Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины Спецкурс «Соболевские пространства и геометрическая теория меры»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы:
, д. ф.-м. н., доцент, *****@***ru
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2011 г.
Председатель
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2011 г.
Ученый секретарь ________________________
Москва, 2011
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
1 Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
· ГОС ВПО;
· Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
· Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.
2 Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины являются
- знакомство с основными фактами теории соболевских пространств; получение знания об основных приложениях; знакомство с геометрическими и вероятностными аспектами теории;
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
· Знать основные неравенства и теоремы вложения для соболевских пространств
· Уметь доказывать и применять соболевские неравенства
· Иметь навыки работы с разнообразными техническими инструментами теории
4 Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
· Математический анализ, теория вероятностей, дифференциальная геометрия, функциональный анализ
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:
· хорошо владеть техникой математического анализа в объеме стандартного курса
· знать основные факты теории вероятностей, в особенности работать с гауссовскими распределениями
· знать основы римановой геометрии и геометрии выпуклых множеств
· владеть техникой работы с гильбертовыми и банаховыми пространствами и теорие операторв
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
· теория уравнений в частных производных, математическая физика
5 Тематический план учебной дисциплины
1 курс магистратуры
№ | Название раздела | Всего часов | Аудиторные часы | Самостоятельная работа | ||
Лекции | Семинары | Практические занятия | ||||
1 | Классические пространства Соболева. | 10 | 4 | 6 | ||
2 | Теоремы вложения. | 18 | 8 | 10 | ||
3 | Пространства Соболева и вероятность. | 15 | 6 | 9 | ||
4 | Пространства Соболева на многообразиях. | 10 | 6 | 4 | ||
5 | Многообразия с мерами. Теоремы сравнения. | 22 | 8 | 14 | ||
6 | Функции ограниченной вариации. Элементы геометрической теории меры. | 15 | 8 | 7 | ||
Итого: | 90 | 40 | 50 |
2 курс магистратуры
№ | Название раздела | Всего часов | Аудиторные часы | Самостоятельная работа | ||
Лекции | Семинары | Практические занятия | ||||
1 | Классические пространства Соболева. | 22 | 4 | 18 | ||
2 | Теоремы вложения. | 32 | 8 | 24 | ||
3 | Пространства Соболева и вероятность. | 27 | 6 | 21 | ||
4 | Пространства Соболева на многообразиях. | 22 | 6 | 16 | ||
5 | Многообразия с мерами. Теоремы сравнения. | 32 | 8 | 24 | ||
6 | Функции ограниченной вариации. Элементы геометрической теории меры. | 27 | 8 | 19 | ||
Итого: | 162 | 40 | 122 |
6 Формы контроля знаний студентов
Тип контроля | Форма контроля | 1 год | Параметры ** | |||
1 | 2 | 3 | 4 | |||
Текущий (неделя) | Контрольная работа | * | 8 | письменная работа 80 минут | ||
Итоговый | Зачет | v | письменная работа, 240 мин |
6.1 Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Главная форма контроля - сдача задач из текущих листочков(3-4 задач по каждой теме).
Экзамен (зачет): письменная работа, состоящая из 6-10 задач на 4 часа.
7 Содержание дисциплины
7.1 Раздел 1. Классические пространства Соболева.
