Вопрос 1. Тепловое излучение. Основные характеристики теплового излучения. Абсолютно черное тело. Закон Кирхгофа (стр. 3 )

В ящике движение частицы является ограниченным, и волновая функция частицы не может выражаться бегущей волной. Вернее, здесь надо брать суперпозицию двух бегущих в противоположные стороны волн, которые в итоге дают стоячую волну .

Из граничного условия j(0) = 0 следует: j(0) = В = 0 и тогда . Из условия на другой границе j(а) = 0 Þ j(а) = А sin kа = 0 Þ kа = np, где n = 1, 2, 3, … Отсюда и проистекает квантование волнового числа k = np/а, а с ним и импульса р = k, и энергии Е частицы в ящике:

. Эта формула выражает спектр собственных значений энергии частицы в ящике.

Квантование энергии является результатом ограничения (локализации) движения микрочастицы. Условие k = np/а есть условие «стоячести» волны де Бройля частицы в ящике, при котором на длине (ширине) а ящика должно укладываться целое число n полуволн l/2 волновой функции частицы: k = 2p/l = np/а Þ а = nl/2.

Расстояние между соседними энергетическими уровнями частицы в ящике равно:

В отличие от атома водорода, в потенциальном ящике энергетические уровни не сгущаются с ростом их номера n, а разрежаются.

Разность между соседними энергетическими уровнями обратно пропорциональна массе частицы и квадрату ширины ящика: DЕn ~ 1/m и DЕn ~ 1/а2.Таким образом, квантовый характер энергетического спектра движущейся частицы усиливается с уменьшением ее массы и с локализованностью (ограниченностью в пространстве) ее движения (с уменьшением а).

Относительное расстояние между энергетическими уровнями DЕn/Еn = (2n + 1)/n2 ~ 1/n убывает с ростом номера энергетического уровня. При больших значениях квантового числа n, определяющего номер и величину энергетического уровня, дискретность энергии нивелируется (энергия уровня растет быстрее, чем интервал между ними). Это означает фактически переход к классической физике; здесь "работает" принцип соответствия - при больших квантовых числах эффекты квантования нивелируются, и движение приобретает классические черты, отражаемые классической механикой. Квантованность нивелируется и при а ® ¥. Спектр энергии частицы становится при этом непрерывным, что соответствует переходу к свободной частице.

Волновая функция частицы в ящике оказывается различной на разных энергетических уровнях. Множитель А определяется из условия нормировки:

и

n = 1;

n = 2;

n = 3;

На длине (ширине) ящика а укладывается целое число длин полуволн - функции (условие "стоячести" волны).

В нижнем энергетическом состоянии (n = 1), называемом основным, частица с большей вероятностью находится в центре ящика. При n = 2, наоборот, частица в центре ящика находиться не может, ибо там плотность вероятности |j(а/2)|2 = 0.

С ростом квантового числа n возрастает число равновероятных мест пребывания частицы в ящике. При n ® ¥ волновая функция осциллирует столь часто, что максимумы практически сливаются, и частица равновероятно находится в любой точке ящика[13]: имеем, согласно принципу соответствия, переход от квантовой к классической механике.

3. Движение частицы в области с потенциальным барьером (скачком) бесконечной ширины.

Потенциальным барьером называют потенциальный рельеф в виде ступеньки. Рассмотрим сначала потенциальный барьер бесконечной ширины, который задается аналитически и графически в следующем виде: 0 при х < 0

U(х) =

Uо при х ³ 0,

где Uо – высота барьера (см. рис.).

Запишем уравнение Шредингера для двух областей I и II потенциального рельефа:

I обл. U(x) = 0; или , где .

II обл. U(x) = U0; или , где .

В обеих областях поведение частицы (ее волновая функция) описывается характерным уравнением – ДУГК, но с разными значениями волнового числа k. Запишем решения этого уравнения в стандартной форме для координатной части плоских волн де Бройля:

I обл. ; II обл. .

