МОУСОШ № 1
Исследовательская работа.
Проскочит ли мышь между проволокой и землёй,
или геометрический парадокс круга (число π).
Выполнила: Е. Андрухова
ученица 9«Г» класса
Руководитель:
учитель математики
г. Гусев
2008
Содержание:
Стр.
Цель проекта. 3
Введение. 4
1. Теоретическая часть. 5
1.1. Практическая геометрия, начиная 5
с времен до нашей эры.
1.2. Численное значение числа π. 7
1.3. Как запомнить первые цифры числа π 7
1.4. Факты и расчеты. 8
2. Практическая часть. 9
2.1. Вычисление числа π по методу Бюффона. 9
2.1.1. Описание эксперимента. 9
2.1.2. Результаты эксперимента. 9
2.2. Вычисление числа π по методу древнеславянских
математиков. 10
2.2.1. Описание эксперимента. 10
2.2.2. Результаты эксперимента. 10
Заключение. Выводы. 11
Литература. 12
Цель проекта:
1. Привлечь внимание к богатейшей истории числа π.
2. Выяснить почему древний мир не знал правильного отношения длины окружности к диаметру.
2. Показать наглядно, какими способами можно получить
число π.
3. На основе эксперимента вычислить значение
числа π различными способами.
4. Провести обработку и анализ результатов эксперимента.
5. По результатам проекта выявить изменения отношения
учащихся к вечным ценностям, которыми человечество
пользуется уже много веков - числу π.
Работа над проектом начиналась во внеурочное время за несколько месяцев до защиты проекта. За этот период я провела литературный поиск (в том числе и в Интернете), провела эксперименты, которые позволили получить
число π различными способами.
Введение
«Расскажи мне – и я забуду,
покажи мне – и я запомню,
вовлеки меня в действие – и я пойму»
Формы круга, окружности мы встречаем повсюду: это и колесо машины, и линия горизонта, и диск Луны, и наша планета.
Задумывались ли вы когда-нибудь о размерах нашей Земли и обыкновенной мыши? А ведь именно они лежат в основе любопытной геометрической задачи: если обтянуть земной шар по экватору проволокой и затем прибавить к её длине всего лишь 1 м, то сможет ли между проволокой и землёй проскочить мышь? Попробуем ответить на этот вопрос, но для этого нам придётся прибегнуть к помощи числа π и вспомнить связь между длиной окружности и её радиусом.
Любой школьник сегодня должен знать это. Ведь, программа математики 6 класса предполагает первое знакомство с числом π, использование его при вычислении длины окружности, площади круга. Ребята выполняют практическую работу, в ходе которой каждый ученик получает приближённое значение числа π. Но, к сожалению, эти значения остаются для шестиклассников формальными и уже через год – два мало кто из них помнит не только то, что отношение длины окружности к её диаметру одно и то же для всех окружностей, но даже с трудом вспоминают численное значение числа π, равное 3,14. Как показал тест-опрос только 50% респондентов смогли вспомнить чему равно число π, а что оно означает смогли пояснить только 5%.
3 | 10 |
71 |
3 | 1 |
7 |
Так что же это за число и зачем оно необходимо нам сегодня? Ещё в древности математики пытались решить задачи, связанные с кругом: измерить длину окружности или её дуги, площадь круга или сектора. Первые попытки делались ещё до нашей эры! Впервые Архимед (около 287 – 212 гг. до н. э.) вычислил отношение длины окружности к диаметру и нашёл, что оно заключено между и.
Архимед установил, что это постоянная величина. А в середине XVIII века знаменитый русский академик Леонард Эйлер ввёл обозначение этой постоянной. Её стали называть числом π («пи» - начальная буква греческого слова perimetron, которое и означает «окружность»).
Попробуем и мы приподнять завесу богатейшей истории числа π, которым человечество пользуется уже много веков.
1. Теоретическая часть.
1.1. Практическая геометрия, начиная с времен до нашей эры.