Содержание темы | Лекции | Семинары | Самостоятельная работа | Литература | ||
Подготовка к семинарам | Письменное домашнее задание | Базовая | Дополни тельная | |||
Классическая изопериметрическая задача. Неравенство Брунна-Минковского. Простейшее неравенство Соболева. | 4 | 0 | 3 | [1] | ||
Пространства Соболева на R^n. Эквивалентность различных определений. Базовые свойства. Приближение гладкими функциями. | 0 | 3 | [1] |
Раздел 2. Теоремы вложения
Содержание темы | Лекции | Семинары | Самостоятельная работа | Литература | ||
Подготовка к семинарам | Письменное домашнее задание | Базовая | Дополни тельная | |||
Теоремы вложения. Классические неравенства Соболева. Компактность вложений. Существование и регулярность решений эллиптических уравнений. | 8 | 0 | 5 | [1] | ||
Элементы теории потенциалов. Псевдодифференциальные операторы и интегральные представления. | 0 | 5 | [1], [5] |
Раздел 3. Пространства Соболева и вероятность
Содержание темы | Лекции | Семинары | Самостоятельная работа | Литература | ||
Подготовка к семинарам | Письменное домашнее задание | Базовая | Дополни тельная | |||
Соболевские классы на вероятностных пространствах. Гауссовские меры. Логарифмическое неравенство Соболева. Техника диффузионных полугрупп. | 6 | 0 | 5 | [2] | ||
Логарифмически вогнутые меры. Основные свойства. Выпуклые тела. Техника локализации. | 0 | 4 | [2] |
Раздел 4. Пространства Соболева на многообразиях
Содержание темы | Лекции | Семинары | Самостоятельная работа | Литература | ||
Подготовка к семинарам | Письменное домашнее задание | Базовая | Дополни тельная | |||
Соболевские классы на многообразиях. Кривизна Риччи. Геометрические и аналитические свойства многообразий с ограниченной снизу кривизной Риччи. Модельные пространства. | 6 | 0 | 4 | [3] |
Раздел 5. Многообразия с мерами
Содержание темы | Лекции | Семинары | Самостоятельная работа | Литература | ||
Подготовка к семинарам | Письменное домашнее задание | Базовая | Дополни тельная | |||
Многообразия с мерами. Тензор Бакри-Эмери. Теорема Леви-Громова. Неравенства Соболева и изопериметрические неравенства. | 8 | 0 | 16 | [6] |
Раздел 5. Функции ограниченной вариации. Элементы геометрической теории меры.
Содержание темы | Лекции | Семинары | Самостоятельная работа | Литература | ||
Подготовка к семинарам | Письменное домашнее задание | Базовая | Дополни тельная | |||
Меры Хаусдорфа и размерность Хаусдорфа. Сходимость мер. | 2 | 4 | 3 | [6], [4] | ||
Липшицевы функции. Их основные свойства. Теорема Радемахера. Формулы площади и коплощади. Выпуклые функции. (обзорно).. | 2 | 4 | 3 | [6], [4] | ||
Функции ограниченной вариации. Множества ограниченного периметра. Свойства границ (обзорно). | 4 | 4 | [6], [4] |
8 Образовательные технологии
На лекции даются необходимые определения и доказываются ключевые теоремы курса, разбираются поучительные примеры. После этого студентам выдается задание для самостоятельного решения, содержащий как упражнения для усвоения стандартных фактов и приемов, так и нестандартные задачи, позволяющие проверить уровень понимания теории.
9 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9.1 Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы/ задания для зачета/экзамена
1. Неравенства Соболева на R^n
2. Вывести доказательство изопериметрического неравенства, используя метод симметризации.
9.2 Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
1. Неравенство Брунна-Минковского. Простейшее неравенство Соболева.
2. Пространства Соболева на R^n. Эквивалентность различных определений.
3. Приближение гладкими функциями в соболевских классах.
4. Классические неравенства Соболева.
5. Теоремы вложения.
6. Потенциалы Рисса и Бесселя.
7. Гауссовские меры. Неравенства выпуклости. Логарифмическое неравенство Соболева.
8. Изопериметрическая задача в модельных пространствах. Связь с неравенствами Соболева.
9. Логарифмически вогнутые меры и выпуклые тела.
10. Соболевские классы на многообразиях.
11. Кривизна Риччи. Геометрические и аналитические свойства многообразий с ограниченной снизу кривизной Риччи.
12. Тензор Бакри-Эмери. Основные свойства.
13. Теорема Леви-Громова.
14. Меры Хаусдорфа и размерность Хаусдорфа.
15. Виды сходимости мер. Основные свойства.
16. Липшицевы функции. Их основные свойства. Теорема Радемахера
17. Функции ограниченной вариации. Множества ограниченного периметра.
10 Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется по 10 балльной
шкале.
Результирующая оценка за итоговый контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за зачет, удельный вес k2 = 0,5.
Оитоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Базовые учебники
[1] Adams R. A, Fournier J. J., Sobolev spaces. – AMS. 2003.
[2] , Гауссовские меры. – Наука. М. 1997.
[3] Hebey E., Sobolev spaces on Riemennian manifolds. – Springer Verlag. Berlin-Heidelberg, 1996.
[4] , , Теория меры и тонкие свойства функций. – Новосибирск. Научная книга, 2002.
[5] Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. – Мир. Москва, 1973.
[6] Morgan F., Geometric measure theory: a beginner’s guide. - (Fourth ed.), San Diego, CA: Academic Press Inc, 2009.
