Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет Математики

Программа дисциплины НИС «Торическая геометрия»

для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Авторы программы:

, кандидат физ.-мат. наук, профессор, *****@***ru

, кандидат физ.-мат. наук, доцент, *****@***ru

Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2012 г.

Председатель

Утверждена УС факультета математики «___»_____________2012 г.

Ученый секретарь ________________________

Москва, 2012

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1  Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

Программа разработана в соответствии с:

·  ГОС ВПО;

·  Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

·  Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.

2  Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины Торическая геометрия являются знакомство с проективной алгебраической геометрией, теорией пересечений и теорией представлений редуктивных групп на примере двух важнейших классов многообразий – многообразий флагов (в том числе грассманианов) и торических многообразий.

3  Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

·  Знать основные понятия и конструкции проективной алгебраической геометрии, получить представления об основных классах многообразий с действием редуктивных групп

·  Уметь пользоваться методами теории пересечений, в частности классами Черна, для решения конкретных задач исчислительной геометрии и вычисления топологических инвариантов многообразий

·  Иметь навыки работы с проективными алгебраическими многообразиями, их кольцами когомологий, векторными расслоениями на многообразиях

4  Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин теоретического обучения и блоку дисциплин по выбору.

Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

·  Алгебра

·  Геометрия

·  Введение в топологию

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

·  Знание основных понятий линейной алгебры, теории групп и колец

·  Умение решать задачи линейной алгебры

·  Владение базовыми методами топологии

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

·  Алгебраическая геометрия

·  Группы и алгебры Ли

·  Дополнительные главы геометрии и топологии

·  Algebraic geometry. Start up course

5  Тематический план учебной дисциплины

№

Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лекции

Семинары

Практические занятия

1

Классы Черна и грассманианы

32

2

Многообразия флагов

24

3

Торические многообразия

16

Итого:

162/288

72

90/216

6  Формы контроля знаний студентов

Тип контроля

Форма контроля

1 год

Параметры **

1

2

3

4

Текущий

(неделя)

Контрольная работа

*

8

8

8

письменная работа 60 минут

Итоговый

Зачет

v

6.1  Критерии оценки знаний, навыков

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

7  Содержание дисциплины

Раздел 1 Классы Черна и грассманианы

·  Классы Черна и формула проективизации расслоения Section 3.5.1, [1] (8 часов семинаров, 10 часов самостоятельной работы)

·  Классы Черна расслоений на грассманиане и число прямых на общей кубике в P3 Section 3.5.5, [1] (8 часов семинаров, 8 часов самостоятельной работы)

·  Кольцо когомологий многообразий частичных флагов (в частности, грассманианов) Section 3.6.4, [1] (6 часов семинаров, 8 часов самостоятельной работы)

·  Кольцо когомологий грассманианов и задачи исчислительной геометрии (число прямых на общей квинтике в P4, число плоскостей в P4, пересекающих 6 заданных плоскостей и т. д.) Section 3.5.5, [1] (6 часов семинаров, 8 часов самостоятельной работы)

·  Геометрическое правило Литтльвуда-Ричардсона для грассманианов [9] (4 часа семинаров, 6 часов самостоятельной работы)

Раздел 2. Многообразия флагов

·  Представление Бореля для кольца когомологий многообразия полных флагов Section 3.6.4, [1] (3 часа семинаров, 4 часа самостоятельной работы)

·  Клеточное разбиение Брюа многообразия полных флагов, многообразия Шуберта и порядок Брюа на перестановках (= порядок по включению на многообразиях Шуберта) Section 3.6.1, [1] (3 часа семинаров, 2 часа самостоятельной работы)

·  Гомоморфизмы Гизина для проективизаций расслоений и операторы разделённых разностей Section 3.5.1, [1] (3 часа семинаров, 4 часа самостоятельной работы)

·  Теорема Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда и Демазюра о представлении циклов Шуберта многочленами в представлении Бореля с помощью операторов разделённых разностей Section 3.6.4, [1] и [6], [7] (3 часа семинаров, 4 часа самостоятельной работы)

