Кинематика

ВВЕДЕНИЕ

Физика изучает материю и формы существования материи. Одной из форм существования материи является движение. Механика изучает один из простейших видов движения – механическое движение. Под механическим движением понимают перемещение одного тела относительно другого в пространстве.

Для изучения механического движения надо выбрать систему отсчета, которая включает в себя тело отсчета (тело, относительно которого изучается движение другого тела), систему координат, связанную с телом отсчета, прибор для измерения времени. Основной задачей механики является определение положения тела в пространстве в любой момент времени. Для решения этой задачи надо знать как движется тело, почему оно движется так, а не иначе и когда тело находится в покое и при каких условиях. Поэтому механика имеет три раздела: кинематика, динамика и статика.

Кинематика изучает движение тел без учета причин, вызывающих это движение. Динамика изучает движение с учетом причин, вызывающих это движение, т. е. с учетом взаимодействия между телами или с учетом сил. Статика изучает равновесие тел и условия существования равновесия.

В механике поступательного движения мы часто будем пользоваться приближением материальной точки. Материальная точка – это тело, размерами и формой которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

КИНЕМАТИКА

Для решения основной задачи механики – определения положения тела в пространстве в любой момент времени надо научиться задавать положение точки в пространстве: при помощи радиус-вектора .и координатным методом (ХА, YA, ZA). При движении материальной точки А в пространстве конец радиус-вектора описывает некоторую кривую, называемую траекторией. По форме траектории движение может быть пространственным и плоскостным, криволинейным и прямолинейным. Мы ограничимся пока рассмотрением прямолинейного движения на плоскости.

Для описания движения введем следующие параметры:

1.  ПЕРЕМЕЩЕНИЕ – векторная величина численно равная кратчайшему расстоянию от точки начала движения до конечной точки движения.

При любом движении перемещение может быть отрицательным, положительным и равным нулю. Перемещение может как увеличиваться, так и уменьшаться.

2.  ПУТЬ S – скалярная величина, численно равная длине траектории движения тела.

Путь может только увеличиваться и бывает только положительным.

3.  СКОРОСТЬ V– векторная величина, характеризующая быстроту движения тела.

V = D/Dt (1)

4. УСКОРЕНИЕ a – векторная величина, численно равная быстроте изменения скорости

a = DV/Dt (2)

ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Равномерным называется такое движение, при котором тело за одинаковые промежутки времени

(3)

проходит одинаковые пути или перемещения

(4) ,

т. е. это движение с постоянной скоростью

(5)

Основным уравнением такого движения служит:

S = S0 ± vt, (6)

где so – расстояние от начала координат до точки начала движения. Когда начало координат совпадает с началом движения, уравнение имеет вид:

S = vt (7)

Знак "±" в формуле (6) означает совпадение или нет направления выбранной координатной оси и направления скорости. Построим графики зависимостей V(t), S(t), (t).

Площадь фигуры под графиком V(t) равна пути, пройденному телом за время t1.

На графике S(t) тангенс угла наклона графика к оси х равен величине скорости: и .

ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ГАЛИЛЕЯ.

В зависимости от выбора системы отсчета, относительно которой изучается движение, одно и то же движение может иметь различный характер. Например, изучая движение человека, движущегося равномерно относительно поезда, можно принять за тело отсчета сам поезд или поверхность Земли, и в этих разных системах отсчета скорость человека будет различна. Обычно за тело отсчета принимают такое массивное тело, чтобы движение изучаемого тела не влияло на тело отсчета. Например, при движении тела вдоль лодки, находящейся на воде, скорость движения лодки относительно воды зависит от скорости движения человека вдоль лодки.

Системы отсчета, в которых выполняется закон инерции, т. е. в которых тело сохраняет прямолинейное равномерное движение ( или покоится), если на него не действуют другие тела называются инерциальными. Если какая-либо система движется равномерно прямолинейно по отношению к инерциальной системе, то она сама является инерциальной. Рассмотрим две инерциальных системы отсчета К и К1, причем систему К будем считать условно неподвижной. Систему К1 выберем так, чтобы в момент начала отсчета (t = 0) она совпадала с системой К. Затем она будет перемещаться с постоянной скоростью V0 вдоль оси х относительно системы К.

K1

Z1

Пусть в некоторый момент времени t точка М имеет координаты в системе К1 имеет координаты x1, y1, z1:M(x1,y1,z1).Определим ее координаты в системе К.

За время t система К1 переместится относительно системы К по оси Х на расстояние V0t. Поэтому координата Х будет больше Х1 на величину V0t

X = X1 + V0t

Остальные координаты будут одинаковыми, т. к. система К1 движется относительно К по оси Х.

(1)

Отсюда

Эту задачу можно обобщить на случай движения системы К1 относительно К в произвольном направлении:

(2)

или

Здесь u0x, u0y, u0z – составляющие скорости u0 вдоль оси x, y, z соответственно.

Система уравнений (2) получила название «преобразование координат Галилея».

ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Пусть теперь точка М будет двигаться и за время Δt некоторый путь ΔS и проекции ее координат на координатные оси изменятся в координатной К1 на Δx1, Δy1,Δz1, а в системе К на Δx, Δy,Δz.

Тогда будем иметь следующую систему:

Вычтем из этой системы систему, полученную ранее:

и получим:

Поделим все члены системы уравнений на и учтем, что

Тогда получим:

(3)

или в векторной форме

(4)

Система уравнений (3) или уравнение (4) называется теоремой сложения скоростей.

Здесь V – скорость точки М относительно неподвижной системы называют абсолютной скоростью.

V1 – скорость точки М относительно подвижной системы называют относительной скоростью

V0 – скорость движения подвижной системы относительно неподвижной системы, которую называют переносной скоростью.

