Из существования кванта действия вытекала возможность существования не только квантовых значений, то есть дискретного спектра у мер движения и взаимодействия – энергии и импульса, но и невозможность беспредельной детализации характера движения частицы. Более конкретно выяснилась невозможность точного одновременного задания, определения координаты (положения) и импульса частицы, ибо их произведение тоже образует величину с размерностью действия и не может быть меньше его кванта . Последнее же указывало на невозможность принятого в классической механике представления о траекторном характере движения частиц (точнее, об ограниченности этого представления). Но физика знает два характера движения – траекторное и волновое. Ранее, при теоретическом анализе закономерностей распространения и взаимодействия света (электромагнитных волн), выяснилось, что волновому движению свойственна двойственность, сближающая его с корпускулярным движением и названная корпускулярно – волновым дуализмом. Спустя два десятилетия физики пришли к выводу (гипотеза де Бройля) о наличии подобной двойственности и в движении частиц вещества (корпускул). На этой основе был сформулирован адекватный опыту движения объектов с малыми действиями формально – математический аппарат с его основным уравнением – уравнением Шредингера, носящим волновой характер.

Гипотеза де Бройля. Волны де Бройля: опытное подтверждение, принцип соответствия.

Подпись: Попытки построения адекватной опыту теории движения микрочастиц показали плодотворность, но недостаточность введения в теорию квантовых постулатов (Бор, Зоммерфельд). Следующим (и решающим) шагом на пути полноценного теоретического отображения свойств и поведения микрообъектов явилась идея де Бройля (1923 г) о корпускулярно – волновом дуализме свойств микрочастиц вещества. Эта идея как бы замыкала в целостность идею Планка, реализованную им лишь применительно к свету (электромагнитным волнам, полю). Таким образом, вся физическая реальность – и вещество, и поле, сблизились в микромире в своих свойствах, в их универсальной корпускулярно – волновой двойственности (дуализме).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

По гипотезе де Бройля, любой частице массой m, движущейся со скоростью u, можно сопоставить некоторую волну, длина l которой определяется выражением (формулой де Бройля):

l = h/mu = h/р [10] и называется длиной волны де Бройля. Такая волна является математическим образом и средством, инструментом, позволяющим отобразить волновые свойства микрочастиц. Их наиболее характерным проявлением оказывается дифракция. Подпись: И гипотеза де Бройля вскоре была убедительно подтверждена экспериментом. В 1927 г. Дэвиссон и Джермер, наблюдая рассеяние электронов монокристаллом никеля, установили наличие характерной дифракционной картины, подобной той, которая наблюдалась и при рассеянии электромагнитных волн (рентгеновского диапазона частот) в опытах Вульфа - Брэггов. Максимумы рассеянных монокристаллом никеля электронов повторялись для разных углов рассеяния q в соответствии с известной формулой Вульфа - Брэггов: 2d×sin q = nl, где d – межатомное расстояние, а n = 1, 2, 3, ... Для волн де Бройля удобно менять не q, а l, посредством изменения ускоряющего электроны напряжения U:

qеU = mu2/2 = р2/2m = h2/l22m Þ l = h/Ö(2mqеU) и 2d×sin q = nh/Ö(2mqеU).

Далее, в опытах Штерна и Эстермана, подобная волновая картина наблюдалась и для пучков атомов, молекул (1929 г., 1932 г.), а также и нейтронов. Таким образом, гипотеза де Бройля, утверждающая универсальный характер корпускулярно – волновой двойственности свойств физической реальности, убедительно подтверждена опытом.

Тот факт, что волновые свойства частиц вещества не были обнаружены в макромире, объясняется тем, что для макрообъектов, обладающих много большей, чем микрообъекты массой, длина волны де Бройля оказывается чрезвычайно малой[11]. Если для электрона с mе = 9,1×10-31 кг и u » 107 м/с, она равна lе = h/mеu » 10-10 м, то, например, для пули с mп » 10 г и u ~ 103 м/с,
lп = h/mпu ~ 10-30 м. Эта величина лежит далеко за пределами возможностей ее регистрации современными техническими средствами. Поэтому и наблюдать проявление волновых свойств макротел не представляется возможным.