Два слагаемых в этих решениях изображают волны, бегущие в противоположном направлении оси Х (в положительном и отрицательном направлении), или, иначе – падающую и отраженную волны. Но, если падающая на барьер из первой области волна , может отразиться от него, то волне j2, прошедшей за барьер во вторую область отразиться не от чего. Поэтому слагаемое , изображающее эту волну, полагаем равным нулю, и тогда.

Определим амплитуды волновых функций, описывающих поведение частицы в обеих областях. Положим для простоты амплитуду А1 падающей на барьер волны, равной единице: А1 = 1. Тогда

.

Амплитуды отраженной от барьера (В1) и прошедшей за барьер (А2) волн, определим, привлекая условия непрерывности волновой функции и ее производной на границе потенциального барьера (при х = 0):

Через амплитуды отраженной (B1) от барьера и прошедшей (A2) за барьер волн выражаются такие его характеристики, как коэффициент отражения R и коэффициент пропускания D = 1 - R.

Коэффициент отражения равен квадрату модуля (то есть плотности вероятности) амплитуды отраженной от барьера волны: .

Соответственно коэффициент пропускания .

Смысл коэффициентов R и D может быть истолкован так: R = n1/n и D = n2/n, где n - плотность потока падающих на барьер частиц (число частиц, подающих на единицу площади за единицу времени). Соответственно, n1 - плотность потока отраженных от барьера частиц, а n2 - плотность потока прошедших через барьер частиц. Так как n1 + n2 = n, то сумма R + D = n1/n + n2/n = n/n = 1.

Т. к. волновое число k в области за барьером k2 ~ Ö(Е – Uо) - может быть как действительным, так и мнимым, то рассмотрим два случая:

1. E > Uо (низкий потенциальный барьер). Микрочастица, имеющая кинетическую энергию большую высоты барьера, может, как пролететь над ступенькой во вторую область (с вероятностью D), так и отразиться от нее (с вероятностью R). Эта возможность отражения от низкого барьера (потенциальной ступеньки), выражает принципиальное отличие квантовой частицы от классической. Классическая частица при Е > Uо барьер всегда преодолевала. Для квантовой (микро -) частицы условие Е > Uо может нарушаться в силу соотношения неопределенности для энергии (DЕ × Dt ³ ) и на короткое время Dt превращаться в свою противоположность Е £ Uо.

Прошедшая за барьер частица уменьшает свою кинетическую энергию и импульс, что соответствует увеличению длины волны (волновой функции): l2 > l1. Это следует и из формул для волновых чисел:

и Þ l2 > l1.

Изобразим на графике характер волновых функций частицы на фоне потенциального рельефа ступеньки (чтобы не загромождать чертеж, изображаем только бегущие - падающую и проходящие волны).

2. Случай с E < Uо (высокий потенциальный барьер). Налетающая на барьер частица имеет энергию меньшую высоты барьера. Как и в первом случае, на ступеньке скачком меняется амплитуда
и длина волны (волновой функции), полная же энергия, в силу консервативности системы, дол-
жна оставаться непрерывной (сохраняющейся).

Т. к. при Е < Uо, - мнимое,
то есть k2 = ik, то = А2- не волна, а затухающая экспонента.

Плотность вероятности нахождения частицы во 2 - ой области - экспоненциально убывает с ростом х, т. е. с удалением от границы барьера. Как это понимать? Проникает частица во вторую область или нет? Считается, что частица может заходить во вторую область, но затем обязана вернуться обратно. Частица не уходит совсем во вторую область, но и отражение ее от ступеньки происходит не на самой границе барьера, а с определенной (убывающей) вероятностью смещено от границы во вторую область. Объяснение этой возможности проникновения частицы за высокий потенциальный барьер также, как и отражение от низкого барьера, может быть связано с привлечением соотношения неопределенности Гейзенберга для энергии DЕ ×Dt ³ . На коротких интервалах Dt времени неопределенность DЕ энергии может быть достаточной для перехода условия Е < Uо в условие Е > Uо, которое и позволяет частице заходить за границу барьера.

Коэффициент отражения R частицы от высокого потенциального барьера бесконечной ширины всегда равен единице, а коэффициент пропускания D = 0.

( и ) D = 1 – R = 0.

. Микрочастица в потенциальной яме.

Рельеф потенциальной ямы аналитически и графически задается следующим образом:

.

