Рабочая учебная программа по дисциплине «Математический анализ 1-3» (стр. 2 )

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Аудиторные занятия	Самостоятельная работа
Всего (в т. ч. в интерактивной форме)	Лекции	Практические
17.	Числовые ряды и их свойства. Условия и признаки сходимости числовых рядов.	20	8	4	4	12
18.	Функциональные последовательности и ряды, виды и условия их сходимости.	12	8	4	4	4
19.	Степенные ряды и ряды Тейлора. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций.	12	8	4	4	4
20.	Тригонометрические ряды и ряды Фурье.	16	8	4	4	8
21.	Метрика в Rn. Последовательность в Rn. Покоординатная сходимость.	8	8	4	4	-
22.	Функции нескольких переменных и их свойства. Предел и непрерывность.	12	8	4	4	4
23.	Дифференциальное исчисление ФНП и его приложения.	26	8	4	4	18
24.	Двойные интегралы, их свойства и приложения.	20	8	4	4	12
25.	Криволинейные интегралы, их свойства и приложения.	20	8	4	4	12
	Итого:	146	72	36	38	75

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Учебный материал курса «Математический анализ 1-3» (МА) включает изучение следующих содержательных дидактических единиц:

Действительные числа и их свойства; функции и их свойства; операции над функциями, композиция функций, обратная функция; последовательности, пределы последовательностей; предел функции, свойства пределов; непрерывность функции на множестве; свойства непрерывных функций; элементарные функции; вычисление пределов функций; дифференцируемость функции, производная, дифференциал; правила дифференцирования; основные теоремы дифференциального исчисления; приложения дифференциального исчисления к исследованию функций; неопределенный интеграл и основные методы интегрирования; определенный интеграл, формула Ньютона-Лейбница; понятие квадрируемой фигуры, кубируемого тела, спрямляемой кривой; несобственные интегралы; числовые ряды и их свойства, условия и признаки сходимости числовых рядов; функциональные последовательности и ряды, виды и условия их сходимости: степенные ряды и ряды Тейлора, разложение в степенной ряд основных элементарных функций; тригонометрические ряды Фурье; метрика в Rn, последовательность в Rn, покоординатная сходимость; функции нескольких переменных и их свойства, предел и непрерывность; дифференциальное исчисление ФНП и его приложения; двойные интегралы, их свойства и приложения; криволинейные интегралы, их свойства и приложения

3.1  Структурированное содержание дисциплины

Действительные числа и их свойства. Аксиоматика действительного числа. Модуль действительного числа, его свойства. Ограниченные и неограниченные множества. Точные грани числовых множеств; теорема существования и единственности точных граней множеств.

Функции и их свойства. Операции над функциями, композиция функций, обратная функция. Понятие функции, основные свойства функций, числовые функции. Ограниченные функции. Монотонные функции. Обратная функция. Четные и нечетные функции. Периодические функции.

Последовательности. Пределы последовательностей. Числовые последовательности. Определение предела последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Единственность предела последовательности. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Свойства сходящихся последовательностей, имеющих предел. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические операции над сходящимися последовательностями. Предел монотонной последовательности. Число . Теорема Кантора о вложенных отрезках. Критерий Коши.

Предел функции. Свойства пределов. Предел функции. Определения предела по Коши и Гейне, их эквивалентность. Первый замечательный предел. Различные типы пределов. Односторонние пределы. Бесконечные пределы в конечной точке. Локальные свойства функции, имеющей предел. Ограниченность функции, имеющей конечный предел. Знак функции в окрестности, ограниченность функции 1/g(x). Свойства пределов, связанные с неравенствами. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями.

Равномерная непрерывность функции на множестве. Непрерывность функции. Точки разрыва функции. Свойства функций, непрерывных в точке.

Непрерывность функции на множестве. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Ограниченность непрерывной функции.

Свойства непрерывных функций. Достижимость точных граней. Теорема о промежуточных значениях. Теорема о функции, обратной к монотонной непрерывной функции.

Элементарные функции. Непрерывность элементарных функций. Многочлены и рациональные функции. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Степенная функция с рациональным показателем. Показательная функция. Логарифмическая функция. Гиперболические функции и обратные к ним.

