Линейная алгебра. Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения по направлению 080100.62 «Экономика» (стр. 3 )

Например, и , тогда

,

,

.

Если известны координаты точек – начала и конца вектора :
А (xА , yА , zА), B(xВ, yB, zB), то его координаты можно найти по формуле:

.

Тема: Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярное произведение векторов a и b – это число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними:

где – угол между векторами a и b.

Другие обозначения скалярного произведения: , .

При помощи скалярного произведения можно найти угол между векторами:

.

Если векторы заданы координатами и , то

скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:

.

В некоторых приложениях употребляется n-мерная прямоугольная система координат, в которой формально введены не 2 или 3, а n взаимно перпендикулярных координатных осей. Вектор в такой системе - это набор из n упорядоченных чисел - координат конца вектора. Правила сложения, вычитания и вычисления скалярного произведения векторов такие же, как и для векторов в двух - или трехмерном пространстве: если даны два вектора a = и b = , то их сумма (разность) имеют вид.

a ± b = ,

а скалярное произведение

.

Например, если в пространстве с n = 5 заданы векторы

a = (1 , -1 , 2 , 0 , -3) и b = (-1 , 2 , 0 , 1 , -1), то

a - b = (2 , -3 , 2 , -1 ,- 2),

=+ 0 + 0 + 3 = 0 (равенство нулю скалярного произведения означает, что векторы перпендикулярны)

Тема: Векторное пространство.

Числовым полем P называется подмножество множества комплексных чисел, которое обладает следующими свойствами:

1)  если

2)  если

3)  если

Для доказательства того, что какое-либо числовое множество является полем, необходимо доказать выполнимость всех трех свойств.

Для доказательства того, что какое-либо числовое множество полем не является, необходимо обосновать невыполнимость хотя бы одного свойства.

Множество Q – рациональных чисел – поле.

Множество R – действительных чисел – поле.

Множество C – комплексных чисел – поле.

Множество N – натуральных чисел – полем не является.

Множество Z – целых чисел – полем не является.

Пример

Доказать, что множество Z – целых чисел – полем не является.

Доказательство: рассмотрим любое целое число и , . Тогда , т. е. не является целым числом, что противоречит свойству 3). Полученное противоречие показывает, что множество Z полем не является.

Множество L элементов произвольной природы x, y, z…называется линейным пространством над числовым полем P, если выполнены три требования:

1.  По некоторому правилу любым двум элементам x и y множества L ставится в соответствие третий элемент z этого множества, называемый суммой элементов x и y и обозначаемый символом .

2.  По некоторому правилу любому элементу x множества L и любому числу из поля P ставится в соответствие элемент u множества L, называемый произведением элемента x на число и обозначаемый символом или .

3.  Оба правила для любых элементов x, y, z множества L и любых чисел и из поля P подчинены следующим восьми аксиомам:

(А1) (переместительное свойство суммы);

(А2) (сочетательное свойство суммы);

(А3) существует такой элемент , называемый нулевым, что (особая роль нулевого элемента);

(А4) существует такой элемент , называемый противоположным к , что ;

(А5) , (особая роль числового множителя 1);

(А6) (сочетательное относительно числового множителя свойство);

(А7) (распределительное относительно суммы числовых множителей свойство);

(А8) (распределительное относительно суммы элементов свойство).

Эти два правила и восемь аксиом являются законами и аксиомами композиции в линейной алгебре.

Пример

Задано - пространство матриц размера .

Элементы пространства – любые матрицы размером .

Числовое поле P – множество действительных чисел.

Доказать, что является линейным пространством над полем действительных чисел.

Проверим правило сложения элементов пространства и правило умножения элемента пространства на число.

Правило сложения матриц: и :

+=.

Правило умножения матрицы на число:

= .

Правила 1 и 2 выполнены.

Проверка справедливости аксиом (А1) - (А8):

(А1) (переместительное свойство суммы)

+ = = =

= + , следовательно аксиома (А1) выполнена.

Проверку аксиом (А2) - (А8) сделать самостоятельно, приняв в качестве нулевого элемента - а элемент - противоположным .

Убедившись в выполнимости аксиом (А2) - (А8) сделайте вывод о том, что является линейным пространством над полем действительных чисел.

Линейное пространство называется пустым, если оно состоит из нулевого элемента.

Элементы произвольного линейного пространства принято называть векторами. Любое линейное пространство принято называть векторным.

Множество n-мерных векторов с действительными координатами обозначается . Операции сложения n-мерных векторов и умножения n-мерного вектора на число :

,

превращают это множество в векторное пространство V.

Векторы пространства V называются линейно зависимыми, если можно подобрать такие числа , не все равные нулю, что

= 0,

и линейно независимыми если это равенство верно только при условии, что все числа равны нулю.

Линейное пространство называется n-мерным, если в нем можно найти n линейно независимых векторов, а n+1 вектор уже линейно зависимы в этом пространстве.

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом n-мерного пространства. Все остальные векторы в этом пространстве могут быть выражены через базисные векторы.

