12. Сходимость последовательностей в R2. Предел ФНП в точке. Непрерывность ФНП. Теоремы о локальных и глобальных свойствах непрерывных функций многих переменных.
13. Дифференцируемость и дифференциал ФНП. Геометрический смысл дифференцируемости и дифференциала функции двух переменных. Достаточные условия дифференцируемости. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных. Формула Тейлора. Локальные экстремумы: необходимые и достаточные условия существования. Понятие двойного интеграла Римана. Условия существования двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному.
14. Понятие криволинейного интеграла по длине дуги, по координатам. Вычисление криволинейных интегралов. Формула Грина-Остроградского. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Приложения криволинейных интегралов.
3.3 Перечень тем практических занятий
3.3.1 Очное отделение
1. Метод математической индукции. Модуль числа, его свойства, неравенства с модулем.
2. Точные грани числовых множеств.
3. Функция и ее свойства. Обратная функция.
4. Графики функции. Деформация графиков функций.
5. Определение предела последовательности
6. Арифметика пределов последовательностей.
7. Вычисление пределов последовательностей
8. Вычисление пределов последовательностей. Контрольная работа №1.
9. Определение предела функции, его свойства
10. Различные типы пределов. Односторонние пределы. Бесконечные пределы в конечной точке.
11. Вычисление пределов функций.
12. Вычисление пределов функций.
13. Исследование функции на непрерывность в точке и на множестве.
14. Контрольная работа №2.
15. Свойства непрерывных функций.
16. Метод интервалов.
17. Свойства степенных и тригонометрических и обратных к ним функций.
18. Свойства показательной и логарифмической функций.
19. Раскрытие неопределенностей.
20. Раскрытие неопределенностей.
21. Раскрытие неопределенностей.
22. Раскрытие неопределенностей.
23. Вычисление производной по определению.
24. Исследование функций на дифференцируемость.
25. Решение задач с использованием геометрического смысла производной.
26. Техника дифференцирования.
27. Техника дифференцирования.
28. Производные и дифференциалы высших порядков.
29. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа.
30. Решение задач на использование основных теорем дифференциального исчисления.
31. Формула Тейлора.
32. Приближенные вычисления с помощью формулы Тейлора.
33. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя.
34. Построение графиков функции.
35. Построение графиков функции.
36. Задачи на экстремум.
38. Контрольная работа №2.
39. Нахождение простейших первообразных. Составление таблицы первообразных. Интегрирование подстановкой.
40. Интегрирование по частям.
41. Интегрирование рациональных функций.
42. Интегрирование тригонометрических функций.
43. Интегрирование иррациональных функций.
44. Зачет по технике интегрирования.
45. Интеграл Римана. Суммы Римана, суммы Дарбу. Их построение, геометрический смысл.
46. Вычисление площади плоской фигуры.
47. Вычисление площади сектора.
48. Вычисление объема тела.
49. Решение физических задач на приложения интеграла Римана
50. Контрольная работа №2.
51. Вычисление несобственных интегралов.
52. Вычисление несобственных интегралов.
53. Нахождение сумм числовых рядов.
54. Применение теорем сравнения для исследования сходимости положительных рядов. Интегральный признак сходимости рядов; его применение.
55. Исследование сходимости произвольных числовых рядов. Абсолютная и неабсолютная сходимость.
56. Функциональные последовательности и ряды. Нахождение области сходимости.
57. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.
58. Разложение функций в ряды Тейлора.
59. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов
60. Разложение функций в ряд Фурье
61. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье.
62. Контрольная работа № 1.
63. Вычисление пределов последовательностей ФМП.
64. Функции многих действительных переменных, их графики. Пределы функций многих переменных.
65. Исследование функций многих переменных на непрерывность в точке и на множестве.
66. Частные производные ФМП. Техника дифференцирования. Дифференцирование сложной функции.
67. Исследование функций многих переменных на дифференцируемость. Частные производные и дифференциалы высших порядков
68. Исследование функций многих переменных на безусловный и условный экстремумы.
69. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на компакте.
70. Вычисление двойных интегралов путем сведения их к повторным интегралам.
71. Вычисление двойных интегралов путем сведения их к повторным интегралам.
72. Приложения двойных интегралов
73. Вычисление криволинейных интегралов первого рода.
74. Приложения криволинейных интегралов первого рода.
75. Вычисление криволинейных интегралов второго рода.
76. Вычисление криволинейных интегралов второго рода, независящих от пути интегрирования.
77. Приложения криволинейных интегралов второго рода.
3.3.2 Заочное отделение
1. Метод математической индукции. Модуль числа, его свойства, неравенства с модулем. Точные грани числовых множеств. Функция и ее свойства. Обратная функция. Графики функции. Деформация графиков функций.
2. Определение предела последовательности. Арифметика пределов последовательностей. Вычисление пределов последовательностей
3. Определение предела функции, его свойства. Различные типы пределов. Односторонние пределы. Бесконечные пределы в конечной точке. Вычисление пределов функций.
4. Исследование функции на непрерывность в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций.
5. Свойства степенных и тригонометрических и обратных к ним функций. Свойства показательной и логарифмической функций.
6. Раскрытие неопределенностей.
7. Вычисление производной по определению. Исследование функций на дифференцируемость. Решение задач с использованием геометрического смысла производной. Техника дифференцирования.
8. Производные и дифференциалы высших порядков. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Решение задач на использование основных теорем дифференциального исчисления.
9. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя. Построение графиков функции. Задачи на экстремум.
10. Нахождение простейших первообразных. Интегрирование подстановкой. Интегрирование по частям.
11. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование иррациональных функций.
12. Интеграл Римана. Суммы Римана, суммы Дарбу. Их построение, геометрический смысл.
13. Вычисление площади плоской фигуры. Вычисление площади сектора. Вычисление объема тела.
14. Решение физических задач на приложения интеграла Римана
15. Вычисление несобственных интегралов.
16. Нахождение сумм числовых рядов. Применение теорем сравнения для исследования сходимости положительных рядов. Интегральный признак сходимости рядов; его применение. Исследование сходимости произвольных числовых рядов. Абсолютная и неабсолютная сходимость.
17. Разложение функций в ряды Тейлора. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов
18. Вычисление пределов последовательностей ФНП. Функции нескольких действительных переменных, их графики. Пределы функций многих переменных. Исследование функций нескольких переменных на непрерывность в точке и на множестве.
19. Частные производные ФНП. Техника дифференцирования. Дифференцирование сложной функции. Исследование функций многих переменных на дифференцируемость. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Исследование функций нескольких переменных на безусловный и условный экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на компакте.
20. Вычисление двойных интегралов путем сведения их к повторным интегралам. Приложения двойных интегралов.
21. Вычисление криволинейных интегралов первого рода. Приложения криволинейных интегралов первого рода. Вычисление криволинейных интегралов второго рода. Вычисление криволинейных интегралов второго рода, независящих от пути интегрирования. Приложения криволинейных интегралов второго рода.
3.4 Перечень тем лабораторных работ
Согласно учебному плану выполнение лабораторных работ по данной дисциплине не предусмотрено.
3.5 Вопросы для контроля и самоконтроля
Семестр 1
1. Сформулировать и доказать определение и свойства модуля действительного числа.
2. Какое множество называется ограниченным сверху, ограниченным снизу, ограниченным. Привести примеры.
3. Какое множество называется неограниченным? Привести примеры.
4. Сформулировать определение точных граней числового множества. Привести примеры. В приведенных примерах, пользуясь определением точной грани и свойством ограниченного множества доказать, что указанное число является точной гранью.
5. Дать определение функции.
6. Как находится область определения функции. Построить алгоритм нахождения.
7. Какая функция называется ограниченной? Привести примеры.
8. Какая функция называется неограниченной? Привести примеры.
9. Какая функция называется монотонной? Привести примеры.
10. Как исследуется функция на монотонность? Привести примеры.
11. Сформулировать определение обратной функции. Привести примеры.
12. Сформулировать и доказать свойства обратной функции.
13. Какая функция называется четной? Привести примеры.
14. Какая функция называется нечетной? Привести примеры.
15. Какая функция называется периодической? Привести примеры.
16. Сформулировать определение предела последовательности.
17. Привести схему доказательства, условия, что число является пределом последовательности.
18. Сформулировать и доказать свойства предела последовательности.
19. Можно ли утверждать, что ограниченная последовательность всегда имеет предел? Привести примеры.
20. Дать определение бесконечно малой последовательности.
21. Сформулировать и доказать свойства бесконечно малых последовательностей.
22. Можно ли утверждать, что если последовательность имеет пределом бесконечность, то она неограниченна? А наоборот?
23. Можно ли утверждать, что если сумма последовательностей имеет предел, то каждая из них имеет предел?
24. Какая монотонная последовательность имеет предел? Ответ обосновать.
25. Вывести число е.
26. Какая последовательность называется фундаментальной?
27. Сформулировать и доказать критерий Коши для последовательности.
28. Сформулировать определение предела функции по Коши.
29. Сформулировать и доказать свойства предела функции в точке.
30. Привести геометрическую интерпретацию предела функции в точке.
31. Сформулировать определения пределов функции в бесконечных точках и бесконечного предела. Привести примеры, дать геометрическую интерпретацию.
32. Сформулировать определение предала по Гейне.
33. Сформулировать алгоритм доказательства отсутствия предела функции с помощью определения предела по Гейне.
34. Сформулировать и доказать теорему об эквивалентности определений предела функции по Коши и по Гейне.
35. Сформулировать и доказать свойства предела функции, (локальные и связанные с неравенствами).
36. Сформулировать и доказать теорему о замене переменной при вычислении предела.
37. Сформулировать и доказать теорему об основных свойствах бесконечно малых и бесконечно больших функций.
38. Сформулировать и доказать теорему об арифметических свойствах пределов числовых функций.
39. Сформулировать определение бесконечно малой и бесконечно большой функции.
40. Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией?
41. Сформулировать и доказать теорему о пределе монотонной функции.
42. Сформулировать определение односторонних пределов.
43. Сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие существование предела функции.
44. Сформулировать условие Коши для числовых функций.
45. Сформулировать и доказать критерий Коши существования предела.
46. Сформулировать определение непрерывности функции в точке.
47. Привести геометрический смысл, примеры.
48. Сформулировать понятие разрывной функции. Привести примеры.
49. Привести и обосновать классификацию точек разрыва. Привести примеры.
50. Сформулировать и доказать свойства функций, непрерывных в точке.
51. Сформулировать и доказать непрерывность сложной функции.
52. Сформулировать и доказать теорему Вейерштрасса об ограниченности функции, непрерывной на отрезке.
53. Сформулировать и доказать теорему Вейерштрасса о достижимости точных граней функции, непрерывной на отрезке.