Вычисление пределов функций. Раскрытие неопределенностей. Замена переменного при вычислении предела. Второй замечательный предел. Следствия второго замечательного предела. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Замена функций эквивалентными им функциями при вычислении пределов.

Дифференцируемость функции, производная, дифференциал. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Таблица производных. Геометрический, физический смысл производной. Односторонние и бесконечные производные. Дифференцируемые функции и их свойства. Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.

Правила дифференцирования. Правила дифференцирования. Арифметика производных. Дифференцирование обратной функции. Дифференцирование сложной функции. Дифференциал функции. Его геометрический смысл. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.

Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения к исследованию функций. Локальный экстремум и теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Правило Лопиталя. Формула Тейлора.

Исследование функций с помощью производной. Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия монотонности. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба. Необходимое условие выпуклости (вогнутости). Достаточное условие. Асимптоты графика функции и методы их нахождения. Схема исследования функции и построение графика функции. Понятие математической модели.

Неопределенный интеграл и основные методы интегрирования. Определение первообразной, первообразная линейной комбинации, свойства первообразной. Неопределенный интеграл. Интегрирование заменой (подстановкой) переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональной функции. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование иррациональных функций.

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Определение интеграла Римана. Необходимое условие существования интеграла. Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости. Геометрический смысл интеграла Римана. Равномерная непрерывность функции. Классы интегрируемых функций. Свойства интеграла Римана. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление интегралов с помощью подстановки и по частям.

Понятие квадрируемой фигуры, кубируемого тела, спрямляемой кривой. Вычисление площади плоской фигуры в декартовой, полярной системах координат; площади фигуры, заданной параметрически. Нахождение массы и длины плоской кривой. Нахождение объема тела вращения. Вычисление работы силы.

Несобственные интегралы. Основные понятия и определения. Условия сходимости несобственных интегралов.

Числовые ряды и их свойства. Условия и признаки сходимости числовых рядов. Основные определения. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Геометрический ряд. Остаток ряда. Теорема об остатках. Положительные ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости. Теоремы сравнения. Признаки Коши и Даламбера. Интегральный признак сходимости положительного ряда. Сходимость произвольных числовых рядов. Абсолютная и неабсолютная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка суммы остатка ряда лейбницевского типа. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Функциональные последовательности и ряды, виды и условия их сходимости. Равномерная и неравномерная сходимость функциональной последовательности. Критерий Коши равномерной сходимости. Функциональные ряды. Область сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.

Степенные ряды и ряды Тейлора. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций. Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Теорема об области сходимости степенного ряда. Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора. Разложение функций в ряды Тейлора. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов.

Тригонометрические ряды и ряды Фурье. Тригонометрический ряд. Ортогональные системы функций. Ортогональность тригонометрической системы функций. Теорема о равномерно сходящемся тригонометрическом ряде. Определение тригонометрического ряда Фурье. Особенности ряда Фурье четной и нечетной функций. Разложение функций в ряд Фурье. Теорема Дирихле. Теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании ряда Фурье. Разложение функций в ряд Фурье.

Метрика в Rn. Последовательность в Rn. Покоординатная сходимость последовательностей в Rn. Понятие метрики. Примеры метрических пространств. Последовательность в Rn, сходимость последовательности. Свойства сходящихся последовательностей в Rn. Критерий сходимости. Покоординатная сходимость.

Функции нескольких переменных (ФНП) и их свойства. Предел и непрерывность. Функции нескольких переменных (ФНП), их линии (поверхности) уровня, графики. Предел ФНП в точке. Эквивалентность определений предела по Коши и Гейне. Непрерывность ФНП. Теоремы о локальных и глобальных свойствах непрерывных функций многих переменных. Компактные множества и теорема Вейерштрасса.

Дифференциальное исчисление ФМП и его приложения. Дифференцируемость и дифференциал ФНП. Геометрический смысл дифференцируемости и дифференциала функции двух переменных. Достаточные условия дифференцируемости. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных. Формула Тейлора. Локальные экстремумы: необходимые и достаточные условия существования.

Двойные интегралы, их свойства и приложения. Понятие двойного интеграла Римана. Условия существования двойного интеграла Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Основные свойства двойного интеграла. Понятие тройного интеграла.

