Вопрос 1. Тепловое излучение. Основные характеристики теплового излучения. Абсолютно черное тело. Закон Кирхгофа (стр. 4 )

Также, как и ранее в случае барьера бесконечной ширины, различаем два случая: 1) E > Uо и 2) E < Uо.

1. E > Uo (низкий потенциальный барьер). Частица налетает на барьер, имея энергию Е, большую его высоты Uо. Выделяем три области: I, II и III. Используя результаты рассмотрения случая с барьером бесконечной ширины, общий характер решения можно представить в виде y - функций (волн) с волновыми числами:

Частица из первой области может либо перейти во вторую область, либо отразиться от нее. И далее, на второй границе - ступеньке она может также либо
отразиться, либо пройти дальше в третью область. Энергию частицы, в силу консервативности и стационарности условий, считаем непрерывной и неизменной во всех трех областях.

2. E < Uо (высокий потенциальный барьер). Для бесконечной ступеньки при Е < Uо в области за барьером волновая функция представляла собой
затухающую экспоненту: j2 ~ е-|k|х.

Укорочение ступеньки (приближение второй границы к первой) приводит к тому, что волновая функция может не успеть заметно убыть на протяжении барьера. Это означает, что микрочастица может пройти за барьер (в область III), даже имея энергию, меньшую высоты барьера.

Факт возможности прохождения частицы через барьер при ее энергии меньшей высоты барьера является специфически квантовым, не имеющим классического аналога. Частица как бы "прокапывает" себе туннель под барьером, не имея энергии, достаточной чтобы преодолеть барьер сверху, обычным, классическим образом. Причем на выходе барьера энергия частицы остается той же, какая была на его входе. Поэтому этот специфический эффект и назвали туннельным. Он объясняет многие закономерности в физике твердого тела, в ядерной физике (при a - распаде). Сам он может быть объяснен на основе соотношения неопределенности Гейзенберга для энергии DЕ×Dt ³ . Если Dt - время прохождения барьера, то энергия Е частицы имеет неопределенность DЕ ~ /Dt, достаточную для временного переворота условия Е < Uо в условие Е > Uо.

Вероятность подбарьерного прохождения (просачивания, туннелирования) резко уменьшается как с ростом ширины a, так и высоты Uо барьера. Расчет коэффициента пропускания (прозрачности) D ~ |j2|2 ~ е-2|k|а барьера при строгом решении задачи дает такое выражение:

При произвольной форме потенциального барьера:
В этих формулах предэкспоненциальный множитель Dо представляет собой величину, близкую к единице, то есть Dо » 1.

Сравнивая поведение макро - и микрочастиц, можно сделать вывод о большем разнообразии возможностей в поведении квантовой частицы. Поведение макрочастицы оказывается более ограниченным, реализующим лишь часть возможностей присущих поведению микрочастицы. За этим стоит и соответствующее соотношение между теориями движения микро - и макрочастиц - квантовой и классической механиками: классическая механика является частным, предельным случаем более общей и фундаментальной - квантовой механики.

Движение частицы в области с потенциальным барьером (скачком) бесконечной ширины.

Потенциальным барьером называют потенциальный рельеф в виде ступеньки. Рассмотрим сначала потенциальный барьер бесконечной ширины, который задается аналитически и графически в следующем виде: 0 при х < 0

U(х) =

Uо при х ³ 0,

где Uо – высота барьера (см. рис.).

Запишем уравнение Шредингера для двух областей I и II потенциального рельефа:

I обл. U(x) = 0; или , где .

II обл. U(x) = U0; или , где .

В обеих областях поведение частицы (ее волновая функция) описывается характерным уравнением – ДУГК, но с разными значениями волнового числа k. Запишем решения этого уравнения в стандартной форме для координатной части плоских волн де Бройля:

I обл. ; II обл. .

Два слагаемых в этих решениях изображают волны, бегущие в противоположном направлении оси Х (в положительном и отрицательном направлении), или, иначе – падающую и отраженную волны. Но, если падающая на барьер из первой области волна , может отразиться от него, то волне j2, прошедшей за барьер во вторую область отразиться не от чего. Поэтому слагаемое , изображающее эту волну, полагаем равным нулю, и тогда.