Так, например, если один автомобиль движется со скоростью V1, а другой автомобиль в том же направлении вдоль той же прямой – со скоростью V2 , то переносная скорость (одного автомобиля относительно другого) будет равна

Если же они движутся навстречу друг другу, то

так как проекция скорости V2 на ось, совпадающую с направлением V1,отрицательна и скорость V0 – это скорость сближения автомобилей.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

При решении задач по физике следует придерживаться следующего порядка решения задач:

1. Записать условия задачи полностью (словами).

2. Записать условия кратко.

3. Перевести все данные в единую систему единиц.

4. Нарисовать рисунок (если это необходимо).

5. Решить задачу в общем виде с получением рабочей формулы.

6. Провести проверку рабочей формулы по размерности (размерность левой части должна быть равна размерности правой части).

7. Подставить числовые данные в рабочую формулу и получить численный ответ.

8. Провести проверку по здравому смыслу.

9. Написать ответ.

ПРИМЕР 1.Из городов А и В, расстояние между которыми L = 120 км, одновременно выехали навстречу друг другу две автомашины, скорости которых постоянны и равны V1 = 40 км/ч и V2 = 60 км/ч. 1) Найти, через какое время t и на каком расстоянии от города А встретятся автомобили. 2) Решить задачу графически. 3) Построить график зависимости расстояния между автомобилями от времени ΔS(t).

V1= 40 км/ч

V2 = 60 км/ч

S = 120 км

___________

t - ? S1 - ?

Скорость одного автомобиля относительно другого равна

V = V1 + V2

Тогда время, через которое они встретятся можно рассчитать так:

Проведем проверку по размерности:

час = км/(км/ч) = час

Подставим числовые данные

t = 120/(40 + 60) = 1,2 ч.

Расстояние от города А, на котором встретятся автомобили, будет равно:

S1 = V1 . t

S1 =,2 = 48 км

Другой метод решения данной задачи основан на том условии, что если два автомобиля встретились, то они должны оказаться в один и тот же момент времени в одной и той же точке пространства (в данном случае в одной и той же точке оси х):

Для графического решения задачи воспользуемся уравнениями движения каждого автомобиля и построим на одной координатной системе графики их движений .

Точка пересечения графиков и даст время встречи автомобилей и расстояние от города А, где они встретятся. Это и есть графическое решение данной задачи.

Для построения графика зависимости расстояния между автомобилями от времени ΔS(t) найдем выражение между координатами автомобилей в любой момент времени.

Этот график будет иметь вид:

Ответ:t1 =1,2 ч, S1 =48 км.

ПРИМЕР 2: Один паровоз прошел половину пути L со скоростью v1=80 км/час, а другую половину – со скоростью v2=40 км/час. Другой паровоз шел половину времени t со скоростью u1=80 км/час, а половину времени - со скоростью u2=40 км/ч. Какова средняя скорость каждого паровоза?

L1= L2= L/2

v1=80 км/час

v2=40 км/час

t1 = t2 = t

u1=80 км/час

u2=40 км/ч

__________

vср;uср.

По определению средняя скорость – это:

Рассмотрим движение первого паровоза.

Теперь рассмотрим движение второго паровоза.

Таким образом, значения средних скоростей равны:

Ответ:Vср = 53,3 км/ч; uср = 60 км/ч.

ПРИМЕР 3: Трамвай движется со скоростью 24 км/ч. Прямой дождь чертит на его окне линии под углом a=30о к вертикали. Определить вертикальную скорость капель дождя.

Vтр = 24 км/ч

a = 300

___________

Vк

По принципу независимости движений падение капель под углом к вертикали можно рассматривать как вертикальное падение и движение вместе с трамваем. Тогда скорость капель V, падающих под углом можно рассматривать как векторную сумму скоростей вертикального падения Vк и скорости трамвая Vтр.

В прямоугольном треугольнике

. Отсюда .

Ответ: Vк= 41,4 км/ч.

ПРИМЕР 4: Лодочник, переправляясь через реку шириной H из пункта А, все время направляет лодку под углом a к берегу (см. рисунок). Определить скорость лодки относительно воды v0, если скорость течения v1, а лодку снесло ниже пункта В (в точку С) на расстояние L.

L V1

a

_______________

V0

Движение лодки удобно представлять в виде суммы двух движений: вдоль оси X и вдоль оси Y, происходящих одновременно. Уравнения этих движений можно записать в виде:

Здесь

Тогда уравнения движения будут иметь вид:

Когда лодка, переплыв реку, окажется в точке С, ее координаты будут равны: .

Подставив эти значения в уравнения движения, получим систему уравнений:

В этой системе два неизвестных: V0 и время движения лодки tдвиж, относительно которых и решаем эту систему. Для этого поделим одно уравнение на другое.

Или по-другому:

Ответ:

ПРИМЕР 5: Вагон шириной 2,4 м, движущийся со скоростью 15 м/с, был пробит пулей, летевшей перпендикулярно к направлению движения вагона. Смещение отверстий в стенках вагона относительно друг друга равно 6 см. Найти скорость пули.

H = 2,4 м

S = 6 см = 0,06 м

V1 = 15 м/с

_______________

V2

В этом случае движения поезда и пули происходят одновременно.

Ответ: V2 = 600 м/с.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ

1.  Со станции вышел товарный поезд, идущий со скоростью v1=36 км/час. Через t1=30 мин по тому же направлению вышел экспресс со скоростью v2=72 км/час. 1). Через какое время t после выхода товарного поезда и на каком расстоянии s от станции экспресс нагонит товарный поезд? 2). Решить задачу также графически.