Криволинейные интегралы, их свойства и приложения. Определение криволинейного интеграла по координатам; его свойства; вычисление. Формула Грина-Остроградского. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Приложения криволинейных интегралов.

3.2  Перечень тем лекционных занятий

3.2.1 Очное отделение

1. Аксиоматика действительного числа. Модуль действительного числа, его свойства. Ограниченные и неограниченные множества. Точные грани числовых множеств; теорема существования и единственности точных граней множеств.

2. Понятие функции, основные свойства функций, числовые функции. Ограниченные функции. Монотонные функции. Обратная функция. Четные и нечетные функции. Периодические функции.

3. Числовые последовательности. Определение предела последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Единственность предела последовательности. Ограниченность последовательности, имеющей предел.

4. Свойства сходящихся последовательностей, имеющих предел. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические операции над сходящимися последовательностями. Предел монотонной последовательности. Число e. Теорема Кантора о вложенных отрезках. Критерий Коши.

5. Предел функции. Определения предела по Коши и Гейне, их эквивалентность.

6. Первый замечательный предел. Различные типы пределов. Односторонние пределы. Бесконечные пределы в конечной точке. Локальные свойства функции, имеющей предел. Ограниченность функции, имеющей конечный предел. Знак функции в окрестности, ограниченность функции 1/g(x). Свойства пределов, связанные с неравенствами. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями.

7. Непрерывность функции. Точки разрыва функции. Свойства функций, непрерывных в точке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

8. Ограниченность непрерывной функции. Достижимость точных граней. Теорема о промежуточных значениях.

9. Теорема о функции, обратной к монотонной непрерывной функции.

10. Непрерывность элементарных функций. Многочлены и рациональные функции. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

11. Степенная функция с рациональным показателем. Показательная функция. Логарифмическая функция. Гиперболические функции и обратные к ним.

12. Раскрытие неопределенностей. Замена переменного при вычислении предела. Второй замечательный предел.

13. Следствия второго замечательного предела.

14. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Таблица производных. Геометрический, физический смысл производной. Односторонние и бесконечные производные.

15. Дифференцируемые функции и их свойства. Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.

16. Правила дифференцирования. Арифметика производных. Дифференцирование обратной функции.

17. Дифференцирование сложной функции. Дифференциал функции. Его геометрический смысл. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.

18. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Локальный экстремум и теорема Ферма. Теорема Ролля.

19. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Правило Лопиталя. Формула Тейлора.

20. Исследование функций с помощью производной. Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия монотонности. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.

21. Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба. Необходимое условие выпуклости (вогнутости). Достаточное условие.

22. Асимптоты графика функции и методы их нахождения. Схема исследования функции и построение графика функции. Понятие математической модели.

23. Определение первообразной, первообразная линейной комбинации, свойства первообразной. Неопределенный интеграл.

24. Интегрирование заменой (подстановкой) переменной. Интегрирование по частям.

25. Интегрирование рациональной функции.

26. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование иррациональных функций.

27. Определение интеграла Римана. Необходимое условие существования интеграла. Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости. Геометрический смысл интеграла Римана. Равномерная непрерывность функции. Классы интегрируемых функций.

28. Свойства интеграла Римана. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление интегралов с помощью подстановки и по частям.

29. Вычисление площади плоской фигуры в декартовой и полярной системах координат.

30. Нахождение массы и длины плоской кривой.

31. Нахождение объема тела. Вычисление работы силы.

32. Несобственные интегралы.

33. Основные определения числовых рядов. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Геометрический ряд. Остаток ряда. Теорема об остатках. Положительные ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости. Теоремы сравнения. Признаки Коши и Даламбера. Интегральный признак сходимости положительного ряда.

34. Сходимость произвольных числовых рядов. Абсолютная и неабсолютная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка суммы остатка ряда лейбницевского типа. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

35. Равномерная и неравномерная сходимость функциональной последовательности. Критерий Коши равномерной сходимости. Функциональные ряды. Область сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.

36. Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Теорема об области сходимости степенного ряда. Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора. Разложение функций в ряды Тейлора. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов.

37. Тригонометрический ряд. Определение тригонометрического ряда Фурье. Особенности ряда Фурье четной и нечетной функций. Разложение функций в ряд Фурье. Теорема Дирихле.