О соотношении классической (траекторной) и квантовой (корпускулярно - волновой) механик и трактовок механического движения можно сказать, что квантовая является более общей, не отменяющей классическую, а очерчивающей ее границы, вскрывающей пределы ее ограниченной справедливости, включающей ее в себя как частный, предельный случай. Условие соответствующего предельного перехода квантовой механики в ее классическое приближение может быть кратко сформулировано в количественной форме в виде S >> h или: . Иначе это означает, что l = h/mu ® 0. Это условие подобно условию перехода волновой оптики в геометрическую, лучевую оптику.

Свойства волн де Бройля: фазовая и групповая скорости, суперпозиция плоских волн, дисперсия. Волновой пакет и частица. Квантовое условие Бора.

Согласно гипотезе де Бройля, любой вещественной частице массой m, движущейся с постоянной скоростью u, присущи волновые свойства с характерной длиной волны l, называемой дебройлевской и равной . Как и для электромагнитных волн, для волн де Бройля можно различать фазовую и групповую скорости. Фазовая скорость определяется отношением uф = w/k, и, так как , а , то uф = w/k = w/k = Е/р = Ö(с2р2 + m2с4)/р = сÖ(1 + m2с2/р2) Þ uф > с.

Подпись: Получили результат, уже знакомый из анализа электромагнитных волн и сводящийся к превышению фазовой скорости волны (здесь - де Бройля) над значением скорости света в вакууме. Этот результат нас не должен смущать, так как фазовая скорость не имеет ничего общего со скоростью переноса энергии. Она устанавливает лишь связь между фазами колебаний в разных точках, и на ее величину не накладывается никаких ограничений.

Согласно современной физической интерпретации, фазовая скорость волн де Бройля имеет чисто символическое значение, ибо является принципиально не наблюдаемой величиной. Принципиально наблюдаемой величиной согласно этой интерпретации является групповая скорость, скорость максимума амплитуды узкополосной группы (или пакета волн) с разной частотой (длиной волны). Предположение о введении таких волновых пакетов для описания движения реальных частиц было выдвинута де Бройлем, пытавшимся устранить корпускулярно – волновую двойственность путем сведения свойств частицы к чисто волновым. Но эта попытка оказалась безуспешной вследствие дисперсии волн де Бройля (даже в вакууме). Дисперсия волн де Бройля проявляется в зависимости их фазовой скорости от длины волны. Это следует из формулы:

uф = сÖ(1 + m2с2/р2) = сÖ(1 + m2с2l2/h2).

Групповая скорость uгр, определяемая через производную от циклической частоты по волновому числу k, оказывается равной скорости u самой частицы. Покажем это для свободной частицы:

и т. к. , то из Е2 = с2р2 + m2с4 Þ 2ЕdЕ = 2рdрс2 Þ dE/dр = рс2/Е = mu/m = u = uгр.

Де Бройль и предлагал рассматривать частицы как волновые пакеты достаточно малой протяженности (локализованные), представляющие собой суперпозицию большого числа плоских монохроматических волн (де Бройля) с разными частотами. Но все эти составляющие узкого пакета распространяются вследствие дисперсии с разными скоростями и пакет в целом “расплывается” за ничтожно малое время порядка 10-26 с. Поэтому попытка сведения поведения микрочастиц к чисто (и односторонне) волновому оказалась неудачной.

Де Бройль использовал представление о волнах (де Бройля) для наглядного представления таинственного правила квантования орбит Бора в случае одноэлектронного атома. Он рассматривал волну де Бройля, бегущую вокруг ядра по круговой орбите электрона. Если на длине орбиты 2pr длина волны l укладывается целое число раз, то при обходе ядра она будет всякий раз возвращаться в исходную точку с той же фазой и амплитудой. В каждой точке орбиты установится неизменный во времени колебательный режим стоячей волны (не переносящей энергию), и не возникнет излучения, что и есть условие стационарности орбиты. Исходя из этих соображений, де Бройль записал условие стационарности орбиты или правило квантования, в виде: 2pr/l = n, где n = 1, 2, 3…

Полагая, что l = h/р и замечая, что pr = L (L – момент импульса электрона), получим:
2prр/h = n Þ L = n - квантовое условие Бора (целочисленность момента импульса L в постоянных Планка ). В этом де Бройль видел успех своей концепции волн материи. В дальнейшем квантовое условие удалось обобщить и на случай некруговых, эллиптических орбит. Но этот успех оказался призрачным. В рассуждениях де Бройля предполагалось, что волна распространяется не в пространстве, а вдоль линии – вдоль стационарной орбиты электрона. Такая идеализация соответствует приближению геометрической (лучевой оптики), справедливому лишь в предельном случае малости l в сравнении с радиусом r орбиты, т. е. при больших квантовых числах. А тогда сама проблема квантования оказывается несущественной.