Определим амплитуды волновых функций, описывающих поведение частицы в обеих областях. Положим для простоты амплитуду А1 падающей на барьер волны, равной единице: А1 = 1. Тогда

.

Амплитуды отраженной от барьера (В1) и прошедшей за барьер (А2) волн, определим, привлекая условия непрерывности волновой функции и ее производной на границе потенциального барьера (при х = 0):

Через амплитуды отраженной (B1) от барьера и прошедшей (A2) за барьер волн выражаются такие его характеристики, как коэффициент отражения R и коэффициент пропускания D = 1 - R.

Коэффициент отражения равен квадрату модуля (то есть плотности вероятности) амплитуды отраженной от барьера волны: .

Соответственно коэффициент пропускания .

Смысл коэффициентов R и D может быть истолкован так: R = n1/n и D = n2/n, где n - плотность потока падающих на барьер частиц (число частиц, подающих на единицу площади за единицу времени). Соответственно, n1 - плотность потока отраженных от барьера частиц, а n2 - плотность потока прошедших через барьер частиц. Так как n1 + n2 = n, то сумма R + D = n1/n + n2/n = n/n = 1.

Т. к. волновое число k в области за барьером k2 ~ Ö(Е – Uо) - может быть как действительным, так и мнимым, то рассмотрим два случая:

1. E > Uо (низкий потенциальный барьер). Микрочастица, имеющая кинетическую энергию большую высоты барьера, может, как пролететь над ступенькой во вторую область (с вероятностью D), так и отразиться от нее (с вероятностью R). Эта возможность отражения от низкого барьера (потенциальной ступеньки), выражает принципиальное отличие квантовой частицы от классической. Классическая частица при Е > Uо барьер всегда преодолевала. Для квантовой (микро -) частицы условие Е > Uо может нарушаться в силу соотношения неопределенности для энергии (DЕ × Dt ³ ) и на короткое время Dt превращаться в свою противоположность Е £ Uо.

Прошедшая за барьер частица уменьшает свою кинетическую энергию и импульс, что соответствует увеличению длины волны (волновой функции): l2 > l1. Это следует и из формул для волновых чисел:

и Þ l2 > l1.

Изобразим на графике характер волновых функций частицы на фоне потенциального рельефа ступеньки (чтобы не загромождать чертеж, изображаем только бегущие - падающую и проходящие волны).

2. Случай с E < Uо (высокий потенциальный барьер). Налетающая на барьер частица имеет энергию меньшую высоты барьера. Как и в первом случае, на ступеньке скачком меняется амплитуда
и длина волны (волновой функции), полная же энергия, в силу консервативности системы, дол-
жна оставаться непрерывной (сохраняющейся).

Т. к. при Е < Uо, - мнимое,
то есть k2 = ik, то = А2- не волна, а затухающая экспонента.

Плотность вероятности нахождения частицы во 2 - ой области - экспоненциально убывает с ростом х, т. е. с удалением от границы барьера. Как это понимать? Проникает частица во вторую область или нет? Считается, что частица может заходить во вторую область, но затем обязана вернуться обратно. Частица не уходит совсем во вторую область, но и отражение ее от ступеньки происходит не на самой границе барьера, а с определенной (убывающей) вероятностью смещено от границы во вторую область. Объяснение этой возможности проникновения частицы за высокий потенциальный барьер также, как и отражение от низкого барьера, может быть связано с привлечением соотношения неопределенности Гейзенберга для энергии DЕ ×Dt ³ . На коротких интервалах Dt времени неопределенность DЕ энергии может быть достаточной для перехода условия Е < Uо в условие Е > Uо, которое и позволяет частице заходить за границу барьера.

Коэффициент отражения R частицы от высокого потенциального барьера бесконечной ширины всегда равен единице, а коэффициент пропускания D = 0.

( и ) D = 1 – R = 0.