2.  Из городов А и В, расстояние между которыми L=120 км, одновременно выехали навстречу друг другу две автомашины, скорости которых постоянны и равны v1=20 км/час, v2=60 км/час. Машины, пройдя каждая 120 км, остановились. 1). Найти, через какое время t и на каком расстоянии l от города С, находящегося на полпути между А и В, встретятся автомашины. 2). Решить задачу графически. 3). Построить график зависимости расстояния Dl между машинами от времени t.

3.  По двум параллельным путям в одном направлении идут товарный поезд длиной L1=630 м со скоростью v1=48,6 км/час и электропоезд длиной L2=120 м со скоростью v2=102,6 км/час. В течение какого времени электропоезд будет обгонять товарный?

4.  Определить среднюю скорость автомобиля v, который двигался одну треть времени со скоростью v1=36 км/час, вторую – со скоростью v2=54 км/час, а третью – со скоростью v3=72 км/час.

5.  Два поезда идут навстречу друг другу, один со скоростью v1=36 км/час, другой со скоростью v2=54 км/час. Пассажир в первом поезде замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение t=6 с. Какова длина второго поезда?

6.  Пловец переплывает реку шириной H. Под каким углом a к течению он должен плыть, чтобы переправиться на противоположный берег в кратчайшее время? Где он в этом случае окажется, переплыв реку, и какой путь s он проплывет, если скорость течения равна v1, скорость пловца относительно воды v2?

7.  Лодочник, переправляясь через реку шириной H из пункта А, все время направляет лодку под углом a к берегу (см. рисунок). Определить скорость лодки относительно воды v0, если скорость течения v1, а лодку снесло ниже пункта В (в точку С) на расстояние L.

8.  Один паровоз прошел половину пути L со скоростью v1=80 км/час, а другую половину – со скоростью v2=40 км/час. Другой паровоз шел половину времени t со скоростью u1=80 км/час, а половину времени - со скоростью u2=40 км/ч. Какова средняя скорость каждого паровоза?

9.  Капли дождя на окне неподвижного трамвая оставляют полосы, наклоненные под углом a=30о к вертикали. При движении трамвая со скоростью vт=18 км/ч полосы от дождя вертикальны. Определить скорость капель vк в безветренную погоду и скорость ветра vв.

10.  Теплоход, длина которого L=300 м, движется по прямому курсу в неподвижной воде с постоянной скоростью v1. Катер, имеющий скорость v2=90 км/ч, проходит расстояние от кормы движущегося теплохода до его носа и обратно за время t=37,5 с. Определить скорость v1 теплохода.

11.  Пешеход двигался в течение времени t1=1 ч со скоростью v1=5 км/ч, в течение времени t2=0,5 ч со скоростью v2=4 км/ч и в течение времени t3=1 ч со скоростью v3=4,5 км/ч. Определить среднюю скорость пешехода на всем пути. Ответ дать в км/ч.

12.  Трамвай движется со скоростью 24 км/ч. Прямой дождь чертит на его окне линии под углом a=30о к вертикали. Определить вертикальную скорость капель дождя.

13.  Самолет летит из пункта А в пункт В, расположенный восточнее пункта А. Дует северный ветер со скоростью 36 км/ч. Расстояние между пунктами А и В 500 км самолет пролетает за 1 час. Определить величину скорости самолета относительно воздуха и ее направление относительно АВ.

14.  Человек в лодке переплывает реку из точки А в точку В, лежащую напротив А. Если он будет держать курс перпендикулярно берегу, то через 10 мин. он приплывет в точку С, лежащую на 120 м ниже точки В по течению. Если же он будет держать курс под некоторым углом к линии АВ (против течения), то через 12,5 мин. попадет в точку В. Скорость лодки относительно воды постоянна. Определить ширину реки.

15.  Две пристани перевоза расположены друг против друга на противоположных берегах реки. Скорость течения реки равна 0,5 км/ч. Какой курс должна держать лодка перевозчика, чтобы пересекать реку по прямой линии от одной пристани к другой? С какой скоростью при этом условии лодка будет двигаться поперек реки? Относительно воды лодка развивает скорость 0,8 м/с.

16.  Когда два тела движутся навстречу друг другу, то расстояние между ними уменьшается на 16 м за каждые 10 с. Если тела с прежними скоростями будут двигаться в одном направлении, то расстояние между ними будет увеличиваться на 3 м каждые 5 с. Каковы скорости каждого из тел?

17.  Трамвай движется с постоянной скоростью 48 км/ч. Идет прямой дождь. Скорость падения капель постоянна и равна 72 км/ч. Под каким углом к горизонту видны следы капель дождя на окне трамвая?

18.  Равномерно движущийся поезд половину пути шел со скоростью в 1,5 раза меньшей, чем скорость на второй половине пути, Средняя путевая скорость поезда на всем пути равна 43,2 км/ч. Какова скорость поезда на первой половине пути?

19.  Вагон шириной 2,4 м, движущийся со скоростью 15 м/с, был пробит пулей, летевшей перпендикулярно к направлению движения вагона. Смещение отверстий в стенках вагона относительно друг друга равно 6 см. Найти скорость пули.

20.  Катер пересекает реку шириной Н. Скорость течения равна v1. Скорость катера относительно воды v2. Под каким углом a к берегу должен идти катер, чтобы переплыть реку за минимальное время?

21.  Вертолет летел на север со скоростью 20 м/с. С какой скоростью и под каким углом к меридиану будет лететь вертолет, если подует западный ветер со скоростью 10 м/с?

22.  Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира за 1 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за 3 мин. Сколько времени будет подниматься идущий вверх по движущемуся эскалатору пассажир?