54. Сформулировать и доказать теорему Коши о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке. Следствия теоремы Коши.
55. Сформулировать и доказать теорема о функции, обратной к монотонной непрерывной функции.
56. Сформулировать и доказать непрерывность элементарных функций (многочлены и рациональные функции, степенная функция с рациональным показателем, тригонометрические функции и обратные к ним).
57. Сформулировать определение степени с произвольным вещественным показателем.
58. Обосновать непрерывность показательной функции.
59. Обосновать непрерывность логарифмической функции.
60. Сформулировать и доказать теорема о первом замечательном пределе.
61. Сформулировать и доказать теорема о втором замечательном пределе.
Семестр 2
1. Сформулируйте определение производной.
2. Выведите формулы производных элементарных функций, исходя из определения производной.
3. Сформулируйте геометрический и физический смысл производной, обоснуйте свое утверждение.
4. Сформулируйте определение односторонней и бесконечной производных.
5. Сформулируйте определение дифференцируемости функции.
6. Сформулируйте и докажите теорему о необходимом условии дифференцируемости функции.
7. Сформулируйте и докажите теорему о необходимом и достаточном условие дифференцируемости функции.
8. Сформулируйте и докажите правила дифференцирования.
9. Сформулируйте и докажите теорему об арифметике производных.
10. Приведите и таблицу производных.
11. Сформулируйте и докажите теорему о дифференцировании обратной функции.
12. Сформулируйте и докажите теорему о дифференцировании сложной функции.
13. Сформулируйте определение дифференциала функции. Приведите его геометрический смысл.
14. Сформулируйте и докажите теорему об инвариантность формы I дифференциала.
15. Дайте определение производных и дифференциалов высших порядков.
16. Выясните в чем разница между понятиями глобального и локального экстремума.
17. Сформулируйте и докажите теорему Ферма.
18. Приведите геометрический смысл теоремы Ферма.
19. Сформулируйте и докажите теорему
20. Приведите геометрический смысл теоремы Ролля.
21. Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа и ее следствия.
22. Приведите геометрический смысл теоремы Ролля.
23. Сформулируйте и докажите теорему Коши.
24. Сформулируйте и докажите теорему Правило Лопиталя.
25. Выведите формулу Тейлора (с остаточным членом в форме Лагранжа).
26. Дайте определения возрастающей и убывающей функции.
27. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие монотонности.
28. Сформулируйте и докажите необходимое условие экстремума.
29. Сформулируйте и докажите достаточное условие экстремума (в терминах первой производной).
30. Сформулируйте и докажите достаточное условие экстремума (в терминах второй производной).
31. Сформулируйте понятия выпуклости и вогнутости функции.
32. Докажите необходимое условие выпуклости (вогнутости) функции.
33. Сформулируйте достаточное условие выпуклости (вогнутости) функции.
34. Сформулируйте определение точки перегиба.
35. Докажите теоремы о точках перегиба.
36. Сформулируйте определение асимптоты графика функции.
37. Приведите алгоритм их нахождения.
Семестр 3
1. Сформулируйте определение первообразной.
2. Приведите и обоснуйте свойства первообразной.
3. Сформулируйте суть интегрирования заменой (подстановкой) переменной.
4. В каких случаях применяется замена переменной?
5. Сформулируйте суть интегрирования по частям.
6. В каких случаях применяется формула интегрирования по частям.
7. Как интегрируются элементарные рациональные функции?
8. В чем состоит суть метода неопределенных коэффициентов?
9. Приведите алгоритм интегрирования рациональной функции.
10. Какие подстановки для интегрирования тригонометрических функций существуют?
11. С помощью каких подстановок интегрируются иррациональные функции? Приведите примеры.
12. Сформулируйте определение интеграла Римана.
13. Приведите геометрический смысл интеграла, примеры.
14. Сформулируйте и докажите необходимое условие существования определенного интеграла.
15. Сформулируйте определение сумм Дарбу.
16. Приведите геометрический смысл сумм Дарбу.
17. Перечислите свойства сумм Дарбу.
18. Сформулируйте критерий интегрируемости.
19. Сформулируйте и докажите теорему о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.
20. Перечислите классы интегрируемых функций.
21. Сформулируйте и докажите свойства интеграла Римана.
22. Сформулируйте определение интеграла с переменным верхним пределом.
23. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом.
24. Сформулируйте и докажите теорему о дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом.
25. Приведите и докажите формулу Ньютона-Лейбница.
26. Сформулируйте и докажите теорему о связи понятий определенного и неопределенного интеграла.
27. Сформулируйте и докажите теорему о замене переменной в определенном интеграле.
28. Сформулируйте и докажите теорему об интегрировании по частям в определенном интеграле.
29. Сформулируйте понятие площади плоской фигуры.
30. Как вычисляется площадь плоской фигуры в декартовой и полярной системах координат?
31. Как находится объема тела вращения?
32. Как находится длина плоской кривой?
33. Сформулируйте понятие несобственного интеграла.
Семестр 4
1. Сформулируйте и докажите свойства сходящихся рядов.
2. Сформулируйте и докажите необходимое условие сходимости.
3. Сформулируйте и докажите свойства геометрический ряд.
4. Сформулируйте и докажите теорему об остатках числового ряда. В чем особенность положительные ряды?
5. Сформулируйте и докажите теорему о необходимом и достаточном условии сходимости числового ряда.
6. Сформулируйте и докажите сравнительный признак сходимости рядов.