4. Потенциальной барьер конечной ширины. Туннельный эффект.

Аналитически и графически потенциальный рельеф барьера конечной ширины задается следующим образом:

Также, как и ранее в случае барьера бесконечной ширины, различаем два случая: 1) E > Uо и 2) E < Uо.

1. E > Uo (низкий потенциальный барьер). Частица налетает на барьер, имея энергию Е, большую его высоты Uо. Выделяем три области: I, II и III. Используя результаты рассмотрения случая с барьером бесконечной ширины, общий характер решения можно представить в виде y - функций (волн) с волновыми числами:

Частица из первой области может либо перейти во вторую область, либо отразиться от нее. И далее, на второй границе - ступеньке она может также либо
отразиться, либо пройти дальше в третью область. Энергию частицы, в силу консервативности и стационарности условий, считаем непрерывной и неизменной во всех трех областях.

2. E < Uо (высокий потенциальный барьер). Для бесконечной ступеньки при Е < Uо в области за барьером волновая функция представляла собой
затухающую экспоненту: j2 ~ е-|k|х.

Укорочение ступеньки (приближение второй границы к первой) приводит к тому, что волновая функция может не успеть заметно убыть на протяжении барьера. Это означает, что микрочастица может пройти за барьер (в область III), даже имея энергию, меньшую высоты барьера.

Факт возможности прохождения частицы через барьер при ее энергии меньшей высоты барьера является специфически квантовым, не имеющим классического аналога. Частица как бы "прокапывает" себе туннель под барьером, не имея энергии, достаточной чтобы преодолеть барьер сверху, обычным, классическим образом. Причем на выходе барьера энергия частицы остается той же, какая была на его входе. Поэтому этот специфический эффект и назвали туннельным. Он объясняет многие закономерности в физике твердого тела, в ядерной физике (при a - распаде). Сам он может быть объяснен на основе соотношения неопределенности Гейзенберга для энергии DЕ×Dt ³ . Если Dt - время прохождения барьера, то энергия Е частицы имеет неопределенность DЕ ~ /Dt, достаточную для временного переворота условия Е < Uо в условие Е > Uо.

Вероятность подбарьерного прохождения (просачивания, туннелирования) резко уменьшается как с ростом ширины a, так и высоты Uо барьера. Расчет коэффициента пропускания (прозрачности) D ~ |j2|2 ~ е-2|k|а барьера при строгом решении задачи дает такое выражение:

При произвольной форме потенциального барьера:
В этих формулах предэкспоненциальный множитель Dо представляет собой величину, близкую к единице, то есть Dо » 1.

Сравнивая поведение макро - и микрочастиц, можно сделать вывод о большем разнообразии возможностей в поведении квантовой частицы. Поведение макрочастицы оказывается более ограниченным, реализующим лишь часть возможностей присущих поведению микрочастицы. За этим стоит и соответствующее соотношение между теориями движения микро - и макрочастиц - квантовой и классической механиками: классическая механика является частным, предельным случаем более общей и фундаментальной - квантовой механики.

Вопрос № 11. Модель атома Бора. Спектр излучения атома водорода.

Теория атома водорода по Бору

В качестве последнего примера безуспешных попыток классической физики дать полную теорию физических явлений рассмотрим атом водорода.

Согласно классической модели Резерфорда атом водорода состоит из одного электрона, вращающегося вокруг положительно заряженного малого атомного ядра. Эта классическая модель не смогла объяснить два основных экспериментальных факта:

а) стабильность атома водорода

б) структуру излучаемого им электромагнитного спектра.

В основу теории, исходящей из ядерной модели атома и объясняющей его основные опытные свойства и, прежде всего устойчивость и дискретный спектр излучения, Н. Бор положил два постулата (принципа):

1. Постулат стационарных состояний[14] (орбит) – в атоме существуют некоторые особые стационарные состояния, находясь в которых электрон вращается вокруг ядра по круговым орбитам и не излучает, хотя и движется с ускорением (центростремительным). Этим постулатом Бор, не покушаясь на справедливость теоретических основ классической физики, допускает исключение из общего правила в виде особых состояний атома с круговыми орбитами электрона в них.