Введение в теорию движения частиц условий, адекватных волновой оптике, было осуществлено Шредингером.

Волновая функция и ее статистический смысл.

И гипотеза де Бройля, и соотношения неопределенности, являющиеся следствиями атомизма (дискретности) действия, указывают на необходимость учета волновых свойств в поведении частиц вещества и на наличие объективной неопределенности в этом поведении. Обе эти особенности квантовомеханического движения находят свое выражение в том, что состояние движения микрочастицы задается не координатами и импульсами (то есть, траекторно), а некоторой волновой функцией координат и времени y(x, y, z, t), являющейся в общем случае комплексной. В простейшем случае – движения свободной частицы (в отсутствие внешних силовых полей) в направлении , - такая функция (волновая), имеет вид плоской волны: - плоская волна де Бройля,

где i = Ö-1 – мнимая единица, = k/u - волновой вектор, а || = k = 2p/l - волновое число.

Эта волновая функция отличается от обычной гармонической волны тем, что
является комплексной, т. е. содержит в себе в общем случае и действительную, и мнимую части:

.

Задание состояния движения микрочастицы с помощью волновой функции приводит к вероятностному характеру предсказания значений будущих местоположения и импульса движущейся частицы. Вероятностная закономерность в классической статической механике была обусловлена суммированием многообразных независимых альтернатив. Вероятность же в квантовой механике связана с объективной неопределенностью вследствие атомизма взаимодействия, не позволяющего сколь угодно точно детализировать характеристики движения частицы.

М. Борном (1928 г) была предложена статистическая трактовка волновой функции, в соответствии, с которой наглядный физический смысл приписывается квадрату модуля волновой функции. Этот смысл является статистическим; он представляет собой плотность вероятности обнаружения частицы в заданном объеме в данный момент времени:

, где dV = dх×dy×dz - элементарный объем (или элемент объема).

Задание волновой функции – основной функции, характеристики состояния частицы позволяет определить вероятность dР местоположения частицы в любом элементе dV пространства:

ибо y - может быть и мнимой, и тогда Y2 оказывается отрицательной, тогда как вероятность всегда положительна.

Вероятность Р местонахождения микрочастицы в конечном объеме V определится интегралом:

Р = òdР =

На волновую функцию, как функцию статистического (вероятностного) распределения, накладывается условие нормировки, согласно которому интеграл по всей области определения (объему) волновой функции должен быть равен единице:.

Интеграл от плотности вероятности по всему объему представляет собой полную, т. е. 100 % - ую вероятность, вероятность достоверного события. Частица (если она существует) в каком-либо месте из всей доступной для нее области, должна обнаруживаться обязательно, со 100 % - ой вероятностью.

Условие нормировки позволяет находить амплитуду волновой функции.

Зная волновую функцию, можно вычислять средние значения любых величин x, являющихся функциями координат и времени по формуле:

,

а также вероятности любых других значений этих величин.

Волновую функцию, в соответствии с ее статистическим, вероятностным смыслом, часто называют амплитудой вероятности, или, еще - волной информации. В отличие от известных ранее волн, имеющих ту или иную конкретную материальную природу, волновая функция, в том числе и волна де Бройля, представляет лишь адекватный способ описания движения объектов в микромире. Ее природа не материальная, а информационная, адекватная корпускулярно - волновой двойственности свойств, проявляющихся при малых взаимодействиях, где заметной становится дискретность, квантованность действия, наличие его неделимой порции, равной постоянной Планка = 1,05×10-34 Дж×с.

Вероятностное толкование волновой функции позволяет сочетать волновые свойства частицы с ее неделимостью. Волновая функция частицы не описывает струкуру частицы; она отображает лишь возможные состояния ее движения.

Волновая функция лишь приписывается, сопоставляется движущейся частице, как функция, определенным образом характеризующая, отображающая состояние ее движения, позволяющая предсказывать дальнейший характер и характеристики движения. То, что такое предсказание является неоднозначным, вероятностным, свидетельствует об ограниченности привычного для макромира и классической механики однозначного детерминизма. В микромире однозначно предсказываются лишь вероятности тех или иных значений координаты и импульса движущейся частицы.


