Планирование эксперимента и статистическая обработка опытных данных в процессах обработки металлов давлением (стр. 5 )

Таблица 3.6 – Результаты эксперимента по исследованию зависимости усилия одноугловой гибки у от толщины заготовки х

i	xi, мм	yi,j, кН
yi,1	yi,2	yi,3	yi,4	yi,5
1	0,8	1,63	1,96	1,88	1,65	1,93
2	1,0	3,02	3,31	2,88	2,12	2,78
3	1,2	3,71	3,81	3,82	4,19	3,46
4	1,4	5,28	4,14	5,13	6,26	6,03
5	1,6	5,57	5,68	7,05	5,76	6,07
6	1,8	7,91	6,31	6,96	7,37	8,08
7	2,0	9,25	9,64	9,03	8,66	7,51
8	2,2	10,21	10,06	11,48	10,57	10,74
9	2,4	12,29	11,35	12,39	11,27	11,56
10	2,6	12,78	13,77	12,83	14,72	14,28

4 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 (4 часа).
Построение математической модели
по результатам полного факторного
двухуровнего эксперимента

4.1 Цель работы

Закрепление, углубление и расширение знаний студентов о планировании эксперимента и построении математических моделей; практическое овладение методикой построения математической модели на основе результатов полного факторного двухуровнего эксперимента.

4.2 Содержание работы

При планировании эксперимента под математической моделью понимают уравнение (функцию отклика), связывающее искомый параметр с независимыми факторами. Целью планирования эксперимента является получение математической модели y = f(X1, X2, … , Xj, …, Xk), где k – число независимых факторов. Для ее получения методами статистического моделирования необходимо реализовать план эксперимента. Планом эксперимента называется совокупность экспериментальных точек независимых факторов.

В области эксперимента устанавливают основные уровни и интервалы варьирования факторов. Уровнями фактора являются те значения, которые может принимать фактор в своей области определения [Xj min; Xj mах]. Эта область является интервалом варьирования фактора. Интервал варьирования не может быть выбран меньше той ошибки, с ко­торой экспериментатор фиксирует уровень фактора.

Основным или нулевым уровнем фактора X0j называют его значение, принятое за исходное в плане эксперимента. Оно является средним значением фактора в его области определения и определяется:

,

(4.1)

где X j mах, Xj min – максимальное и минимальное значения фактора Xj соответственно.

Каждое сочетание уровней факторов является многомерной точкой в факторном пространстве. Сочетание основных уровней, называемое центром плана, принимают за исходную точку для построения плана эксперимента. Построение плана эксперимента состоит в выборе экспериментальных точек, симметричных относительно центра плана. Центром плана является точка с координатами (Х01; …, Х0j; …; Х0k ).

Интервалом варьирования фактора является половина его области определения:

.

(4.2)

Для упрощения обработки экспериментальных данных и записи условий эксперимента уровни факторов нормируют. В нормированном виде верхний уровень (Хj mах) принимает значение плюс 1, нижний (Хj мin) минус 1, а основной (Х0j) 0. Нормированное значение хmj фактора Xmj определяют по формуле:

, m = 1, 2, …, M,

(4.3)

где Хmj – натуральное значение j-го фактора на m-м уровне;

М – число уровней варьирования.

При нормировании факторов, имеющих два уровня, верхний уровень принимает значение плюс 1, а нижний минус 1.

После нормирования всех факторов факторная область плана эксперимента имеет вид, представленный на рисунке 4.1.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом. Если число уровней каждого фактора М, а число факторов k, то число N всех сочетаний уровней факторов, а следовательно, и число опытов в полном факторном эксперименте определяется выражением:

.

(4.4)

Для двухуровневых факторов число опытов составляет N = 2k.

Факторный эксперимент осуществляют с помощью матрицы – таблицы, в которой используют нормированные значения факторов. Так, например, для двух факторов с двумя уровнями варьирования полный факторный эксперимент можно представить матрицей, приведенной в таблице 4.1. Число строк матрицы равно количеству опытов. Знаками «+» и «–» обозначены нормированные значения факторов х1 и х2 в опытах (для упрощения записи единицы опущены). Значения функции отклика, полученные при реализации опытов, обозначены через у1, у2, у3 и у4.