Бор установил (догадкой) правило определения стационарных круговых орбит электрона – так называемое правило квантования орбит. Оно утверждает необходимость целочисленности в постоянных Планка момента импульса L электрона на этих орбитах, т. е.: L = mur = n, где m и u – масса и скорость электрона, r – радиус его орбиты, n – номер орбиты; - постоянная Планка.

Правило частот. Излучение и поглощение энергии атомом происходит при переходе его из одного стационарного состояния в другое (при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую[15]). Частота излучения (поглощения) определяется из условия энергетического баланса: , где и - энергии электрона на m - ой и n - ой орбитах, соответственно.

Процесс обратный излучению заключается в поглощении фотона с частотой nnm. В этом случае атом переходит из состояния с меньшей энергией в состояние с большей энергией.

Дискретность, квантованность энергетических уровней электрона в атоме (и атома в целом), гипотетически постулируемая Бором, получила свое убедительное экспериментальное подтверждение в опыте Франка и Герца в 1913 г. Пропуская электрический ток через лампу - триод, наполненную
парами ртути, они обнаружили провалы на вольтамперной характеристике I(U). Эти провалы, т. е. снижения силы тока при некоторых значениях напряжения между анодом А и сеткой С, были объяснены ими как результат неупругого соударения носителей тока – электронов с атомами ртути[16]. Сетка С, на которую подавался небольшой, порядка 0,5 В положительный потенциал относительно анода, «перехватывала» «ослабевшие» электроны, потерявшие свою кинетическую энергию в результате неупругих соударений с атомами ртути. Соответственно на анод попадало меньше электронов, что проявляло себя в уменьшении анодного тока. Атомы ртути могли воспринять (забрать) от электронов лишь определенную энергию, кратную энергии их возбуждения. При этом атомы ртути переходят в возбужденные состояния, отстоящие от основного по энергии на 4,9 эВ; 6,7 эВ; 10,3 эВ… . Это говорит о том, что энергия атома ртути обладает дискретным спектром значений.

В математическом плане Бор при построении теории простейшего атома – атома водорода,
отталкивался от двух уравнений для электрона в атоме. Одно из них было чисто классическим, представляя собой, второй закон Ньютона с кулоновской силой (центростремительной), а другое – чисто квантовым – уравнение для момента импульса электрона (правило квантования орбит). Отсюда следовал вывод о непоследовательности теории Бора, которая была уже не чисто классической, но не была еще и последовательно квантовой. Такая непоследовательность обусловила значительную ограниченность теории Бора, ее предсказательных возможностей.

Запишем и решим систему из двух уравнений для электрона в атоме с порядковым номером Z. Напомним, что у Бора Z = 1, что соответствовало атому водорода.

здесь ; ; ;

n = 1, 2, 3, … - номера орбит.

Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными u и r. Избавимся от u, возведя второе уравнение в квадрат и поделив его на первое, в котором сократим r:

Þ = .

Полученное выражение для радиуса орбиты электрона в атоме указывает на дискретный, квантовый характер его значений. Для n = 1 и Z = 1 значение радиуса первой (невозбужденной) орбиты r1 = 0,53×10-10 м - хорошо совпадает с размером атома водорода.

Скорость электрона также квантуется:

, причем un ~ 1/n.

Полная энергия электрона в атоме складывается из суммы кинетической и потенциальной: ;

- энергия взаимодействия двух, разных по знаку, точечных зарядов – электрона и ядра.

Для u << с: ;

Полученное выражение для полной энергии электрона в атоме содержит набор отрицательных значений; это является свидетельством связанности состояния электрона в атоме – энергия связи (отрицательная) превышает энергию движения (положительную). При возрастании полной энергии до нуля электрон оказывается свободным, а атом ионизированным.

С ростом номера и радиуса орбиты полная энергия электрона возрастает, оставаясь до уровня ионизации отрицательной. При n ® ¥ и Þ E = 0 – электрон отрывается от ядра, а атом превращается в положительный ион.