23.  На одном из этапов чемпионата мира по автогонкам в классе "Формула – 1" автомобили должны проехать 60 кругов. Среднее время прохождения всей дистанции 40 мин. Средняя скорость автомобилей – 180 км/ч. Определить протяженность одного круга l.

24.  Мотоциклист движется по холмистой местности. На подъемах его скорость равна v1=40 км/ч, а на спусках – v2=60 км/ч. Подъемы и спуски одинаковой длины. Какова средняя скорость мотоциклиста, если он проехал два спуска и три подъема? Ответ дать в км/ч.

25.  Автомобиль должен проехать расстояние между двумя городами, равное 120 км за 4 часа. Половину пути он ехал со скоростью 40 км/ч. Какова должна быть его скорость на второй половине пути, чтобы уложиться в назначенное время?

26.  Самолет пролетает 2200 км со скоростью 1000 км/ч. Затем возникает встречный ветер, дующий со скоростью 85 км/ч, и самолет следующие 1750 км пролетает с измененной скоростью. Какова средняя путевая скорость самолета за такой перелет?

27.  На квалификационных заездах перед соревнованиями автогонщик должен на протяжении 4 кругов показать среднюю путевую скорость 200 км/ч. Из-за неполадок в двигателе средняя путевая скорость на первом круге оказалась равной 170 км/ч. Какую среднюю скорость надо развить автогонщику на последних трех кругах, чтобы пройти квалификацию?

28.  Собака убежала от своего хозяина на расстояние 100 м за 8,4 с, а затем за треть этого времени пробежала половину пути обратно. Найти среднюю скорость собаки.

29.  Автомобиль, движущийся со скоростью 90 км/ч, находится на расстоянии 100 м позади трактора, имеющего скорость 30 км/ч. Сколько времени потребуется автомобилю, чтобы догнать трактор?

30.  Камень, брошенный в горизонтальном направлении и пролетевший 40 м, попадает в большой колокол. Удар о колокол был услышан через 3,9 с. Какой была скорость камня, если скорость звука 330 м/с? (Действие силы тяжести не рассматривать; считать движение камня прямолинейным, равномерным).

31.  Самолет пролетает 500 км со скоростью 1000 км/ч. Затем возникает встречный ветер, вследствие чего скорость самолета уменьшается, и следующие 1700 км он пролетает уже со скоростью 850 км/ч. Какова средняя путевая скорость самолета за такой перелет? Ответ дать в км/ч.

32.  Реактивный самолет летел из города А в город В против ветра со скоростью 720 км/ч, а на обратном пути – со скоростью 1080 км/ч. Определить среднюю путевую скорость самолета и скорость ветра относительно Земли.

33.  Реактивный самолет летел из города А в город В против ветра со скоростью 720 км/ч, а на обратном пути – со скоростью 1080 км/ч. Определить среднюю путевую скорость самолета и скорость ветра относительно Земли.

34.  Велосипедист, проехав 4 км со скоростью 12 км/ч, вследствие поломки велосипеда остановился. Через 40 мин., устранив поломку, оставшиеся 8 км пути он проезжал со скоростью 8 км/ч. Найти среднюю путевую скорость велосипедиста на всем пути.

35.  Автомобиль, едущий со скоростью 80 км/ч, встречает поезд длиной 1,1 км, движущийся навстречу автомобилю по параллельному пути. Скорость поезда равна 70 км/ч. Сколько времени потребуется автомобилю, чтобы проехать мимо поезда? Как далеко автомобиль уйдет за это время?

ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ

Равнопеременным называется движение, при котором тело или материальная точка за равные промежутки времени

(8)

проходит не одинаковые пути, т. е. скорость изменяется, но изменение скорости за эти промежутки времени будет одинаково.

(9)

Очевидно, что это движение с постоянным ускорением.

(10)

Ускорение равно

, (11)

где - скорость в момент времени ,

- скорость в начальный момент времени,

- промежуток времени, за который происходит изменение скорости.

Скорость в любой момент времени можно определить по формуле

(12)

Если направление скорости совпадает с направлением ускорения , то за каждый равный промежуток времени скорость увеличивается на одно и тоже значение. Это движение называется равноускоренным. Если направление вектора скорости и направление вектора ускорения противоположны, то скорость за каждый равный промежуток времени будет уменьшаться на одно и то же значение, а движение называется равнозамедленным.

Построим график изменения скорости при равноускоренном движении.

Путь, пройденный телом за промежуток времени от 0 до t будет численно равен площади трапеции ОАВС. Эту площадь можно вычислить как полусумму оснований трапеции, умноженную на высоту:

(13)

В этой формуле ОА = V0, ВС = Vt , ОС = Dt=t, если начальный момент времени совпадает с началом отсчета. Используя формулу (12) и сделав необходимые преобразования, получим

(14)

Выразим t из уравнения (11)

Подставим в уравнение (14) и получим еще одну формулу для равнопеременного движения:

(15)

Построим графики функций а(t), V(t), S(t), r(t) для равнопеременного движения.

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 1: Какую начальную скорость надо сообщить камню при бросании его вертикально вниз с моста высотою 20 м, чтобы он достиг поверхности воды через 1 с? На сколько дольше длилось бы падение камня с этой же высоты при отсутствии начальной скорости?

H = 20 м При движении в вертикальной плоскости ускорение

t = 1 с свободного падения равно g = 9,8 м/с. Для описания

__________ этого движения подходят формулы равнопеременного

V0; Dt/ движения.

Ответ: V0 =15,1 м/с, Dt = 1 с.

