Лекции по дисциплине «Информатика» (стр. 4 )

б)

1

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

, - 0,

в)

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

+ ,

Рис.3.1

На рис.3.1 приведены примеры записи чисел в форме с фиксированной запятой отрицательного числа (запятая фиксирована перед старшим разрядом, n=0) и положительного целого числа (запятая фиксирована в конце разрядной сетки, m=0).

Если поле числа включает в себя m разрядов и запятая фиксирована перед старшим разрядом, то диапазон представления чисел в этом случае ограничивается значениями –(1-2-m) ¸ + (1-2-m).

Представление чисел в ЭВМ в нормальной форме называют так же представлением с плавающей запятой, т. к. положение запятой в записи числа, как показывают приведенные выше примеры, в этом случае может изменяться.

В нормальной форме записи число А представляется в виде

A=M . qП,

где М – мантисса числа, определяющая значащие цифры числа, q – основание системы счисления, П – порядок числа, определяющий положение запятой в числе.

Формат машинного изображения числа с плавающей запятой содержит поля для мантиссы (m разрядов) и порядка (р разрядов) и по одному разряду для знака мантиссы и знака порядка (рис.3.2., m=9, p=5). Очевидно, что знак мантиссы является и знаком числа. Кодирование знаков остается таким же, как и при представлении чисел в форме с фиксированной запятой.

Обычно в ЭВМ запятая в мантиссе фиксируется перед старшим знаковым разрядом, а порядок представляет собой целое число. Чтобы избежать неоднозначности представления чисел используют так называемую нормализованную форму, для которой справедливо следующее условие:

q-1 £ ½m½ <

Так десятичные числа 42,5и 0,00в нормализованном виде должны быть записаны следующим образом: 0,4и 0,Для двоичной системы счисления нормализованные числа в старшем разряде мантиссы имеют 1.

Рассмотрим примеры записи чисел в форме с плавающей запятой. Пусть в разрядную сетку ЭВМ (рис.3.2) необходимо записать двоичные числа А1=-10110,1111 и А2=+0,. Прежде всего эти числа необходимо нормализовать. Порядок чисел выбираем таким образом, чтобы для них выполнялось условие (3.6), т. е. А1=-0,101101и А2=+0.110000Порядок должен быть записан также в двоичной системе.

а)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

 

б)

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

А1 = - 0,101101+5

в)

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

А2 = + 0,110000

Рис.3.2

Для изображения порядка выделено пять цифровых разрядов и один знаковый разряд, поэтому машинные изображения порядков запишутся как ПА1=000101 и ПА2=100011. При этом машинные изображения мантисс будут равны соответственно: МА1= и МА2=.

Изображения чисел А1 и А2 в форме с плавающей запятой показаны на рис.3.2б и 3.2в.

Представление числовой информации в ЭВМ, как правило, влечет за собой появление погрешностей (ошибок), значения которых зависят как от формы представления чисел, так и от длины разрядной сетки ЭВМ.

Абсолютная погрешность представления – это разность между числом А и его значением, полученным из машинного изображения АМ:

D[A] = A - AM.

Относительная погрешность представления – это отношение абсолютной погрешности представления числа к его значению в машинном представлении:

d[A] = D[A] / AM.

Целые числа представляются в машине без погрешностей. Максимальная абсолютная погрешность представления правильной дроби в форме в фиксированной запятой равна половине значения младшего разряда разрядной сетки, т. е.

D[A] max ф. з. = 2-m / 2 = 2-m-1,

где m - длина разрядной сетки для представления дробной части числа. Тогда минимальная и максимальная относительные погрешности представления правильной дроби в форме с фиксированной запятой определятся соответственно следующим образом:

 

Таким образом имеем неодинаковую относительную погрешность чисел в форме с фиксированной запятой, причем погрешности представления малых чисел могут быть значительными.

При представлении чисел в форме с плавающей запятой максимальная абсолютная погрешность определяется половиной значения младшего разряда мантиссы и кроме того она зависит от величины порядка:

Отсюда относительная ошибка определится как

которая достигает максимума при минимальной нормализованной мантиссе

и минимума при максимальной мантиссе

Из этого следует, что относительная погрешность представления чисел в форме с плавающей запятой практически не зависит от величины числа и примерно постоянна во всем диапазоне представления чисел.

Раздел 4.

ЭВМ – средство обработки информации.

Лекция 7. Комбинационные схемы и конечные автоматы

Любое устройство обработки дискретной информации имеет n входов и m выходов. Сигналы на входах соответствуют символам входного алфавита, а выходные – символам выходного алфавита.

Имеются два типа устройств обработки цифровой информации: на основе комбинационных схем и на основе конечных (цифровых) автоматов.

В комбинационных схемах совокупность входных сигналов (входное слово) однозначно определяет совокупность (комбинации) выходных сигналов (выходное слово).

Закон функционирования комбинационной схемы может быть задан несколькими способами. Можно определить таблицу истинности, или систему уравнений булевой алгебры для каждого выхода схемы, или функциональную схему на основе одного из базовых наборов логических элементов.

В отличие от комбинационных схем конечные автоматы имеют конечное число внутренних состояний.

Выходное слово и переход автомата в следующее состояние однозначно определяются состоянием автомата и входным словом.

Функционирование конечного автомата задается:

1.  входным алфавитом: X {x0, x1, x2,…, xi,… xn},

2.  выходным алфавитом: Y{у0, y1, y2,…, yi,… ym},

3.  алфавитом состояний: Q {q0, q1, q2,…, qi,… qr,}, где q0 – начальное состояние автомата,

4.  функцией переходов, определяющей переход автомата из qi состояния в следующее qi+1 состояние: qi+1 = d(qi, xi), или как функция времени:
Q(t+1) = d [Q(t), X(t)].

5.  функцией выходов, определяющей выходные сигналы автомата в состоянии qi: yi = d(qi, xi) или, как функция времени: Y(t) = d [Q(t), X(t)].

Функция выходов (5) соответствует конечному автомату, называемому автоматом Мили. Имеется несколько разновидностей конечных автоматов, используемых в устройствах цифровой обработки. Широко используемой альтернативой автомату Мили является автомат Мура.

Особенностью автомата Мура является его функция выходов. В автомате Мура выходные сигналы зависят только от состояния конечного автомата qi.: yi = d(qi) или, как функция времени: Y(t) = d [Q(t)].

Основное отличие устройств на основе цифровых автоматов от комбинационных схем заключается в том, что первые содержат элементы памяти для фиксации состояний. Можно считать комбинационные схемы примитивными цифровыми автоматами с одним состоянием.

Элементы памяти цифровых автоматов – триггеры, в свою очередь являются элементарными цифровыми автоматами (автоматами Мура) с двумя устойчивыми состояниями.

Цифровые автоматы могут задаваться графами или таблицами выходов и переходов.

Элементарные автоматы (триггеры)

Электронные цифровые элементы памяти – триггеры, используемые в ЭВМ в качестве ячеек быстрой (статической) памяти, последовательностных схем (регистры сдвига, счетчики) являются простейшими автоматами. Их выходные сигналы зависят не только от комбинаций входных сигналов, но и от значений самих выходных сигналов в предшествующий момент времени. 

Триггером называют последовательностную схему с положительной обратной связью и двумя устойчивыми состояниями 0 и 1 (то есть триггер обладает свойством памяти). В общем случае триггер может иметь асинхронные входы предварительной установки, тактовый (синхронизирующий) и информационные входы. К основным типам триггеров относятся:

·  триггер с раздельной установкой состояний (RS-триггер),

·  триггер "защелка" (D - триггер),

·  универсальный триггер (JK - триггер),

·  триггер со счетным входом (T - триггер).

По способу записи информации триггеры подразделяются на асинхронные и синхронные или тактируемые, а по способу управления - на триггеры со статическим управлением (единичным или реже нулевым уровнем тактового сигнала) и триггеры с динамическим управлением (положительным - из 0 в 1, или отрицательным - из 1 в 0) фронтом тактового сигнала. В последнем случае говорят о триггерах с прямым или инверсным динамическим входом управления.

Основу триггера составляет кольцевая схема из двух инверторов (рис.4.10). Если левый инвертор на выходе имеет единичный сигнал, то он передается на вход правого инвертора. На выходе правого формируется нулевой сигнал, который передается (по цепи обратной связи) на вход левого инвертора. На выходе левого инвертора подтверждается единичный сигнал. Таким образом, это состояние является устойчивым состоянием, которое может сохраняться сколько угодно долго.

В силу симметрии схемы возможно второе устойчивое состояние, при котором на выходе левого инвертора сохраняется нулевой сигнал, а на правом – единичный. Следовательно, представленная схема является схемой элемента с двумя устойчивыми состояниями. Но это еще не триггер. Триггер должен содержать входы, сигналами на которых можно управлять состоянием триггера.

Асинхронный триггер RS-триггер

Асинхронный триггер с раздельной установкой состояний (RS-триггер) имеет два входа:

·  S (set) – установить (в единичное состояние),

·  R (reset) – сбросить (установить в исходное состояние).

В таблице 4.1 представлены переходы RS-триггера, а на рис.4.2 – схема и обозначение RS-триггера на функциональных схемах.

Таблица 4.1.
Переходы RS-триггера
t	t+1
R	S	Q(t)	Q(t+1)
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	не определено
1	1	1	не определено

Для RS-триггера существует комбинация входных сигналов (два единичных сигнала, поданных одновременно на входы R и S), которая переводит триггер в неопределенное (неустойчивое) состояние. Это запрещенная комбинация. При этих комбинациях входных сигналов триггер может случайным образом перейти в любое из двух состояний. Для правильного функционирования триггера появление запрещенной комбинации на его входах должно быть исключено.

Синхронный RS-триггер с дополнительным входом установки исходного состояния.

Асинхронные триггеры имеют недостаточную защищенность от помех на входных линиях. Для повышения помехозащищенности триггеров в их схему вводят синхронизацию (управление). Изменение состояния синхронного триггера допускается только во время подачи синхросигналов С.

Схема синхронного RS-триггера и его обозначение на функциональных схемах представлены на рис.4. 3.

Синхронный RS-триггер имеет два информационных входа R и S и вход синхронизации С. Кроме этого, триггер может иметь дополнительные несинхронизируемые входы R и S. В этом случае запись в триггер может производится с использованием синхронизируемых входов R и S при отсутствии активных сигналах на несинхронизируемых входах, или при использовании несинхронизируемых входов при C=0.

D-триггер

D-триггер имеет один информационный вход D и вход синхронизации С. Схема D-триггера и обозначения его на функциональных схемах показаны на рис. 4.4.

Если С = 0, то состояние D-тригтера устойчиво и не зависит от сигнала на его информационном входе (режим хранения информации). При подаче на вход синхронизации сигнала C = 1 информация на прямом выходе Q будет повторять сигнал, подаваемый на вход D (режим записи) входной информации. Часто режим записи называют режимом защелкивания входной информации, а сам D-триггер – защелкой.

Рассмотренный вариант D-триггера называется D-триггером со статическим управлением. Отметим, что, если в схеме D-триггера убрать вход синхронизации, то схема теряет свойства элемента памяти. По этой причине асинхронных D-триггеров не бывает, а определение "синхронный" по отношению к D-триггеру является избыточным.

D-триггер с дополнительными RS входами

Реализация D-триггера с использованием RS- триггера связана с увеличением состава схемы на один инвертор, увеличением числа входов (до трех) в схемах И-НЕ. Схема D-триггера, дополненная асинхронными инверсными входами установки и сброса ,и ее обозначение на функциональных схемах представлены на рис. 4.5.

Если на вход подать активный сигнал 0, а на вход единицу, то D-триггер устанавливается в единичное состояние (Q=1) независимо от сигналов на остальных входах схемы.