Число векторов в базисе пространства называют его размерностью и обозначают dim V. Если пространство имеет конечное множество линейно независимых векторов, то его называют конечномерным, а если бесконечное множество линейно независимых векторов, то его называют бесконечномерным.

В одном векторном конечномерном пространстве можно выбирать различные базисы, но количество векторов во всех базисах этого пространства будет одинаковым.

Например:

Ø  на плоскости (пространство с dim V = 2) – два любых неколлинеарных вектора,

Ø  в пространстве (пространство с dim V = 3) - три любых некомпланарных вектора,

Ø  в пространстве всех квадратных числовых матриц второго порядка (пространство с dim V = 4) - четыре любые линейно независимые квадратные числовые матрицы второго порядка.

Числа в разложении вектора по базису называются его координатами.

Каждый вектор единственным образом разлагается по базису.

Следует помнить, что элементами векторного пространства могут быть не только векторы.

Пример

Доказать, что система матриц B1, B 2, B 3, B 4 является базисом в пространстве матриц второго порядка и найти в этом базисе координаты матрицы Y:

,, , , .

Решение

Покажем, что равенство 0 верно только при условии, когда все числа равны нулю.

Перепишем равенство в виде

или

.

Составим систему уравнений

Найдем решение системы методом Гаусса.

Прямой ход:

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

~~~

Вторая матрица получена путем преобразования первой матрицы: прибавлением к третьей и четвертой строкам первой строки, умноженной предварительно на (-1).

Третья матрица получена путем преобразования второй матрицы: прибавлением к третьей и четвертой строкам второй строки, умноженной предварительно на (-1).

Четвертая матрица получена путем преобразования третьей матрицы: прибавлением к четвертой строке третьей строки, умноженной предварительно на 2.

Обратный ход:

Перепишем расширенную матрицу в виде системы и решим ее, начиная с уравнения, содержащего только одно неизвестное.

Система имеет единственное решение Следовательно, матрицы B1, B 2, B 3, B 4 линейно независимы. Так как размерность пространства матриц второго порядка равна четырем, то система матриц B1, B 2, B 3, B 4 является базисом этого пространства.

Числа называются координатами матрицы в разложении ее по базису B1, B 2, B 3, B 4 , если или

.

Составим систему уравнений

Найдем решение системы методом Гаусса.

Прямой ход:

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

~~~

Вторая матрица получена путем преобразования первой матрицы: прибавлением к третьей и четвертой строкам первой строки, умноженной предварительно на (-1).

Третья матрица получена путем преобразования второй матрицы: прибавлением к третьей и четвертой строкам второй строки, умноженной предварительно на (-1).

Четвертая матрица получена путем преобразования третьей матрицы: прибавлением к четвертой строке третьей строки, умноженной предварительно на 2.

Обратный ход:

Перепишем расширенную матрицу в виде системы и решим ее, начиная с уравнения, содержащего только одно неизвестное.

Система имеет единственное решение

Следовательно, матрица в базисе B1, B 2, B 3, B 4 имеет координаты

Тема: Линейные отображения

Рассмотрим - n-мерное линейное пространство или пространство размерности n и - m-мерное линейное пространство или пространство размерности m.

Отображением линейного пространства в линейное пространства называется правило , по которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент .

Обозначим отображение .

Отображение называется линейным, если для любого элемента пространства и любого числа выполняются соотношения:

1.  ;

2.  .

Линейными операторами называются отображения, действующие из векторного пространства в это же пространство .

При переходе от старого базиса к новому в пространстве матрица линейного оператора изменяется.

Если известна матрица перехода от старого базиса к новому, то - матрица линейного оператора в новом базисе связана с - матрицей линейного оператора в старом базисе соотношением

.

Подбором матрицы перехода можно привести матрицу линейного оператора к различным видам, в частности, к треугольному или диагональному.

Имея оператор, представленный диагональной матрицей в некотором базисе можно перейти к другому базису, в котором действие оператора (матрица уже не диагональная) на вектор базиса сводится к умножению этого вектора на некоторое число.

И наоборот: имея оператор, представленный недиагональной матрицей в некотором базисе можно перейти к другому базису, в котором действие оператора представлено уже диагональной матрицей.

Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , называемое собственным значением линейного оператора, что

или в матричном виде

,

где - квадратная матрица (недиагональная матрица линейного оператора ),

- вектор–столбец (собственный вектор линейного оператора ).

Так как линейный оператор представлен здесь матрицей, то собственные вектора и собственные значения матрицы будут являться собственными векторами и собственными значениями линейного оператора.

Определение собственного значения и собственного вектора матрицы аналогично:

Ненулевой вектор x называется собственным вектором матрицы , если найдется такое число , называемое собственным значением матрицы, что

Для отыскания ненулевых матриц перепишем матричное уравнение в виде

или ,

откуда , если .

Число является собственным числом (собственным значением) матрицы в том и только в том случае, если определитель матрицы равен нулю.

0

Для того, чтобы найти собственные значения матрицы составим матрицу :

Перепишем уравнение 0 в виде

Раскроем определитель и получим уравнение n-ой степени относительно :

,

которое называется характеристическим уравнением матрицы . Корни уравнения называются характеристическими или собственными числами матрицы . Многочлен левой части уравнения называется характеристическим многочленом.