ПРИМЕР 2: Тело, двигаясь равноускоренно, в течении пятой секунды от начала движения прошло 45 м. Какова его скорость в конце пятой секунды? Какой путь тело прошло за первую.

t = 1 c Путь, пройденный за одну пятую секунду

t5 =5 c равен разности пути, пройденного за пять

t4 =4 c секунд, и пути, пройденного за четыре

S = 45 м секунды. Так как движение рассматривается

_______ от его начала, то начальная скорость

S1; V5/ движения равна нулю.

Путь за первую секунду равен

Скорость в конце пятой секунды равна

Ускорение найдем из уравнения:

Ответ: S1 =5 м, V5 =25 м/с.

ПРИМЕР 3: Падающее без начальной скорости тело в некоторой точке имело скорость 19,6 м/с, а в другой точке – 39,2 м/с. Определить расстояние между этими точками и время прохождения этого расстояния.

V1 = 19,6 м/с

V2 = 39,2 м/с В этой задаче не дано время прохождения

V0 = 0 телом расстояния между двумя точками.

g =9,8 м/с2 Поэтому удобно воспользоваться формулой:

____________

H -? t - ? Отсюда удобно найти расстояние между

двумя точками:

Время найдем из формулы для определения скорости:

Ответ: H = 58,8 м, t = 2 с.

ПРИМЕР 4: Поезд прошел путь 50 км за время 52 мин. Сначала он двигался с ускорением +а, в конце – с ускорением –а, остальное время с максимальной скоростью v=72 км/ч. Чему равно абсолютное значение ускорения, если начальная и конечная скорости равны нулю?

Для решения задачи построим график зависимости V(t).

Эту задачу можно решить аналитически. Для этого составим систему уравнений. Для этого обозначим через S!, S2, S3 – путь, пройденный поездом на первом, втором и третьем участках соответственно; t1,t2,t3 –время прохождения первого, второго и третьего участков соответственно. Система уравнений будет иметь вид:

Количество уравнений в этой системе уравнений равно количеству неизвестных: t1, t2, t3, S1, S2, S3, a. Поэтому система имеет решение. Но проще эту задачу решить при примощи графика. Площадь под графиком V(t) равна пути, пройденному телом за время движения.

Площадь трапеции равна полусумме основания, умноженному на высоту:

ПРИМЕР5 :Тело падает без начальной скорости с высоты Н=45 м. Найти среднюю скорость vср. падения на нижней трети пути.

Ответ: Vср =11,7 м/с.

ПРИМЕР 6: С башни высотой h бросают одновременно два шарика: один – вверх со скоростью v1, другой – вниз со скоростью v2. Каков промежуток времени, отделяющий моменты их падения на землю?

Выберем ось Y, направленную вертикально вверх.

Тогда уравнение, описывающее кооржинату, при движении первого тела будет иметь вид:

Уравнение, описывающее координату, при движении второго тела будет иметь вид:

Промежуток времени, отделяющий моменты падения тел на землю равен:

Время падения первого тела нп землю можно найти из условия Y1 = 0 (t = t1):

Время падения второго тела нп землю можно найти из условия Y2 = 0 (t = t2):

Ответ:

ПРИМЕР 7: Тело, двигаясь равноускоренно, за первые 5 с своего движения прошло путь 100 м, а за следующие 10 с прошло путь 300 м. Определить начальную скорость тела.

Движение равноускоренное, причем начальная скорость на втором участке пути равна конечной на первом участке пути. Поэтому можно записать следующие уравнения и решать их системой уравнений.

Здесь S1- путь, пройденный телом на первом участке пути,

S2 – путь, пройденный телом на втором участке пути,

V0 – начальная скорость тела на первом участке пути,

V02 – начальная скорость тела на втором участке пути,

VК1 – конечная скорость тела на первом участке пути,

t1 – время, затраченное на прохождение первого участка пути,

t2 - время, затраченное на прохождение второго участка пути

Решим эту систему уравнений и найдем начальную скорость на первом участке пути.

Ответ: V0 = 16,7 м/с.

ПРИМЕР 8: Тело, брошенное вертикально вверх, дважды проходит через точку на высоте h. Промежуток времени между этими прохождениями равен Dt. Найти начальную скорость тела v0 и время Dt0 от начала движения тела до возврата в начальное положение.

 

Напишем уравнение, описывающее изменение координаты при движении тела:

Интервал времени между началом движения тела и его падением – это время всего движения, которое можно найти, приняв Y=0.

Ответ:

ПРИМЕР 8: С аэростата, опускающегося со скоростью v0 бросаю вверх тело со скоростью u0 относительно Земли. Через какое время T от момента бросания тело поравняется с аэростатом?

Напишем уравнения координат для аэростата и тела, брошенного с аэростата. Будем считать, что в момент бросания тела аэростат находился на высоте H.

Для аэростата, движущегося равномерно, уравнение будет иметь вид:

Для тела, движущегося равнопеременно с ускорением свободного падения, уравнение примет следующий вид:

Если тело и аэростат окажутся на одной высоте, то это значит, что будут равны их координаты:

Ответ:

