Задание 6.

Произвольный выпуклый четырёхугольник разрежьте на четыре части по отрезкам, соединяющим середины его противолежащих сторон. Покрасив эти отрезки, докажите, что из полученных частей можно сложить параллелограмм. Что можно сказать об углах этого параллелограмма?

Задание 7.

Два одинаковых бумажных выпуклых четырёхугольника разрезать так: первый – по одной из диагоналей, второй – по другой диагонали. Покрасив эти диагонали, докажите, что из полученных треугольников можно сложить параллелограмм. Что можно сказать об углах этого параллелограмма?

Задание 8.

Подумайте, как ножницы могут помочь рационально найти площади фигур, изображенных на рис. 6 и рис. 7? Найдите их.

рис. 6 рис. 7

Задание 9.

Вычислите сумму площадей фигур, изображённых на рис. 8 и рис. 9.

рис. 8 рис. 9

Творческая самостоятельная работа

Геометрия ножниц

Возможность взглянуть по-новому, иногда с довольно неожиданной точки зрения, на знакомые теоремы может открыться, если к геометрическим инструментам добавить ножницы (зад. 1).

Задачи, в которых требуется разрезать данный многоугольник на какие-то определённые части или, наоборот, составить из данных многоугольников новый называются задачами на разрезание многоугольников.

Если один многоугольник разрезать на части и составить из них другой многоугольник, то такие многоугольники называются равносоставленными. Доказано, что любой многоугольник можно разрезать на конечное число частей, образующих любой другой многоугольник.

Задание 1.

1)  Вырежьте из бумаги треугольник, поставьте рядом с каждой вершиной жирную точку и обрежьте все его углы. Сложив помеченные уголки вместе, убедитесь, что три внутренние угла треугольника действительно образуют развёрнутый угол (см рис. 1).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

2)  Проделайте ту же операцию со внутренними углами любого (в том числе и невыпуклого) четырёхугольника. Покажите, что они образовали полный угол (360°).

3)  Начертите треугольник, четырёхугольник, пятиугольник. Продолжите их стороны за вершины – получатся внешние углы этих многоугольников. Обрежьте их и сложите вместе. Какой угол они образовали? Сформулируйте ответ в виде утверждения.

рис. 1

Задание 2.

1)  Разрежьте фигуру, изображенную на рис. 2 на 4 равные части.

2)  Из этих частей сложите фигуру такой же формы, что и отдельные части.

3)  Полученную фигуру снова разрежьте на три равные части.

рис. 2 рис. 3

Задание 3.

Разрежьте фигуру (рис. 3) двумя прямыми на 4 куска, из которых можно сложить квадрат.

Задание 4.

1)  Разрежьте фигуру (рис. 4) на четыре равные части так, чтобы сложив из них новую фигуру, можно было прочитать античный афоризм.

2)  Разрежьте квадрат (рис. 5) на четыре равные части так, чтобы в каждой части было по 9 различных цифр.
 
О

З

Д

А

Г

О

Н

Ь

Б

У

С

В

Ж

Ы

Д

Ю

Т

Е

Ч

Е

Л

Р

К

А

А

У

С

У

Д

О

М

У

О

В

Е

К

рис. 4

4

9

5

7

3

2

3

1

4

8

7

6

8

7

1

6

2

1

5

6

2

8

3

9

2

9

4

4

7

5

6

8

5

1

9

3

рис. 5

Задание 5.

Начертите три одинаковых треугольника. В первом проведите медиану из одной вершины, во втором – из другой, в третьем – из третьей вершины. Эти медианы выделите толстыми цветными линиями разных цветов («покрасьте» медианы). Разрежьте треугольники по этим линиям, из полученных шести треугольников сложите один.

Какого цвета его стороны? Как они связаны с медианами меньшего треугольника?