Методические указания к выполнению типового расчёта по теме: "Элементы дифференциального и интегрального исчисления" (стр. 1 )

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЁТА ПО ТЕМЕ:

"ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ"

ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЁТА.

1. Работа должна выполняться на двойных листах из тетради в клетку. На титульном листе работы должны быть ясно написаны: номер типового расчёта и его тема, вариант; факультет, номер группы; фамилия студента, его инициалы.

2. В первой части работы, содержащей теоретическую часть, студент даёт полные (с примерами) и лаконичные ответы на поставленные вопросы.

3. Задачи, содержащиеся во второй части работы, следует располагать в порядке указанном в варианте. Перед решением каждой задачи надо полностью переписать её условие.

4. Решение задачи следует излагать подробно, делая соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием необходимых формул и теорем.

5. Решение задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами, выполненными аккуратно, с указанием осей координат и единиц масштаба. Объяснения к задаче должны соответствовать обозначениям, приведённым на чертежах.

6. На каждой странице необходимо оставлять поля шириной 3-4 см для замечаний преподавателя.

7. Типовой расчёт должен быть выполнен самостоятельно.

8. Получив прорецензированную работу, студент должен исправить все отмеченные ошибки и недочёты. В случае незачёта по работе, студент обязан в кратчайшие сроки выполнить все требования рецензента и предоставить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначальный вариант.

9. В случае необходимости студент может проконсультироваться по вопросам, вызывающим затруднения у ведущего преподавателя.

10. В назначенный срок студент должен пройти собеседование с ведущим преподавателем по зачтённому типовому расчёту (защитить работу).

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ.

Элементы дифференциального исчисления.

1. Производная функции. Задачи, приводящие к понятию производной. Механический и геометрический смысл производной.

2. Дифференцируемость функции. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производные высших порядков.

3. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала в приближённых вычислениях.

4. Возрастающая и убывающая функция. Экстремум функции. Необходимый и достаточные условия существования экстремума.

5. Выпуклая и вогнутая функции. Точки перегиба кривой. Достаточный признак выпуклости и вогнутости кривой (без доказательства). Достаточный признак существования точки перегиба (без доказательства).

6. Асимптота. Виды асимптот.

Элементы интегрального исчисления.

7. Первообразная функция. Неопределённый интеграл (понятие, свойства). Таблица основных интегралов.

8. Интегрирование заменой переменной (метод подстановки) и по частям.

9. Определённый интеграл (понятие, свойства). Связь неопределённого и определённого интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.

10. Вычисление определённого интеграла (метод подстановки и интегрирование по частям).

11. Геометрические приложения определённого интеграла.

12. Несобственный интеграл: с бесконечными пределами и от неограниченных функций. Примеры сходящихся и расходящихся интегралов.

ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЁТНЫХ ЗАДАНИЙ.

Задача 1. Найти определённый интеграл:

Решение: Первообразную находим непосредственным интегрированием.

По свойствам определённого интеграла разбиваем данный интеграл на разность интегралов и выносим за знак интеграла постоянный множитель:

Затем находим первообразные по формулам:

- и , предварительно приведя радикал под знаком второго интеграла к степени с дробным показателем,

Окончательно, применив формулу Ньютона – Лейбница:

получим:

Задача 2. Найти определённый интеграл:

Решение: Имеем подынтегральную функцию, представляющую собой рациональную дробь вида (числитель и знаменатель – многочлены). Причём, дробь является неправильной (т. к. степень числителя больше степени знаменателя). Предварительно выделим целую часть:

Имеем :

По свойствам определённого интеграла разобьём данный интеграл на сумму трёх интегралов и вынесем постоянный множитель за знак интеграла в последнем:

Обозначим , и найдём его методом подстановки:

Получили табличный интеграл:

Окончательно имеем:

Задача 3. Найти

Решение: Интегрируем методом замены переменной в определённом интеграле. Для этого введём подстановку:

и перейдём к новым пределам интегрирования:

x	0
t	8	9

Получим:

Используя свойства интеграла, вынесем постоянный множитель; применив формулу , получим:

Задача 4. Вычислить:

Решение. Находим данный интеграл, предварительно записав в виде:

,

где естественно применить подстановку: , тогда , отсюда .

Найдём пределы интегрирования для новой переменной t:

x	0	1
t	0	1

Поэтому:

получили табличный интеграл , значит

Задача 5. Найти:

Решение. Для данного интеграла применяем метод замены переменной.