7. Сформулируйте и докажите признак Коши сходимости числового ряда.
8. Сформулируйте и докажите признак Даламбера сходимости числового ряда.
9. Сформулируйте и докажите интегральный признак сходимости положительного ряда.
10. Сформулируйте понятие о сходимости произвольных числовых рядов. Сформулируйте определение абсолютной и неабсолютной сходимости.
11. Сформулируйте определение знакочередующегося ряда.
12. Сформулируйте и докажите теорему Лейбница.
13. Как проводится оценка суммы остатка ряда лейбницевского типа.
14. Сформулируйте и докажите свойства абсолютно сходящихся рядов. Теорема Дирихле.
15. Сформулируйте определения равномерной и неравномерной сходимость функциональной последовательности. Приведите примеры.
16. Сформулируйте и докажите критерий Коши равномерной сходимости.
17. Сформулируйте определение функционального ряда.
18. Сформулируйте определение области сходимости.
19. Сформулируйте и докажите признак Вейерштрасса.
20. Сформулируйте и докажите свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.
21. Сформулируйте определение степенного ряда.
22. Сформулируйте и докажите теорему Теорема Абеля.
23. Сформулируйте и докажите теорему об области сходимости степенного ряда.
24. Как найти радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.
25. Сформулируйте и докажите свойства степенных рядов.
26. Дайте определение ряда Тейлора.
27. Как проводится разложение функций в ряды Тейлора.
28. Приведите и обоснуйте разложения основных элементарных функций в ряд Тейлора.
29. Приведите алгоритм приближенного вычисления с помощью степенных рядов.
30. Сформулируйте определение тригонометрического ряда.
31. Сформулируйте определение ортогональной системы функций.
32. Докажите ортогональность тригонометрической системы функций.
33. Приведите определение тригонометрического ряда Фурье.
34. Расскажите об особенностях ряда Фурье четной и нечетной функций.
35. Расскажите о разложении функций в ряд Фурье.
36. Дайте определение метрики в Rn.
37. Сформулируйте понятие сходимости последовательностей в Rn.
38. Сформулируйте и докажите теорему о покоординатной сходимости в Rn.
39. Сформулируйте и докажите теорему Вейерштрасса.
40. Сформулируйте определение предела функции нескольких переменных в точке.
41. Сформулируйте и докажите теорему об эквивалентности определений предела по Коши и Гейне.
42. Сформулируйте определение непрерывности функции нескольких переменных в точке и на множестве.
43. Сформулируйте и докажите свойства непрерывных функции нескольких переменных в точке и на множестве.
44. Сформулируйте определение дифференцируемости функции нескольких переменных.
45. Сформулируйте определение дифференциала функции нескольких переменных.
46. Рассмотрите геометрический смысл дифференцируемости и дифференциала функции двух переменных.
47. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности дифференцируемой функции нескольких переменных.
48. Сформулируйте определение частной производной функции двух переменных.
49. Докажите достаточные условия дифференцируемости.
50. Сформулируйте определение непрерывно дифференцируемой функции.
51. Сформулируйте определение производных и дифференциалов высших порядков.
52. Сформулируйте и докажите теорему о равенстве смешанных производных.
53. Сформулируйте и докажите формулу Тейлора.
54. Сформулируйте определение локального экстремума функции двух переменных.
55. Сформулируйте и докажите теорему о необходимые условия существования экстремума функции двух переменных.
56. Сформулируйте и докажите теорему о достаточном условии существования экстремума функции двух переменных.
57. Сформулируйте понятие двойного интеграла Римана.
58. Приведите геометрический смысл двойного интеграла.
59. Приведите необходимое условие интегрируемости функции.
60. Приведите необходимое и достаточное условие существования двойного интеграла (суммы и интегралы Дарбу).
61. Приведите классы интегрируемых функций.
62. Приведите арифметические свойства интегрируемых функций и двойных интегралов. Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов, связанные с неравенствами.
63. Сформулируйте алгоритм вычисления двойного интеграла путем сведения его к повторному.
64. Приведите основные свойства двойного интеграла.
65. понятие тройного интеграла.
66. Сформулируйте определение криволинейного интеграла по координатам.
67. Расскажите о методах его вычисления.
68. Сформулируйте и докажите теорему о необходимых и достаточных условиях независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
69. Сформулируйте и докажите формулу Грина.
70. Расскажите о приложениях криволинейных интегралов в геометрии и механике.
3.6. Перечень тем занятий, реализуемых в активной и интерактивной формах
Все практические занятия проводятся в активной форме с включением интерактивных фаз проведения занятия.
4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНО - ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
4.1. Темы, вынесенные на самостоятельное изучение
1. Метод математической индукции.
2. Модуль числа, его свойства, неравенства с модулем.
3. Построение графиков функций методом преобразований графиков элементарных функций (растяжение, сдвиг, параллельный перенос, операции взятия модуля).
4. Прикладные задачи, приводящие к использованию понятия производной.
5. Исследование функций, заданных параметрически. Методы построения графиков.
6. Мера Жордана на плоскости. Свойства измеримых фигур.
7. Интегрирование иррациональных функций.
8. Специальные методы интегрирования тригонометрических функций.
9. Равномерная непрерывность функции. Модуль непрерывности функции и его свойства.
10. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.
11. Ортогональные системы функций. Ортогональность тригонометрической системы.
12. Понятия внутренней, предельной, граничной точки множества. Открытые и замкнутые множества, компактность и связность множеств в Rn.
