], если для любого разбиения {xk} у которого , и для любого выбора, точка ξk существует предел последовательности интегральных сумм δn(xk, ξk), и он равен А: .

В этом случае число А называется римановым определенным интегралом функции f(x) на отрезке [а, b] и обозначается .

Это классическое определение интеграла, данное О. Коши и развитое Б. Риманом.

Рассмотрим геометрический смысл интегральной суммы в случае непрерывной неотрицательной функции .

Криволинейной трапецией назовем фигуру, ограниченную графиком функции y=f(x), прямыми x=a и x=b и отрезком [a, b] оси ОХ (рис. 1).

Сделаем разбиение {xk} отрезка [а, b] и в каждом частичном отрезке [xk-1,xk] выберем точку ξk. Тогда каждое слагаемое интегральной суммы (1) равно площади прямоугольника с основанием длины Δxk и высотой f(ξk). Вся же сумма δn(xk, ξk) равна площади «ступенчатой фигуры», получающейся объединением всех указанных прямоугольников.

Из определения 3.1 следует, что определенный интеграл является пределом, при , последовательности площадей соответствующих ступенчатых фигур, поэтому он равен площади криволинейной трапеции.

Теорема. Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на [а, b], т. е. предел интегральной суммы (1) существует и не зависит от способа разбиения отрезка [а, b] на частичные отрезки [xk-1, xk] и выбора наших точек ξk.

4. Свойства определенного интеграла

Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то ее интеграл является числом, не зависящим от выбора обозначения для аргумента подынтегральной функции, т. е. от обозначения переменной интегрирования:

Для любой функции f(x), определенной в точке a, положим по определению .

Кроме того, для функции f(x), интегрируемой на [a, b], будем считать по определению, что .

Приведем без доказательства основные свойства определенного интеграла.

Свойство 1 (свойство линейности)

Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [а, b], то для любых вещественных чисел α и β справедливо равенство:

Свойство 2 (свойство адаптивности)

Если функция f(x) интегрируема на отрезках [a, b] и [с, d], то она интегрируема и на отрезке [a, d]. Причем

Свойство 3 (основная теорема интегрального исчисления)

Если функция f(x), непрерывна на отрезке [а, b] и F(x)- какая-нибудь первообразная для f(x) на эом отрезке. то справедлива формула Ньютона-Ленбница

(1)

(без доказательства).

Заметим, что такое название формулы (1) условно, т. к. ни у Ньютона, ни у Лейбница такой формулы в точном смысле этого слова. Но важно, что именно Ньютон и Лейбниц впервые установили связь между ингегрированием и дифференцированием, позволяющую создать правило для вычислениея определенных интегралов.

Символ называется знаком двойной подстановки. С его помощью формула (1) записывается так:

Пример 1. Вычислить следующие определенные интегралы по формуле (1):

5. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема 6.1. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], а функция φ(t) определена и непрерывна вместе со своей производной φ’(t) на отрезке [α, β], причем a<φ(t)<b для любого и φ(α)=a, φ(β)=b. Тогда

(1)

(без доказательств).

Формула (1) называется формулой замены переменной в определенном интеграле или формулой интегрирования подстановкой.

Пример 1. Вычислить определенный интеграл .

x	t
1 9	1 3

Сделаем замену переменной и пересчитаем пределы интегрирования

Замечание при вычислении определенного интеграла по формуле (1) мы не возвращаемся к старой переменной.

Теореме 6.2. Если функция U(x) и V(x) дифференцируемы на отрезке [а, b], то справедлива следующая формула интегрирования по частям:

(без доказательства)

Пример 2. Вычислить .

Будем брать интеграл по частям, обозначим

Тогда

Контрольная работа №2

Задача 1. Найти производные следующих функций:

1.1  a). b). c).

1.2  a). b). c).

1.3  a). b). c).

1.4  a). b). c).

1.5  a). b). c).

1.6  a). b). c).

1.7  a). b). c).

1.8  a). b). c).

1.9  a). b). c).

1.10  a). b). c).

1.11  a). b). c).

1.12  a). b). c).