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ

Какую начальную скорость надо сообщить камню при бросании его вертикально вниз с моста высотою 20 м, чтобы он достиг поверхности воды через 1 с? На сколько дольше длилось бы падение камня с этой же высоты при отсутствии начальной скорости? Расстояние между двумя станциями поезд проходит со средней скоростью 54 км/ч, причем на разгон он тратит 2 мин, затем идет с постоянной скоростью и на замедление тратит 1 мин. Какой была скорость при равномерном движении? Какой путь поезд прошел, двигаясь равномерно, если расстояние между станциями равно 6км? Падающее без начальной скорости тело в некоторой точке имело скорость 19,6 м/с, а в другой точке – 39,2 м/с. Определить расстояние между этими точками и время прохождения этого расстояния. Одно тело падает с высоты 20 м, другое – с высоты 80 м. Во сколько раз скорость падения на землю второго тела больше скорости падения первого тела? Во сколько раз время падения второго тела больше времени падения первого тела? Сколько времени будет падать тело с потолка на пол в комнате, высота которой 4,9 м? Какую скорость будет иметь тело при падении на пол? Какова средняя скорость движения тела? Поезд прошел путь 80 км за время 52 мин. Сначала он двигался с ускорением +а, в конце – с ускорением –а, остальное время с максимальной скоростью v=72 км/ч. Чему равно абсолютное значение ускорения, если начальная и конечная скорости равны нулю? Камень брошен по гладкой поверхности льда со скоростью 12 м/с. Сколько времени будет двигаться камень до остановки, если ускорение при его движении равно –0,6 м/с2? Какое расстояние пройдет камень до остановки и какова средняя скорость его движения? Движение считать равнозамедленным. Тело, двигаясь равноускоренно, в течении пятой секунды от начала движения прошло 45 м. Какова его скорость в конце пятой секунды? Какой путь тело прошло за первую. Поезд, достигнув скорости 54 км/ч, стал двигаться равнозамедленно с ускорением 0,4 м/с2. Через сколько времени скорость его уменьшится в 3 раза и какой путь он пройдет за это время? Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, ударяет в земляной вал и проникает в него на глубину 20 см. Сколько времени двигалась пуля внутри вала? Какова была ее скорость на глубине 10 см? Движение считать равнопеременным. Мальчик скатился на санках с горы длиной s1 (v0=0) и проехал по горизонтальному участку путь s2 до остановки. Все движение заняло время t. Найти: 1) время t1 спуска; 2) время t2 торможения; 3) скорость v в конце горы; 4) ускорение а1 при спуске; 5) ускорение а2 при торможении. Уклон длиною 100 м лыжник прошел за 20 с двигаясь с ускорением 0,3 м/с2. Какова скорость лыжника в начале и в конце уклона? При скорости v1=15 тормозной путь автомобиля s1=1,5 м. Каким будет тормозной путь s2 при скорости v2=90 км/ч? Ускорение в обоих случаях одно и то же. Скорость движения тела v=5 м/с уменьшилась в N=12 раз за время t=1 с. Определить путь s, пройденный телом за это время, считая движение тела равнозамедленным и прямолинейным. Теплоход, двигаясь равноускоренно из состояния покоя с ускорением а=0,1 м/с2 достигает скорости 18 км/ч. За какое время эта скорость достигнута? Какой путь пройден за это время? Человек роняет камень в высохший колодец глубиной h = 4 м (v0 = 0). Через какой промежуток времени человек услышит звук удара камня о дно колодца? Скорость звука в воздухе v = 320 м/с. Автомобиль, двигавшийся со скоростью v1 начинает тормозить и проходит до остановки путь s. Чему была равна скорость автомобиля через время t1 после начала торможения? Тело, брошенное вертикально вверх, упало на землю через 10 с. Найти начальную скорость тела, максимальную высоту подъема и среднюю скорость за время падения. Когда пеликаны ныряют за рыбой, они складывают крылья и совершают свободное падение в воду. Предположим, что пеликан начинает нырять с высоты 25 м и, падая, не в состоянии изменить траекторию. Если у рыбы есть в запасе 0,15 с, то она может сманеврировать и уклониться от пеликана. Какова высота, на которой рыба должна заметить пеликана, чтобы спастись? Считайте, что рыба находится на поверхности воды. В момент времени t1=0 космический корабль имеет скорость 52 м/с. Он ускоряется и к моменту времени t2=10 с приобретает скорость 162 м/с. Какое расстояние он пролетит за промежуток времени от t3=2 с до t4=6 с С какой минимальной скоростью должен выпрыгнуть из воды лосось, чтобы попасть на вершину водопада высотой 2,1 м? Какая допустима предельная скорость приземления парашютиста v, если человек может безопасно прыгать с высоты h£2 м? Замаскированный полицейский автомобиль, движущийся с постоянной скоростью 60 км/ч, обогнал "лихач", движущийся со скоростью 100 км/ч. Ровно через 1 с после обгона полисмен нажал на акселератор. Если ускорение полицейского автомобиля 3 м/с2, то сколько времени понадобится полицейским, чтобы догнать "лихача" (будем считать, что он движется с постоянной скоростью)? Камень упал с приморского утеса. Звук от его падения в море слышен через 3,6 с. Если скорость звука 330 м/с, то чему равна высота утеса? Капля начинает свободно падать с крыши дома высотой Н=12,25 м. Найти среднюю скорость движения капли vср. Принять g=10 м/с2. Автобус движется замедленно с ускорением а=1 м/с2. На каком расстоянии S от места включения тормозов скорость станет равной v1=36 км/ч, если в момент начала торможения скорость была v0=54 км/ч? Шарик скатывается по желобу и за первую секунду движения проходит путь S=2 м. Какой путь L пройдет шарик за время t=3 с? Для того, чтобы оторваться от Земли самолет должен иметь скорость v=100 м/с. Какова длина взлетной полосы L, если самолет проходит ее за время t=20 с? Тело бросили вертикально вверх со скоростью v0=25 м/с. Какой путь S тело пройдет за вторую секунду движения? Принять g=10 м/с2. За время t=100 с скорость поезда уменьшилась от v1=70 км/ч до v2=38 км/ч. Считая движение поезда равнозамедленным, найти путь S, пройденный поездом за указанное время. Камень падает без начальной скорости с высоты Н. Определить среднюю скорость v на всем пути. Ускорение свободного падения g=9,8 м/с2. Трамвай и автобус одновременно отъезжают от остановки и движутся прямолинейно в одном направлении. Трамвай с постоянной скоростью v1=10 м/с, а автобус без начальной скорости с постоянным ускорением а=2 м/с2. Через какое время t после начала движения автобус догонит трамвай? С крыши дома высотою Н0=28 м брошен вверх камень со скоростью v0=8 м/с. Определить скорость v падения камня на землю. Сопротивлением воздуха пренебречь. Тело падает без начальной скорости с высоты Н=45 м. Найти среднюю скорость vср. падения на нижней трети пути. С башни высотой h бросают одновременно два шарика: один – вверх со скоростью v1, другой – вниз со скоростью v2. Каков промежуток времени, отделяющий моменты их падения на землю? С