Анализ поведения микрочастицы в потенциальной яме можно провести, представляя яму в виде двух потенциальных барьеров - ступенек бесконечной ширины. Как и ранее, рассмотрим 2 случая в зависимости от соотношения энергии Е частицы и глубины (высоты) Uо ямы:

1. E > Uо. Частица, пролетая над ямой (двумя потенциальными ступеньками), будет представляться Y - функциями в виде бегущих волн разной длины волны; полная энергия частицы по-прежнему будет непрерывной и неизменной. На каждой из потенциальных границ-ступенек частица может испытывать отражение, а может с определенной вероятностью и пройти дальше.

2. E < Uо. Привлекаем результаты рассмотрения поведения микрочастицы с энергией меньшей высоты барьера, полученные ранее. Для частицы внутри ямы волновая функция имеет волновой характер, а вне ее - вид затухающих экспонент.

Волновое число k и энергия частицы в яме, как и в ящике, тоже квантуются, принимая следующие значения: ; р = k, . При n = 1 имеем основное состояние с минимальной энергией. Состояния с n = 2, 3,... называются возбужденными. Число энергетических уровней частицы в потенциальной яме оказывается ограниченным условием = Uо. Отсюда максимальное число энергетических уровней в яме равно: nмакс = (а/p)Ö2mUо.

Потенциальная яма, в отличие от рассмотренного ранее ящика (пример 3), имеет стенки конечной высоты. Волновая функция на границах ящика должна была обращаться в ноль. Бесконечно высокие стенки уменьшают вероятность проникновения микрочастицы за их границы до нуля. В яме же, в силу конечной высоты ее стенок, волновая функция (а с нею и вероятность местонахождения) частицы, экспоненциально убывает и имеет ненулевые значения и за пределами ямы.

Энергетический спектр микрочастицы в яме, как и в ящике, является дискретным. Но, в отличие от ямы, число энергетических уровней в которой конечно, бесконечно высокие стенки ящика приводят к бесконечному числу энергетических уровней частицы в ящике. В яме же существует такое значение En энергии частицы, при котором она будет большей высоты Uо стенок ямы, и частица сможет выйти из ямы, стать свободной, где ее энергия непрерывна.

Общие условия квантования энергии.

В классической физике определенное квантование движения имело место применительно к волнам (и колебаниям) в условиях их локализации (например, в резонаторах). В области локализации устанавливался характерный (резонансный) режим стоячих волн, при котором на ее длине L должно было укладываться целое число n длин полуволн, то есть L = nl/2. Частотный спектр резонатора оказывался при этом дискретным. Так, набор собственных частот электромагнитных колебаний резонатора определяется выражением nрез n = с/l = nс/2L, где n = 1, 2, 3, .. . Энергия же осциллятора в классической физике связана не с частотой, а с амплитудой, и потому, как и амплитуда, может принимать любые значения, то есть обладает непрерывным спектром.

В квантовой механике, как показывают рассмотренные выше примеры, в условиях локализации микрочастицы ее движение изображается волновой функцией также в виде стоячей волны. Эта волна также обладает дискретным спектром частот (волновых чисел k = 2p/l). Но здесь эта дискретность влечет за собой дискретность импульсного (р = k) и энергетического (Е ~ k2) спектра частицы.

Можно сделать общий вывод, что любое связанное, "запертое", локализованное состояние микрочастицы (в какой либо потенциальной яме) обладает квантованными значениями мер движения (энергии и импульса). Характер движения связанной частицы является финитным (ограниченным), в отличие от инфинитного (неограниченного) движения свободной частицы.

Аналитически общие условия квантования энергии микрочастицы и можно задать как условия ее локализации (двухсторонней пространственной ограниченности области ее движения): .

Волновая функция j(х) квадратом своего модуля |j(х)|2 выражает плотность вероятности
местонахождений частицы. Поэтому условие j(х) ® 0 при х ® ± ¥ означает, что с ненулевой вероятностью частица обнаруживается в некоторой конечной, ограниченной области (между – ¥ и + ¥), которая и есть область ее локализации.

Характерные особенности движения частиц в ямах:

1. Спектр энергии дискретен.

2. В наинизшем состоянии (n = 1) энергия частицы отлична от нуля.

3. Квантование тем заметнее, чем меньше масса частицы и размеры ямы.

4. При больших n квантование нивелируется, имеем, согласно принципу соответствия, переход от квантовой к классической механике.

Влияние формы потенциальной ямы на квантование энергии частицы

1. Гармонический осциллятор.

Под гармоническим (линейным) осциллятором понимают частицу (систему), на которую действует упругая сила F = - kx, и под действием которой частица совершает гармонические колебания. Потенциальная энергия при этом определяется формулой U = kх2/2. Такой потенциальный профиль представляет собой потенциальную яму (ящик) со стенками параболической формы.

В соответствии с рассмотренными ранее общими условиями, энергия линейного гармонического осциллятора должна квантоваться, т. е. принимать дискретные значения.

Напомним сначала результаты классического рассмотрения задачи о гармоническом осцилляторе. Там, на основе уравнения движения - второго закона Ньютона: с упругой силой F = - kx, получается решение в виде: , где - частота собственных колебаний осциллятора. Потенциальная энергия и кинетическая энергия осциллятора изменяются так, что их сумма . Таким образом, в классическом случае амплитуда и энергия колебаний изменяются непрерывно, будучи ограничены пределами, соответственно, xо и . Качественно можно оценить распределение вероятностей местонахождения гармонически колеблющейся частицы. Положение равновесия х = 0, осциллятор пролетает, имея наибольшую скорость, т. е. наиболее быстро. На краях же (в точках поворота), при х = ± хо, осциллятор (маятник) замедляется до нулевой скорости. При этом притормаживании он задерживается в крайних точках, проводя в них время заметно большее, нежели в положении равновесия при х = 0. Таким образом, это качественное рассмотрение позволяет сделать вывод о том, что плотность вероятности dР/dх местонахождения осциллятора в положении равновесия минимальна, а в крайних точках - максимальна.

Квантовый подход к анализу движения осциллятора.

Уравнением движения берем уравнение Шредингера для стационарных состояний

с потенциальной энергией в виде: , где k = mwо2.

Подставляя в уравнение Шредингера выражение для U, имеем:

.

Как показывается в теории дифференциальных уравнений, решение уравнения для линейного гармонического осциллятора имеет место лишь при определенных значениях энергии Е, которая играет роль параметра в уравнении. Разрешенные значения энергии линейного гармонического осциллятора, называемые его собственными значениями, выражаются следующей формулой:

Еn = (n + 1/2)wо, где n = 0, 1, 2, ...

Энергетический спектр гармонического осциллятора является эквидистантным с = const.

В отличие от атома водорода, спектр гармонического осциллятора содержит всего одну спектральную линию, соответствующую частоте wо. Поэтому осциллятор может совершать переходы с n – го уровня лишь на соседние (n ± 1) - ые уровни. Эта его особенность отражается в существовании специального правила отбора для квантового числа Dn = ± 1. В соответствии с ним, квантовое число n гармонического осциллятора единовременно может изменяться лишь на единицу.

При n = 0 имеем состояние с так называемой нулевой энергией Ео = wо/2. Наличие нулевой энергии является характерным отличием квантовой теории, специфическим квантовым эффектом. Его необходимость проистекает уже из соотношений неопределенности Гейзенберга, ибо Ео = 0 означало бы наличие одновременно точных значений (нулевых) и координаты, и импульса.

В классической теории наименьшая энергия осциллятора определялась температурой в соответствии с выражением E = kT = 0. Классическая теория допускала абсолютный покой. У квантового осциллятора существует наименьшая (нулевая) энергия, которую нельзя отобрать никаким охлаждением: Ео = w/2. Плотность вероятности местонахождения классической частицы в этом состоянии выражается так называемой дельта - функцией:

Квантовомеханический анализ приводит к следующему выражению для плотности вероятности в самом нижнем (нулевом) состоянии (при n = 0) .

Эта зависимость изображается так называемой Гауссовой кривой (или гауссианой).

Соответственно в следующих, возбужденных состояниях с n = 1, 2, ... плотность вероятности имеет следующий вид:

С возрастанием n волновая функция осциллирует все чаще, соответственно, возрастает число «равновероятных» мест, которые при n ® ¥ покрывают собой практически всю доступную осциллятору область. Все меняется столь часто, что практически ничего не меняется. Имеем, согласно принципу соответствия, переход к классической механике.

Микрочастица может за счет туннелирования с некоторой вероятностью выходить за пределы ± xо, куда макрочастица заходить не может. Но всегда микрочастица возвращается обратно, ибо она связана, являясь осциллятором (гармонически колеблющейся системой).

2. Атом водорода

Электрон в атоме водорода движется в силовом поле положительно заряженного ядра, т. е. находится в потенциальной яме с рельефом вида: U = - kqе2/r.

Граничные условия имеют характер: .

Таким образом, имеем потенциальную яму бесконечной глубины (ящик)
с радиальной симметрией, со стенками гиперболической формы (фигура вращения - типа грамофонной трубы).

Кинетическая энергия электрона Т = kqе2/2r и полная энергия Е = Т + U = - kqе2/2r = - T = |U|/2.

В соответствии с изложенными выше соображениями, можно сразу сделать заключение о бесконечно большом числе уровней энергии электрона в атоме водорода. Энергия электрона остается дискретной до тех пор, пока ее значение остается отрицательным; этому соответствует связанное состояние электрона в атоме, электрон
остается внутри ямы.

Электрон за счет туннельного эффекта может кратковременно выйти за пределы ямы, (за границы), но затем обязан вернуться в нее обратно. Поэтому в квантовой теории говорят, что электрон вращается не по орбитам, а как бы размазан в пространстве в виде облака вероятности его различных местонахождений.

Стационарное уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода имеет вид:

В силу наличия сферической симметрии потенциальной энергии, уравнение Шредингера целесообразно записать и решать в сферической системе координат r, q, j. Оператор Лапласа D в сферических координатах запишется так:

D = ¶2 /¶x2 + ¶2 /¶y2 + ¶2 /¶z2 = 1/r2׶ /¶r(r2׶ /¶r) + (1/r2sin q)׶ /¶q(sin q׶ /¶q) + (1/r2sin2 q)׶2 /¶j2

И уравнение Шредингера:

[1/r2׶ /¶r(r2׶ /¶r) + (1/r2sin q)׶ /¶q(sin q׶ /¶q) + (1/r2sin2 q)׶2/¶j2]y + (2m/2)(Е + kqе2/r) = 0

Представляем y - функцию в виде произведения трех сомножителей с разделенными переменными r, q, j: y( r, q, j) = R(r) × q(q) × Ф(j). Решаем уравнение Шредингера методом разделения переменных. Возможность такого разделения доказывается в процессе решения.

После подстановки выражений для потенциальной энергии и волновой функции Y электрона в атоме водорода в уравнение Шредингера, оно распадается на три уравнения, каждое из которых записано для своей сферической координаты:

1) R(r) = ¦1(n, l); 2) q(q) = ¦2(l, m); 3) Ф(j) = ¦3(m).

В этих уравнениях появляются квантовые числа n, l, m, как параметры при решениях соответствующих уравнений.

Решив три уравнения, получаем выражение для полной энергии электрона в атоме водорода, которая квантуется: Еn = - k2mqе4/2n22. Это выражение совпадает с полученным ранее в полуклассической теории Бора. Напомним, что Бор, и позднее Зоммерфельд, постулировали введение квантовых чисел в теорию. Здесь же, в квантовой теории, квантовые числа вводятся не "вручную", а вытекают естественным образом в результате решения уравнения Шредингера. Четвертое квантовое число – спиновое, в нерелятивистском уравнении Шредингера не появляется. Оно вытекает из более общего, релятивистского уравнения Дирака.

Главное квантовое число n и в квантовой, и в классической теории определяет полную энергию электрона в атоме водорода: Еn = - k2mqе4/2n22.

Орбитальное (азимутальное, побочное) квантовое число l, по Бору-Зоммерфельду, определяло форму орбиты электрона (ее отличие от круговой орбиты, ее "эллиптичность"). В квантовой же теории это число определяет форму электронного облака и численно - момент импульса электрона в нем:

.