В глубокой древности считалось, что окружность ровно в 3 раза длиннее диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных табличках Древнего Междуречья. Такое же значение можно извлечь из текста Библии: «И сделал литое из меди море, — от края его до края его десять локтей, — совсем круглое... и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом» (3 Цар.
3 | 1 |
7 |
В «Алгебре» древнего арабского математика Маго-мета-бен-Муза о вычислении длины окружности читаем такие строки: «Лучший способ — это умножить диаметр
на
. Это самый скорый и самый легкий способ. Богу известно лучшее».
С VI в. до н. э. математическая наука стремительно развивалась в Древней Греции. Именно древнегреческие геометры строго доказали, что длина окружности пропорциональна её диаметру (l = 2πR; R — радиус окружности, l — её длина), а площадь круга равна половине произведения длины окружности и радиуса:
S = | 1 | l ∙R | = πR2 |
2 |
Эти доказательства приписывают Евдоксу Книдскому и Архимеду.
3 | 10 |
71 | |
3 | 1 |
7 |
3 | 1 |
7 |
В III в. до н. э. Архимед в сочинении «Об измерении круга» вычислил периметры вписанных в окружность и описанных около неё правильных многоугольников — от 6- до 96-угольника. Таким образом он установил, что число π заключено в пределах
от до
, т. е. З,1428< π < 3,1428. Значение
3 | 17 |
120 |
до сих пор считается вполне хорошим приближением числа π для прикладных задач. Более точное приближение
(π = 3,14166)
нашёл знаменитый астроном, создатель тригонометрии Клавдий Птолемей (II в.), но оно не вошло в употребление.
Итак, первым приближением числа π было 3. Однако уже во II тысячелетии до н. э. математики Древнего Египта находили более точное отношение. В папирусе Райнда, который датируется приблизительно 1650 г. до н. э., для числа π приводится значение (l6/9)2, в десятичном приближении это 3,16.
Долгое время в качестве приближённого значения π использовали число 22/7, хотя уже в V в. В Китае было найдено приближение 355/113 = 3,1415929…, которое было открыто вновь в Европе лишь в XVI в.
В Древней Индии π считали равным √10 = 3,1622…
3 | 7 |
50 |
Индийцы и арабы полагали, что π = √10. Это значение приводит индийский математик VII в. Брахмагупта. Китайские учёные в III в. использовали
для π значение
, которое хуже приближения Архимеда.
К концу XVI в. в европейской математике сформировались понятия рациональных и иррациональных чисел. Хотя многие были убеждены, что число π — иррациональное, доказать этого никто не мог.
С развитием математического анализа его методы начали применяться и для определения числа π. В этом принимали участие почти все известные математики: Ф. Виет, X. Гюйгенс, Дж. Валлис, , Л. Эйлер. Они получали различные выражения для π в виде бесконечного произведения, суммы ряда, бесконечной дроби.
Например, в 1674 г. установил следующую формулу:
π | = 1 - | 1 | + | 1 | - | 1 | + … |
4 | 3 | 5 | 7 |
выражающую число π /4 как сумму ряда. Однако этот ряд сходится очень медленно. Чтобы вычислить π с точностью до десяти знаков, потребовалось бы, как показал Исаак Ньютон, найти сумму 5 млрд чисел и затратить на это около тысячи лет непрерывной работы.
Лондонский математик Джон Мэчин в 1706 г., усовершенствовал формулу для приближённого вычисления π. Чтобы найти те же десять точных знаков, ему потребовалось всего несколько часов ручного счёта. Сам Джон Мэчин вычислил π со 100 верными знаками.
В 1766 г. немецкий математик Иоганн Ламберт строго доказал иррациональность числа π: число π не может быть представлено простыми дробями, как бы ни были велики числитель и знаменатель. И тем не менее история числа π на этом не закончилась.