Подставляя в выражение для полной энергии электрона ранее выражение для радиуса его орбиты, получаем формулу для полной энергии электрона: . Полная энергия Е электрона в атоме квантуется, т. е. имеет дискретный спектр.

Для n = 1 (атом водорода)

» -13,6 эВ; ; ; … Е¥ = 0.

Энергетические уровни атома с ростом номера уровня сгущаются, и при n ® ¥ изменение энергии атома происходит почти непрерывно. Имеем переход к классической физике, выражаемый принципом соответствия[17] Бора.

Разность энергий электрона на втором и первом энергетических уровнях называется энергией возбуждения атома: Ев = Е2 – Е1. Энергии возбуждения соответствует потенциал возбуждения Vв: Е = qеVв. Для водорода Ев = 10,2 эВ и Vв = 10,2 В.

Разность энергий на бесконечно удаленной от ядра и первой орбитах называется энергией ионизации, т. е. отрыва электрона от атома; для водорода Еi = Е¥ – Е1 = - Е1 = 13,6 эВ.

Энергия фотона, излучаемого при переходе электрона с m - ой на n - ую орбиты может быть записана в виде: Е = Еi(1/n2 – 1/m2).

Объяснение закономерностей линейчатого спектра атома водорода.

Вытекающая из теории Бора дискретная структура энергетических уровней электрона в атоме позволяет объяснить закономерности в спектре излучения атома водорода. Из опыта известно, что спектр теплового излучения невзаимодействующих атомов имеет дискретный характер в виде совокупности отдельных спектральных линий, которые определенным образом упорядочены в некоторые группы, называемые сериями. Такая сериальная упорядоченность спектра излучения атома водорода описывается обобщенной формулой Бальмера:

, где и - постоянные Ридберга: ,

n - номер спектральной серии; n = 1, 2, 3 …

m - номер спектральной линии в серии; m = n + 1, m + 2 …

При n = 1; n =(1 – 1/m2), где m = 2, 3, 4 … - серия Лаймана – лежит в ультрафиолетовом диапазоне.

n = 2; n =(1/22 – 1/m2), где m = 3, 4, 5… - серия Бальмера – первые четыре ее линии лежат в

видимой области спектра.

n = 3; n =(1/32 – 1/m2), где m = 4, 5, 6 … - серия Пашена – лежит в инфракрасной области.

Наглядное представление механизма образования сериально упорядоченного линейчатого спектра атома водорода дано на схеме.

Теория Бора позволяет просто получить и саму обобщенную формулу Бальмера. Выразим из правила частот Бора частоту n излучения:

и, подставив в нее выражение для энергии: получим:

Сравнивая с формулой Бальмера, видим, что постоянная Ридберга образуется набором фундаментальных физических констант: при Z = 1. Подставляя их значения, получим для значение , совпадающее с известным из опыта.

Формулу Бальмера часто записывают не для частоты n, а для обратной длины волны 1/l.

Из n = с/l Þ 1/l = n/с = (/с)(1/n2 – 1/m2) = R(1/n2 – 1/m2), где R = /с = .

Спектральная линия с наибольшей длиной волны в данной серии называется ее головной линией, а с наименьшей длиной волны – границей серии.

Формула Бальмера оказывается применимой для так называемых водородоподобных атомов. К ним относят ионизованные атомы, имеющие один электрон, например, однократно ионизованный атом гелия Не+ (Z = 2) и двухкратно ионизованный атом лития Li++ (Z = 3).

Ограниченность теории Бора.

Теория Бора была первым серьезным шагом на пути внедрения квантовых идей в физику вещественного состояния материи. Она позволила вывести характер спектра излучения простейшего атома – водорода, но была не в состоянии предсказать распределение интенсивностей в этом спектре, а также рассчитать спектр более сложных, чем водород атомов. Такая ограниченность теории Бора объяснялась ей внутренней непоследовательностью, паллиативностью (половинчатостью). Здесь был сделан лишь один, первый “квантовый шаг”, который вскрыл плодотворность квантовой гипотезы и необходимость ее более полного воплощения в теории. Оно было последовательно осуществлено в рамках новой фундаментальной физической теории – квантовой механики.

В квантовой механике был найден такой формально - математический аппарат, из которого квантованность (дискретный спектр) мер движения частицы получалась как следствие определенных условий движения и взаимодействия, а не вводилась “вручную”, постулативно, как это вначале было осуществлено Н. Бором.

Развитие теории Бора.

Плодотворная идея квантования движения частиц и мер этого движения применительно к электрону в атому водорода вводилась в теории Бора в очень ограниченном виде. Единственное квантовое число n определяло радиус r­­n круговой орбиты электрона в атоме, а вместе с ним сразу и момент импульса электрона: и энергию: . Дальнейшее обобщение теории атома, движения электрона в нем, было проведено Зоммерфельдом. Он предположил, что орбиты могут быть в общем случае эллиптическими и по-разному ориентироваться в пространстве. Если у Бора круговая орбита в заданной плоскости расположения (плоский случай) имела всего одну степень свободы – ее радиус, то эллипс в пространстве имеет 3 степени свободы: большую и малую полуоси и угол наклона плоскости орбиты к некоторому заданному направлению. Поэтому в общем случае пространственные эллиптические орбиты должны отбираться по трем параметрам. Правило отбора таких орбит носят название правил Бора - Зоммерфельда. Их аналитический вид – следующий:

, где pi и qi – обобщенные импульс и координата электрона, вращающегося вокруг ядра в атоме, i = 1, 2, 3,… N; N – число степеней свободы (для эллипса в пространстве N = 3). Величина S, представляющая собой произведение импульса на координату, называется в механике действием. Эта величина оказывается дискретной, то есть существует наименьшая порция этой величины, выражаемая постоянной Планка .

Из обобщенных правил квантования орбит электрона в атоме вытекает наличие трех квантовых чисел n, l, ml, определяющих форму эллиптической орбиты и ее ориентацию в пространстве. Могут быть разные варианты этих трех квантовых чисел. Обычно, n = 1, 2, 3,… - главное квантовое число, определяющее в наглядной полуклассической модели большую полуось эллиптической орбиты, а вместе с ней и полную энергию электрона на соответствующей орбите: .

l = 0, 1, 2, … (n - 1) – орбитальное (или азимутальное, или побочное) квантовое число, определяет форму (сжатость) эллипса, т. е. его малую полуось. Для одного значения n может быть n разных значений числа l, которое определяет собой момент импульса L электрона по формуле: .

Состояния с n = 0, n = 1, n = 2… принято обозначать, соответственно, s, р, d - состояниями.

ml = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± - итого 2l + 1 значений числа ml, называемого магнитным и определяющего ориентацию эллиптической орбиты в пространстве или, иначе – проекцию Lz – момента импульса L на некоторое выделенное направление z. Это квантование называется пространственным. В траекторно - орбитальной модели Бора - Зоммерфельда оно выделяет определенные углы наклона a орбиты к заданному направлению z. Обычно таким направлением является направление внешнего магнитного поля. Вращающийся вокруг ядра в атоме электрон представляет собой виток с током, т. е. магнитный диполь, характеризуемый магнитным моментом = I×S, где - вектор единичной нормали к плоскости орбиты электрона. Значение рм для электрона в атоме равно:

рм = IS = qеn×pR2 = (qеu/2pr)×pr2 = qеur/2 = (qе/2mе)×mеur = (qе/2mе)×L,

где L = mеur - момент импульса электрона в атоме.

Величина, равная отношению магнитного и механического моментов g = рм/L называется гиромагнитным отношением, и для электрона в атоме она равна: gе = qе/2mе. Подставляя в выражение для рм квантовое значение механического момента , получим: рм = (qе/2mе)× = mБ, где mБ = qе/2mе – магнетон Бора, своего рода квант магнитного момента электрона в атоме.