Вопрос № 7 Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Соотношения неопределенности как проявление корпускулярно - волнового дуализма свойств материи.

Объективно существующая корпускулярно - волновая двойственность в свойствах микрообъектов не позволяет рассматривать их движение как происходящее по траектории (в частности, по орбите для электрона в атоме). Это наглядное, но чисто классическое корпускулярное представление основано на положении о том, что у движущегося объекта в каждый момент времени существуют точные значения координаты (местоположения) и импульса. Таким образом, учет волновых свойств в микрообъекте обусловливает ограничение применения к нему представлений о возможности определения (и существования у него) одновременно точных значений координаты и импульса. Более строго это ограничение классических представлений применительно к микрообъектам было записано В. Гейзенбергом в следующих соотношениях неопределенности Гейзенберга (СНГ):

; ; , где Dx и Dpx, Dу и Dpу, Dz и Dpz - абсолютные погрешности (неточности, неопределенности) координаты и импульса микрочастицы.

В соответствии с этими соотношениями, при одновременном определении сопряженных (вдоль одной оси) координаты и импульса произведение их абсолютных погрешностей не может быть меньшим постоянной Планка[12] . По отдельности, порознь, координата и импульс микрочастицы могут быть померены сколь угодно точно, или могут иметь совершенно точные значения. Но если у частицы точно определено местоположение, то тогда совершенно неопределенным будет ее импульс. И наоборот, как, например, у свободной частицы, движущейся с известной скоростью, точно определен импульс, но при этом совершенно не определено ее положение. Свободную частицу с равной вероятностью можно обнаружить в любой точке пространства: она связана с бесконечной в пространстве и времени плоской волной де Бройля. Соотношение неопределенностей запрещает покой, ибо он требует одновременно точных координаты и импульса, то есть и Dx = 0 и Dpх = 0.

Корпускулярно-волновой дуализм ограничивает применимость классических понятий в микромире. Нельзя, например, говорить «импульс частицы в точке х равен р», потому что р = h/l, а l, по определению, не может быть функцией координаты. Также нельзя ответить на вопрос – «какова частота колебаний маятника в данный момент времени?», поскольку для определения частоты необходимо проследить за многими колебаниями.

С позиции корпускулярно-волнового дуализма и соотношений неопределенности Гейзенберга становится понятным, почему первой величиной, значение которой в теории микрочастиц стало квантоваться, явился момент импульса. Представляя собой, произведение координаты на импульс, момент импульса, по соотношению Гейзенберга, не может быть меньше постоянной Планка , что и было угадано и постулировано в правиле квантования орбит Н. Бором.

Неклассические свойства микрочастиц, так или иначе, имеют связь и обусловленность с наличием кванта действия. Эффект дискретности, квантованности действия, проявляет себя заметным образом лишь в тех объектах, действие S которых соизмеримо с , или взаимодействие, т. е. изменение действия, не сильно превышает . Взаимодействие может отображаться либо кинематически, как изменение пространственно - временной определенности объекта, либо динамически – как изменение динамических мер движения – импульса и энергии объекта. У микрообъектов единовременно, разовое изменение координаты и импульса (за счет элементарного взаимодействия) не может быть меньше , т. е. (изменение импульса на расстоянии ) и, соответственно, изменение энергии системы за время : . Чем меньше время существования какого-либо энергетического состояния (или время, отведенное на измерение энергии), тем менее точно определена (более размыта) его энергия. Примером является размытие (или уширение) спектральных линий атомов, связанное с неопределенностью DЕ энергий возбужденных уровней, существующих конечное время Dt.

Соотношения неопределенности Гейзенберга дают принципиальный предел точности классического описания движения по траектории. При больших энергиях частицы (малых длинах волны де Бройля) возможно приближенное описание движения микрочастицы на языке классических траекторий. Электрон в электронно-лучевой трубке может считаться двигающимся по траектории, так как для него при Dх ~ 10-4 м (размер луча на экране) Du = Dр/m = /mDх = 102 м/с, что много меньше самого значения скорости. В атоме же Dх = d » 10-10 м (d - диаметр атома) и Du = Dр/m = /mDх = 108 м/с, что превышает само значение скорости электрона в атоме. Это означает невозможность представления движения электрона в атоме, как происходящего по определенной траектории. В квантовой теории исчезает понятие орбит Бора – Зоммерфельда.