·  Многочлены Шуберта, теорема Кириллова-Фомина и приведённые диаграммы перестановок (pipe-dreams) Section 2.3, [1] (3 часа семинаров, 4 часа самостоятельной работы)

·  Критерий гладкости многообразий Шуберта и разрешения Ботта-Самельсона, Section 3.7, [1] (3 часа семинаров, 4 часа самостоятельной работы)

·  Исчисление Шуберта, неотрицательность структурных коэффициентов, формула Монка Section 3.6.3, [1] и [6] (3 часа семинаров, 4 часа самостоятельной работы)

·  Группа Пикара многообразия полных флагов, неприводимые представления группы GLn(C) и теорема Бореля-Вейля-Ботта Section 23, [3] (3 часа семинаров, 4 часа самостоятельной работы)

Раздел 3. Торические многообразия

·  Торические многообразия и многогранники [2] (6 часов семинаров, 8 часов самостоятельной работы)

·  Эйлерова характеристика и род полных пересечений в торических многообразиях [4] (6 часов семинаров, 6 часов самостоятельной работы)

·  Представление Пухликова-Хованского для кольца когомологий гладкого проективного торического многообразия [5,8] (4 часа семинаров, 6 часов самостоятельной работы)

8  Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

8.1  Тематика заданий текущего контроля

Примерные вопросы/ задания для контрольных и зачёта:

1.  Вычисление классов Черна тавтологических и фактор тавтологических расслоений на грассманнианах.

2.  Вычисление кольца когомологий грассманнианов.

3.  Сколько прямых в трёххмерном пространстве пересекает 4 данные?

4.  Сколько прямых лежит на кубике в P3?

5.  Сколько невырожденных коник на проективной плоскости касается 5-ти данных?

6.  Вычисление гомоморфизмов Гизина для проективизаций расслоений.

7.  Вычисление кольца когомологий гладкого торического многообразия.

9  Порядок формирования оценок по дисциплине

Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:

Отекущий = n1* Ок/р + n3* Осам. работа

Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед промежуточным (итоговым) контролем.

Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ni = 1 Способ округления накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.

Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.

Опромежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет/экзамен

Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.

Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.

В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.

10  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

10.1  Базовый учебник

[1] L. Manivel, Symmetric functions, Schubert polynomials and degeneracy loci, translated

from the 1998 French original by John R. Swallow. SMF/AMS Texts and Monographs,

6. Cours Specialises, 3. American Mathematical Society, Providence, RI; Societe

Mathematique de France, Paris, 2001.

10.2  Основная литература

[2] William Fulton, Introduction to toric varieties Annals of Mathematics Studies, 131,

The William H. Roever Lectures in Geometry, Princeton University Press, Princeton, NJ,

1993

[3] William Fulton, Joe Harris, Representation theory. A first course, Graduate Texts

in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag

[4] , Многогранники Ньютона и род полных пересечений,

Функц. анализ и его прил., 12:1(1978), 51–61

[5] Владлен Тиморин, Аналог соотношений Ходжа–Римана для простых выпуклых многогранников, УМН 54:2(326)(1999), 113–162

10.3  Дополнительная литература

[6] , , Клетки Шуберта и когомологии

пространств G/P, УМН, 28:3(1, 3–26

[7] M. Demazure, Desingularisation des varietes de Schubert generalisees, Collection of

articles dedicated to Henri Cartan on the occasion of his 70th birthday, I. Ann. Sci. Ecole

Norm. Sup, 53-88.

[8] Kiumars Kaveh, Note on the Cohomology Ring of Spherical Varieties and Volume

Polynomial, preprint arXiv:math/0312503v3[math. AG]

[9] Ravi Vakil, A geometric Littlewood-Richardson rule, Ann. Math. , 371-421,

http://math. stanford. edu/~vakil/files/geolrfinal. pdf