13. Метрика и норма в Rn. Сравнение норм.
14. Методы построения графиков функций двух переменных.
15. Равномерная непрерывность функции многих переменных на множестве. Модуль непрерывности.
16. Теорема о дифференцируемости неявных функций. Формула для вычисления производной функции, заданной неявно.
17. Условный экстремум; метод множителей Лагранжа.
18. Отображения плоских областей. Переход к полярным координатам.
19. Приложения двойного и тройного интеграла в геометрии и механике.
20. Кривые на плоскости и в пространстве, спрямляемые кривые.
21. Приложения криволинейных интегралов.
4.2. Темы контрольных работ
1. Пределы числовых последовательностей.
2. Вычисление пределов функций, свойства непрерывных функций.
3. Техника дифференцирования. Исследование функций на экстремум. Построение графиков функций на основе дифференциального исчисления.
4. Методы вычисления неопределенных интегралов.
5. Определенный интеграл (методы вычисления, приложения).
6. Исследование сходимости числовых рядов. Степенные ряды и их свойства. Функциональные ряды.
7. Исследование функций многих переменных на безусловный и условный экстремумы.
8. Методы вычисления двойных интегралов и приложения. Криволинейные интегралы.
4.3. Примерные темы курсовых работ
1. Аксиоматическое построение множества действительных чисел с аксиомой непрерывности Кантора. Анализ методики изучения действительных чисел в школьной математике.
2. Аксиоматическое построение множества действительных чисел с аксиомой непрерывности Вейерштрасса. Анализ методики изучения действительных чисел в школьной математике.
3. Аксиоматическое построение множества действительных чисел с аксиомой непрерывности в виде существования «разделяющего» числа. Анализ методики изучения действительных чисел в школьной математике.
4. Верхний и нижний пределы последовательности.
5. Рекуррентные последовательности и их пределы.
6. Анализ методики изучения тригонометрических и обратных тригонометрических функций, тождеств, уравнений и неравенств в школьном курсе математики.
7. Выпуклые функции и некоторые их применения при доказательстве некоторых классических неравенств.
8. Гиперболические функции и их свойства.
9. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Анализ темы в школьном курсе.
10. Построение кривых, заданных в полярных координатах.
11. Построение кривых, заданных параметрически.
12. Предел функции в средней школе.
13. Понятие «непрерывность функции» в средней школе.
14. Классические неравенства в задачах на экстремум.
15. Контрпримеры в математическом анализе.
16. Интерполяционные многочлены и их применение.
17. Квадратурные формулы.
18. Мера множества по Жордану. Значение меры Жордана в школьном курсе математики.
19. Исследование свойств обратных функций в зависимости от свойств прямых функций (монотонности, ограниченности, непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости). Изучение обратных функций в средней школе.
20. Применение многочленов Бернштейна для разложения непрерывной функции в ряд многочленов.
21. Несобственные интегралы на ограниченном промежутке.
22. Несобственные интегралы на неограниченном промежутке.
23. Определенный интеграл в средней школе.
24. Приближение непрерывных функций тригонометрическими полиномами.
25. Признаки Абеля и Дирихле сходимости несобственных интегралов.
26. Свойства определенного интеграла. Приложения интеграла в механике и физике.
27. Формула Тейлора с дополнительным членом в различных формах (Пеано, Лагранжа и др.). Применение формулы Тейлора в приближенных вычислениях.
28. Функции ограниченной вариации.
29. Экстремальные задачи в школьном курсе математики.
30. Разработка теста для контроля по теме «Числовые ряды».
31. Декарт: его жизнь, деятельность, математические работы, вклад в развитие науки.
32. Ньютон: его жизнь, деятельность, математические работы, вклад в развитие науки.
33. Лейбниц: его жизнь, деятельность, математические работы, вклад в развитие науки.
34. Коши: его жизнь, деятельность, математические работы, вклад в развитие науки.
35. Вейерштрасс: его жизнь, деятельность, математические работы, вклад в развитие науки.
36. Интеграл Римана - Стильтьеса, его свойства и приложения.
37. Интегралы, зависящие от параметра. Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычислению некоторых несобственных интегралов.
38. Задачи линейного программирования и симплекс-метод. Задача о рационе.
39. Методы решения задач на условный экстремум для функций одной и нескольких переменных.
40. Экстремум квадратичных функций на полиэдральных множествах.
41. Метод множителей Лагранжа.
42. Теоремы отделимости и опорные функции множеств.
43. Элементы теории матричных игр.
44. Аддитивные функции промежутка и теория интегрирования.
45. Бета и гамма функции (Эйлеровы интегралы), формула Стирлинга, приложения.
46. Признаки сходимости положительных рядов (Даламбера, Коши, Раабе, Куммера и др.).
47. Принцип сжатых отображений и его применение в математическом анализе и алгебре.
48. Пространства Банаха.
49. Свойства отображений метрических пространств, непрерывность на компактных множествах.
50. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических.
51. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах.
4.4. Темы индивидуальных домашних заданий (ИДЗ)
1. Доказательство равенств по определению предела.
2. Доказательство отсутствия предела функции с использованием определения по Гейне.
3. Вычисление пределов.
4. Доказательство непрерывности функции по определению.
5. Исследование функции на непрерывность.
6. Исследование функции на дифференцируемость по определению.
7. Техника дифференцирования.
8. Геометрический смысл производной.
9. Приложения основных теорем дифференциального исчисления.
10. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя.
11. Исследование функции двух переменных на экстремум.