1.13  a). b). c).

1.14  a). b). c).

1.15  a). b). c).

1.16  a). b). c).

1.17  a). b). c).

1.18  a). b). c).

1.19  a). b). c).

1.20  a). b). c).

Задача 2. Исследовать методами дифференциального исчисления и построить графики функции:

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

2.15.

2.16.

2.17.

2.18.

2.19.

2.20.

Задача 3. Найти экстремумы функции Z=f(x,y)

3.1.	3.2.
3.3.	3.4.
3.5.	3.6.
3.7.	3.8.
3.9.	3.10.
3.11.	3.12.
3.13.	3.14.
3.15.	3.16.
3.17.	3.18.
3.19.	3.20.

Задача 4. Вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием:

4.1. а). b) c)

4.2. а) b) c)

4.3. а)b)с)

4.4. а) b) c)

4.5. а) b) c)

4.6. а) b)c)

4.7. а) b) c)

4.8. а)b)c)

4.9. а) b) c)

4.10. а) b) c)

4.11. а) b) c)

4.12. а)b) c)

4.13. а) b) c)

4.14. а) b) c)

4.15. а) b) c)

4.16. а) b) c)

4.17. а) b) c)

4.18. а) b) c)

4.19. а) b) c)

4.20. а) b) c)

Задание 5. 5.1.-5.20. – Вычислить определенный интеграл

5.1. 

5.2. 

5.3. 

5.4. 

5.5. 

5.6. 

5.7. 

5.8. 

5.9. 

5.10. 

5.11. 

5.12. 

5.13. 

5.14. 

5.15. 

5.16. 

5.17. 

5.18. 

5.19. 

5.20. 

Тематические вопросы к зачету по дисциплине “ Математика” для студентов 1 курса заочной формы обучения

Определение матрицы и ее разновидности Определение обратной матрицы, алгоритм её нахождения Минор, алгебраическое дополнение Метод Гаусса, метод Жордано - Гаусса. Сходство и различие. Условие параллельности двух прямых. Условие перпендикулярности двух прямых. Как найти угол между 2-я прямыми? Определение функции. Способы задания. Разновидности функций. Предел функции в точке. Способы вычисления. Предел функции не бесконечность. Способы вычисления. Асимптоты графика функции. Монотонность функций. Условия монотонности. Экстремум функции. Условия существования экстремума функций. Выпуклость графика функции. Алгоритм нахождения интервала в выпуклости. Точки перегиба графика функции. Первообразная функция Неопределенный интеграл и его свойства. Определенный интеграл и его свойства. Приложения определенного интеграла. Несобственный интеграл. Геометрический смысл. Частные производные. Достаточный признак существования экстремума. Необходимый признак существования экстремума.

Литература:

1. Кремер математика для экономистов. М.: ЮНИТИ, 2004 г.

2. Щипачев по высшей математике. М.: Высшая школа, 2005 г.

3. Щипачев математика. М.: Высшая школа, 1998 г.

4. Ганичева математика (часть 1,2 ). ТФ МЭСИ 2004 г.

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ

КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Студент должен выполнить контрольную работу по варианту, номер которого равен остатку от деления номера зачётной книжки на 20. Так, например, если номер 127, то нужно решать 7-ой вариант, а если номер 137, то нужно решать 17-й вариант. Если остаток равен нулю, то нужно решать 20-й вариант. Каждую работу следует выполнять в отдельной тетради, используя чернила любого цвета, кроме красного. Перед каждой задачей должно быть написано её условие, а после решения – ответ. Решение каждой задачи должно сопровождаться необходимыми пояснениями.

Содержание

1. Раздел 1. Линейная алгебра. 3

Указания к задаче 1 3

Указания к задаче 2 5

Указания к задаче 3 11

Указания к задаче 4 16

Контрольная работа №1 22

2. Раздел 2. Дифференциальное исчисление. 26

Задание 1 26

Задание 2 29

Задание 3 34

3. Раздел 3. Интегральное исчисление. 35

Задание 4 35

Задание 5 46

Контрольная работа №2 49

Рекомендуемая литература 55