Таблица 4.1 – Матрица полного факторного
эксперимента типа 22

Номер опыта i	х1	х2	у
1	–	–	у1
2	+	–	у2
3	–	+	у3
4	+	+	у4

Теперь рассмотрим вид математической модели, которую можно построить после реализации опытов полного факторного эксперимента.

Наиболее простой моделью является полином. Полином линеен относительно неизвестных коэффициентов, что упрощает обработку наблюдений.

Полином может быть первой, второй и более высокой степени. Коэффициенты полинома вычисляют по результатам опытов. Чем больше число коэффициентов в полиноме, тем большее количество опытов необходимо поставить для их определения. Число коэф-фициентов зависит от степени полинома: чем выше степень, тем больше число коэффициентов.

Полином первой степени имеет минимальное число коэффициентов при данном числе факторов и в общем виде выражается уравнением:

(4.5)

Для трех факторов это уравнение имеет вид:

(4.6)

Полином второй степени для трех факторов:

(4.7)

Значения коэффициентов в уравнениях (4.5)-(4.7) определяют по матрице планирования (таблица 4.2) с помощью значений функции отклика, полученных в результате реализации опытов по матрице полного факторного эксперимента (см. таблицу 4.1).

Таблица 4.2 – Матрица планирования

Номер опыта i	х0	х1	х2	х1х2	у
1	+	–	–	+	у1
2	+	+	–	–	у2
3	+	–	+	–	у3
4	+	+	+	+	у4

Величина и знак коэффициента указывают на вклад данного фактора в общий результат при переходе с основного на верхний или нижний уровень фактора.

Линейным называют эффект, характеризующий линейную зависимость функции отклика от соответствующего параметра. Эффектом взаи­модействия называют эффект, характеризующий совместное влияние нескольких факторов на функцию отклика. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценить линейные эффекты и все эффекты взаимодействия (т. е. определить численные значения коэффициентов bj и b1…k).

Так, в таблице 4.2 представлена матрица планирования для получения модели вида y = b0 + b1х1 + b2х2 + b12х1х2. В этой матрице содержится столбец фиктивной переменной х0. Он вводится для оценки свободного члена b0. Столбец х1х2 получен перемножением столбцов х1 и х2. Он введен для расчета эффекта взаимодействия b12.

Для вычисления коэффициентов модели обычно используют метод наименьших квадратов. Найденные этим методом коэффициенты обладают наименьшей возможной дисперсией.

После вычисления коэффициентов модели проверяют их значимость. Статистически незначимые коэффициенты могут быть исключены из уравнения.

Адекватность полученной математической модели проверяют с помощью критерия Фишера.

После выбора плана эксперимента, основных уровней и интервалов варьирования факторов переходят к осуществлению эксперимента. Каждая строка матрицы эксперимента – это условия опыта. Для исключения систематических ошибок опыты, предусмотренные матрицей, рекомендуется проводить в случайной последовательности. Порядок проведения опытов следует выбирать по таблице случайных чисел.

Для компенсации влияния случайных погрешностей каждый опыт рекомендуется повторить несколько раз. Такие опыты называют параллельными. Под повторением или дублированием понимают постановку параллельных опытов. При проведении исследований приходится иметь дело с тремя вариантами дублирования:

1) эксперимент при равномерном дублировании;

2) эксперимент при неравномерном дублировании;

3) эксперимент без дублирования.

Наиболее предпочтительным является первый вариант, поскольку такой эксперимент отличается повышенной точностью, а математическая обработка экспериментальных данных – простотой. Характер дублирования опытов влияет на содержание обработки данных. Наиболее простая обработка относится к эксперименту без дублирования опытов.

Порядок обработки результатов полного факторного двухуровнего эксперимента при отсутствии дублирования опытов следующий.

1. Для вычисления дисперсии воспроизводимости эксперимента s2у выполняют несколько параллельных опытов в центре плана (в нулевой точке). При постановке опытов в центре плана все факторы находятся на нулевых уровнях Х0j. По результатам опытов вычисляют дисперсию воспроизводимости эксперимента:

,

(4.8)

где n0 – число параллельных опытов в нулевой точке;

уu – значение функции отклика в центре плана в u-м опыте;

– среднее арифметическое значение функции отклика в серии n0 параллельных опытов.

2. После проведения эксперимента согласно матрице планирования эксперимента вычисляют коэффициенты математической модели. Свободный член b0 определяют по формуле: