Программа дисциплины НИС «Торическая геометрия»

Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет Математики

Программа дисциплины НИС «Торическая геометрия»

для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Авторы программы:

, кандидат физ.-мат. наук, профессор, *****@***ru

, кандидат физ.-мат. наук, доцент, *****@***ru

Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2012 г.

Председатель

Утверждена УС факультета математики «___»_____________2012 г.

Ученый секретарь ________________________

Москва, 2012

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1  Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

Программа разработана в соответствии с:

·  ГОС ВПО;

·  Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

·  Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.

2  Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины Торическая геометрия являются знакомство с проективной алгебраической геометрией, теорией пересечений и теорией представлений редуктивных групп на примере двух важнейших классов многообразий – многообразий флагов (в том числе грассманианов) и торических многообразий.

3  Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

·  Знать основные понятия и конструкции проективной алгебраической геометрии, получить представления об основных классах многообразий с действием редуктивных групп

·  Уметь пользоваться методами теории пересечений, в частности классами Черна, для решения конкретных задач исчислительной геометрии и вычисления топологических инвариантов многообразий

·  Иметь навыки работы с проективными алгебраическими многообразиями, их кольцами когомологий, векторными расслоениями на многообразиях

4  Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин теоретического обучения и блоку дисциплин по выбору.

Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

·  Алгебра

·  Геометрия

·  Введение в топологию

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

·  Знание основных понятий линейной алгебры, теории групп и колец

·  Умение решать задачи линейной алгебры

·  Владение базовыми методами топологии

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

·  Алгебраическая геометрия

·  Группы и алгебры Ли

·  Дополнительные главы геометрии и топологии

·  Algebraic geometry. Start up course

5  Тематический план учебной дисциплины

№	Название раздела	Всего часов	Аудиторные часы	Самостоя­тельная работа
Лекции	Семинары	Практические занятия
1	Классы Черна и грассманианы			32
2	Многообразия флагов			24
3	Торические многообразия			16
	Итого:	162/288		72		90/216

6  Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	1 год	Параметры **
1	2	3	4
Текущий (неделя)	Контрольная работа	*	8	8	8	письменная работа 60 минут
Итоговый	Зачет				v

6.1  Критерии оценки знаний, навыков

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

7  Содержание дисциплины

Раздел 1 Классы Черна и грассманианы

·  Классы Черна и формула проективизации расслоения Section 3.5.1, [1] (8 часов семинаров, 10 часов самостоятельной работы)

·  Классы Черна расслоений на грассманиане и число прямых на общей кубике в P3 Section 3.5.5, [1] (8 часов семинаров, 8 часов самостоятельной работы)

·  Кольцо когомологий многообразий частичных флагов (в частности, грассманианов) Section 3.6.4, [1] (6 часов семинаров, 8 часов самостоятельной работы)

·  Кольцо когомологий грассманианов и задачи исчислительной геометрии (число прямых на общей квинтике в P4, число плоскостей в P4, пересекающих 6 заданных плоскостей и т. д.) Section 3.5.5, [1] (6 часов семинаров, 8 часов самостоятельной работы)

·  Геометрическое правило Литтльвуда-Ричардсона для грассманианов [9] (4 часа семинаров, 6 часов самостоятельной работы)

Раздел 2. Многообразия флагов

·  Представление Бореля для кольца когомологий многообразия полных флагов Section 3.6.4, [1] (3 часа семинаров, 4 часа самостоятельной работы)

·  Клеточное разбиение Брюа многообразия полных флагов, многообразия Шуберта и порядок Брюа на перестановках (= порядок по включению на многообразиях Шуберта) Section 3.6.1, [1] (3 часа семинаров, 2 часа самостоятельной работы)

·  Гомоморфизмы Гизина для проективизаций расслоений и операторы разделённых разностей Section 3.5.1, [1] (3 часа семинаров, 4 часа самостоятельной работы)

·  Теорема Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда и Демазюра о представлении циклов Шуберта многочленами в представлении Бореля с помощью операторов разделённых разностей Section 3.6.4, [1] и [6], [7] (3 часа семинаров, 4 часа самостоятельной работы)

·  Многочлены Шуберта, теорема Кириллова-Фомина и приведённые диаграммы перестановок (pipe-dreams) Section 2.3, [1] (3 часа семинаров, 4 часа самостоятельной работы)

·  Критерий гладкости многообразий Шуберта и разрешения Ботта-Самельсона, Section 3.7, [1] (3 часа семинаров, 4 часа самостоятельной работы)

·  Исчисление Шуберта, неотрицательность структурных коэффициентов, формула Монка Section 3.6.3, [1] и [6] (3 часа семинаров, 4 часа самостоятельной работы)

·  Группа Пикара многообразия полных флагов, неприводимые представления группы GLn(C) и теорема Бореля-Вейля-Ботта Section 23, [3] (3 часа семинаров, 4 часа самостоятельной работы)

Раздел 3. Торические многообразия

·  Торические многообразия и многогранники [2] (6 часов семинаров, 8 часов самостоятельной работы)

·  Эйлерова характеристика и род полных пересечений в торических многообразиях [4] (6 часов семинаров, 6 часов самостоятельной работы)

·  Представление Пухликова-Хованского для кольца когомологий гладкого проективного торического многообразия [5,8] (4 часа семинаров, 6 часов самостоятельной работы)

8  Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

8.1  Тематика заданий текущего контроля

Примерные вопросы/ задания для контрольных и зачёта:

1.  Вычисление классов Черна тавтологических и фактор тавтологических расслоений на грассманнианах.

2.  Вычисление кольца когомологий грассманнианов.

3.  Сколько прямых в трёххмерном пространстве пересекает 4 данные?

4.  Сколько прямых лежит на кубике в P3?

5.  Сколько невырожденных коник на проективной плоскости касается 5-ти данных?

6.  Вычисление гомоморфизмов Гизина для проективизаций расслоений.

7.  Вычисление кольца когомологий гладкого торического многообразия.

9  Порядок формирования оценок по дисциплине

Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:

Отекущий = n1* Ок/р + n3* Осам. работа

Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед промежуточным (итоговым) контролем.

Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ni = 1 Способ округления накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.

Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.

Опромежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет/экзамен

Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.

Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.

В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.

10  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

10.1  Базовый учебник

[1] L. Manivel, Symmetric functions, Schubert polynomials and degeneracy loci, translated

from the 1998 French original by John R. Swallow. SMF/AMS Texts and Monographs,

6. Cours Specialises, 3. American Mathematical Society, Providence, RI; Societe

Mathematique de France, Paris, 2001.

10.2  Основная литература

[2] William Fulton, Introduction to toric varieties Annals of Mathematics Studies, 131,

The William H. Roever Lectures in Geometry, Princeton University Press, Princeton, NJ,

1993

[3] William Fulton, Joe Harris, Representation theory. A first course, Graduate Texts

in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag

[4] , Многогранники Ньютона и род полных пересечений,

Функц. анализ и его прил., 12:1(1978), 51–61

[5] Владлен Тиморин, Аналог соотношений Ходжа–Римана для простых выпуклых многогранников, УМН 54:2(326)(1999), 113–162

10.3  Дополнительная литература

[6] , , Клетки Шуберта и когомологии

пространств G/P, УМН, 28:3(1, 3–26

[7] M. Demazure, Desingularisation des varietes de Schubert generalisees, Collection of

articles dedicated to Henri Cartan on the occasion of his 70th birthday, I. Ann. Sci. Ecole

Norm. Sup, 53-88.

[8] Kiumars Kaveh, Note on the Cohomology Ring of Spherical Varieties and Volume

Polynomial, preprint arXiv:math/0312503v3[math. AG]

[9] Ravi Vakil, A geometric Littlewood-Richardson rule, Ann. Math. , 371-421,

http://math. stanford. edu/~vakil/files/geolrfinal. pdf