Введём подстановку: , тогда . Найдём пределы интегрирования по новой переменной t:

x	1	2
t	0	ln2

Получим:

Применяя формулу , получим:

Задача 6. Найти:

Решение. Так как данный интеграл имеет вид:

,

где - многочлен n-ой степени, , то для нахождения первообразной применяем формулу интегрирования по частям в определённом интеграле:

Задача 7. Вычислить:

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям в определённом интеграле, получим:

Задача 8. Вычислить:

Решение. Интегрируем по частям:

Разрешим полученное уравнение относительно искомого интеграла:

,

Задача 9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение: 1) Определим точки пересечения данных линий. Для чего решим систему уравнений:

Таким образом, линии имеют две точки пересечения: А(-1;3) и В(8;12).

2) Построим графики данных функций, чтобы определить искомую площадь.

Графиком функии является парабола, "ветви" которой направлены вверх, а вершина расположена в точке C(2;0).

Графиком функции является прямая. Построим её по двум точкам: A(-1;3) и B(8;12).

Так как сверху фигуру ограничивает прямая, а снизу- парабола, то имеем:

Задача 10. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной гиперболой , прямыми , осью Оу.

Решение.

1) Построим графики данных функций, и покажем тело вращения.

Графиком функции является прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку с координатами (0;2).

Графиком функции является прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку с координатами (0;6).

Графиком функции или является гипербола, ветви которой расположены в и координатных четвертях.

Найдём точки пересечения заданных линий:

; A(3;2)

; B(1;6)

Заметим, что искомую фигуру справа ограничивает только одна ветвь гиперболы, расположенная в координатной четверти.

Вращением заштрихованной фигуры вокруг оси Оу получаем тело вращения, объём которого необходимо найти.

2)Определим искомый объём. Так как вращение криволинейной трапеции происходит вокруг оси Оу, то для определения объёма полученного тела используется формула:

где - отрезок оси Оу, .

В нашем случае , пределы интегрирования c=2, d=6. Следовательно, искомый объём будет равен:

Задача 11. Найти длину дуги кривой:

от x=0 до x=1.

Решение. Воспользуемся формулой:

Получим:

.

Разрешим полученное уравнение относительно искомого интеграла:

,

.

Итак,

Задача 12. Найти производные указанных функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Решение.

а) Перепишем данную функцию, введя дробные и отрицательные показатели:

.

Применяя правило дифференцирования алгебраической суммы и формулу дифференцирования степенной функции, получим:

.

б) Применяя формулу производной произведения двух функций, а также формулу дифференцирования степенной функции и, учитывая, что , имеем:

.

в) Применяем правило дифференцирования частного двух функций, а также формулы производных для обратной тригонометрической функции и показательной функции .

.

г) Данная функция является сложной. Её можно представить в виде следующей цепочки элементарных функций:

, где , а .

Применяем правило дифференцирования сложной функции:

если , то .

.

д) Применяем правило дифференцирования произведения двух функций и правило дифференцирования сложной функции, так как каждый сомножитель представляет собой сложную функцию.

.

Задача 13. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить её график:

а) ;

б) .

Решение. Будем придерживаться общей схемы исследования функции:

1) Найти область определения функции.

2) Исследовать функцию на чётность и нечётность, периодичность и сделать вывод об элементах симметрии графика функции.

3) Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Определить промежутки знакопостоянства функции.

4) Исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва функции и её односторонние пределы в точках разрыва; указать, какого рода разрыв.

5) Найти точки экстремума функции и определить интервалы её возрастания и убывания.

6) Найти точки перегиба функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика.

7) Найти асимптоты графика функции.

8) Построить график функции по результатам исследования.

а) у =

1) Д (у)

2) f (-х) = -

f

Функция ни четная, ни нечетная, не периодическая, следовательно, элементов симметрии нет.

3) Точек разрыва нет, так как функция непрерывна на всей своей области определения.

4) Чтобы найти точку экстремума, находим первую производную, приравниваем ее к нулю и решаем полученное уравнение:

;

и - критические точки

Результаты исследования на экстремум заносим в таблицу:

х		-2	(-2; 6)	6
	+	0	-	0	+

Итак, имеем: М - точка максимума, так как N - точка минимума, так как в критической точке х=6 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс.

5) Чтобы найти точки перегиба графика функции и интервалы выпуклой и вогнутой, находим вторую производную , приравниваем ее к нулю и решаем полученное уравнение:

; - критическая точка II рода

Результат исследования на перегиб заносим в таблицу:

		2
	-	0	+

Итак, К - точка перегиба, так как при переходе через критическую точку второго рода х=2 вторая производная меняет свой знак.

6) Найдем наклонную асимптоту:

;

Так как , то наклонных асимптот нет. Горизонтальных и вертикальных асимптот нет.

7) Построим график функции, для чего возьмем дополнительные точки:

х	-6	-5	-4	-3	-1	1
у	-8

х	3	4	5	7	8	9	10
у