В конце XIX в. профессор Мюнхенского университета Карл Фердинанд Линдеман доказал, что π — число трансцендентное, т. е. оно не является корнем никакого алгебраического уравнения аnxn + аn-1xn-1 +... + а1х + а0 = 0 с целыми коэффициентами. Его доказательство поставило точку в истории древнейшей математической задачи о квадратуре круга. На протяжении тысячелетий она не поддавалась усилиям математиков, и выражение «квадратура круга» даже стало синонимом неразрешимой проблемы. «Загадочное упорство» этой задачи, как оказалось, связано именно с природой числа π.
В память об открытии трансцендентности числа π в зале перед математической аудиторией Мюнхенского университета был установлен бюст Линдемана. На постаменте под его именем изображён круг, пересечённый квадратом равной площади, внутри которого начертана буква π.
3 | 1 |
7 |
1.2. Численное значение числа π.
Теперь мы знаем, что и архимедово число
не вполне точно выражает отношение длины окружности к диаметру. Теоретически доказано, что отношение это вообще не может быть выражено какой-либо точной дробью. Мы можем написать его лишь с тем или иным приближением, впрочем, далеко превосходящим точность, необходимую для самых строгих требований практической жизни. Математик XVI века Лудольф, в Лейдене, имел терпение вычислить π с 35 десятичными знаками и завещал вырезать это значение на своем могильном памятнике.
Вот оно: 3,...
Некий Шенкс в 1873 г. опубликовал такое значение числа π, в котором после запятой следовало 707 десятичных знаков!
А так выглядит 101 знак числа π без округления:
3,
Такие длинные числа, приближенно выражающие значение, не имеют ни практической, ни теоретической ценности. Только от безделья да в погоне за дутыми «рекордами» могло в наше время возникнуть желание «переплюнуть» Шенкса: в 1946 — 1947 гг. Фюргюсон (Манчестерский университет) и независимо от него Ренч (из Вашингтона) вычислили 808 десятичных знаков для числа π и были польщены тем, что в вычислениях Шенкса обнаружили ошибку начиная с 528 знака.
Даже в наши дни с помощью ЭВМ число π вычислено только с точностью до миллиона знаков, что представляет скорее технический, чем научный интерес.
Если бы мы пожелали, например, вычислить длину земного экватора с точностью до 1 см, предполагая, что знаем длину его диаметра точно, то для этого нам вполне достаточно было бы взять всего 9 цифр после запятой в числе π. А взяв вдвое больше цифр (18), мы могли бы вычислить длину окружности, имеющей радиусом расстояние от Земли до Солнца, с погрешностью не свыше 0,0001 мм (в 100 раз меньше толщины волоса!).
Итак, десяти знаков числа π (π= 3,…) вполне достаточно для всех практических целей.
Как запомнить первые цифры числа π
Три первые цифры числа π = 3,14... запомнить совсем несложно. А для запоминания большего числа знаков существуют забавные поговорки и стихи.
Например, такие:
|
И запомнить всё как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
С. Бобров. «Волшебный двурог»
Тот, кто выучит это четверостишие, всегда сможет назвать восемь знаков числа π: 3,1415926...
В следующих фразах знаки числа π можно определить по количеству букв в каждом слове:
«Что я знаю о кругах?» (π = 3,1416);
«Вот и знаю я число, именуемое Пи. — Молодец!» (π = «3,1415927);
«Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать»
(π = 3,).
|
See I have a rhyme assisting My feeble brain, its tasks ofttimes resisting.
|
Поговорку «Что я знаю о кругах?» предложил замечательный популяризатор науки Яков Исидорович Перельман. Учитель одной из московских школ придумал строку: «Это(3) я(1) знаю(4) и(1) помню(5) прекрасно(9)», а его ученица сочинила забавное продолжение:
Пи(2) многие(6) знаки(5) мне(3) лишни(5), напрасны(8)…».
Это двустишие позволяет восстановить 12 цифр.
Небольшие стихотворения или яркие фразы дольше остаются в памяти, поэтому каждый может попробовать себя в этом виде «математической поэзии» или запомнить уже сочиненные.
Факты и расчеты.
Геометрия знает немало поучительных и необычных задач. Одна из них описана в романе Жюля Верна, герой которого подсчитывал, какая часть его тела прошла более длинный путь за время его кругосветных странствий – голова или ступни ног.