12. Исследование функций и построение графиков.
13. Решение задач на экстремум.
14. Вычисление интегралов, сводящихся к табличным.
15. Вычисление интегралов по частям.
16. Интегрирование рациональных функций.
17. Интегрирование иррациональностей.
18. Интегрирование тригонометрических функций.
19. Вычисление площади фигуры.
20. Вычисление площади сектора.
21. Вычисление объема тела.
22. Вычисление длины дуги.
23. Нахождение суммы ряда по определению.
24. Исследование на сходимость числовых положительных рядов.
25. Исследование на сходимость знакочередующихся рядов.
26. Нахождение множества сходимости функциональных рядов.
27. Нахождение суммы степенного ряда.
28. Разложение функции в ряд Тейлора.
29. Вычисление значений функций с помощью рядов.
30. Нахождение области определения ФНП.
31. Исследование ФНП на непрерывность.
32. Исследование ФНП на экстремум.
33. Нахождение наибольшего и наименьшего значения ФНП.
34. Вычисление двойного интеграла.
35. Вычисление криволинейного интеграла по координатам.
4.5. Проведение экзамена по дисциплине
По решению кафедры, оформленному в установленном порядке, экзамен по дисциплине «Математический анализ» проводится в устной, письменной или иной форме по утвержденным заведующим кафедрой экзаменационным заданиям (билетам). Экзаменационные задания (билеты) в равной пропорции включают задачи, направленные на проверку знаний и умений по дисциплине, а также на оценку уровня сформированности компетенций, на формирование которых был направлен процесс изучения дисциплины.
4.6. Вопросы для подготовки к экзамену (проверка знаний, умений)
Семестр 1
1. Аксиоматика множества действительных чисел. Модуль действительного числа, его свойства.
2. Ограниченные и неограниченные множества. Точные грани числовых множеств; теорема существования и единственности точных граней множеств.
3. Свойства точных граней числовых множеств. Теорема о характеризации точных граней.
4. Понятие функции (отображения). Основные свойства функций (понятия сюръекции, инъекции, биекции, сложной и обратной функции), примеры.
5. Числовые функции. Свойства числовых функций: ограниченность, монотонность, четность и нечетность. График функции и геометрическая иллюстрация основных свойств. График обратной функции.
6. Периодические функции. Теоремы о свойствах периодов. Основной период. Примеры.
7. Построение графиков числовых функций методом преобразований.
8. Понятие числовой последовательности. Определение предела последовательности. Единственность предела последовательности.
9. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами. Ограниченность последовательности, имеющей конечный предел.
10. Бесконечно малые последовательности и их свойства. Бесконечно большие последовательности и их свойства.
11. Арифметические операции над сходящимися последовательностями.
12. Теоремы о пределах монотонных последовательностей.
13. Определение числа е (теоремы о свойствах соответствующей последовательности).
14. Теорема Кантора о вложенных отрезках.
15. Условие Коши для последовательностей и критерий Коши сходимости числовой последовательности.
16. Понятие подпоследовательности. Теорема Вейерштрасса.
17. Определение предела функции (по Коши). Единственность предела. Геометрический смысл предела. Случаи конечных и бесконечных пределов в конечной точке и в бесконечности.
18. Определения предела функции по Гейне, теорема об эквивалентности определений по Гейне и по Коши.
19. Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.
20. Свойства функций, имеющих пределы, и свойства пределов, связанные с неравенствами.
21. Теорема о замене переменной при вычислении предела.
22. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, теорема о их основных свойствах.
23. Теорема об арифметических свойствах пределов числовых функций.
24. Теорема о пределах монотонных функций.
25. Понятие односторонних пределов. Необходимое и достаточное условие существование предела функции.
26. Условие Коши для числовых функций. Критерий Коши существования предела.
27. Определение непрерывности функции в точке, геометрический смысл, примеры. Разрывные функции, классификация точек разрыва.
28. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность сложной функции.
29. Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции, непрерывной на отрезке.
30. Теорема Вейерштрасса о достижимости точных граней функции, непрерывной на отрезке.
31. Теорема Коши о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке. Следствия теоремы Коши.
32. Теорема о функции, обратной к монотонной непрерывной функции.
33. Непрерывность элементарных функций (многочлены и рациональные функции, степенная функция с рациональным показателем).
34. Непрерывность элементарных функций (тригонометрические функции и обратные к ним).
35. Определение степени с произвольным вещественным показателем. Показательная функция, ее непрерывность.
36. Логарифмическая функция, непрерывность. Гиперболические функции.
37. Первый замечательный предел.
38. Второй замечательный предел и его следствия.
39. Сравнение функций, эквивалентные функции. Использование эквивалентных функций при вычислении пределов (примеры).
Семестр 2
1. Определение производной. Таблица производных (вывод формул производных элементарных функций, исходя из определения производной).
2. Геометрический, физический, экономический смысл производной.
3. Односторонние и бесконечные производные.
4. Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости.
5. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
6. Правила дифференцирования. Арифметика производных. Таблица производных.
7. Дифференцирование обратной функции.
8. Дифференцирование сложной функции.
9. Дифференциал функции. Его геометрический смысл.
10. Инвариантность формы первого дифференциала.
11. Дифференцирование параметрически заданных функций (первая производная).
12. Производные и дифференциалы высших порядков.
13. Дифференцирование параметрически заданных функций (производные высших порядков).
14. Формула Лейбница (для производных и дифференциалов).