некоторой высоты свободно падает тело. Через 2 с той же высоты падает второе тело. Через сколько секунд удвоится расстояние, разделяющее тела до начала падения второго тела? С аэростата, находящегося на высоте 1 км, произведен вертикально вниз выстрел из револьвера, причем пуля вылетела со скоростью 200 м/с. За сколько времени и с какой скоростью пуля достигнет земли? Сопротивление воздуха не учитывать. Два тела начинают одинаково падать с разной высоты H и h и достигают земли в один и тот же момент времени. Какую начальную скорость надо сообщить телу, падающему с большей высоты H? Тело падает без начальной скорости с высоты 45 м. Найти среднюю скорость падения на нижней половине пути. Тело, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, прошло некоторый путь. Чему равно отношение средней скорости тела на второй половине пути к средней скорости на первой половине пути? Двигаясь равноускоренно, материальная точка за два последовательных промежутка времени проходит пути 20 м и 30 м. Величина каждого промежутка времени – 4 с. Определить начальную скорость точки. Свободно падающее тело проходит последние 60 м за 1 с. С какой высоты падало тело? Тело на веревке поднимали от поверхности земли с ускорением 2 м/с2 вертикально вверх. Через 5 с веревка оборвалась. Сколько времени двигалось тело до поверхности земли и какова его скорость в момент падения? Тело, двигаясь равноускоренно, за первые 5 с своего движения прошло путь 100 м, а за следующие 10 с прошло путь 300 м. Определить начальную скорость тела. Тело свободно падает с высоты 270 м. Разделить эту высоту на три части таким образом, чтобы на прохождение каждой из них требовалось одинаковое время. Тело, двигаясь с постоянным ускорением, проходит последовательно два одинаковых отрезка пути s по 10 м каждый. Найти ускорение тела и скорость v0 в начале первого отрезка, если первый отрезок пройден телом за время t1=1,06 с, а второй – за t2=2,2 с. Стальной шарик, упавший с высоты h=1,5 м на стальную пластину, отскакивает от нее с потерей 25% скорости. Определить время Т, которое проходит от начала движения шарика до его второго падения на пластину. Мяч свободно падает с высоты Н=110 м на горизонтальную плоскость, при каждом отскоке его скорость уменьшается в 1,5 раза. Построить график скорости и найти пройденный мячом путь с начала падения до третьего удара о плоскость. Тело соскальзывает без трения с наклонной плоскости. Определить угол наклона плоскости к горизонту, если средняя скорость тела за первые 0,5 с на 245 см/с меньше, чем средняя скорость за первые 1,5 с. Тело, брошенное вертикально вверх, дважды проходит через точку на высоте h. Промежуток времени между этими прохождениями равен Dt. Найти начальную скорость тела v0 и время Dt0 от начала движения тела до возврата в начальное положение. Два тела брошены вертикально вверх с одинаковыми начальными скоростями с интервалом времени Т. С какой скоростью будет двигаться второе тело относительно первого? С башни высотой h бросают одновременно два шарика: один вверх со скоростью v1, другой – вниз со скоростью v2. Какой промежуток времени разделяет их моменты падения на землю? Самолет летит со скоростью v=450 км/ч. начиная с некоторого момента времени. самолет движется с ускорением в течение времени t=20 мин. и в последнюю секунду проходит путь s=225 м. Определить ускорение самолета. С вертолета сбросили без начальной скорости два груза, причем второй на t=1 с позже первого. Определить расстояние между грузами через время t1=2 с и t2=4 с после начала движения первого груза. С воздушного шара, находящегося на высоте h=240 м сбросили без начальной скорости относительно шара груз. Определить время падения груза, если шар двигался вниз со скоростью v0=5 м/с. Сопротивление воздуха не учитывать . Два камня находятся на одной вертикали на расстоянии s=10 м друг от друга. В некоторый момент времени верхний камень бросают вниз со скоростью v=20 м/с, а нижний отпускают. Через какое время камни столкнутся? С отвесного обрыва упал камень. Человек, стоящий у края обрыва, услышал звук его падения через t=6 с. Найти высоту обрыва. Скорость звука vзв.=340 м/с. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v0. Когда оно достигло высшей точки траектории, из того же начального пункта с той же скоростью v0 брошено второе тело. На каком расстоянии от начального пункта они встретятся? Два камня находятся на одной вертикали на расстоянии s=10 м друг от друга. В некоторый момент времени верхний камень бросают вниз со скоростью v=20 м/с, а нижний отпускают. Через какое время камни столкнутся? С аэростата, опускающегося со скоростью v0 бросаю вверх тело со скоростью u0 относительно Земли. Через какое время t от момента бросания тело поравняется с аэростатом? С аэростата, опускающегося со скоростью v0 бросаю вверх тело со скоростью u0 относительно Земли. Через какое время t от момента бросания тело поравняется с аэростатом? С вертолета, поднимающегося вверх со скоростью v0=5 м/с, выстреливают вверх сигнальную ракету со скоростью u0=25 м/с. Через какое время t от момента выстрела ракета поравняется с вертолетом? С вертолета, поднимающегося вверх со скоростью v0=5 м/с, выстреливают вверх сигнальную ракету со скоростью u0=25 м/с. Через какое время t от момента выстрела ракета поравняется с вертолетом? Аэростат поднимается с постоянной скоростью v0. К гондоле аэростата привязан на веревке груз. Когда аэростат оказался на высоте Н0 веревку перерезали. Сколько времени груз будет падать на землю? Какая скорость будет у груза при падении на землю? Одно тело свободно падает из точки А с высоты (Н+h), другое тело бросают вверх с начальной скоростью v0 из точки С одновременно с началом падения первого тела. Какова должна быть начальная скорость v0 второго тела, чтобы тела встретились на высоте h? Какова будет при этой начальной скорости наибольшая высота подъема второго тела? С аэростата, опускающегося со скоростью U0, бросают вверх тело со скоростью v0 относительно Земли. Какое будет расстояние l между аэростатом и телом к моменту наивысшего подъема тела относительно Земли? Вертолет поднимается вверх со скоростью v0. На высоте Н из вертолета вертикально вверх выстреливают осветительной ракетой со скоростью u0. Через сколько времени ракета упадет на Землю? С крыши дома высотой 32 м через 0,5 с падают 2 капли. Определить расстояние между ними через 1,5 с после начала движения первой капли и в момент, когда первая капля упадет на землю. С высоты Н=125 м одновременно с начальными скоростями v01=5 м/с и v02=8 м/с вниз брошены два тела. Определить интервал времени между падениями тел на Землю. С воздушного шара, находящегося на высоте 300 м, сбросили без начальной скорости относительно шара груз. Определить время падения груза, если шар двигался вверх со скоростью 3 м/с. Сопротивление воздуха не учитывать.