Приведём решение этой здачи.
Ноги прошли путь 2πR, где R — радиус земного шара. Верхушка же головы прошла при этом 2π (R + 1,7), где 1,7 м — рост человека. Разность путей равна 2π(R + 1,7) - 2πR = 2π ∙ 1,7 = 10,7 м. Итак, голова прошла путь на 10,7 м больше, чем ноги.
Любопытно, что в окончательный ответ не входит величина радиуса земного шара. Поэтому результат получится одинаковый и на Земле, и на Юпитере, и на самой мелкой «планетке». Вообще, разность длин двух концентрических окружностей не зависит от их радиусов, а только от расстояния между ними.
Прибавка одного сантиметра к радиусу земной орбиты увеличила бы ее длину ровно настолько, насколько удлинится от такой же прибавки радиуса окружности пятака.
На этом геометрическом парадоксе и основана любопытная задача, приведённая в самом начале моей работы: «Если обтянуть земной шар по экватору проволокой и затем прибавить к ее длине 1 м, то сможет ли между проволокой и землей проскочить мышь?»
100 см | ≈16 см |
2π |
Обычно отвечают, что промежуток будет тоньше волоса: что значит один метр по сравнению с 40 миллионами метров земного экватора! В действительности же величина промежутка равна
Не только мышь, но и крупный кот проскочит в такой промежуток!
Теперь вообразите, что земной шар плотно обтянут по экватору стальной проволокой. Что произойдет, если эта проволока охладится на 1о? От охлаждения проволока должна укоротиться. Если она при этом не разорвалась и не растянулась, то как глубоко она врежется в почву?
Решение этой задачи следующее. Казалось бы, столь незначительное понижение температуры, всего на 1о, не может вызвать заметного углубления проволоки в землю. Расчеты показывают другое.
Охлаждаясь на 1о, стальная проволока укорачивается на одну стотысячную долю своей длины. При длине в 40 миллионов метров (длина земного экватора) проволока должна сократиться, как легко рассчитать, на 400 м. Но радиус этой окружности из проволоки уменьшится не на 400 м, а гораздо меньше. Для того чтобы узнать, насколько уменьшится радиус, нужно 400 м разделить на 6,28, т. е. на 2л. Получится около 64 м. Итак, проволока, охладившись всего на 1о, должна была бы при указанных условиях врезаться в землю не на несколько миллиметров, как может казаться, а более чем на 60 м!
2. Практическая часть.
2.1. Вычисление числа π по методу Бюффона.
2.1.1. Описание эксперимента.
Самый оригинальный и неожиданный способ для приближенного вычисления числа π состоит в следующем. Запасаются короткой (сантиметра два) швейной иглой, — лучше с отломанным острием, чтобы игла была равномерной толщины, — и проводят на листе бумаги ряд тонких параллельных линий, отделенных одна от другой расстоянием вдвое больше длины иглы. Затем роняют с некоторой (произвольной) высоты иглу на бумагу и замечают, пересекает ли игла одну из линий или нет. Чтобы игла не подпрыгивала, подкладывают под бумажный лист сукно. Бросание иглы повторяют много раз, каждый раз отмечая, было ли пересечение. Если потом разделить общее число падений иглы на число случаев, когда замечено было пересечение, то в результате должно получиться число π, конечно, более или менее приближенно.
3 | К |
20 |
11 | К |
20 |
Объясним, почему так получается. Пусть вероятнейшее число пересечений иглы равно К, а длина нашей иглы — 20 мм. В случае пересечения точка встречи должна, конечно, лежать на каком-либо из этих миллиметров, и ни один из них, ни одна часть иглы, не имеет в этом отношении никаких преимуществ перед другими. Поэтому вероятнейшее число пересечений каждого отдельного миллиметра равно К/20. Для участка иглы в 3 мм оно равно
, для участка в 11 мм –
и т. д. Иначе говоря, вероятнейшее число пересечений прямо пропорционально длине иглы.