15. Понятия глобального и локального экстремума. Теорема Ферма.
16. Теорема Ролля.
17. Теорема Лагранжа.
18. Теорема Коши.
19. Правило Лопиталя.
20. Формула Тейлора (с остаточным членом в форме Пеано).
21. Формула Тейлора (с остаточным членом в форме Лагранжа).
22. Возрастание и убывание функции. Необходимое и достаточное условие монотонности.
23. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума (в терминах первой производной).
24. Достаточное условие экстремума (в терминах второй производной).
25. Понятия выпуклости и вогнутости функции. Необходимое условие выпуклости (вогнутости).
26. Достаточное условие выпуклости (вогнутости).
27. Точки перегиба (определение, теоремы о точках перегиба).
28. Асимптоты графика функции и методы их нахождения.
Семестр 3
1. Определение первообразной, свойства первообразной.
2. Интегрирование заменой (подстановкой) переменной.
3. Интегрирование по частям.
4. Интегрирование рациональной функции. Простейшие рациональные функции и их интегралы.
5. Интегрирование рациональной функции. Метод неопределенных коэффициентов.
6. Интегрирование рациональной функции. Метод Остроградского.
7. Интегрирование тригонометрических функций. Основные подстановки. Универсальная тригонометрическая подстановка.
8. Интегрирование иррациональных функций (рациональные выражения, содержащие корни из линейной функции).
9. Интегрирование иррациональных функций. Подстановки Эйлера.
10. Интегрирование гиперболических функций.
11. Квадрильяж плоских фигур. Внешняя и внутренняя мера Жордана, их свойства.
12. Измеримость плоских фигур по Жордану.
13. Понятие границы. Мера границы плоской фигуры. Критерий измеримости, связанный с понятием границы плоской фигуры.
14. Определение интеграла Римана. Геометрический смысл интеграла, примеры.
15. Необходимое условие существования определенного интеграла.
16. Суммы Дарбу. Свойства сумм Дарбу. Критерий интегрируемости.
17. Связь понятий интеграла Римана и меры Жордана.
18. Равномерная непрерывность функции (определение, теорема о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке).
19. Классы интегрируемых функций (непрерывные, монотонные функции).
20. Свойства интеграла Римана.
21. Интегрируемость кусочно-непрерывной функции.
22. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом.
23. Интеграл с переменным верхним пределом. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом.
24. Формула Ньютона-Лейбница. Связь понятий определенного и неопределенного интеграла.
25. Теорема о замене переменной в определенном интеграле.
26. Теорема об интегрировании по частям в определенном интеграле.
27. Вычисление площади плоской фигуры в декартовой и полярной системах координат.
28. Нахождение объема тела вращения.
29. Понятие спрямляемой кривой и нахождение длины плоской кривой.
30. Вычисление площади боковой поверхности фигуры вращения.
31. Физические приложения определенного интеграла (вычисление пути, массы стержня и работы силы).
32. Методы приближенного вычисления определенного интеграла.
33. Понятие несобственного интеграла. Свойства и методы вычисления.
Семестр 4
1. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Геометрический ряд.
2. Теорема об остатках числового ряда. Положительные ряды.
3. Необходимое и достаточное условие сходимости числового ряда.
4. Теоремы сравнения.
5. Признак Коши сходимости числового ряда.
6. Признак Даламбера сходимости числового ряда.
7. Интегральный признак сходимости положительного ряда.
8. Сходимость произвольных числовых рядов. Абсолютная и условная сходимость.
9. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка суммы остатка ряда лейбницевского типа.
10. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Теорема Дирихле.
11. Умножение рядов. Теоремы сходимости.
12. Равномерная и неравномерная сходимость функциональной последовательности. Критерий Коши равномерной сходимости.
13. Функциональные ряды. Область сходимости. Признак Вейерштрасса.
14. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.
15. Степенные ряды. Теорема Абеля.
16. Теорема об области сходимости степенного ряда. Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.
17. Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора. Разложение функций в ряды Тейлора.
18. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов.
19. Тригонометрический ряд. Ортогональные системы функций. Ортогональность тригонометрической системы функций.
20. Теорема о равномерно сходящемся тригонометрическом ряде. Определение тригонометрического ряда Фурье.
21. Особенности ряда Фурье четной и нечетной функций. Разложение функций в ряд Фурье.
22. Метрика в Rn. Окрестности точек, сходимость последовательностей в Rn.
23. Теорема о покоординатной сходимости в Rn .
24. Предел функций многих переменных в точке. Эквивалентность определений предела по Коши и Гейне.
25. Непрерывность функций нескольких переменных в точке и на множестве.
26. Теорема о сохранении знака непрерывной функции нескольких переменных в окрестности точки.
27. Теорема о непрерывности сложной функции нескольких переменных.
28. Теорема о достижимости точных граней функции нескольких переменных на компакте. Теорема о достижимости промежуточных значений функции многих переменных на связном множестве.
29. Дифференциал функции нескольких переменных. Эквивалентное условие дифференцируемости функции нескольких переменных.
30. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции нескольких переменных. Геометрический смысл дифференцируемости и дифференциала функции двух переменных.
31. Частные производные и частные дифференциалы. Теорема о существовании частных производных дифференцируемой функции. Единственность дифференциала.
32. Достаточные условия дифференцируемости. Непрерывно дифференцируемые функции.
33. Теорема о дифференцируемости сложной функции.
34. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных.
35. Формула Тейлора.
36. Локальные экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия существования.