38. Метрика в Rn. Окрестности точек, сходимость последовательностей в Rn.

39. Предел ФНП в точке. Непрерывность ФНП. Теоремы о локальных и глобальных свойствах непрерывных функций многих переменных. Компактные множества и теорема Вейерштрасса.

40. Дифференцируемость и дифференциал ФНП. Геометрический смысл дифференцируемости и дифференциала функции двух переменных. Достаточные условия дифференцируемости.

41. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных. Формула Тейлора. Локальные экстремумы: необходимые и достаточные условия существования.

42. Понятие двойного интеграла Римана. Условия существования двойного интеграла.

43. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному.

44. Понятие криволинейного интеграла по длине дуги, по координатам. Вычисление криволинейных интегралов. Формула Грина-Остроградского. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

45. Приложения криволинейных интегралов.

3.2.2. Заочное отделение

1. Аксиоматика действительного числа. Модуль действительного числа, его свойства. Ограниченные и неограниченные множества. Точные грани числовых множеств; теорема существования и единственности точных граней множеств. Понятие функции, основные свойства функций, числовые функции. Ограниченные функции. Монотонные функции. Обратная функция. Четные и нечетные функции. Периодические функции.

2. Числовые последовательности. Определение предела последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Единственность предела последовательности. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Свойства сходящихся последовательностей, имеющих предел. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические операции над сходящимися последовательностями. Предел монотонной последовательности. Число e. Теорема Кантора о вложенных отрезках. Критерий Коши. Предел функции. Определения предела по Коши и Гейне, их эквивалентность. Первый замечательный предел. Различные типы пределов. Односторонние пределы. Бесконечные пределы в конечной точке. Локальные свойства функции, имеющей предел. Ограниченность функции, имеющей конечный предел. Знак функции в окрестности, ограниченность функции 1/g(x). Свойства пределов, связанные с неравенствами. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями.

3. Непрерывность функции. Точки разрыва функции. Свойства функций, непрерывных в точке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Ограниченность непрерывной функции. Достижимость точных граней. Теорема о промежуточных значениях. Теорема о функции, обратной к монотонной непрерывной функции.

4. Непрерывность элементарных функций. Многочлены и рациональные функции. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Степенная функция с рациональным показателем. Показательная функция. Логарифмическая функция. Гиперболические функции и обратные к ним. Раскрытие неопределенностей. Замена переменного при вычислении предела. Второй замечательный предел. Следствия второго замечательного предела.

5. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Таблица производных. Геометрический, физический смысл производной. Односторонние и бесконечные производные. Дифференцируемые функции и их свойства. Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Правила дифференцирования. Арифметика производных. Дифференцирование обратной функции. Дифференцирование сложной функции. Дифференциал функции. Его геометрический смысл. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.

6. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Локальный экстремум и теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Исследование функций с помощью производной. Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия монотонности. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба. Необходимое условие выпуклости (вогнутости). Достаточное условие. Асимптоты графика функции и методы их нахождения. Схема исследования функции и построение графика функции. Понятие математической модели.

7. Определение первообразной, первообразная линейной комбинации, свойства первообразной. Неопределенный интеграл. Интегрирование заменой (подстановкой) переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональной функции. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование иррациональных функций.

8. Определение интеграла Римана. Необходимое условие существования интеграла. Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости. Геометрический смысл интеграла Римана. Равномерная непрерывность функции. Классы интегрируемых функций. Свойства интеграла Римана. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление интегралов с помощью подстановки и по частям.

9. Вычисление площади плоской фигуры в декартовой, полярной системах координат. Нахождение массы и длины плоской кривой. Нахождение объема тела. Вычисление работы силы.

10. Несобственные интегралы.

11. Основные определения числовых рядов. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Геометрический ряд. Остаток ряда. Теорема об остатках. Положительные ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости. Теоремы сравнения. Признаки Коши и Даламбера. Интегральный признак сходимости положительного ряда. Сходимость произвольных числовых рядов. Абсолютная и неабсолютная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка суммы остатка ряда лейбницевского типа. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Теорема об области сходимости степенного ряда. Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора. Разложение функций в ряды Тейлора. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов.