В таблицах, приводимых в книгах по теории вероятностей, чаще указывается не число наблюдений n, а число степеней свободы k (k = n - 1).
Вместо доверительной вероятности Рc в ряде книг указывается «Уровень значимости», равный 1-Рc. Зная число наблюдений n и задавшись доверительной вероятностью Рc, можно найти по таблице П.3 значение tc, а умножив его на S0 – определить границы доверительного интервала.
Пример 3. Шестикратное взвешивание изделия дало следующие результаты: 72.361; 72.357; 72.352; 72.346; 72.344; 72.340 г. Определить доверительный интервал для среднего при доверительной вероятности равной 0.99. Решение задачи представим в виде таблицы
Хi, г | Vi, мг | Vi2 , мг2 |
72.361 | + 11 | 121 |
72.357 | + 7 | 49 |
72.352 | + 2 | 4 |
72.346 | - 4 | 16 |
72.344 | - 6 | 36 |
72.340 | -10 | 100 |
c = 72.350 | S Vi = 0 | S Vi2 = 326 |
S = 
= 
= 8.1 мг; S0 = S/
= 8.1/
= 3.3 мг.
По таблице П.3 находим для n = 6 и Рc = 0.99 tc = 4.03. Доверительный интервал для среднего ±(3.3×4.03) = ±13 мг.
Оценка грубых результатов наблюдений
При обработке результатов наблюдений случайной величины, заведомо подчиняющейся нормальному закону распределения, при принятии решения об исключении или сохранении резко отличающихся результатов наблюдений (грубых) нужно внимательно проанализировать условия, в которых получился резко отличающийся результат. Сомнительным может быть лишь наибольший Хmax или наименьший Xmin из результатов наблюдений. Вопрос о том, содержит ли данный результат грубую погрешность, решается общими методами статистических гипотез.
Для проверки гипотезы, что результат не содержит грубой погрешности, вычисляют Jmax = (Xmax - c)/S или Jmin = (c - Xmin)/S. Результаты Jmax и Jmin сравнивают с наибольшим значением Jp, которое случайная величина J может принимать по чисто случайным причинам.
Значения Jp для n = 3¸15, при заданной доверительной вероятности, протабулированы и представлены в таблице П.4. Если вычисленное по опытным данным значение J окажется меньше Jp, то гипотеза принимается.
В противном случае результат Хmax или Xmin приходится рассматривать как содержащий грубую погрешность и не принимать его во внимание при дальнейшей обработке результатов наблюдений.
4
Значения Jp
n | Значения Jp при Р равной | |||
0.9 | 0.95 | 0.975 | 0.99 | |
3 | 1.406 | 1.412 | 1.414 | 1.414 |
4 | 1.645 | 1.689 | 1.710 | 1.723 |
5 | 1.731 | 1.869 | 1.917 | 1.955 |
6 | 1.894 | 1.996 | 2.067 | 2.130 |
7 | 1.974 | 2.093 | 2.182 | 2.265 |
8 | 2.041 | 2.172 | 2.273 | 2.374 |
9 | 2.097 | 2.237 | 2.349 | 2.464 |
10 | 2.146 | 2.294 | 2.414 | 2.540 |
11 | 2.190 | 2.383 | 2.470 | 2.606 |
12 | 2.229 | 2.387 | 2.519 | 2.663 |
13 | 2.264 | 2.426 | 2.562 | 2.714 |
14 | 2.297 | 2.461 | 2.602 | 2.759 |
15 | 2.326 | 2.493 | 2.638 | 2.808 |
Пример 4. Воспользуемся результатами наблюдений в приведенном выше примере 3. Определим, не содержит ли шестой результат (72.340 г) грубой погрешности, если принять доверительную вероятность Р = 0.975.
Из таблицы П.4 при n = 6 и Р = 0.975 находим Jp = 2.067. Поскольку J = (c - Xmin)/S = (72./0.0081 = 1.234, т. е. J < Jp, результат 72.340 не содержит грубую погрешность.
Оценка результатов неравноточных измерений
На практике не всегда можно обеспечить полную воспроизводимость условий повторных измерений. Случается так, что при проведении нескольких серий измерений некоторые из них оказываются менее надежными. Результаты этих наблюдений при обработке не следует отбрасывать. Они могут быть использованы (кроме, конечно, грубых погрешностей наблюдения). Их можно учесть, уменьшив в той или иной степени их роль, их «вес» в совокупности результатов всех измерений.
Понятие «вес» отражает степень доверия к результату измерения. Чем больше степень доверия к результату, тем больше его вес, тем больше число, выражающее этот вес. В этом случае значение измеряемой величины определяется по формуле
co = (c1×P1" + c2×P2" + ...+ cm×Pm")/(P1" + P2" + ...+ Pm"). (Пф.9)
Здесь c1, c2, ..., cm – средние значения для отдельных групп измерений, полученные тем, или иным способом; Р1", Р2", ..., Рm" – их вес; co – среднее взвешенное значение.
Обозначение веса Рi" тем же символом, что и вероятности (Р) не случайно. Наиболее правильным значением веса для данного результата является его вероятность. Если нет возможности определить вероятность, то числовые значения веса устанавливают, учитывая условия измерений. Рассмотрим некоторые из них (вес, в отличие от вероятности, обозначим Р").
Определение веса результата измерений
В основу вычислений могут быть взяты средние квадратические отклонения SO. Веса соответствующих групп измерений считают обратно пропорциональными квадратам SO, т. е.
P1": P2": ... : Pm" = 1/SO12 : 1/SO22 : ... : 1/SOm2.
Пример 5. Были проведены три группы измерений тремя наблюдателями. После обработки каждого ряда измерений были получены следующие результаты:
c1 = 20000.45; SO1 = 0.05;
c2 = 20000.15; SO2 = 0.20;
c3 = 20000.60; SO3 = 0.10.
Определяем отношение весов:
Р1" : Р2" : Р3" = 1/0.052 : 1/0.202 : 1/0.102 = 400 : 25 : 100 = 16 : 1 : 4.
В соответствии с этой пропорцией принимаем:
Р1" = 16; Р2" = 1; Р3" = 4.
Находим среднее взвешенное значение
c0 = (16×20000.45 + 1×20000.15 + 4×20000.60)/(16 + 1 + 4) = 20000.46.
Если среднее квадратическое отклонение в каждой группе Soi одинаковы, т. е. Soi = const, то критерием для определения весов результатов измерений нередко является число измерений ni в каждой группе:
Р1" : Р2": ... : Рm" = n1 : n2 : ... : nm.
В данном случае среднее взвешенное будет равно среднему из всех измерений, рассматриваемых как один ряд
c0 = (c1×n1 + c2×n2 + ... + cm×nm)/(n1 + n2 + ... + nm).
Здесь n = n1 + n2 + ... + nm – общее число наблюдений, проведенных во всех группах.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