Число l = 0, 1, 2, … (n - 1) изменяется, начиная с нуля, а у Бора с 1. При l = 0, L = 0 - нет вращения. Электронное облако имеет конфигурацию сферы. Такое состояние, называемое S - состоянием, в классической теории невозможно. Там орбиты были плоскими, и сферически симметричный случай был невозможен. Состоянию с нулевым значением момента импульса в теории Бора соответствовало бы прямолинейное движение электрона вдоль диаметра атома.

Магнитное квантовое число m у Бора - Зоммерфельда определяло ориентацию эллиптической орбиты электрона в пространстве, а в квантовой теории - ориентацию электронного облака в пространстве и численно - проекцию LZ момента импульса на некоторое выделенное направление z:

Lz = m, где m = 0, ± 1, ± 2, … ± l.

Для l = 0 (S - состояние) и m = 0 - сферическая симметрия, нет никакой избранной симметрии в пространстве, то есть каких-либо выделенных в нем направлений.

Рассмотрим поподробнее 1S - состояние – простейший, сферически симметричный случай распределения плотности вероятности в пространстве. Это состояние является стационарным невозбужденным. В нем волновая функция y(r, q, j) = y(r) - не содержит зависимости от угловых координат q и j, и уравнение Шредингера запишется так:

.

Решение ищем в виде - простейшей сферически симметричной функции. Подставив в уравнение Шредингера, получим:

Полагаем равными нулю каждое из слагаемых по отдельности:

и ; и .

В итоге для энергии электрона в 1S - состоянии имеем: - как у Бора.

Вероятность dP1 местонахождения электрона в элементарном сферическом (шаровом) слое
с объемом dV = 4pr2dr равна: . Радиальная плотность вероятности (радиальная функция распределения): - функция с максимумом. Плотность вероятности имеет максимум, при r = rо, который и соответствует значению радиуса первой орбиты по теории Бора.

. У Бора для радиуса
орбит было: .

По теории Бора - Зоммерфельда электроны в атоме вращались по орбитам. В квантовой механике орбит как таковых нет, а есть целые пространственные области (облака), в которых электрон может находиться с разной вероятностью. Но у этого облака пространственного распределения вероятности местонахождения электрона есть максимумы, которые и попадают на радиусы боровских орбит. Таким образом, теория Бора есть некоторое приближение к более глубокой и полной, адекватной теории микробытия - к квантовой теории.

В невозбужденном 1S - состоянии вероятность найти электрон в разных направлениях одна и та же, зависящая только от радиуса. В возбужденных состояниях (при n > 1 и l ¹ 0) плотность вероятности начинает зависеть и от углов q и j. Рассмотрим, например, состояние с = 1, называемое р - состоянием. В нем имеем три ориентации облака вероятности с m = 0, ± 1.

Для l = 1 она изображается фигурой типа гантели. Вдоль направления вероятность найти электрон по теории Бора, равна нулю.

Для l = 2; d - состояние: m = 0, ± 1, ± 2 - итого пять ориентаций; две взаимно перпендикулярных гантели.

Для электрона в атоме водорода, как и для гармонического осциллятора, существуют определенные правила отбора, ограничивающие число возможных переходов электрона в атоме, связанных с дипольным излучением и поглощением света. Согласно этим правилам, побочное квантовое число l может изменяться на единицу, то есть Dl = ± 1, а магнитное квантовое число m – на ноль и единицу, то есть Dm = 0, ± 1. Переходы электрона с n – го на первый уровень (серия Лаймана), то есть в 1S состояние, могут осуществлять лишь из р – состояний: nр ® 1S. Соответственно переходы электрона на второй уровень (серия Бальмера) могут происходить по схемам: nр ® 2S, nS ® 2р, nd ® 2р.

Вопрос № 10 Прохождение частиц через потенциальный барьер. Туннельный эффект.

Потенциальной барьер конечной ширины. Туннельный эффект.

Аналитически и графически потенциальный рельеф барьера конечной ширины задается следующим образом: