Планирование эксперимента и статистическая обработка опытных данных в процессах обработки металлов давлением (стр. 3 )

Таблица 2.7 – План проведения эксперимента № 5

Номер опыта i	Параметры
х1	х2	х3	х4
1	0,74	0,84	21,08	5,5
2	0,89	0,86	101,78	7,4
3	0,71	1,70	37,02	9,1
4	0,76	0,57	40,41	9,9
5	0,62	0,88	39,53	9,4
6	0,68	0,66	37,39	4,3
7	0,72	1,04	42,39	6,6

3 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 (4 часа).
Дисперсионный анализ

3.1 Цель работы

Закрепление, углубление и расширение знаний студентов о дисперсионном анализе; практическое овладение методикой определения значимости влияния исследуемого фактора на функцию отклика.

3.2 Содержание работы

Дисперсионный анализ – метод математической статистики, определяющий влияние независимых факторов на функцию отклика путем разбиения дисперсии функции отклика на части. Анализ предполагает подчинение ошибок нормальному закону распределения и равенство дисперсий ошибок.

Целью дисперсионного анализа является получение качественных оценок воздействия факторов при минимальном числе экспериментов. Он осуществляется на этапе, предшествующем регрессионному анализу, после предварительной статистической обработки данных. Дисперсионный анализ позволяет оценить значимость влияния фактора на функцию отклика. Если оказывается, что влияние фактора не значимо, то фактор отбрасывается и последующий регрессионный анализ выполняется с меньшим числом факторов. Пример распределения факторов по степени влияния на функцию отклика показан на рисунке 3.1. Так называемый «шум» характеризует влияние на функцию отклика неучтенных факторов.

В зависимости от числа факторов модели дисперсионного анализа классифицируются на однофакторные, двухфакторные и т. д.

В качестве примера рассмотрим однофакторный дисперсионный анализ. Необходимо проанализировать степень влияния фактора х на функцию у. Фактор х имеет N уровней варьирования хi, где i = 1, 2, …, N. При однофакторном дисперсионном анализе количество уровней чаще всего совпадает с числом проведенных опытов.

Расчет характеристик в дисперсионном анализе производится в следующем порядке.

1. Определяется сумма квадратов ошибок SSе, являющаяся мерой разброса наблюдения в пределах каждого i-го опыта:

,

(3.1)

где yij – величина j-го наблюдения в i-м опыте экспериментального плана;

– среднее значение наблюдений в i-м опыте плана:

;

(3.2)

ni – количество повторных наблюдений в каждом i-м опыте;

N – количество опытов.

2. Далее рассчитывается средний квадрат ошибки или дисперсия наблюдения :

,

(3.3)

где uе – число степеней свободы, которое при одинаковых объемах выборок в каждом i-м опыте равно:

.

(3.4)

3. Находится сумма квадратов , обусловленная влиянием фактора х, представляющая собой взвешенную меру разброса выборочного среднего в N опытах. При одинаковых объемах ni выборок в каждом i-м опыте:

,

(3.5)

где – нормированное значение фактора х в i-м опыте:

, , ,

(3.6)

здесь хi – i-е значение фактора х в натуральном масштабе;

х0 – основной уровень нормированного фактора х, представляющий собой середину интервала [хmах; хmin];

хmах, хmin – максимальное и минимальное значения фактора х соответственно;

Dх – интервал варьирования экспериментального плана;

uх – число степеней свободы фактора:

;

(3.7)

– среднее значение наблюдений по всем точкам плана:

.

(3.8)

4. Значимость фактора х устанавливается при помощи критерия Фишера F:

,

(3.9)

где Fкр – критическое значение критерия Фишера.

Вычисленное значение F сопоставляется с табличным критическим значением Fкр, значения которого приведены в таблице А.2 Приложения А в зависимости от числа степеней свободы uе и uх, а также доверительной вероятности р. Если условие выполняется, то делается вывод, что фактор х с заданной доверительной вероятностью р статистически значим и его необходимо учитывать в последующем регрессионном анализе. В противном случае исследуемый фактор признается статистически незначимым.

При проведении многофакторного дисперсионного анализа для соответствующего фактора хm рассчитывается сумма квадратов по формуле (3.5) с учетом нормирования этого фактора по формулам (3.6). Далее проводится проверка значимости этого фактора согласно критерию Фишера (3.9). В конечном итоге можно произвести ранжирование всех исследованных факторов по соответствующим значениям F-критерия.

3.3 Порядок проведения работы

1. Используя экспериментальные данные, представленные в задании (варианты согласовываются с преподавателем), рассчитать характеристики по пунктам 1 ÷ 4. Расчетные значения характеристик внести в таблицу 3.1.

Таблица 3.1 – Результаты однофакторного дисперсионного анализа

i

SSе

uе

х0

Dхi

uх

F

Fкр

1

…

10

2. Проанализировать выполненную работу и сделать выводы о значимости влияния исследуемого фактора х на функцию отклика у.

3. Предоставить отчет, содержащий: цель, порядок выполнения работы, результаты работы согласно таблице 3.1 и выводы. При оформлении отчета необходимо руководствоваться правилами и требованиями, представленными в Приложении Б.

3.4 Контрольные вопросы

1. Назначение дисперсионного анализа.

2. С какой целью производят нормирование факторного пространства?

3. Что показывает «шум» на гистограмме распределения факторов по уровню значимости?

4. По какому критерию оценивают значимость фактора при проведении дисперсионного анализа?

3.5 Задания

Вариант 1

Таблица 3.2 – Результаты эксперимента по исследованию зависимости усилия вырубки рондоли у от ее диаметра х

i	xi, мм	yi,j, кН
yi,1	yi,2	yi,3	yi,4	yi,5
1	5	2,26	2,66	2,23	2,45	2,46
2	10	5,19	4,32	4,88	4,51	4,84
3	15	6,42	6,86	7,32	7,16	7,18
4	20	8,47	8,14	9,71	8,34	9,11
5	25	12,49	11,31	11,03	11,06	12,52
6	30	13,05	12,81	14,79	13,35	14,69
7	35	15,58	17,09	17,07	15,50	16,20
8	40	18,07	18,36	19,19	18,32	20,56
9	45	22,77	23,22	21,50	24,45	21,75
10	50	23,93	26,72	22,82	25,03	24,22

Вариант 2