37. Достаточные условия существования экстремумов функции нескольких переменных.
38. Понятие двойного интеграла Римана. Геометрический смысл двойного интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции.
39. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному для прямоугольной области.
40. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному для произвольной квадрируемой области.
41. Основные свойства двойного интеграла.
42. Приложения двойного интеграла в геометрии и механике. Понятие тройного интеграла.
43. Определение криволинейного интеграла по координатам; его свойства. Методы его вычисления.
44. Вычисление площадей с помощью криволинейного интеграла второго рода. Понятие ориентированной области.
45. Необходимые и достаточные условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
46. Интегралы по замкнутому контуру. Формула Грина.
4.7. Примерные типы заданий для подготовки к экзамену (оценка уровня сформированности компетенций)
1. Переформулировать на математическом языке текстовую задачу по дисциплине, (напр., задачу с геометрическим смыслом производной, задачу поиска экстремального значения функции и др.).
2. Для задач из различных разделов МА предложить и обосновать возможные пути нахождения решения (напр., вычисление пределов последовательностей и функций, вычисление интегралов, нахождение экстремальных значений функций, установление сходимости рядов и др.).
3. Выделить общую структуру в предложенных нескольких задачах МА; сформулировать и обосновать типовой способ построения их решения.
4. Построить блок-схемы доказательства теорем из МА; построить блок-схемы основных дидактических единиц курса.
5. Сформулировать физический и геометрический смысл основных понятий МА (напр., функции, производной и дифференциалов первого и второго порядков, определенных интегралов однократных, двойных, тройных), привести примеры соответствующих физических, механических и геометрических задач.
6. Сформулировать (в устном и/или письменном виде) основные понятия и определения из предложенного раздела МА, указать логические взаимосвязи между ними, проиллюстрировать примерами;
7. Сформулировать (в устном и/или письменном виде) основные утверждения из предложенного раздела МА, указать логические взаимосвязи между ними, проиллюстрировать примерами.
8. Провести доказательство и/или составить блок-схему доказательства (в устном и/или письменном виде) указанных утверждений из выбранного раздела МА, проиллюстрировать примерами; выделить логические взаимосвязи этих утверждений с другими в курсе МА.
9. На необходимом уровне строгости дать обоснование решения предложенной задачи из курса МА; провести анализ возможных особых (предельных) случаев; дать графическую иллюстрацию и содержательную интерпретацию решения;
10. Решить прикладные задачи с использованием дифференциального и интегрального исчислений (вычисление площадей фигур, объемов тел, физических и механических величин и др.); дать содержательную интерпретацию полученного решения;
11. Опишите возможности использования изученного материала по дисциплине для организации исследовательской (проектной) деятельности учащихся;
12. Предложите несколько тем и планов исследовательских проектов для учащихся разных классов по тематике изученной дисциплины;
13. Сформулируйте и объясните затруднения, которые могут возникнуть у учащегося при работе над содержанием исследовательского проекта по теме из изученной дисциплины. Предложите пути их устранения.
5. УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
5.1. Рекомендуемая литература
Основная
1. , Когай указания к решению задач и индивидуальные задания по теме «Функции многих переменных»: методическая разработка. Екатеринбург: УрГПУ, 20с. (В переработке, имеется электронная версия).
2. , , Фомина указания к решению задач и индивидуальные домашние задания по теме «Ряды». Екатеринбург: УрГПУ, 20с.
3. Берман задач по курсу математического анализа: учеб пособие. СПб.: Лань, 20с.
4. Данилин работа по теме «Ряды и обыкновенные дифференциальные уравнения». Екатеринбург: УрГПУ, 19с. (В переработке, имеется электронная версия).
5. Тер-, Шабунин математического анализа: учебное пособие для вузов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 20с.
6. Фихтенгольц, математического анализа. Ч. 1. СПб.: Лань, 20с.
7. Фихтенгольц математического анализа. Ч. 2. СПб.: Лань, 20с.
8. Фомина исчисление: метод разработка. Екатеринбург: УрГПУ, 19с. (В переработке, имеется электронная версия).
9. Яхин работа по теме «Дифференциальное исчисление». Екатеринбург: УрГПУ, 19с. (В переработке, имеется электронная версия).
Дополнительная литература
10. , : учебное пособие по математическому анализу/Изд-во АМБ;. , , – Екатеринбург: АМБ, 2007. – 190 с.
11. , , Чубариков по математическому анализу: учеб. пособие. М.: Дрофа, 20с.
5.1. Информационное обеспечение дисциплины
Цифровые образовательные ресурсы сети Интернет (в частности, сайты www. *****; www. school. *****), сайт электронной библиотеки УрГПУ (http://e-lib. *****), авторские презентации лекций.
6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ И ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
При изучении дисциплины «Дифференциальные уравнения» рекомендуется использовать технические средства обучения (персональные компьютеры, медиа проектор).
7. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ПРОГРАММЫ
доктор физико-математических наук
доцент
заведующий кафедрой математического анализа УрГПУ
кандидат физико-математических наук
профессор кафедры математического анализа УрГПУ
старший преподаватель кафедры математического анализа УрГПУ
Р. т.: (3
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
По дисциплине «Математический анализ»
для ООП по направлению «010400 – Прикладная математика и информатика»,
по циклу Б.2 – Математический и естественнонаучный цикл,
базовая часть
Подписано в печать Формат 60´84/16
Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. .
Тираж экз. Заказ.
Уральский государственный педагогический университет
620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