Вопрос № 8 Уравнение Шредингера для стационарных состояний частиц. Статистический смысл и свойства волновой функции.

Общее (нестационарное) уравнение Шредингера

Состояние движения микрообъекта задается не координатами и импульсами, не траекторией, как в макромире, а некоторой функцией координат и времени, носящей в общем случае комплексный и волновой характер. В микромире обнаружился более общий, статистический характер детерминизма, причинности. Однозначные детерминизм и причинность классической механики, адекватные движениям макрообъектов, оказались лишь огрубленным приближением. Вероятностный детерминизм в поведении микрообъектов проявляется в наличии некоторого уравнения, связывающего заданными взаимодействиями (граничными условиями) начальную и будущую волновые функции. Это уравнение, найденное Шредингером и получившее его имя, является исходным, фундаментальным уравнением квантовой механики, подобно уравнению 2 - ого закона Ньютона для классической механики. В рамках квантовой механики оно ниоткуда не выводится, а его справедливость подтверждается всей совокупностью его следствий, сопоставляемых с опытными фактами. Решением этого уравнения и является функция состояния движения квантового объекта - волновая функция. Поясним вид этого уравнения в простейшем одномерном случае, на примере свободной частицы, движущейся вправо вдоль оси х. Вид волновой функции такой частицы известен - это плоская волна де Бройля .

Для свободной частицы потенциальная функция (энергия) U равна нулю, и полная энергия Е равна кинетической энергии: E = T + U = Т = mu2/2 = р2/2m (p = mu). Т. к. E ~ , то легко выявляется инвариантная дифференциальная взаимосвязь и образующая собой квантовое уравнение движения частицы. Для этого надо взять частную производную от волновой функции по времени, которая фактически сведется к умножению ее на энергию Е:

; Þ

и затем два раза продифференцировать волновую функцию по координате; при этом у волновой функции появится множитель р2. А затем, используя связь Е = р2/2m, можно связать первую производную от волновой функции по времени и вторую производную по координате. Эта взаимосвязь и будет представлять собой искомое дифференциальное уравнение для волновой функции свободной частицы, т. е. уравнение Шредингера:

В общем случае, для частицы, движущейся в силовом поле, задаваемом потенциальной энергией, точнее, потенциальной функцией U(х, t), полная энергия Е частицы будет равна сумме

, и уравнение Шредингера, называемое общим или временным, примет вид:

или в 3-х мерном случае:

где - оператор Лапласа, представляющий собой сумму вторых частных производных по пространственным координатам.

Уравнение Шредингера позволяет однозначно находить волновую функцию по известным
начальным [] и граничным {U(x, y, z, t)} условиям и в этом смысле оно определяет динамически закономерную связь состояний движения квантового объекта. Напомним, что волновая функция, через квадрат своего модуля задает, определяет плотность вероятности нахождения частицы в данном месте в данный момент времени, а это есть функция статистического распределения.

Волновая функция подчиняется так называемым стандартным или естественным условиям (фактически условиям физической реализуемости). К ним относят следующие условия:

1. Непрерывность. Разрывы волновой функции будут означать и наличие разрывов квадрата ее модуля, за которыми стоят разрывы плотности вероятности и самой вероятности нахождения частицы в том или ином месте. А это означает эффекты рождения или уничтожения частиц, с чем обычная квантовая механика непосредственно дела не имеет.

2. Однозначность. В случае неоднозначности волновой функции не может реализоваться принцип детерминизма и предсказуемости квантовомеханического состояния объекта, а с ними и суть научности в отображении природы.

3. Гладкость. (дифференцируемость) означает конечность и непрерывность первых производных волновой функции. Это требование связано с тем, что уравнение Шредингера содержит вторые производные от y - функции, которые для негладкой функции будут принимать бесконечные значения.

4. Конечность. При наличии бесконечных значений волновой функции ее невозможно отнормировать и применить понятие самой вероятности.

Уравнение Шредингера ограничивает квантовомеханический анализ случаем малых скоростей (медленных движений), т. е. является основой нерелятивистской квантовой теории и не учитывает четвертую (спиновую) степень свободы микрообъекта. В 1929 г. Дирак получил для электрона более общее уравнение, учитывающее спин и являющееся релятивистским. Его анализ выходит за рамки нашего курса.

Стационарные состояния и уравнение Шредингера для стационарных состояний

Частным, но важным для практики случаем состояния движения микрообъектов, является случай так называемых стационарных состояний, при которых силовая функция U(x, y, z, t) = U(x, y, z) - не зависит от времени и приобретает смысл потенциальной энергии. Соответственно, полная энергия системы (система консервативна) точно определяется, ибо можно реализовать при Dt ® ¥, DЕ ® 0.

В стационарном состоянии распределение вероятностей местонахождения частицы (плотность вероятности) должна оставаться постоянным во времени, то есть . Отсюда следует, что волновую функцию в стационарном состоянии можно представить в виде произведения:

. Здесь зависимость y(t) носит гармонический характер, и

= const.

Примером волновой функции в стационарном состоянии является плоская волна де Бройля, описывающая состояние движения свободной частицы, для которой U(x, y, z) = const = 0. Для свободной частицы сохраняется (остается неизменным) импульс, и для нее - в волновой функции разделяются множители: пространственный j(х, у, z), играющий роль амплитуды волновой функции, и временной , определяющий гармонический характер изменения волновой функции во времени.

Подставив волновую функцию в виде плоской волны де Бройля в общее, временное уравнение Шредингера, получим после сокращений уравнение Шредингера для стационарных состояний:

Полученное уравнение называют еще стационарным уравнением Шредингера или уравнением Шредингера не зависящим от времени.

Вопрос № 9 Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме. Квантование энергии частицы. Собственные значения волновой функции.

Применения квантовой механики (стационарные состояния, одномерный случай)

1. Свободная частица: , .

Уравнение Шредингера для свободной частицы, движущейся вдоль оси X со скоростью u
и с энергией Е = Т = mu2/2 = р2/2m, примет вид:

или: - ДУГК (дифференциальное уравнение гармонических колебаний), где и k = р/ = 2p/l - волновое число, имеющее смысл пространственной частоты.

Решение полученного дифференциального уравнения может быть представлено в виде:

j = А1еikх + А2е-ikх; или с учетом временного множителя:

Это решение представляет собой две бегущие в разные стороны плоские волны де Бройля.
Однако свободная частица может "бежать", распространятся только в одну сторону, так как никаких препятствий и неоднородностей для нее нет, отражаться ей не от чего. Поэтому одну из амплитуд, допустим вторую, следует положить равной нулю.

Таким образом, волновая функция свободной частицы имеет вид: - плоская волна. Отсюда следует, что - свободная микрочастица равновероятно обнаруживается в любой точке вдоль оси х. Это соответствует соотношению неопределенности Гейзенберга, т. к. у свободной частицы точно определен импульс р = mu, а координата должна быть неопределенной.

Подпись: Из - возможные значения энергии свободной частицы образуют
непрерывный спектр. На волновое число накладывается только одно
условие (ограничение) . Иначе волновое число k будет мнимым,
и волна будет не распространяться, а экспоненциально затухать: , что для свободной частицы невероятно.

Зависимость E(k) аналогична зависимости и называется дисперсионной кривой. Она представляет собой параболическую функцию, кривую. - функция свободной частицы (волна де Бройля) обладает дисперсией даже в вакууме, то есть uгр = dw/dk ¹ сonst.

2. Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме".

Подпись: Рассмотрим вначале идеализированную потенциальную яму с бесконечно высокими стенками, называемую потенциальным ящиком. Потенциальный ящик задается рельефом, который аналитически и графически предстает в следующем виде: 0 при 0 £ х £ а

U(х) =

¥  при х < 0 и х > а

где а - ширина ямы (ящика).

Внутри ящика потенциальная энергия частицы равна нулю, а вне его - бесконечности, поэтому частица, помещенная в ящик, выйти из него не сможет. Это соответствует условию j(х) = 0 при и .

Уравнение Шредингера для стационарных состояний применяем только для области , т. е. внутри ящика, где потенциальная энергия равна нулю. Вне ящика , то есть, частицы там нет. Итак, при U = 0: , где k = Ö(2mЕ/2) - волновое число. Определим решение этого уравнения для частицы в ящике. Оно подобно рассмотренному ранее для случая свободной частицы. Но здесь появляются граничные условия (определяемые потенциальным рельефом U (х)), накладываемые на волновую функцию: j(0) = 0 и j(а) = 0.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7