π = | число бросаний |
число пересечений |
Эта пропорциональность сохраняется и в том случае, если игла согнута. Заметьте, что при изогнутой игле возможны пересечения черты двумя и более частями иглы сразу. Но мы уже установили, что вероятнейшее число пересечений пропорционально длине иглы. Поэтому вероятнейшее число (К) пересечений нашей иглы должно быть меньше 2N в 2π раз, т. е. равно N/π. Отсюда
Чем большее число падений наблюдалось, тем точнее получается выражение для π. Один швейцарский астроном Р. Вольф в середине прошлого века наблюдал 5000 падений иглы на разграфленную бумагу и получил в качестве π число 3,159... — выражение, впрочем, менее точное, чем архимедово число.
Как видите, отношение длины окружности к диаметру находят здесь опытным путем, причем — это всего любопытнее — не чертят ни круга, ни диаметра, т. е. обходятся без циркуля. Человек, не имеющий никакого представления о геометрии и даже о круге, может тем не менее определить по этому способу число π, если терпеливо проделает весьма большое число бросаний иглы.
2.1.2. Результаты эксперимента.
Я также провела этот эксперимент с бросанием прямой и изогнутой иглы, длинной в 3 см.
Число бросаний | Число пересечений | Значение числа π | |
Прямая игла 3 см | 1000 | 325 | 3, |
Изогнутая игла 3 см | 500 | 160 | 3,125 |
2.2. Вычисление числа π по методу древнеславянских математиков.
2.2.1. Описание эксперимента.
Для вычисления числа π можно повторить опыт древних греческих математиков. Уложить вдоль окружности нить, а потом развернуть её и измерить. Затем сложить окружность пополам и измерить линейкой диаметр. Разделив, полученную длину окружности на её диаметр, получим значение числа π.
2.2.2. Результаты эксперимента.
класс | уч. год | число учащихся | Значение числа π | ||
π ≈ 3 | π < 3 | π >3,5 | |||
6 (9 «Г») |
| 24 | 60% | 1% | 5% |
6 (8 «Г») |
| 27 | 65% | 1% | 6% |
6 (7 «А») |
| 27 | 50% | 1% | 5% |
 |
Заключение. Выводы.
Современная наука развивается очень быстро. Некоторые достижения человеку трудно было себе представить несколько десятков лет назад. Но есть вечные ценности, простые на первый взгляд, которыми человечество пользуется уже много веков. К таким вечным ценностям, на мой взгляд, относится и число π.
Определяя π указанными способами, мы получили результаты, не совпадающий с 3,14: один раз получим 3,1, другой раз 3,12, третий 3,17 и т. п. Случайно может оказаться среди них и 3,14, но в глазах вычислителя это число не будет иметь больше веса, чем другие. Такого рода опытный путь никак не может дать сколько-нибудь приемлемого значения для π. В связи с этим становится более понятным, почему древний мир не знал правильного отношения длины окружности к диаметру, и понадобился гений Архимеда, чтобы найти для π значение 3 1/7 — найти без измерения, одними лишь рассуждениями.
«… в любой окружности, независимо от её диаметра, отношение длины окружности к её диаметру, есть величина постоянная» - шедевр человеческой мысли, не менее ценный и прекрасный, чем, например, «Джоконда» Леонардо да Винчи. Но чтобы насладиться красотой Джоконды в полной мере, необходимо отправиться в Париж. А для того чтобы не просто полюбоваться, но и получить в собственность уникальную ценность – знания о числе π – достаточно вдумчиво прочитать школьный учебник, или ещё раз перечитать эту работу. И, возможно, тогда знания, полученные на уроках геометрии, станут прочными и неформальными.
Литература.
Геометрия до Евклида в очерках и задачах. – Москва, Чистые пруды, 2005
Малаховский главы истории математики. Часть 1. Калининград, 2001
« Занимательная геометрия» . Триада , Москва, 1994
Энциклопедический словарь юного математика. Педагогика, Москва, 1985
Энциклопедия математика для детей. « Аванга+», 1998
« Математика» №16 2006