КИНЕМАТИКА КРИВОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ

Криволинейным называется такое движение, у которого траектория крмвая линия.

Пусть материальная точка за время Dt перейдет из положения 1 на траектрии в положение 2. При этом ее скорость изменится от V1 до V2 (скорость направлена по касательной к траектории). Ускорение равно:

Заменим операцию вычитания векторов скорости операцией сложения

Сложение векторов происходит следующим образом: к концу первого вектора пристраивают второй, а результирующий вектор направлен от начала первого вектора к концу втрого. Например,

Поэтому вектор ΔV направлен от конца вектора V1 к концу вектора V2, а вектор ускорения совпадает с направление вектора ΔV. Вектор ускорения, как и любой вектор можно разложить на два взаимно перпендикулярных направления: на направление касательное к траектории (t) и направление перпендикулярное касательной (нормаль n) для анализа криволинейного движения. Тогда

Если нам нужно найти скорость в токе 3 траектории, то

Пусть. Тогда .Но совпадает по направлению с вектором и вектор не изменит направления:

Ускорение аt называется тангенциальным или касательным ускорением. Оно «отвечает» за изменение скорости по величине. Движение с таким ускорением – это прямолинейное равнопеременное движение.

Пусть теперь , тогда , но вектор перпендикулярен вектору , и сложение будет происходить следующим образом:

В этом случае скорость изменяет свое направление.

Ускорение называется нормальным или центростремительным ускорением. Оно «отвечает» за изменение скорости по направлению. Следовательно, криволинейное движение возможно только при наличии нормального ускорения (при криволинейном движении скорость обязательно изменяет свое направление).

Одним из типов криволинейного движения является движение под действием силы тяжести.

Движение тела, брощенного с поверхности земли с начальной скоростью V0, направленной под углом a к горизонту

Любое сложное движение по принципу независимости движений можно представить как сумму более простых движений, происходящих одновременно. Данное сложное движение можно представить как сумму движений вдоль оси Х и вдоль оси Y.

Вдоль оси Х движение равномерное, так как сопротивление воздуха обычно не учитывается и следовательно скорость вдоль оси Х не изменяется.

По оси Х: движение равномерное.

Начальная скорость

В любой момент скорость одинаковая

Координата Х в любой момент времени может быть определена как

По оси Y: движение равнопеременное, так как присутствует ускорение свободного падения g = 9,8 м/с

Начальная скорость

В любой момент времени скорость равна

Координата Y в любой момент времени может быть определена как

Найдем максимальную дальность полета

Когда тело упадет на землю его координата Y = 0 и время и будет равно времени полета.

Найдем максимальную высоту подъема тела.

Для этого найдем время подъема на максимальную высоту t1 и подставим это значение в формулу для определения координаты Y. В момент подъема на максимальную высоту скорость вдоль оси Y будет равна нулю.

Найдем скорость тела в некоторой точке А траектории

Tочка А траектории может быть задана тремя способами:

1) временем t2 (например, через 2 секунды после начала движения)

2)координатой ХА.

Тогда

3)координатой YA

Величина скорости может быть определена по теореме Пифагора:

Направление скорости можно задать при помощи угла b.

Найдем нормальное и тангенциальное ускорения в точке А траектории, а также радиус кривизны траектории в этой же точке.

Нормальное и тангенциальное ускорения – это проекции реального ускорения на направления касательной к траектории и нормали к ней. Вданном движении единственное реально существующее ускорение – это ускорение свободного падения.

 

Найденный раньше угол b - это угол между вертикалью (совпадает с направлением ускорения g) и направлением касательной (совпадает с направлением аt).

Из прямоугольного треугольника

Напишем уравнение траектории данного движения.

Нам известны уравнения зависимостей Х=f(t) и Y=f(t)

ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА, БРОШЕННОГО С НАЧАЛЬНОЙ ВЫСОТЫ Н0 С НАЧАЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ V0 , НАПРАВЛЕННОЙ ГОРИЗРНТАЛЬНО