Тема: Квадратичные формы.

Квадратичной формой от n неизвестных называется сумма, каждое слагаемое которой является или произведением коэффициента и квадрата одного из этих неизвестных, или произведением коэффициента и двух разных неизвестных.

Например, - квадратичная форма от трех неизвестных.

Рассмотрим симметричную матрицу n-го порядка

, где , т. е. и матрицу столбец переменных . Тогда квадратичная форма может быть представлена в матричном виде формулой=.

Матрица А в этом случае называется матрицей квадратичной формы.

Например, квадратичная форма

может быть представлена в матричном виде , так как

=(приведя подобные члены, получим) .

Для отыскания матрицы квадратичной формы необходимо в квадратичной форме коэффициенты при произведениях различных переменных представить в виде удвоенных чисел и записать квадратичную форму в стандартном виде.

Например, для квадратичной формы

Симметричная матрица - матрица квадратичной формы.

Уравнение линии первого порядка на плоскости.

1) -общее уравнение прямой;

2) - уравнение прямой с угловым коэффициентом;

3) - уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку ;

4) - уравнение прямой, проходящей через две точки и (для случая, когда ;

5) - уравнение прямой в отрезках.

Уравнение плоскости в пространстве

1)  -общее уравнение плоскости;

2)  - уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору ;

3)  - уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ;

4)  - косинус угла между двумя плоскостями, заданными уравнениями и ;

Уравнения прямой в пространстве

1)  - параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору ;

2)  - канонические уравнения прямой;

3)  - уравнения прямой, проходящей через две точки и ;

4)  - косинус угла между двумя прямыми, параллельными векторам, ;

5)  - условие перпендикулярности прямых, параллельных векторам, .

Уравнение линии второго порядка на плоскости.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости F1 и F2, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная

Каноническое уравнение эллипса

 Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение гиперболы

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы 

Каноническое уравнение параболы

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ

Вариант контрольной работы выбирается по последней и предпоследней цифрам номера зачётной книжки или студенческого билета. Предпоследняя цифра в дальнейшем обозначается буквой M, последняя - буквой N. Например, для студенческого билета с номером № 000у вариант будет 47 и, соответственно, M = 4, N = 7. Для записи условия каждой задачи следует вместо букв M и N подставить соответственную цифру.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Вариант № MN

1.  Найти значение выражения , если

, C=.

2.  Решить уравнение где .

3.  Определить ранг матрицы .

4.  Даны матрицы и размерностью . Проверить, перестановочны ли матрицы A и B, и найти определители этих матриц. Элементы матриц вычисляются по формулам: .

5.  Решить систему

а) методом Гаусса,

б) по формулам Крамера.

6.  Даны точки .

Найти: а) - модуль вектора, б) - скалярное произведение векторов, в) угол между векторами и .

7.  МОБ Леонтьева представлена таблицей

а) составьте технологическую матрицу модели,

в) сделайте проверку модели на продуктивность.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

1.  Выяснить, является ли полем множество целых чисел, делящихся на N+2?

2.  Выяснить, является ли векторным пространством над полем действительных чисел множество матриц (элементы – действительные числа) размера m×n, где m=M+1, n=2?

3.  Доказать, что система матриц A1, A2, A3, A4 является базисом в пространстве матриц второго порядка и найти в этом базисе координаты матрицы X: , , , , .

4.  Найти собственные значения матриц:

а) ; б) ; в) .

5.  Написать матрицу квадратичной формы

6.  Доказать, что плоскости и параллельны и найти расстояние между ними.

7.  Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (M+1; N+1; M+N) и отсекающей на осях Ox и Oy отрезки, длиной (M+1) и (N+1) соответственно.

8.  С помощью выделения полных квадратов привести уравнения к каноническому виду и построить линии:

а) ,

б) .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1.  Понятие матрицы. Квадратная матрица. Симметрическая матрица. Нуль - матрица. Сложение матриц. Умножение матрицы на скаляр.

2.  Умножение матрицы на матрицу. Коммутативность. Транспонирование матриц.

3.  Определитель матрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей.

4.  Обратная матрица. Условие существования обратной матрицы.

5.  Ранг матрицы. Вычисление ранга.

6.  Решение систем линейных уравнений. Формулы Крамера.

7.  Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

8.  Уравнение прямой линии на плоскости. Точка пересечения прямых. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

9.  Уравнение прямой в отрезках. Уравнения прямой, параллельной и перпендикулярной к данной прямой.

10.  Расстояние между точками на плоскости. Угол между прямыми.

11.  Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Построение эллипса.

12.  Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Построение гиперболы.

13.  Парабола. Каноническое уравнение параболы. Построение параболы.

14.  Линейные пространства. Аксиомы линейного пространства.

15.  Векторные пространства.

16.  Размерность и базис линейного пространства.

17.  Собственные значения и собственные векторы матрицы.

18.  Квадратичные формы. Положительная и отрицательная определенность.

19.  Векторы в Евклидовом n-мерном пространстве. Операции с векторами. Норма вектора.

20.  Линейная независимость векторов. Базисные векторы.